计算机常用算法与程序的设计案例教程复习题解答

《计算机常用算法与程序设计案例教程》

习题解答提要

习题1

1-1 分数分解算法描述

把真分数a/b 分解为若干个分母为整数分子为“1”的埃及分数之和：

（1） 寻找并输出小于a/b 的最大埃及分数1/c ；

（2） 若c>900000000，则退出；

（3） 若c ≤900000000，把差a/b-1/c 整理为分数a/b ，若a/b 为埃及分数，则输出后结束。

（4） 若a/b 不为埃及分数，则继续（1）、（2）、（3）。

试描述以上算法。 解：设)(int a b d = (这里int(x)表示取正数x 的整数)，注意到1+<

b d ，有 )1()1(11+-+++=d b b

d a d b a

算法描述：令c=d+1，则

input (a,b)

while(1)

{c=int(b/a)+1;

if(c>900000000) return;

else

{ print(1/c+);

a=a*c-b;

b=b*c; // a,b 迭代，为选择下一个分母作准备

if(a==1)

{ print(1/b);return;}

}

}

1-2 求出以下程序段所代表算法的时间复杂度

（1）m=0;

for(k=1;k<=n;k++)

for(j=k;j>=1;j--)

m=m+j;

解：因s=1+2+…+n=n(n+1)/2

时间复杂度为O(n2)。

（2）m=0;

for(k=1;k<=n;k++)

for(j=1;j<=k/2;j++)

m=m+j;

解：设n=2u+1，语句m=m+1的执行频数为

s=1+1+2+2+3+3+…+u+u=u(u+1)=(n?1)(n+1)/4

设n=2u，语句m=m+1的执行频数为

s=1+1+2+2+3+3+…+u=u2=n2/4

时间复杂度为O(n2)。

（3）t=1;m=0;

for(k=1;k<=n;k++)

{t=t*k;

for(j=1;j<=k*t;j++)

m=m+j;

}

解：因s=1+2×2!+ 3×3!+…+ n×n!=(n+1)!?1

时间复杂度为O((n+1)!).

（4）for(a=1;a<=n;a++)

{s=0;

for(b=a*100?1;b>=a*100?99;b?=2)

{for(x=0,k=1;k<=sqrt(b);k+=2)

if(b%k==0)

{x=1;break;}

s=s+x;

}

if(s==50)

printf("%ld \n",a);break;}

}

解：因a循环n次；对每一个a,b循环50次；对每一个b,k2次。因而k循环体的执行次数s满足

1001)250(12)

250250s n n +-+++＜＜＜

时间复杂度为O(n n )。

1-3 若p(n)是n 的多项式，证明：O(log(p(n)))=O(logn)。

证：设m 为正整数，p(n)=a1×n m +a2×n m-1+…+am ×n ，

取常数c>ma1+(m-1)a2+…+am, 则

log(p(n))=ma1×logn+(m-1)a2×logn+…=(ma1+(m-1)a2+…)×logn

因而有O(log(p(n)))=O(logn)。

1-4 构建对称方阵

观察图1-5所示的7阶对称方阵：

图1-5 7阶对称方阵

试构造并输出以上n 阶对称方阵。

解：这是一道培养与锻炼我们的观察能力与归纳能力的案例，一个一个元素枚举赋值显然行不通，必须全局着眼，分区域归纳其构造特点，分区域枚举赋值。

（1） 设计要点

设方阵中元素的行号为i ，列号为j 。

可知主对角线：i=j ；次对角线：i+j=n+1。两对角线赋值“0”。

按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图1-6所示。

图1-6 对角线分成的4个区

上部按行号i 赋值；下部按行号函数n+1-i 赋值。

左部按列号j 赋值；右部按列号函数n+1-j 赋值。

（2） 程序实现

#include

void main()

{int i,j,n,a[30][30];

printf(" 请确定方阵阶数n: ");

scanf("%d",&n);

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

{if(i==j || i+j==n+1)

a[i][j]=0; // 方阵对角线元素赋值

if(i+j

a[i][j]=i; // 方阵上部元素赋值

if(i+jj)

a[i][j]=j; // 方阵左部元素赋值

if(i+j>n+1 && i>j)

a[i][j]=n+1-i; // 方阵下部元素赋值

if(i+j>n+1 && i

a[i][j]=n+1-j; // 方阵右部元素赋值

}

printf(" %d阶对称方阵为:\n",n);

for(i=1;i<=n;i++)

{ for(j=1;j<=n;j++) // 输出对称方阵

printf("%3d",a[i][j]);

printf("\n");

}

}

1-5 据例1-2的算法，写出求解n个“1”组成的整数能被2011整除的程序。修改程序，求出 n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除？

解：程序为

#include

void main()

{ int a,c,p,n;

p=2011;

c=1111;n=4; // 变量c与n赋初值

while(c!=0) // 循环模拟整数竖式除法

{ a=c*10+1;

c=a%p;

n=n+1; // 每试商一位n增1

}

printf(" 由 %d 个1组成的整数能被 %d 整除。\n",n,p);

}

习题2

2-1 解不等式

设n 为正整数，解不等式

2011/12/1113/12/1112/11112010<++++++++++

解：上下限一般为键盘输入的a,b 。

// 解不等式: a<1+1/(1+1/2)+...+1/(1+1/2+...+1/n)

#include

#include

void main()

{ long a,b,c,d,i;

double ts,s;

printf(" 请输入a,b: ");

scanf("%d,%d",&a,&b);

i=0;ts=0;s=0;

while(s

{ i=i+1;

ts=ts+(double)1/i;

s=s+1/ts;

}

c=i;

while(s

{i=i+1;

ts=ts+(double)1/i;

s=s+1/ts;

}

d=i-1;

printf("\n 满足不等式的正整数n 为: %ld ≤n ≤%ld \n",c,d);

}

2-2 信点兵

信在点兵的时候，为了知道有多少个兵，同时又能保住军事，便让士兵排队报数。 按从1至5报数,记下最末一个士兵报的数为1；

再按从1至6报数,记下最末一个士兵报的数为5；

再按1至7报数,记下最末一个报的数为4；

最后按1至11报数,最末一个士兵报的数为10。

你知道信至少有多少兵?

1. 求解要点

设兵数为x，则x满足下述的同余方程组:

x=5y+1 即 x=1 (mod 5)

x=6z+5 x=5 (mod 6)

x=7u+4 x=4 (mod 7)

x=11v+10 x=10 (mod 11)

其中y,z,u,v都为正整数。试求满足以上方程组的最小正整数x。

应用枚举可得到至少的兵数。x从1开始递增1取值枚举当然可以，但不必要。事实上枚举次数可联系问题的具体实际大大缩减。

（1) 注意到x除11余10，于是可设置x从21开始，以步长11递增。此时，只要判别前三个条件即可。

（2) 由以上第2，4两方程知x+1为11的倍数，也为6的倍数。而11与6互素，因而x+1必为66的倍数。于是取x=65开始，以步长66递增。此时,只要判别x%5=1与x%7=4 两个条件即可。

这样可算得满足条件的最小整数x即点兵的数量。

2. 程序实现

// 信点兵

#include

void main()

{ long int x;

x=65;

while(1)

{ x=x+66;

if(x%5==1 && x%7==4)

{ printf("至少有兵: %ld 个。",x);

break;

}

}

}

2-3 分解质因数

对给定区间[m,n]的正整数分解质因数,?每一整数表示为质因数从小到大顺序的乘积形式。如果被分解的数本身是素数，则注明为素数。

例如, 2012=2*2*503, 2011=(素数!)。

解：对区间中的每一个整数i(b=i)，用k(2——sqrt(i))试商：

若不能整除，说明该数k不是b的因数，k增1后继续试商。

若能整除，说明该数k是b的因数，打印输出"k*"；b除以k的商赋给b(b=b/k)?后继