蒙特卡罗模拟方法
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。
设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。
它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。
数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。
但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。
最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。
科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。
贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。
”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
蒙特卡洛模拟通俗理解
蒙特卡洛模拟通俗理解蒙特卡洛模拟通俗理解蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值计算方法，它可以用来估计某些复杂系统的性质。
这种方法的基本思想是通过随机抽样来模拟系统的行为，从而得到对系统性质的估计。
下面将对蒙特卡洛模拟进行详细介绍。
一、蒙特卡洛模拟的基本原理1.1 随机抽样蒙特卡洛模拟的核心是随机抽样。
在进行蒙特卡洛模拟时，我们需要从所研究问题的所有可能情况中，随机地选取一些情况进行研究。
这些情况被称为“样本”，而从中选取样本的过程被称为“随机抽样”。
1.2 统计规律在进行随机抽样后，我们可以根据所得到的数据来推断整个系统的性质。
这种推断是基于统计规律进行的，即我们可以根据所得到数据中出现频率较高的情况来推断整个系统中该情况出现的概率。
二、蒙特卡洛模拟在实际问题中的应用2.1 金融领域在金融领域中，蒙特卡洛模拟被广泛应用于风险管理和衍生品定价。
例如，在进行股票期权定价时，我们可以通过随机抽样来模拟股票价格的未来走势，并根据所得到的数据来计算期权的价格。
2.2 物理领域在物理领域中，蒙特卡洛模拟被用于研究复杂系统的性质。
例如，在研究分子运动时，我们可以通过随机抽样来模拟分子的运动轨迹，并根据所得到的数据来计算分子的平均速度和能量。
2.3 生物领域在生物领域中，蒙特卡洛模拟被用于研究生物分子的结构和功能。
例如，在研究蛋白质折叠过程中，我们可以通过随机抽样来模拟不同构象之间的转换，并根据所得到的数据来推断蛋白质最稳定的构象。
三、蒙特卡洛模拟的优缺点3.1 优点（1）适用范围广：蒙特卡洛模拟可以用于研究各种类型的系统，包括物理、化学、生物等领域。
（2）精度高：通过增加样本量，蒙特卡洛模拟可以得到非常精确的结果。
（3）易于实现：蒙特卡洛模拟只需要进行随机抽样和统计分析，因此实现起来比较简单。
3.2 缺点（1）计算量大：蒙特卡洛模拟需要进行大量的随机抽样和数据处理，因此计算量比较大。
（2）收敛速度慢：在一些情况下，蒙特卡洛模拟需要进行很多次随机抽样才能得到收敛的结果。
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机过程的数值计算方法，通过生成大量随机数来模拟实际问题的概率分布和确定性结果。
它的原理是通过随机抽样和统计分析来近似计算复杂问题的解，适用于各种领域的问题求解和决策分析。
蒙特卡洛模拟方法最早于20世纪40年代在核能研究中出现，命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为其运作原理与赌场的概率计算类似。
它的核心思想是通过大量的重复实验来模拟问题的解空间，并基于统计原理对结果进行分析。
蒙特卡洛模拟方法的应用领域广泛，包括金融、工程、物理、统计学、风险管理等。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟股票价格的变动，估计期权的价格和价值-at-risk（风险价值），帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟不同参数对产品性能的影响，优化产品设计和工艺流程。
在物理学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟粒子运动轨迹，研究核反应和量子系统的行为。
在统计学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于估计未知参数的分布和进行概率推断。
1.明确问题：首先需要明确问题的目标和约束条件。
例如，如果要求估计一个金融产品的价值，需要明确产品的特征和市场环境。
2.设定模型：根据问题的特性，建立模型。
模型可以是概率模型、物理模型、统计模型等，用于描述问题的随机性和确定性因素。
3. 生成随机数：根据问题的特点，选择适当的随机数生成方法。
常见的随机数生成方法包括伪随机数生成器、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法、拉丁超立方（Latin Hypercube）采样等。
4.进行实验：根据模型和随机数生成方法，进行大量的实验。
每次实验都是一次独立的抽样过程，生成一个样本，用于计算问题的目标函数或约束条件。
5.统计分析：对实验结果进行统计分析，得到问题的解或概率分布。
常用的统计分析方法包括均值、方差、最大值、最小值、分位数等。
还可以进行敏感性分析，评估输入参数对结果的影响程度。
（完整word版）蒙特卡洛方法及其在风险评估中的应用
（完整word版）蒙特卡洛⽅法及其在风险评估中的应⽤蒙特卡洛⽅法及其应⽤1风险评估及蒙特卡洛⽅法概述１.１蒙特卡洛⽅法。
蒙特卡洛⽅法，⼜称随机模拟⽅法或统计模拟⽅法，是在20世纪40年代随着电⼦计算机的发明⽽提出的。
它是以统计抽样理论为基础，利⽤随机数，经过对随机变量已有数据的统计进⾏抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。
蒙特卡洛模拟⽅法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。
通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带⼊其函数关系式计算获得Y的值。
当模拟的次数⾜够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。
蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最⼤值,最⼩值和最可能值，给出了预测值的区间范围及分布规律。
１.２风险评估概述。
风险表现为损损益的不确定性，说明风险产⽣的结果可能带来损失、获利或是⽆损失也⽆获利，属于⼴义风险。
正是因为未来的不确定性使得每⼀个项⽬都存在风险。
对于⼀个公司⽽⾔，各种投资项⽬通常会具有不同程度的风险，这些风险对于⼀个公司的影响不可⼩视，⼩到⼀个项⽬投资资本的按时回收，⼤到公司的总风险、公司正常运营。
因此，对于风险的测量以及控制是⾮常重要的⼀个环节。
风险评估就是量化测评某⼀事件或事物带来的影响的可能程度。
根据“经济⼈”假设，收益最⼤化是投资者的主要追求⽬标，⾯对不可避免的风险时，降低风险，防⽌或减少损失，以实现预期最佳是投资的⽬标。
当评价风险⼤⼩时，常有两种评价⽅式：定性分析与定量分析法。
定性分析⼀般是根据风险度或风险⼤⼩等指标对风险因素进⾏优先级排序，为进⼀步分析或处理风险提供参考。
这种⽅法适⽤于对⽐不同项⽬的风险程度，但这种⽅法最⼤的缺陷是在于，在多个项⽬中风险最⼩者也有可能亏损。
蒙特卡洛方法
其中Dg s为N区域D N sDiN s的1g体(x积1(i),。x2 (这i), 是,数xs(值i))方法难以作到的。
另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
N
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要 求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确 定出 。
下面给出几个常用的α与的数值：
α 0.5 0.05 0.003
0.674 1.96 3 5
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特
卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法 是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须 使用其估计值
• 对于任意离散型分布：
F(x) Pi xi x
• 其P离2散中，型x…1分，为布x相2，的应直…的接为概抽离率样散，方型根法分据如布前下函述：数直的接跳抽跃样点法，，P有1，
• 间接蒙特卡洛模拟方法。人为地构造出一 个合适的概率模型，依照该模型进行大量 的统计实验，使它的某些统计参量正好是 待求问题的解。
例：布冯(Buffon)投针实验
• 在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向 此桌面随意地投掷长度l=s的细针，那末从 针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。
针与线相交概率
lim P
N
NXNE (X)x 2 1
xet2/2dt
x
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
P X N E (X ) N 2 20 e t2/2 d t1
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。
一起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。
Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。
Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特•罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
二解决问题的基本思路Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）
蒙特·卡罗⽅法（MonteCarlomethod）蒙特·卡罗⽅法（Monte Carlo method），也称统计模拟⽅法，是⼆⼗世纪四⼗年代中期由于科学技术的发展和电⼦计算机的发明，⽽被提出的⼀种以概率统计理论为指导的⼀类⾮常重要的数值计算⽅法。
是指使⽤随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的⽅法。
与它对应的是确定性算法。
这个⽅法的发展始于20世纪40年代，和原⼦弹制造的曼哈顿计划密切相关，当时的⼏个⼤⽜，包括乌拉姆、冯.诺依曼、费⽶、费曼、Nicholas Metropolis，在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室研究裂变物质的中⼦连锁反应的时候，开始使⽤统计模拟的⽅法，并在最早的计算机上进⾏编程实现。
现代的统计模拟⽅法最早由数学家乌拉姆提出，被Metropolis命名为蒙特卡罗⽅法，蒙特卡罗是著名的赌场，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣⽽贴切，很快被⼤家⼴泛接受。
被不过据说费⽶之前就已经在实验中使⽤了，但是没有发表。
说起蒙特卡罗⽅法的源头，可以追溯到18世纪，布丰当年⽤于计算π的著名的投针实验就是蒙特卡罗模拟实验。
统计采样的⽅法其实数学家们很早就知道，但是在计算机出现以前，随机数⽣成的成本很⾼，所以该⽅法也没有实⽤价值。
随着计算机技术在⼆⼗世纪后半叶的迅猛发展，随机模拟技术很快进⼊实⽤阶段。
（类⽐深度学习，感叹~）对那些⽤确定算法不可⾏或不可能解决的问题，蒙特卡罗⽅法常常为⼈们带来希望。
蒙特卡罗基本思想：利⽤⼤量采样的⽅法来求解⼀些难以直接计算得到的积分。
例如，假想你有⼀袋⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，这个⾖⼦的数⽬就是图形的⾯积。
当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。
借助计算机程序可以⽣成⼤量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的⽐例和坐标点⽣成范围的⾯积就可以求出图形⾯积。
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xi1 (axi c) mod m ui1 xi1 / m 1.可以证明 c 的选择对生成的随机数的均匀性影响 不大，所以为了提高计算速度，一般都令 c 0 。
2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们 可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的 初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数， 而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布 U(0,1)的随机数。
8
U(0,1)随机数的生成
一个简单的随机数生成器：
xi1 axi mod m ui1 xi1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
随机数生成器的一般形式： xi1 f (xi ) , ui1 g(xi1)
随机投针可以理解成针的中心
点与最近的平行线的距离X是均匀
地分布在区间 [0, a / 2] 上的r.v.，针
与平行线的夹角是均匀地分布
在区间 [0, ] 上的r.v.，且X与相互独立，
于是针与平行线相交的充要条件为
X
l 2
sin
,
即相交
A { : X
l 2
sin
}.
2
Buffon 投针问题
于是有：
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上
afn ( A)
有如下的试验结果。
3
试验者 Wolf Smith Fox
Lazzarini
时间(年) 1850 1855 1884 1925
5
Monte Carlo数值积分的优点
与一般的数值积分方法比较，Monte Carlo方法 具有以下优点：
1. 一般的数值方法很难推广到高维积分的情形，而 Monte Carlo方法很容易推广到高维情形
2. 一般的数值积分方法的收敛阶为 O(n2/d )，而 由中心极限定理可以保证 Monte Carlo 方法的 收敛阶为 O(n1/2 ) 。此收敛阶与维数无关，且在 高维时明显优于一般的数值方法。
12
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
39373 742938285 950706376 1226874159
40692 40014
Reference Lewis, Goodman, and Miller L’Ecuyer Fishman and Moore Fishman and Moore Fishman and Moore L’Ecuyer L’Ecuyer
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复杂一些的生成器（一）
bining Generators:
考虑 J 个简单线性同余生成器：
x j,i1 a j x j,i mod m j , u j,i1 x j,i1 / m j j 1, 2....J
6
随机模拟计算的基本思路
1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模 型，使所求的量（或解）恰好是该模型某个指标的概率 分布或者数字特征。
2.对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行 模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计
3.对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精 度(方差)的估计
Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法)
主要内容: 1.各种随机数的生成方法. 2.MCMC方法.
1
从Buffon 投针问题谈起
Buffon 投针问题:平面上画很多平行线，间距为 a．向此平面投掷长 为 l ( l < a) 的针, 求此针与任一平行线相交的概率 p。
4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费 用，提高模拟计算的效率
7
随机数的生成
1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。
2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成 随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机 的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过 统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudorandom numbers)。
针长 投针次数 相交次数
0.80 5000
2532
0.60 030
489
0.83 3408
1808
π的估计值 3.15956 3.15665 3.15951
3.14159292
4
数值积分问题
1
计算积分 f (x)dx Ef (X ) 0
我们可以将此积分看成 f (x) 的数学期望。其中
10
一个简单的例子(续)
上面的例子中，第一个随机数生成器的周期 长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有 它的一半。我们自然希望生成器的周期越长 越好，这样我们得到的分布就更接近于真实 的均匀分布。
在给定 m 的情况下，生成器的周期与 a 和 初值 x0 (种子)选择有关。
11
线性同余生成器 (Linear Congruential Generator )
p P( X l sin )
l 2
sin
2 dxd
2l
2
0 0 a
a
2l
ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
9
一个简单的例子
xi1 6xi mod11, ui+1 xi1 /11 （a 6, m 11） 当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
如果令 a 3, x0 1 ,得到序列: 1,3,9,5, 4,1,3,9........ 如果令 a 3, x0 2,得到序列： 2, 6, 7,10,8, 2, 6.......
X ~ U[0,1] (均匀分布)。于是可以将上式积分看
作是f(X)的数学期望.若{Uk,1 k n}为 ~U[0,1].
则可以取n
1 n
n i 1
f (Ui )作为的估计，
由大数定律，可以保证收敛性，即：
n with probability as n
这表明可以用随机模拟的方法计算积分。