专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线几何性质优秀课件
2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的 距离为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ‖AB‖=4，则直线AB 的 方程为______. 4.一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m， 求拱形的抛物线方程 .
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线； 它没有中心，也没有渐近线．
再见 再见
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
（2）对称性 以 y 代 y，方程不变，所以抛物线关于 x轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
y
O
F
x
y
F
O
x
y
F
O
x
y
o
F
x
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质 有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸， 但没有渐近线；
2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定3）抛物线只有一个顶点、 的，为1． 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大 而椭圆、双曲线由e决定
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有
抛物线的定义课件
工程技术中的应用
抛物线型弹道
在军事和民用领域，抛物线型弹 道是一种常见的弹道形式。通过 计算和调整弹丸的初速度和发射 角度，可以实现精确打击和有效
射程。
抛物ห้องสมุดไป่ตู้型天线
在通信和广播领域，抛物线型天 线是一种常见的天线形式。它具 有定向性好、增益高等优点，被 广泛应用于卫星通信、微波通信
等领域。
抛物线型喷嘴
对称性表现
抛物线关于其对称轴对称，即对于任意一点P(x,y)在抛物线上，其关于对称轴的 对称点P'也在抛物线上。
顶点位置
1 2
顶点坐标
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其顶点坐标 为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其顶点为原点(0,0)。
02
抛物线图像特点
开口方向与宽度
开口方向
抛物线开口方向由二次项系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
宽度
抛物线的宽度与二次项系数的绝对值|a|有关。|a|越大，抛物线越窄；|a|越小， 抛物线越宽。
对称性
对称轴
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其对称轴为x=-b/2a。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其对称轴为y轴。
根据题目条件，设定一个 包含待定系数的抛物线方 程。
代入已知条件
将题目中给出的已知条件 代入设定的抛物线方程， 解出待定系数。
求解问题
利用解出的待定系数，进 一步求解与抛物线相关的 问题。
数形结合法
绘制图形
根据题目条件，绘制出抛 物线的图形，标注出关键 点和线。
超详细抛物线知识点归纳总结
超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。
在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。
下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。
准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。
2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。
3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。
通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。
4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。
焦点形式可以直接得到焦点坐标。
5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。
准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。
6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。
焦距是焦点到准线的垂直距离。
7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。
8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
切线的斜率等于该点处的导数。
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。
9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。
直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。
10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。
11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。
即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。
抛物线PPT课件
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程；
（1）焦点是（3，0）； y2=12x
（2）准线方程是x= - ¼； y2=x
（3）焦点到准线的距离是2；y2=4x y2=-4x x2=4y
图形
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
( p ,0) 2
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2Байду номын сангаас
第4页/共18页
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2
第6页/共18页
第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴上。！
第二：一次的系数决定了开口方向
求它的标准方程
y p
1、由已知确定开口方向及方程形式
2
2、求出p值
(0， p )
解:
2
因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 x2 2 py
且 p 2 p 4 所以抛2物线的标准方程是: x2 2 py 8y
第9页/共18页
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
抛物线的简单几何性质 课件
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
初三数学抛物线知识点
初三数学抛物线知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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专题九 解析几何第二十七讲 双曲线
11．(2016
全国
II)已知 F1 , F2 是双曲线 E
： x2 a2
−
y2 b2
= 1 的左、右焦点，点 M
在E
上，MF1 与
x 轴垂直， sin MF2F1 = 1 ,则 E 的离心率为
A． 2
B． 3 2
C． 3
D．2
12．（2015 四川）过双曲线 x2 − y2 = 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐 3
D． 5
5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是
A． 2
2
C． 2
B．1 D．2
6. （ 2019 天 津 理 5 ） 已 知 抛 物 线 y2 = 4x 的 焦 点 为 F ， 准 线 为 l ， 若 l 与 双 曲 线
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB |= 4 | OF | （ O 为
离心率为____________．
4.（2019
年全国
II 理 11）设 F 为双曲线
C： x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点，O 为坐标
原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2 + y2 = a2 交于 P，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率
为
A． 2
B． 3
C．2
C． x2 − y2 = 1 D． x2 − y2 = 1
48
84
9．(2016
天津)已知双曲线
x2 4
−
y2 b2
=1(b
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21专题九 解析几何第二十七讲 抛物线2019 年x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆+ y =1的一个焦点，则 3 p pp = A ．2 B ．3 C ．4D ．82.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S（2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标.S 23.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切2线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点：5（2）若以 E (0， 2)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.1.解析（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫,A (x , y )，则 x 2 = 2 y .2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭22 5 y2 1由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1+ 1 2= x，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.设B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1所以直线AB 过定点(0, ) .2x 1 - t（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1.2⎧y = tx + 1⎪⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x⎪⎩ 2 2 ，可得 x 2- 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2+1 .121212设M 为线段AB 的中点，则M ⎛ t , t 2 + 1 ⎫. 2 ⎪ ⎝ ⎭由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (t , t 2- 2)， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 .解得 t =0或t = ±1.当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭⎛= 4 ；5 ⎫2当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ⎪ ⎝ ⎭= 2 .2010-2018 年一、选择题1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2= 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为A ．B ． 2C ． 2D ． 3 3 2 3 323 3 9 3 2 2．（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，曲线 y = k（k >0）与 C 交于点 P ，xPF ⊥x 轴，则 k =A ． 12B ．1C ． 32D ．23．（2015 陕西）已知抛物线 y 2= 2 px ( p > 0 )的准线经过点(-1,1) ，则该抛物线的焦点坐标为 A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)4．（2015 四川）设直线l 与抛物线 y 2= 4x 相交于 A , B 两点，与圆(x - 5)2+ y 2= r 2(r > 0)相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线l 恰有 4 条，则r 的取值范围是 A ． (1，3) B ． (1，4) C ． (2，3) D ． (2，4)5．（2014 新课标 1）已知抛物线C ： y 2= 8x 的焦点为 F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个焦点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =A ． 72B ． 52C ．3D ．26．（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C ：y 2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交C 于A ,B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为A ． 4B ． 8C ．63 32D ．9 47．（2014 辽宁）已知点 A (-2, 3) 在抛物线 C ： y 2= 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 A ． 12B ． 23 C ． 34 D ． 438．（2013 新课标 1） O 为坐标原点， F 为抛物线C : y 2= 4 2x 的焦点， P 为C 上一点，若| PF |= 4 ，则∆POF 的面积为A ． 2B ． 2C ． 2D ． 49．（2013 江西）已知点 A (2, 0) ，抛物线C : x 2 = 4 y 的焦点为 F ，射线 F A 与抛物线 C 相交于点 M ，与其准线相交于点 N ，则|F M|：|MN |=2322A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:310．（2012 新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A 、 B 两点， | AB |= 4 ，则C 的实轴长为A ．B ． 2C ．4D ．8x2-y2=>>11 ．（ 2012 ft 东） 已知双曲线 C 1 ： a 2b 21(a 0,b 0) 的离心率为 2 ． 若抛物线 C : x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为21 2A ． x 2 = 8 3 y 3B ． x 2 = 16 3yC ． x 2 = 8 yD ．x 2 = 16 y 312．（2011 新课标）已知直线l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ，B 两点， | AB |= 12 ， P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48二、填空题13．(2018 北京)已知直线l 过点(1, 0) 且垂直于 x 轴，若l 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．14．（2015 陕西）若抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2- y 2= 1的一个焦点，则p =15．（2014 湖南）如图，正方形 ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a , b (a < b ) ，原点O为 AD 的中点，抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 经过C , F 两点，则b=．a16．（2013 北京）若抛物线 y 2= 2 px 的焦点坐标为(1, 0) ，则 p =，准线方程为 ．17．（2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽米．55 3x18．（2010 浙江）设抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，点 A (0, 2) ．若线段 FA 的中点 B在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为．三、解答题19．（2018 全国卷Ⅱ）设抛物线C ：y 2= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．(1)求l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．（2018 浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C ： y 2= 4x 上存在不同的两点 A ， B 满足 PA ， PB 的中点均在C 上．(1)设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；2y 2 (2)若 P 是半椭圆 x += 1( x < 0 )上的动点，求∆PAB 面积的取值范围．4221．（2017 新课标Ⅰ）设 A ， B 为曲线C ： y = 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4． 4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥ BM ，求直线AB 的方程．22．（2017 浙江）如图，已知抛物线 x 2= y ．点 A (- 1 , 1) 2 4 3 9 ， B ( , ) 2 4，抛物线上的点yAPMxOB1 2P (x , y ) (- 1 < x < 3) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q ．2 2x（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求| PA | ⋅ | PQ | 的最大值．23．（2016 年全国 I 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线l ： y = t (t ≠ 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线C ：y 2= 2 px ( p > 0) 于点 P ，M 关于点 P 的对称点为 N ，连结ON 并延长交C 于点 H ．| OH | （I ）求；| ON |（II ）除 H 以外，直线 MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．24．（2016 年全国 III 卷）已知抛物线C ：y 2= 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线l , l分别交C 于 A ，B 两点，交C 的准线于 P ，Q 两点．（I ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR P FQ ； （II ）若∆PQF 的面积是∆ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．25．（2016 年浙江）如图，设抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于| AF | -1 ． （I ）求 p 的值；（II ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ，AN 与 x 轴交于点 M .求 M 的横坐标的取值范围．26．（2015 浙江）如图，已知抛物线C ：y = 1x 2，圆C ：x 2+ ( y -1)2= 1，过点 P (t ,0) (t >0)142作不过原点O 的直线 PA ， PB 分别与抛物线C 1 和圆C 2 相切， A , B 为切点．（Ⅰ）求点 A , B 的坐标；（Ⅱ）求∆PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．27．（2015 福建）已知点 F 为抛物线E : y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点，点 A (2, m ) 在抛物线E 上，且 ΑF = 3 ．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G (-1, 0)，延长 ΑF 交抛物线E 于点 Β ，证明：以点 F 为圆心且与直线GΑ 相切的圆，必与直线GΒ 相切．28．（2014 ft 东）已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p ＞0）的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA =当点A 的横坐标为3 时，∆ADF 为正三角形。