5蒙特卡洛方法模拟期权定价
期权定价的蒙特卡罗模拟方法精选 课件
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计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]erT 7.000053 e0.11 6.27 用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
从 S0开始模拟得 ST Sn
CT max{ST SX ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
(3)计算 E[CT ]或 E[PT ]及期权的价格.
4). 注意事项
A. 模拟次数和计算精度之间的考量。 理论上的要求，在模拟时，时段的长度 应小，模拟次数应尽可能的多，以便使 所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价 格的真实分布，这会大大增加模拟的计 算工作量。
2). 基本过程
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
设一年有250个工作日，将其分为250
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蒙特卡洛期权定价方法
第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。
蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。
它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。
蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。
多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。
利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。
本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。
这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。
需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。
在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。
如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。
很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。
如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。
尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。
蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。
在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。
在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。
在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。
在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。
蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用
=
1 σ
St 1 ln X + r − q + 2 σ τ
2
τ
d 2 = d1 − σ τ ；N(χ)是标准正态变量的累 ,
积分布函数，即 N ( x ) = P ( X ≤ x )， 其中X ~ N (0,1)。 计算所用参数包括：S0=20，X=20， r=5%，q=8%，σ=25%，T=2，模拟次数 tsim=10000。通过式（2）和以上参数 值，可得到欧式看涨期权价格的解析解 c0=1.9734。下表给出了三种模拟所得的 计算结果及误差。
总第322期■西南金融
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观察思考 OBSERVER
券价格进行模拟估计，得到了比直接模 拟更小的估计方差。同时，根据KoksmaHlawka定理可知，这种模拟结果具有一 个确定的误差边界。Paskov（1995）使 用Sobol、Fature和Haoton三种序列对 低押债券的价格进行了模拟估计，结果 表明，这三种序列的使用都改进了模拟 估计的效率。Sobol序列的应用效果最明 显。但是使用低偏差率序列存在以下几 个主要问题：首先，模拟估计的方差难 以确定。虽然Koksma-Hlawka定理及其修 正定理能够确定这种模拟估计的误差边 界，但是在许多情况下，得到的实际模 拟误差往往要比这一边界低得多，从而 使得确定的边界失去了意义。其次，在 处理高维数问题时，很可能会出现效率 降低的情况。 （三）随机化的拟蒙特卡罗模拟技术 这种技术是在综合蒙特卡罗模拟与 拟蒙特卡罗模拟优点的基础上发展起来 的一种复合模拟技术。体现这一思想较 早的研究工作主要有Cranley（1976）提 出的所谓的“好格子点”方法、Braaten （1979）提出的随机攀登的Halton序列 和Joe（1990）提出的随机化一般的格子 点方法等等。近几年来，这种技术又有 了新的发展，最主要的有Owen（1997） 提出的基于攀登的(t、m、s)网与(t、s) 序列的随机模拟技术。 罗模拟。常见的转换法有Box-Muller算 法、Moro算法（1995）等。Moro算法 较Box-Muller算法更快捷，而且最大 的误差为3×10 。Moro算法对于满足 10 10≤N(x)≤1-10 10的正态分布函数有相 当高的精确度。 为了比较拟蒙特卡罗模拟和蒙特卡 罗模拟的优劣，下面以欧式看涨期权定 价为例，比较了几种模拟的计算结果。 三种模拟的特点如下：（1）MC+NormInv （基于普通蒙特卡罗序列和标准正态分 布的分布函数的反函数），实现从[0,1] 均匀分布到标准正态分布的转换；（2） MC+Moro（基于普通蒙特卡罗序列和Moro 算法），实现从[0,1]均匀分布（随机 序列）到标准正态分布的转换；（3） QMC+Moro（基于Halton序列和Moro算 法），实现从Halton序列到标准正态分 布的转换。 设S1为期权定价日标的股价；X为买 权合同执行价格；r为连续复利计算的 无风险利率；q为连续复利计算的股票 红利率；T为到期日；t为当前定价日； t=T-1为定价日到到期日的时间（单位： 年）；σ为标的股价波动率。并且有标 的股票价格S1服从对数正态分布，即： (1) 2
关于期权定价的几种方法
金融天地307关于期权定价的几种方法张太安 山东科技大学摘要：期权是一种选择权，作为衍生金融工具的一种，期权的买方能够获得的收益是无限的，而期权卖方的损失也是无限的，既然期权定价有如此特点，那么怎样对期权进行定价才能够对买卖双方更加的合理呢？期权定价问题由此产生。
在现代金融理论中期权定价已成为其重要的组成部分，关于期权定价的研究成果也层出不穷。
目前有关期权定价的方法主要有三大类分别是：1.传统期权定价方法；2.Black-Scholes 期权定价方法；3.蒙特卡罗模拟方法。
文章就这三种方法进行阐述，以此来让我们更好地了解期权定价方法发展的过程。
关键词：期权；期权定价中图分类号：F830 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)022-0307-01一、传统期权定价方法法国的巴舍利耶在他的博士论文“投机理论”中，对Brown 运动进行了首次数学描述，这是关于期权定价模型的最早的描述，首先他假设股票价格满足布朗运动标准布朗运动，那么他得到了下面的方程：x,期权的执行价格是k,标准正态分布函数用来表示,标准正态分布的密度函数用表示，该方程可以求出看涨期权的价格。
二、Black-Scholes 期权定价方法1970年初，Fish Black 和Myron Scholes 取得了一个爆炸性的研究成果，他们发现无红利支付股票的任何衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解并由此得到了欧式看涨与看跌期权的价格，该理论被看做是期权定价史上的丰碑，为此scholes 和后来为该方程做出重大贡献的 r.meton 共同获得了1997年的若贝尔经济学奖。
在推导Black-Scholes 微分方程中用到的基本假设有：①股票的价格服从对数正态分布；②卖空的衍生证券是被允许全部使用的；③交易过程中不存在任何费用，所有证券都是相互独立的；④在衍生证券到期以前不进行红利支付；⑤在这个过程中不存在套利的机会；⑥整个交易过程是不间断的；⑦无风险利率被看作是一个常数，且对所有到期日都相同。
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
基于蒙特卡洛方法的期权定价模型研究
基于蒙特卡洛方法的期权定价模型研究在金融市场中，期权的定价一直是一个广受关注的问题。
传统的期权定价方法，例如Black-Scholes模型，是基于对未来股票价格的预测以及等价套利原理的假设。
然而，在实际的市场中，股票价格的波动性往往是一个无法预测的随机过程。
为了更准确地预测期权的价格，基于蒙特卡洛方法的期权定价模型被提出。
蒙特卡洛方法是一种基于大量随机模拟的计算方法。
在期权定价问题中，蒙特卡洛方法可以通过大量模拟随机股票价格的变化来估计期权的价格。
其原理是，通过对未来股票价格的大量模拟，计算出每一种价格变化的可能性以及其对应的收益，再通过加权平均来估计期权的价格。
具体来说，基于蒙特卡洛方法的期权定价模型可以分为以下几个步骤：第一步，随机模拟股票价格的变化。
在这一步中，需要确定股票价格的随机变化过程，通常使用黑-斯科尔斯模型或几何布朗运动模型进行模拟。
第二步，计算期权的收益。
通过对股票价格变化的每个模拟结果进行计算，得出期权的每个模拟结果下的收益。
第三步，对所有模拟结果的收益进行加权平均，并折现到现在的价值。
这一步需要考虑到期权的时间价值和无风险利率等因素。
第四步，通过加权平均后的结果得出期权的估计价格。
基于蒙特卡洛方法的期权定价模型相比传统模型，具有更强的灵活性和准确性。
通过蒙特卡洛方法，可以模拟出股票价格任何可能的变化，并计算出每一种变化下的期权收益。
这一点在预测波动性较大的市场中尤为重要。
当然，基于蒙特卡洛方法的期权定价模型也存在一些局限性。
首先，随机模拟的数量越多，计算量就越大，所需的计算资源也越多。
其次，模型所依据的股票价格随机变化过程可能与实际情况存在一定的差异，这会对模型的准确性造成一定的影响。
最后，这种模型并不能完全避免市场风险的影响，因此投资者在决策时仍需谨慎。
总之，基于蒙特卡洛方法的期权定价模型是一个重要的工具，可以帮助投资者更准确地预测期权价格，并在期权投资中做出更明智的决策。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
期权定价的三种方法
期权定价的三种方法期权是一种权利，持有者有权买卖证券或商品的特定数量。
期权的定价对投资者来说至关重要，因为它决定了期权的价值。
为了定价期权，投资者需要先了解市场和期权的各种因素，然后选择一种有效的定价方法。
本文将介绍期权定价的三种方法，分别是Black-Scholes 模型、蒙特卡罗模拟法和实际条件定价法。
Black-Scholes模型是一种简单而有效的期权定价模型，由美国经济学家贝克-施罗斯和美国数学家史蒂文-黑格森于1973年提出。
Black-Scholes模型假设期权价格受到无风险利率、资产价格、波动率和时间等因素的影响，通过分析复杂的概率函数实现定价。
Black-Scholes模型以期权价值收益率为基准，以确定期权价格是否有利于投资者。
另一种期权定价方法是蒙特卡罗模拟法，它能够模拟出异常动态市场中期权价格的情况。
蒙特卡罗模拟法可以预测风险事件如何影响期权价格，并计算不同投资决策下期权价格的变化。
它根据投资者的投资组合来确定抗风险性，以提供可靠的期权定价评估结果。
最后一种期权定价方法是实际条件定价法，它是基于真实的市场数据定价的。
实际条件定价法主要考虑的因素包括期权的行使价格、期权期限、可买入或卖出的股票价格等。
它可以考虑期权的复杂性，从而帮助投资者做出更精确的定价决策。
总之，期权定价方法有Black-Scholes模型、蒙特卡罗模拟法和实际条件定价法。
期权投资者可以根据他们对期权的理解以及对市场变化的看法，来灵活使用这些方法，以进行有效的期权定价。
期权定价是一个有挑战性的过程，但是把握住期权定价的技巧可以帮助投资者实现更好的投资回报。
许多期权定价模型都是针对特定市场环境的，所以投资者在使用期权定价方法时，需要充分考虑当前市场环境中的多种因素，以确保最优的定价结果。
此外，投资者也需要定期更新期权定价模型，以便于更好地捕捉新的变化并且按照新的变化作出有效的期权定价决定。
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材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价利用风险中性的方法计算期权定价：ˆ()rt Tf e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，ˆE是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动：dS Sdt sdW μσ=+则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：20exp[()]2T S S r T σ=-+对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下：2(/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+-其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。
对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。
例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。
下面用MA TLAB 编写一个子程序进行计算：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)%蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格%输入参数%s0 股票价格%K 执行价%r 无风险利率%T 期权的到期日%sigma 股票波动标准差%Nu 模拟的次数%输出参数%eucall 欧式看涨期权价格%varprice 模拟期权价格的方差%ci 95%概率保证的期权价格区间randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0,%这样保证每次模拟的结果相同nuT=(r-0.5*sigma^2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K)%期权到期时的现金流[eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff)%在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期内有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。
当障碍值b S 高于现在资产价格0S ，称上涨期权，反之称下跌期权。
对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。
因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。
对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。
因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。
对于下跌敲入看跌期权，该期权首先是看跌期权，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前何时生效的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权开始生效。
当障碍值b S 确定时，障碍期权存在解：4275{()()[()()]}rT P Ke N d N d a N d N d -=--- 03186{()()[()()]}S N d N d b N d N d ----其中 212/0()r b S a S σ-+=， 212/0()r b S b S σ+=， 21d =2d=2d=2d=2d=2d=22d=22d=利用上述公式编写下跌敲出障碍期权价格程序：function P=DownOutPut(S0,K,r,T,sigma,Sb)a=(Sb/S0)^(-1+2*r/sigma^2)b=(Sb/S0)^(1+2*r/sigma^2)d1=(log(Sb/K)+(r+sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d2=(log(Sb/K)+(r-sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d3=(log(S0/Sb)+(r-sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d4=(log(S0/Sb)+(r+sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d5=(log(S0/Sb)-(r-sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d6=(log(S0/Sb)-(r+sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d7=(log(S0*K/Sb^2)-(r-sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))d8=(log(S0*K/Sb^2)-(r+sigma^2/2*T))/(sigma*sqrt(T))P=K*exp(-r*T)*(normcdf(d4)-normcdf(d2)-a*(normcdf(d7)-normcdf(d5))) -S0*(normcdf(d3)-normcdf(d1)-b*(normcdf(d8)-normcdf(d6)))例2 同例1，运行：P=DownOutPut(50,50,0.1,5/12,0.4,40)P=4.0936利用蒙特卡洛方法模拟下跌敲出障碍期权价格程序：S，其现金在模拟中我们给出模拟次数Nrepl，每次模拟时间分为Nsteps，障碍值为bS时，CashFlow=0流如下：当St小于b我们可以先模拟路径，然后让大于b S 路径的现金流为0，程序如下：function [P,aux,ci]=DOPutMC(S0,K,r,T,sigma,Sb,NSteps,NRepl) NSteps 每次离散时间数目NRepl 模拟次数%模拟股价路径dt=T/NStepsnudt=(r-0.5*sigma^2)*dtsidt=sigma*sqrt(dt)randn('seed',0)rand=randn(NRepl,NSteps)rand1=nudt+sidt*randrand2=cumsum(rand1,2)path=S0*exp(rand2)利用路径进行定价payoff=zeros(NRepl,1)for i=1:NReplax=path(i,:)if min(ax)<Sbpayoff(i)=0elsepayoff(i)=max(0,K-ax(NSteps))endend[P,aux,ci]=normfit(exp(-r*T)*payoff)运行：[P,aux,ci]=DOPutMC(50,50,0.1,5/12,0.4,40,100,1000)P = 0.8094aux = 1.9714ci =0.68710.93183 蒙特卡洛方法模拟亚式期权定价亚式期权是一种路径依赖型期权，它的收益函数依赖于期权存续期内的标的资产的平均价格。
（算术平均与几何平均）亚式看涨期权到期现金流为11max{(),0}N ii S t K N =-∑ ,/i t i t t T N δδ==例3 同例1，用蒙特卡洛方法计算该亚式期权价格。
function [P,CI]=AsianMC(s0,k,r,T,sigma,NSteps,NRepl)dt=T/NSteps;nudt=(r-0.5*sigma^2)*dt;sidt=sigma*sqrt(dt);randn('seed',0);rand=randn(NRepl,NSteps);rand1=nudt+sidt*rand;rand2=cumsum(rand1,2);path=s0*exp(rand2);payoff=zeros(NRepl,1);for i=1:NReplpayoff(i)=max(0,mean(path(i,:))-k);end[P,aux,CI]=normfit(exp(-r*T)*payoff)>> AsianMC(50,50,0.1,5/12,0.4,5,50000)P =3.9622aux =5.9669CI =3.90994.0145ans =3.96224．等价鞅测度（内容参见247页）function eucall=blsmc(s0,kK,r,T,sigma,Nu)s0=50;K=52;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;Nu=1000;randn('seed',0);nuT=(r-0.5*sigma^2)*T;sit=sigma*sqrt(T);discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K)); disp('蒙特卡洛模拟结果')[eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff)SM=s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1));SM=s0*exp(r*T)*SM/mean(SM);S1=max(0,SM-K);disp('风险中性下欧式看涨期权结果')[Emscall,varprice,ci]=normfit(S1)disp('欧式看涨期权解析解')blsprice(50,52,0.1,5/12,0.4)blsmc蒙特卡洛模拟结果eucall =1.3035e-021varprice =3.5526e-022ci =1.0e-020 *0.12810.1326风险中性下欧式看涨期权结果Emscall =5.4320varprice =9.8321ci =4.82196.0422欧式看涨期权解析解ans =5.1911ans =1.3035e-021。