立体几何空间距离问题

空间距离问题

(专注高三数学辅导:QQ1550869062)

空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.

●难点磁场

(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点.

求：(1)Q到BD的距离；

(2)P到平面BQD的距离.

P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图)

(1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角

（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究

［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：

(1)EF 的长；

(2)折起后∠EOF 的大小.

命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.

知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直.

技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为

原点，以、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单.

解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4

2

a , a ),F (

42a , 4

2

a ,0) 21|

|||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)

0,4

2

,42(),42,42,0()2(23

,43)420()4242()042(||)1(2

2222-=>=<==

-

=?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a

∴∠EOF =120°

［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.

命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1

的距离，这主要是对异面

直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.

技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.

解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.

连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D

∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C

∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.

在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 2

6

∴O 1G =

331111=?OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为3

3

.

解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，

∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，

∴MR =x ,RN =NB 1=

)1(2

2

x - 3

1

)31(23)1(2

1

22222+-=

-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为3

3.

●锦囊妙计

空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.

(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.

在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.

求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.

求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面

的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为2

1

，那么点M 到直线EF 的距离为( )

2

1 D. 23C. B.1 22A.

2.(★★★★)三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )

A.10

B.11

C.2.6

D.2.4

二、填空题

3.(★★★★)如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.

4.(★★★★)如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C 的度数为

30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________.

三、解答题

5.(★★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：

(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；

(2)求(1)中两个平行平面间的距离；

(3)求点B1到平面A1BC1的距离.

6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱

D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为

45°,AB=a,求：

(1)截面EAC的面积；

(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；

(3)三棱锥B1—EAC的体积.

7.(★★★★)如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.

(1)求点A到平面B1BCC1的距离；

(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.

8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2

π,AB = 31

AD =a ,

∠ADC =arccos

55

2

,P A ⊥面ABCD 且P A =a .

(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；

(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为3

6.

参考答案 难点磁场

解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =

2

2

b

a a

b +

在Rt △QAE 中，QA =2

1P A =c

∴QE =222

22

b

a b a c ++

∴Q 到BD 距离为222

22

b

a b a c ++.

(2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足

∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离.

在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =

2

2

b

a a

b +

∴AH =2

22

2

2

)(b

a c

b a ab

c ++

∴P 到平面BD 的距离为2

22

2

2

)(b

a c

b a ab

c ++

解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由 V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =3

1S △ABD ·AQ h =2

22

2

2

)(b

a c

b a ab

c S AQ

S BQD

ABD ++=

=???

歼灭难点训练

一、1.解析：过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC

∴BM ′为∠EBC 为角平分线， ∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =2

2 答案：A

2.解析：交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =

5

12,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513

=2.6

答案：C

二、3.解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =2

2

a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的

长为

P 、Q

两点间的最短距离，在

Rt △APQ 中，

PQ =2

2

)2()23(

2222=-=-a a AP AQ a 答案：

2

2a

4.解析：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD .

∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2

a

. 答案：2

a

三、5.(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1

(2)解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=

65

2,则sin A 1BC 1=

65

61,

则S 111C B A ?=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则3

1

S 11BC A ?·d =)2

1(31111D C AD ?·BB 1,代入

求得d =616112,即两平行平面间的距离为61

61

12.

(3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于

61

61

12. 6.解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45° 又DO =

22a ，AC =2a ，EO =?

45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a

(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =2

3

a

3

24

22322311a a a V EAC B =??=-

7.解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a

∴A 1E =

22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =2

2a 同理A 1F =2

2

a ,又EF =a

∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°

过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =2

2

1a =

又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2

a ∴a =2，∴所求距离为2

(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.

∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1

得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件. 8.解：(1)∵BC ∥AD ,BC ?面PBC ,∴AD ∥面PBC

从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求. 在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =

2

2a

(2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =55

2 ∴tan ADC =2

1,即CM =2

1DM

∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =3

6 下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF

取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°

∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F .

［学法指导］

立体几何中的策略思想及方法

近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.

一、领悟解题的基本策略思想

高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.

二、探寻立体几何图形中的基面

立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.

三、重视模型在解题中的应用

学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解.