专题27抛物线
专题27 抛物线(解答题)(新高考地区专用)(原卷版)
专题27 抛物线（解答题）1．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y ，F 为抛物线的焦点，且||10PF =． （1）求0y 的值；（2）点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段 FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．2．设抛物线C ：22x py =（0p >）过点()2,1． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线l 交曲线C 于M 、N 两点，分别以点M 、N 为切点作曲线C 的切线相交于点P ，且两条切线垂直，求三角形MNP 面积的最小值．3．已知点F 为曲线2:2(0)C y px p =>的焦点，点M 在曲线C 运动，当点M 运动到x 轴上方且满足MF x ⊥轴时，点M 到直线4l y x p =+:的距离为． （1）求曲线C 的方程；（2）设过点F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，则在x 轴上是否存在一点P ，使得直线PA 与直线PB 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆()(222:30M x y rr -+=<≤的两条切线PA PB 、，切线PA PB、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于,P Q 两点，10PQ =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(3,0)的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，已知(3,0)M -，且以线段AM 为直径的圆与直线3x =-的另一个交点为N ，试问在x 轴上是否存在一定点，使得直线BN 恒过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．6．设点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，,,A B C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =．（1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．7．设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围．8．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线2:4C x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，OAB 的重心为G ．（1）求动点G 的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程． 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(4,4)D （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标与准线方程；（2）直线l 与抛物线C 交于不同的两点E ，F 过点E 作x 轴的垂线分别与直线OD ，OF 交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．若A 为线段BE 的中点，求证：直线l 恒过定点． 10．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线E 于A 、B ． （1）若1AA 垂直l 于点1A ，且16AFA π∠=，求AF 的长；（2）O 为坐标原点，求 OAB 的外心C 的轨迹方程．11．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ，C 为抛物线C 上两个不同的动点，(B ，C 异于原点)，当B ，C ，F 三点共线时，直线BC 的斜率为1，2BC =．（1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若MNPBCFS S=，求BC 中点P 的轨迹方程．12．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ､C 为抛物线T 上两个不同的动点，当B ，C 过F 且与x 轴平行时，BC 长为1． （1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若2MNFBCFS S=，求BC 中点的轨迹方程．13．已知抛物线()2:20C y px p =>的内接等边三角形AOB 的面积为O 为坐标原点）．（1）试求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,1,,M P Q 两点在抛物线C 上，MPQ ∆是以点M 为直角顶点的直角三角形． ①求证：直线PQ 恒过定点；②过点M 作直线PQ 的垂线交PQ 于点N ，试求点N 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．14．设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（1）若60BFD ∠=︒，BFD △的面积为3，求p 的值及圆F 的方程； （2）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．15．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）．记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ．17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为()1,0F -． （1）求C 的方程；（2）设P 为C 的准线上一点，Q 为直线PF 与C 的一个交点且F 为PQ 的中点，求Q 的坐标及直线PQ 的方程．18．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线2:2(0)C x py p =>，一平行于y 轴的光线从上方射向抛物线上的点P ，经抛物线2次反射后，又沿平行于y 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与抛物线C 交于A ，B 两点，以点A 为顶点作ABN ，使ABN 的外接圆圆心T 的坐标为493,8⎛⎫⎪⎝⎭，求弦AB 的长度． 19．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为12y =，F 为抛物线C 的焦点，点P 为直线123=+y x 上任意一点，以P 为圆心，PF 为半径的圆与抛物线C 的准线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作准线的垂线交抛物线C 于点D 、E ．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：直线DE 过定点，并求出定点的坐标． 20．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y ．若12112+=x x ，求证：直线l 过定点．21．已知圆221:(1)4M x y -+=，动圆N 与圆M 相外切，且与直线12x =-相切．（1）求动圆圆心N 的轨迹C 的方程． （2）已知点11(,),(1,2)22P Q --，过点P 的直线l 与曲线C 交于两个不同的点,A B （与Q 点不重合），直线,QA QB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 22．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （1）求抛物线的方程；（2）已知122k k +=-，l ：y kx b =+，求b 的值．23．如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上． （1）求FA FB +的值；（2）求AB 的最大值．24．已知直线2y x =-与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．定点()4,2C ，()4,0D -，M 是抛物线上一动点，设直线CM ，DM 与抛物线的另一个交点分别是E ，F ．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当M 点在抛物线上变动时（只要点E 、F 存在且不重合），直线EF 恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．25．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为52，且焦点到准线的距离小于4． （1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值．26．设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A ､B 两点．（1）若8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 27．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()1,0F ，斜率为k 的直线1l 过点()()0,0P m m >，直线1l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）直线2l 过点()()0,0P m m >，且倾斜角与1l 互补，直线2l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且FAB 与FMN 的面积相等，求实数m 的取值范围．28．已知曲线C 上每一点到直线l ：32x =-的距离比它到点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离大1． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上存在不同的两点P 和Q 关于直线l ：20x y --=对称，求线段PQ 中点的坐标．29．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．30．已知抛物线22x py =(0p >)上点P 处的切线方程为10x y --=． （1）求抛物线的方程；（2）设11()A x y ，和22()B x y ，为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠，且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值．31．已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B ． （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围． 32．已知M 是抛物线2:4C y x =上一点，F 是抛物线C 的焦点，4MF =． （1）求直线MF 的斜率；（2）已知动圆E 的圆心E 在抛物线C 上，点()2,0D 在圆E 上，且圆E 与y 轴交于A ，B 两点，令||DA m =，||DB n =，求n mm n+最大值．33．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，()2FQ =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()0,4P x 的直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，且P 为线段MN 的中点．若线段MN 的中垂线交y 轴于A ，求AMN 面积的最大值．34．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点F 到直线10x y -+=．（1）求抛物线C 的方程；（2）点O 为坐标原点，直线1l 、2l 经过点()1,0M -，斜率为1k 的直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，斜率为2k 的直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，记MA MB MD ME λ=⋅⋅⋅，若1212k k =-，求λ的最小值． 35．已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1，0)的距离小1， （1）求曲线C 的方程；（2）过F 作弦PQ RS 、，设PQ RS 、的中点分别为A B 、，若0PQ RS ⋅=，求||AB 最小时，弦PQ RS 、所在直线的方程；（3）在（2）条件下，是否存在一定点T ，使得AF TB FT λ=-？若存在，求出T 的坐标，若不存在，试说明理由．36．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到直线:l y x =-的距离为．（1）求抛物线C 的方程； （2）如图，若1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线l 相交于点M ，且||||AM MB =，求ABN 面积的取值范围．37．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线C 于()11,A x y 和()22,B x y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于,C D 两点，记ABF 与CDF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的最小值．38．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()M ,9m 到其焦点下的距离为10． （1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围．39．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 作圆C ：229(2)2x y ++=的两条切线1l ，2l 且12l l ⊥． （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 作直线l 与E 交于A ，B 两点，若A ，B 到直线34200x y ++=的距离分别为1d ，2d ．求12d d +的最小值．40．已知抛物线C 的顶点在原点O ，准线为12x =-．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点A ，B 在C 上，且OA OB ⊥，⊥OD AB ，垂足为D ，直线OD 另交C 于E ，当四边形OAEB 面积最小时，求直线AB 的方程．。
数学中考26题27题专题训练
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除26、 27题专题训练2－－5上．x在直线Al：、如图，抛物线y=xy=2x+c的顶点1（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．OOCABCAD?BCBDA的延长线作、2．如图，于点是以的切线，与为直径的上一点，，过点E，GCGCBPFAFADBE．延长是的延长线相交于点的中点，连结与并延长与相交于点相交于点，BF?EF；(1)求证：32OFGBFFG?BD的长度．的半径长为(2) 若，求，且和EAFG CPOD B1、考点：二次函数综合题。
只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除－5上，=x =1=，且顶点A在y解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x－－4=1，5=y∴当x=1时，－4）1，．∴A（（2）△ABD是直角三角形．2－－－－－3，c=c=x 42x+c，可得，1，∴将A（1，2+4）代入y=2－－－3），3，∴∴y=xB（2x02－－－1，x=3 3=0，当y=0时，xx=2x21－1，0），D（3∴C（，0），222222222－－=20，1），AD +OD==18，AB（=（433）+1+4BDOB==2222，ADAB BD=+∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．－－5），交x轴于点F（5，0）y=x轴于点5交yA（0，由题意知：直线∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C－－5）（1，x，xx5），则G设P（111－－－－xx| 4|=|1x|，AG=|5=|1则PC111=3 A=BDP由勾股定理得：222－－－－－2，4 ，=18，xxx2=8=0（1x）+（1x）11111－－－1）4，P（，∴P（2，）7－－－1）使以点A．B．，（）或（存在点P2，7P4D．P为顶点的四边形是平行四边形．只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除OOBC∵BE是是的切线，的直径，2、(1)证明：BC?∴EB．BC?∵ADBE∥∴AD又．，GAC∽△△FEC△BFC∽△DGC易证．，E CFEFBFCF?，∴?．CGCGAGDG A EFBF F ?∴．HAGDG GG∵AD是的中点，CP OAG∴DG?D B ．EF?∴BF．ABAO，．(2)证明：连结O°90?∴?BAC∵BC的直径，．是BAE△Rt BEF在是斜边，知的中点，中，由(1)EF?AF?FB∴．FAB??FBA?∴．BAOABO??∵OA?OB∴?，．又O°?90∴?EBOBE∵是．的切线，°90??FAB??BAO??FAO??∵?EBO?FBA??ABO，OPA∴的切线．是ADFFH?H作于点．(3)解：过点ADFH??∵BDAD，，BC∥∴FH．AFBFBAF∴??FBA??，，知由(1)．AFGFG△FGBF?∴AF?，即，由已知，有是等腰三角形．GH∴AH?AD?FH∵．，AG∵DG?，1HG?HG2∴DG?，即．2DG°?BFFH∵∥BD，∥AD，FBD?90，FH?BDHF∴BD．四边形是矩形，DCG∥∵FHBC∽△HFG△．，易证只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除FHFGHGBDFGHG1???∴??．，即2DGCGDGCDCGCD6∴BC2O∵，的半径长．1BDBBD?∴??．2CDBC?BDBD?622?2BD解得．2FH?2?∴BD．1FGHG1∵FG?CG??∴．，22CGDG FG3∴CF?．FGBF?FBC∵CF?3FG Rt△中，，，在222BC?CF?BF．由勾股定理，得2222)??FG∴(3FG)(6．3?FG．(解得负值舍去)3?∴FG．DHCHG△AFC≌△CGCG?2DHH，则［或取．易证的中点，，连结FGCF?3FG?HGCG?2FG∴，．，故22FGCDCG??∴?CBF△CDG∽△GD∥FB，由，易知．3CFCB3FG262?BD2BD?2?由，解得．3262222)?FG?(6FG(3)CFB△Rt，又在中，由勾股定理，得3?∴FG．(舍去负值)］只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流．。
抛物线及其标准方程 课件
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
高中数学抛物线大题精选30道（含答案）
抛物线大题30题1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 ．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 ．已知p ：方程2212x y m m+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。
6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 ．已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--｡(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)｡(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡12．位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15．(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16．抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2（I ）求p 的值；（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。
专题27：抛物线的定点问题20页
专题27：抛物线的定点问题1．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于P ､Q 两点，设直线OP ､OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点.2．已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设D 为直线2y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．3．设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，已知直线1l ：20mx y m --=，圆E ：222440x y x y +---=.（1）设直线1l 与圆E 的交点分别为P ，Q ，求当PQ 取得最小值时，直线1l 的方程；（2）若抛物线过圆E 的圆心，直线1l ，2l 过同一定点且与抛物线相交于A ，B 和C ，D 点，12l l ⊥，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，证明：直线MN 恒过定点.4．已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点F 是椭圆222:21C x y +=的一个顶点.（1）求抛物线1C 的方程；（2）若点()1,2P ，M 、N 为抛物线1C 上的不同两点，且PM PN ⊥，问：直线MN 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为直线l 与抛物线C 相交于点M ，N ，点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.6．已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线E 于点M，证明：直线BM 过定点，并求出该定点坐标.7．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线3y x =-上的动点，过点M 作抛物线2:2C x y =的两条切线,MA MB ，切点分别为,,A B N 为AB 的中点.（1）证明MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.8．已知点1,0A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M 、N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.9．平面上动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到直线2x =-的距离小1．（1）求动点M 满足的轨迹方程C ﹔（2）若A ，B 是（1）中方程C 表示的曲线上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）．试问直线AB 是否经过定点，并说明理由． 10．设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF=．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若6AF BF +=，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．11．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.12．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案1．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得点A ，B 的坐标，然后由1222AOB pS AB =⋅⋅=△求解；（2）易知直线l 的斜率存在，记为k ，设直线:l y kx m =+，与24y x =联立， 由tan OP k α=，tan OQ k β=，结合4παβ+=，由()tan tan tan 1tan tan 1OQ Q O P P O O k k B k k ααβαβ+++==-⋅⋅-14tan π== 求解.【解析】（1）因为焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点A ，B 的坐标分别为,2pp ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以12222AOBpS p =⋅⋅=△， 故2p =.故抛物线C 的方程为24y x =. （2）由题设()11,P x y ，()22,Q x y ， 易知直线l 的斜率存在，记为k ，则设直线:l y kx m =+，与24y x =联立得2440ky y m -+=， 得124y y k+=，124my y k⋅=， 则()2221212121221422444y y m x x y y y y k k ⎡⎤+=+=⨯+-=-⎣⎦， 2221212244y y m x x k⋅=⋅=，121212164OP OQ y y k k k x x y y m ⋅=⋅==⋅，()()2112121112OP OQ x kx m x kx m y y k k x x x x +++=+=+ ()12121224k x m x x x x m++==.又知tan OP k α=，tan OQ k β=，()tan tan tan 1tan tan 1OQ Q O P P O O k k Bk k ααβαβ+++==-⋅⋅-， 41441m tan k mπ===-，解得44m k =+，所以直线():4444l y kx k k x =++=++，恒过定点()4,4-.【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 2．（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得C 的方程； （2）设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ，利用导数得出切线,DE DF 的方程，由D 在切线上，从而可得直线EF 的方程，由直线方程可得定点坐标．【解析】（1）设(),P x y ，则(),1PA x y =---，(),1PB x y =--，()0,2AB =，()0,2BA =-，所以，PB AB PA BA =⋅()10,2y AB =+=，化简得24x y =．所以，C 的方程为24x y =．（2）由题设可设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由24x y =，得24x y =，则2y x '=， 所以12DE x k =， 直线DE 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y y x -=-，①因为()11,E x y 在24x y =上，所以2114x y =，即21122x y =，②将②代入①得11220x x y y --=， 所以直线DE 的方程为11220x x y y --= 同理可得直线DF 的方程为22220x x y y --=． 因为(),2D t -在直线DE 上，所以11240tx y -+=， 又(),2D t -在直线DF 上，所以22240tx y -+=， 所以直线EF 的方程为240tx y -+=， 故直线EF 过定点()0,2．【点评】 本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由D 在切线上，根据直线方程的意义得出直线EF 方程，然后得定点坐标．3．（1）220x y --=；（2）证明见解析.【分析】（1）先判断直线1l ：20mx y m --=过定点()2,0T ，由垂径定理表示出PQ =PQ ET ⊥时，当d 最大时，PQ 最小，求出PQ斜率m ，得到直线方程；（2）联立方程组表示出点M 、N ，进而表示出直线MN 的方程，利用点斜式方程说明直线过定点.【解析】 （1）由题意得直线1l ：20mx y m --=过定点()2,0T ， 由222440x y x y +---=得()()22129x y -+-=. 因为()()2221029-+-<，所以点()2,0T 在圆E 内.设圆心()1,2到直线1l 的距离为d ，PQ =d 最大时，PQ 最小，此时PQ ET ⊥，所以112PQ ETm k k ==-=，此时直线1l 的方程为220x y --=.（2）证明：因为抛物线过圆E 的圆心()1,2， 所以222p =，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =.由直线1l 的方程为20mx y m --=，可得直线1l ：12x y m=+，且过定点()2,0T ，由12l l ⊥可得直线2l ：2x my =-+，联立24,2,y x x my ⎧=⎨=-+⎩，消x 整理得2480y my +-=.设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y m +=-， 所以2Ny m =-，则222Nx m =+，即点()222,2N m m+-，同理得点2222,M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当1m ≠时， 直线MN 的斜率2222212112MNmm m k m m mm m +===---，则直线MN 的方程为222221m y x m m m ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭， 即22222121m m y x m m m m-=--+⋅-，所以直线MN 的方程为()241my x m =--， 即直线MN 恒过定点()4,0；当1m =时，()4,2N -，()4,2M ，直线MN 的方程为4x =，也过定点()4,0. 综上，直线MN 恒过定点()4,0.【点评】证明直线过定点，通常有两类：（1）直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； （2）直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ． 4．（1）24y x =；（2）过定点()5,2-.【分析】（1）根据已知条件求出p 的值，可得出抛物线1C 的方程； （2）设直线MN 的方程x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由PM PN ⊥得出0PM PN ⋅=，代入韦达定理可得出m 、n 所满足的关系式，由此可得出直线MN 所过定点的坐标.【解析】（1）把椭圆2C 的方程化为标准方程是221112x y +=，椭圆的左、右顶点分别为()1,0-、()1,0， 依题意12p=，解得2p =，所以抛物线1C 的方程为24y x =； （2）若直线MN 与y 轴垂直，则直线MN 与抛物线1C 只有一个交点，不合乎题意.设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线方程联立并化简得2440y my n --=.则216160m n ∆=+>，可得20m n +>，设()11,M x y 、()22,N x y ，则124y y m +=，124y y n =-.因为PM PN ⊥，()()()21111111221,21,2,244y y y PM x y y y -+⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得()()22222,24y y PN y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以，()()()()()()121212222222016y y y y PM PN y y --++⋅=+--=，所以，()()()()12122222160y y y y --+++=⎡⎤⎣⎦， 显然12y ≠且22y ≠，所以，()()()121212221622048200y y y y y y n m +++=+++=-++=，所以，25n m =+，所以，直线MN 的方程为25x my m =++，即()250x m y -+-=，因此，直线MN 过定点()5,2-.【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.5．（1）24y x =；（2）直线l 过定点，定点坐标为()0,1-，证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求p 的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线l 的方程为x my b =+，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得b m =，故可求定点坐标.我们也可以设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线l ，化简后可得直线过定点.【解析】（1）由2,2,y x y px =⎧⎨=⎩解得10x =，22x p =，因为直线y x =被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为0p -=，0p >，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）法一： 设直线l 的方程为x my b =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩得2440y my b --=， 所以124y y m +=，124y y b =-，因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以121222411y y x x --+=--，而2114y x =，2224y x =，化简得12120y y y y ++=， 所以440m b -=，即b m =， 所以直线l 的方程为()1x m y =+， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-. 法二：设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以1222122241144y y y y --+=--，即12120y y y y ++=，①当210y y +≠时，直线l 的方程为221112221444y yy y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭- 即2141y x y y =--， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-；②当210y y +=时，120y y =，所以120y y ==，不满足题意. 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-.【点评】直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题.6．（1）24x y =；（2）证明见解析，定点为()2,3. 【分析】（1）根据抛物线的性质即可得到042py =，022py +=，解得即可；（2）设1(B x ，1)y ，2(M x ，2)y ．由题意，可设直线BM 的方程为y kx b =+，由根与系数的关系．得124x x k +=，124x x b =-，再根据A ，P ，B 三点共线，化简整理可得(2)3y k x =-+．即可求出直线BM 过定点． 【解析】（1） 根据题意知，042py =，① 因为||2AF =，所以022py +=．②． 联立①②解的01y =，2p =． 所以E 的方程为24x y =．（2）证明：设1(B x ，1)y ，2(M x ，2)y ．由题意，可设直线BM 的方程为y kx b =+，代入24x y =，得2440x kx b --=．由根与系数的关系．得124x x k +=，124x x b =-．③ 由MP x ⊥轴及点P 在直线3y x =-上，得2(P x ，23)x -，则由A ，P ，B 三点共线，得21214122x kx b x x -+-=--，整理，得1212(k 1)(24)(1)260x x k x b x b ---++--=． 将③代入上式并整理，得1(2)(23)0x k b -+-=．由点B 的任意性，得230k b +-=，所以32(2)3y kx k k x =+-=-+． 即直线BM 恒过定点(2,3)．【点评】 证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.7．（1）证明见解析；（2）直线AB 恒过定点(1,3)．【分析】（1）设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出导数y x '=，由此可得切线斜率，得切线MA 方程()21112x y x x x -=-，同时设(,3)M t t -，代入切线方程并整理，同理得MB 方程，从而可得12,x x 是方程22360x tx t -+-=的两根，利用韦达定理得1212,x x x x +，求出N 点横坐标可证得结论； （2）利用（1）再求得N 点纵坐标，由,A B 两点坐标求得直线AB 的斜率，然后得出直线AB 方程后可得定点坐标．【解析】（1）设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，y x '=，∴切线MA 的斜率为1x ，切线()2111:2x MA y x x x -=-，设(,3)M t t -，则有()211132x t x t x --=-，化简得2112360x tx t -+-=，同理可的2222260x tx t -+-=∴1x ，2x 是方程22360x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，1226x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()22221212121113442N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,3N t t t -+. .()221212121122ABx x k x x t x x -=⋅=+=-， ∴直线()2:3()AB y t t t x t --+=-，即3(1)y t x -=-， ∴直线AB 过定点(1,3).【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，方法是设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点坐标(,3)M t t -，把M 点坐标代入两切线方程得出12,x x 是一元二次方程的根，利用韦达定理得出1212,x x x x +，这样可得中点N 坐标，由中点N 坐标写出直线AB 方程可得定点坐标．是设而不求思想的运用．8．（1）()240y x x =≠；（2）证明见解析，定点为()2,0.【分析】（1）设点(),P x y ，()1,E a -，()1,F b -，由AE AF ⊥可得出4ab =-，由//EP OA ，//FO OP 可得出y a =，y bx =-，代入4ab =-化间可得出动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线l 与曲线C 的方程，列出韦达定理，由4OM ON ⋅=-可求得n 的值，可得出直线l 的方程，进而可得出直线l 所过定点的坐标. 【解析】（1）设(),P x y 、()1,E a -、()1,F b -，则()2,AE a =-，()2,AF b =-，()1,EP x y a =+-，()1,0OA =，()1,FO b =-，(),OP x y =.由AE AF ⊥，得40AE AF ab ⋅=+=，且点E 、F 均不在x 轴上，故4ab =-，且0a ≠，0b ≠. 由//EP OA ，得0y a -=，即y a =. 由//FO OP ，得0bx y +=，即y bx =-.所以24y abx x =-=，所以动点P 的轨迹C 的方程为：()240y x x =≠；（2）若直线l 的斜率为零时，则直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，不合乎题意.可设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠.由24y ty n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty n --=. 设()11,M x y 、()22,N x y ，则124y y t +=，124y y n =-.()21221212124416y y OM ON x x y y y y n n ∴⋅=+=+=-=-，0n ≠，解得2n =，所以，直线l 的方程为2x ty =+，即直线l 恒过定点()2,0.【点评】 直线过定点：根据题中条件确定直线方程y kx m =+中的k 与、所满足的等量关系或等式，然后再代入直线方程，即可确定直线所过定点的坐标9．（1）24y x =；（2）直线AB 经过定点()4,0，证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义可得动点M 满足的轨迹方程C ﹔ （2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k，联立直线与抛物线方程解出交点坐标，进而可得直线AB 的方程，可得直线AB 经过的定点坐标．【解析】（1）由题意易得：点M 到定点()1,0F 的距离等于点M 到直线1x =-的距离由抛物线定义可得：动点M 满足的轨迹方程C 为24y x =．（2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k．联立方程24y kx y x =⎧⎨=⎩可得244(,)A k k ，同理可得：24,4()B k k -．∴()222441414kk k k k k k k+===±-- 直线AB 的方程为224(4)1k y k x k k +=--即2(4)1ky x k =--． 特别的，当1k =或1-时，点A 与点B 的横坐标都是4． 综上可知，直线AB 经过定点()4,0．【点评】 本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线OA 和OB 的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线AB 的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题． 10．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由条件可得542pPF==+，解出即可； （2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得12242kmx x k -+=，由6AF BF +=可得12242242km x m k k kx -+==⇒=-，然后表示出线段AB 的垂直平分线方程可得答案.【解析】（1）由抛物线的焦半径公式可得542pPF ==+，解得2p = 即抛物线C 的方程为24y x =（2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得()222240k x km x m +-+= 所以0k ≠，()2222440km k m ∆=-->，即1km <12242kmx x k -+=因为6AF BF +=，所以1226x x ++=，所以12242242km x m k k kx -+==⇒=- 所以线段AB 的中点坐标为()2,2k m +所以线段AB 的垂直平分线方程为()122x ky k m ---=-， 即()1214124x k m x x k k k k ky +++=+=--=--，所以过定点()4,0 当直线l 的斜率不存在时也满足综上：线段AB 的垂直平分线过定点()4,0【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.11．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【解析】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x =+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即12121122y y x x --+=--，()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =， 所以直线的方程为()21y m x =+， 即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点评】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.12．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2.【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k+，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可.【解析】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y 联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=， 所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k + 同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-， 当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MNkk k k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=-- 即29()12k y x k -=--， 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.。
专题27 二次函数与面积压轴问题(学生版)
专题27二次函数与面积压轴问题【例1】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c +a <0与x 轴分则点A 和点B 1,0，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =−1，且OA =OC ，P 为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形PABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；(3)设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．经典例题【例2】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0),B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM=S△BCP若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022·河南洛阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2−2x+3的图象与x轴交于A，B两点，（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C的坐标；(2)点M为线段AB上一点（点M与点A，点B不重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q的左侧，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM的面积．【例4】（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【例5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A−3,0和点B1,0．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C 在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN 面积的最大值．培优训练1．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．2．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值3．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；(2)在y轴上有一点M（0，73m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．4．（2019·广东河源·校联考一模）如图，已知抛物线的顶点为A1，4，抛物线与y轴交于点B0，3，与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式．(2)求于C、D两点坐标及三角形△BCD的面积．(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标．5．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P m,n0<m<6在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，M是抛物线x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标(3)如图3，连接AC､BC，在抛物线上是否存在点N（不与点A重合），使得∠BCN=∠ACB？若存在求出点N的横坐标，若不存在说明理由8．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．9．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F 为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．10．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线AB交于A(−4,−4)，B(0,4)两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C(0,−1)．(1)求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；(2)点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；(3)设点N是抛物线上一动点，若SΔBDN=32SΔBDO，求点N的坐标．11．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+43x+c与x轴交于点A−3,0，与y轴交于点C0,−2．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1−S2的最大值及此时点D的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线CB M在原抛物线的对称轴上，点N为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．12．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数y=x2+2bx−3b的图象经过点A1,0．(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；(3)在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D−2,−x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）14．（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点E m,0在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF,BF,EF，设△ACF 的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接CD,BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A−1，0和点B3，0，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0<m<3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P 的坐标．16．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−1，0，C0，3．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．17．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴相交于B(−1,0)，C(3,0)两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且S△PBD=S△BDQ，请求出所有满足条件的点P的横坐标．18．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c 与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B(4,−1)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线AB平移25个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．19．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A−2,0、B4,0两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m1<m<4，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，直角三角形的斜边AB在x轴上，直角顶点在y轴正半轴上，已知A−1,0,C0,2，抛物线y=ax2+bx+c a≠0经过点A,B,C．(1)求抛物线的解析式．(2)如图①，点P是y轴右侧抛物线上一动点，若∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．(3)如图②，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PA交BC于点E，交y轴于点F，连接PB．设ΔPBE，ΔCEF的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．21．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝43x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．22．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像交x轴于点A−1,0，B5,0，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD 与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．。
2023中考数学复习-专题27 二次函数(练透)(学生版)
专题27 二次函数1．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）二次函数y ＝x 2﹣2x ，若点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定 2．（2020·武汉市第一初级中学九年级月考）将抛物线22y x =+向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式为（ ）A ．()212y x =-+B ．()212y x =++C ．21y x =+D ．23y x =+． 3．（2022·安徽芜湖·九年级期中）抛物线y ＝(x ﹣1)2+2的顶点坐标是（ ） A ．(1，2) B ．(1，﹣2) C ．(﹣1，2) D ．(﹣1，﹣2) 4．（2022·西藏中考真题）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋2 5．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）抛物线y ＝2x 2与y ＝－2x 2相同的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．有最低点 D ．对称轴是x 轴 7．（2022·广西贺州市·九年级期中）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④5a +c =0；⑤当x ＞-1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．（2022·合肥市第四十五中学）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，若a ＞0，则下列结论错误的是（ ）A ．当x ＞2时，y 随着x 的增大而增大B ．（a ＋c ）2＝b 2C ．若A （x 1，m ）、B （x 2，m ）是抛物线上的两点，当x ＝x 1＋x 2时，y ＝cD ．若方程a （x ＋1）（5﹣x ）＝﹣1的两根为x 1、x 2，且x 1＜x 2，则﹣1＜x 1＜5＜x 2 9．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级期末）已知抛物线y ＝x 2﹣2bx +2b 2﹣4c （其中x 是自变量）经过不同两点A (1﹣b ，m )，B （2b +c ，m ），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．A ．y ＝x +2B ．y ＝﹣x +2C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝2x +1 10．（2022·四川德阳五中）如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y ＝12x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜12 B ．﹣2＜k ＜﹣12 C ．﹣2＜k ＜0 D ．﹣2＜k 2 1二、填空题11．（2022·浙江衢州市·九年级期中）已知二次函数y ＝﹣（x ﹣a ）2＋a ＋2，当a 取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是________．抛物线与y 轴交点为C ，当﹣1≤a ≤2时，C 点经过的路径长为________．12．（2022·北京市陈经纶中学分校九年级月考）已知关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根12,x x ，且122x x <<，则实数m 的取值范围为________．13．（2022·全国九年级专题练习）正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，当BM ＝_______cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为__________cm 2．14．（2022·深圳市新华中学九年级期末）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于(3,1)A --、(0,3)B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++>+的解集是__________．15．（2022·深圳市宝安中学（集团）九年级）抛物线()212y x =--+是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为______． 三、解答题16．（2022·浙江衢州市·九年级期中）已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过A （﹣1，12），B （0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（1，2）．17．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝90°，AO ＝BO ，点A 的坐标为（1-，3）．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线2y ax bx =+经过点A 、B ，求它的解析式．18．（2022·河南省淮滨县第一中学九年级开学考试） 已知二次函数2316y x bx c =-++的图象经过()0,3A ，94,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，求b ，c 的值． 19．（2022·建昌县教师进修学校九年级）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y x =-+经过B ，C 两点，点P 为第一象限内抛物线上一点，射线OP 与线段BC 交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC ，当∠OAC ＋∠ODC ＝180°时，求点P 的坐标；（3）过点B 作BE ⊥x 轴交射线OP 于点E ，当BDE 为等腰三角形时，直接写出点D 的坐标．20．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，用一段长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m ．设AB 长为x m ，矩形的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？21．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180% ．设每包销售价为x 元（x 为正整数）．（1）请直接写出x 的取值范围．（2）设每天的总利润为w 元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？22．（2022·广东深圳·明德学校九年级月考）已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于A (-3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式；（2）D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离最大值时点D 的坐标；（3）M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N 的坐标23．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）如图，抛物线2=-++与y轴相交于点C（0，y x bx c3），与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，A点坐标是（1-，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，线段BC把线段PD分成两条线段，其中一条线段长是另一条线段长的2倍，求P点坐标；（3）如图2，若点E在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
准线上的点到抛物线焦点的距离相等 。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关 系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助 于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方 程，得到一元二次方程， 利用判别式非负求出交点 。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标 ，代入抛物线方程和直线 方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称 性取决于抛物线的对称性 和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时， 交点唯一；当直线与抛物 线相交时，交点可能有两 个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是 抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着 对于抛物线上的任意一点P，其关 于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其 顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完 整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。
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2021年髙考数学二轮复习专项微扌题核心考点突破专题27抛物线1专题综述本专题主要内容包括抛物线的怎义、标准方程及简单的几何性质.纵观近几年的高考试题可知，抛物线的考题有客观题（一般5分），也有解答题（10分或12分或14分或15分），难度中等偏上.其中，客观题中突出考査抛物线的定义、标准方程及英基本性质的应用，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、导数的几何意义等.髙考数学试题（含文科卷和理科卷，其中江苏卷、浙江卷和上海文理合卷）中，与抛物线有关的试题共有11 道，基本上是直线与抛物线的位置的综合问题，或抛物线与其他知识（如椭圆、双曲线等）的交汇问题；考题以抛物线为载体考查了数学抽象、逻借推理、直观想象和数学运算等数学素养，考査了数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力.2范例赏析2.1抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质抛物线的立义是解决抛物线问题的基础•它将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化•因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的圧义转化为点到准线的距离，以简化运算.解决圆锥曲线问题的主要方法是坐标法，即建立平而直角坐标系，解决几何问题•通过建立坐标系，根据抛物线的左义，可得抛物线的标准方程•求抛物线的标准方程时要“先左位，后泄量二所谓“立位"就是确左抛物线焦点所在的坐标轴是X轴还是y轴、是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式：所谓“立量" 就是根据题目的条件求岀方程中参数P的值，从而得到抛物线的标准方程.有了抛物线的方程，则可以利用代数的方法研究抛物线的几何性质（如范用、对称性、顶点、焦半径公式等）. 例1已知F是抛物线C:/=8x的焦点N是C上一点,的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则用VI二2.2直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位宜关系问题是解析几何的核心内容之一，是高考考查的热点•由于此类问题不仅涉及几何知识，也涉及代数知识，综合性强，对学生能力要求较髙.从几何角度来看，直线与抛物线的公共点个数有三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点•从代数角度看，联立直线和抛物线的方程构成的方程组的解的个数分別为0个、1个和2个•因此直线与抛物线的位置关系的研究方法可通过代数法（即解方程组）来研究，因为方程组解的个数和交点个数是一致的•但需要注意的是，与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线有且只有一个公共点，但并不是相切，而是相交.直线与抛物线的位置关系的综合问题主要有以下几类:①直线与抛物线的公共点个数问题，应注意数形结合: ②弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决：③垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算：④抛物线的切线问题，应结合导数的几何意义或联立方程消元后利用判别式处理.例2设A, B为曲线C：y = Y上两点，A与B的横坐标之和为4.（/）求直线的斜率；（II ）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM丄BM,求直线AB的方程.2.3抛物线的焦点弦问题任抛物线的所有相交弦中，有一类比较特殊，那就是过焦点的弦，我们称之为抛物线的焦点弦.一般地，若AB是抛物线）鼻2“如＞0）的焦点弦，设人厲必）,3（乞莎），则可以证明以下的结论:①y诜=-卩让民二号, ②|曲| =心+心+ p = 磊&为直线AB的倾斜角）：賂十盘为泄值誇以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；⑤以AF或BF 为直径的圆与y轴相切.例3已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线h，h，直线h与C交于A, B两点，直线b 与C交于D E两点，贝IJL4BI+DEI的最小值为（）A.16B.14C.12 D102.4与抛物线有关的最值或范围问题解决与抛物线有关的范弗I或最值问题主要有两种方法:一是建立关于目标的函数式，进而转化为函数的值域或最值问题处理，再利用求函数最值的方法（如导数、基本不等式等）解决，其关键在于合理引入变元（如斜率、点的坐标），难点在于选择合适的方法求范囤或最值；二是建立关于目标的不等式，通过解不等式获得变量的范围或最值.例4如图，已知抛物线宀y,点4（-^ 0,日（弭），抛物线上的点P（x, y）（—g＜戈＜》•过点B作直线AP 的垂线，垂足为0(/)求直线AP斜率的取值范用；(II)求円|・『Q|的最大值.3复习建议复习不是简单的重复，研究复习课教什么、怎么教以及为什么这样教，对于高三复习有着至关重要的作用. 如何在有限的时间内取得较好的成效，笔者给出如下的复习建议.3.1回归教材，夯实基础，适当变式教材中的习题大多蕴含着丰富的背景.事实上，很多髙考试题来源于教材，因此以教材为素材组织髙考复习是提高学生成绩的有效途径.高三复习阶段要以教材为主，充分发挥其导向作用，既让学生跳出题海，又利于学生巩固基础知识，掌握基本方法，深化数学的本质，激发学生的问题意识，培养学生的核心素养•教师应在深入研究教材的基础上充分理解教材的编写意图，在教学中创设问题链情境，通过对问题进行变式探究，探索问题的引申、推广和拓展，开展髙考复习中的数学研究性学习，培养学生举一反三的能力.3.2突出通法，优化解法，规范解题对于高查的抛物线的热点问题，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固立，教师要以教材例题为模板，以教材习题为模型，淡化解题技巧教学，强调通性通法，规范学生解题步骤，能做出合理的算法途径设il•，培养学生严谨推理的数学思维：训练学生基本问题运算过关，突破“想得出，算不出、算不对“ 的瓶颈•解析几何中的运算是教学的重点和难点，教学应重视训练学生的数学运算能力，注重解题优化的意识.3.3渗透思想，培养素养，提升能力抛物线与其相关问题的解决，往往蕴含着丰富的思想方法，如数形结合、转化与化归(几何条件与代数运算的转化、一般与特殊的转化、函数与方程的相互转化等)函数与方程等数学思想•思想方法的理解是知识运用的翅膀，是知识转化为能力的桥梁•在抛物线的复习教学中，通过几何与代数的转化(数与形的转化)培养学生直观想象素养，通过与抛物线有关的证明问题培养学生逻辑推理素养，通过解析几何中的运算训练培养学生数学运算素养•在复习教学过程中，要注重对思想方法内涵、操作程序的渗透和强化，提升学生运用知识解决问题的能力.1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了 "勾股泄理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2p x的焦点，1是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线1于点C, 若Rt^ABC 的“勾” |AB| = 3、“股” |C3| = 3JJ,则抛物线方程为（）.A. y~ = 2xB. y2 = 3xC. y1 =4xD. y2 = 6x2.过抛物线y2=2/zv（/?>0）的焦点F且斜率大于0的直线/交抛物线于点A,B（点A位于第一象限），交其准线于点C,若\BC\ = 3\BF\,且鬥=3,则直线A3的方程为（）A. 2>/2x-y-2y/2=0B.屈-），-2迈=0C. 2屈-y-V? = OD. y/2x-y->/2=03.如图所示点F是抛物线y2 = 8x的焦点，点A、3分别在抛物线y2 = 8x及圆（x-2）2 + r = 16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则03的周长的取值范囤是（）A. (6,10)B. (8,12)C. [6,8]D. [6,12]4.已知抛物线C:y2 = 16x,焦点为F,直线/:x = -l,点A*线段AF与抛物线C的交点为瓦若\FA\=5\FB\t贝iJIE4l=()B. 35 D. 40A. 6>j2A. 1 D.物线的准线的RI的取值范围为5.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,经过点F的直线交E于A, B两点，交/于C点，若\AF\ c \CB\------- =3 ,则------- =( )\FB\I BF I3 4A. 2 B・ 3 C. 一 D. 一2 36.抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线为I,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A, AK丄/,垂足为K,则AAKF的而积是()A. 4B. 3羽C. 4血D. 87.如图圆锥P0,轴截而用B是边长为2的等边三角形，过底而圆心0作平行于母线用的平面，与圆锥侧面的交线是以£为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为()&如图,在底而半径和髙均为血的圆锥中，AB.CD是底而圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点.已知过CD与E的平而与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于()9.已知抛物线』2"(“>0)的焦点为化抛物线上的两个动点A.B始终满足ZAFB=60Q9过弦AB的中点H作抛2 4A. (0.週］3 B.出、+8)3A.充分不必要条件B.必要不充分条件OSJ是“抛物线y"的焦点与与双曲线「宀的焦点重合”的（）2 211.已知双曲线■一孝=1@>0">0）与抛物线y2 = 4x有一个公共的焦点八且两曲线的一个交点为p・cr若|PF| = |,则双曲线的渐近线方程为（）A.『=±丄兀B. y = ±2x c. y = ±y/3x212.抛物线y2 =4x的焦点为F,点P（x, y）为该抛物线上的动点，又点A（-l,0）,则駕的最小值是（）13.已知抛物线C： y2=2/zr（/7>0）的焦点F,点Mg,6荷* >彳]是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x = g交于A、B两点（A在B的上方），若sinZM" 弓，则抛物线C的方程为（）A. y2 = 4.vB. y1 = 8xC. y2 =12xD. y2 = 16x14.已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，准线与％轴的交点为K，P为抛物线C上一点，且P在第一象\PF\限，当厢取得最小值时，点P的坐标为（）A. [-,5/2]B. （1,2）C.（2,25/2）D. （4,4）12 ）15.设抛物线y2 = 2x的焦点为F ,过点的直线与抛物线相交于A , B两点，与抛物线的S准线相交于点c , \BF\ = 2 ,则"CF与的而积之比严•等于（）U\CF3线相交于点N,若嬲,则”的值等于____________17.已知抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线与*轴的交点为K，点P是抛物线上一点，则\PF\\PK\的最小值16.已知点A（0,2）,抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为射线E4与抛物线C相交于点M，与其准为__________ ・218.__________________________________________________________ 若抛物线/ = 2px的焦点与椭圆y+y2 = 1的右焦点重合，则" _____________________________________________19.已知P是抛物线y2 = 4x上的动点，点P在轴上的射影是M,点A的坐标为（2,3）,则的最小值是__________ .20.已知抛物线C的顶点在平而直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（l,3）,则其焦点到准线的距离为________ •21.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于AB两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4>/2f\DE\ = 2y/5.则C的焦点到准线的距离为________ .22.抛物线x2 = y ±一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为 _____________ •23.设抛物线y2 = 4x的焦点为F，过F的直线/交抛物线于A,B两点，过A3的中点M作）'轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF| = |,则直线/的方程为_________________ •24.抛物线C的顶点为原点O,焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为壬的直线/交抛物线于点A,B,4若力3中点的横坐标为3,则抛物线C的方程为_______________25.已知抛物线b = 2px（p > 0）上一点M（1"）到其焦点F的距离为5,该抛物线的顶点到直线MF的距离为d,则d的值为_______ .26.已知直线x = 2p与抛物线C：y2= 2px（p>0）交于尸，0两点，且APOQ的而积为16 （O为坐标原点）. （1）求C的方程；（2）直线/经过C的焦点F且/不与x轴垂直，与C交于A，3两点，若线段A3的垂直平分线与*轴交于点D，证明：溜为定值.\DF\27.已知抛物线C :y1 2 = 2px（p〉0）的焦点为F,点P为抛物线C上一点，I PF 1= 4, 0为坐标原点,ZOFP = 120°・（1）求抛物线C的方程；（2）设0为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于两点记, 2AB1 1的而积分别为S|, S一求丁-w的取值范围.d2 d i28.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A, B, \AB\ 的最小值为4.（1）求抛物线C的方程；（2）已知P,。