差分方法
计算方法常微分方程的差分方法
y' (xn ) phy'' (xn ) O(h2 )
从而有 而
yn1 y(xn ) hy' (xn ) ph2 y'' (xn ) O(h3 )
有： λp=1/2。
y ( xn1 )
y(xn ) hy' (xn )
h2 2
y'' (xn ) O(h3 )
——二阶Runge-Kutta格式
yn1 yn' f
yn (xn ,
h[(1 yn )
)
yn' 1
yn'
]
yn' 1
f ( xn1, yn1)
yn1
yn
h 2
( yn' 1
yn' )
二阶隐式Adams格式
37
• 三阶隐式Adams格式
yn1
yn
h 12
(5
yn' 1
8 yn'
yn' 1)
• 四阶隐式Adams格式
yn1
yn
33
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
h 24
(9 yn' 1
19 yn'
5 yn' 1
差分方法计算函数的导数值
差分方法计算函数的导数值
差分方法是一种通过函数在某一点左、右两侧的取值差异来估计函数导数值的方法。
一般来说，计算函数f(x) 在x_0 处的导数f'(x_0)，可以采用如下方法：
1. 前向差分法
在x_0 的右侧取一个很小的增量h，则x_0+h 是x_0 的邻点，可以用x_0+h 和x_0 的函数值之差除以h 得到导数值的估计：
f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
这个方法叫做前向差分法，因为它利用了x_0 右边的信息。
对于f(x) 具有足够的光滑性的函数，这个方法的误差可以达到O(h)。
2. 后向差分法
类似地，在x_0 的左侧取一个很小的增量h，则x_0-h 是x_0 的邻点，可以用x_0 和x_0-h 的函数值之差除以h 得到导数值的估计：
f'(x_0)\approx\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}
这个方法叫做后向差分法，因为它利用了x_0 左边的信息。
对于f(x) 具有足够
的光滑性的函数，这个方法的误差也可以达到O(h)。
3. 中心差分法
前向差分和后向差分法的误差都是O(h)，但它们只利用了一个邻点的信息。
为了提高精度，可以同时利用x_0 左右两个邻点的信息，采用如下公式：
f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}
这个方法叫做中心差分法，因为它利用了x_0 左右两侧的信息。
对于f(x) 具有足够的光滑性的函数，这个方法的误差可以达到O(h^2)，即比前向差分和后向差分法更精确。
常微分方程的差分方法
(i 0,1,2,...n,1) (2.9)
21
不管是显式欧拉格式〔2.2〕，还是隐式欧拉格式 〔2.6〕，它们都是单步格式或称为一步格式。因 为它们在计算yi+1时只用到前一步所得结果yi一个 信息；而格式〔2.8〕那么除了yi外，还需用到更 前一步所得信息yi-1，即需调用前两步的信息，因 此〔2.8〕称为两步欧拉格式，或称为中点欧拉格 式。
y(3)(i)
y(xi1)2hf(xi,y(xi))
(i 0,1,2,...n,1)
20
y(x)y ,(x)和 y(x)分别用其近似值代入，则得
i1
i
i1
yi1 yi1 2hf(xi,yi) (2.8) (i0,1,2,...n,1)
显然，其局部截断误差为
h3 R
y ( (3) )
i3
i
O(h3)
第章常微分方程的差 分方法
1
§1 引 言 在工程和科学技术的实际问题中，常需要解常微分方程。但常微分方程组中往往只有少数较简单和典型
的常微分方程〔例如线性常系数常微分方程等〕可求出其解析解。对于变系数常微分方程的解析求解就比 较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说了。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这 种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类那么是数值解法，它 给出方程在一些离散点上的近似解。
在具体求解微分方程时，需要具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解 条
2
件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为 初始条件，相应的定解问题称为初值问题 ；另一种是 给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件 ，相应 的定解问题那么称为边值问题。
差分方法的原理和应用
差分方法的原理和应用1. 原理介绍差分方法是一种数值计算方法，通过利用函数在某点附近的导数来近似计算函数的值。
差分方法主要基于以下两个原理：1.1 前向差分前向差分是通过计算函数在某点和其前面一个点的差值来近似计算函数的导数。
假设函数 f(x) 在点 x 处的导数为f’(x)，则前向差分的公式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h 是一个小的正数，表示所选取的差分步长。
1.2 中心差分中心差分是通过计算函数在某点前后两个点的差值来近似计算函数的导数。
假设函数 f(x) 在点 x 处的导数为f’(x)，则中心差分的公式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)同样，h 是一个小的正数，表示所选取的差分步长。
2. 应用案例差分方法在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用案例：2.1 数值求导差分方法可以用于数值求导，即通过差分近似计算函数在某点处的导数。
通过选择合适的差分步长，可以获得足够高的精度。
数值求导在计算机图形学、数值分析等领域中被广泛使用。
2.2 数值积分差分方法还可以用于数值积分，即通过将函数离散化为一系列的差分点，然后计算这些差分点的和来近似计算函数的积分。
差分方法在求解常微分方程、偏微分方程等问题中也有重要的应用。
2.3 数据平滑差分方法可以用于数据平滑，即通过计算数据点之间的差分来减小数据的噪声。
通过选择合适的差分步长和平滑算法，可以过滤掉数据中的噪声，并提取出数据的趋势。
2.4 图像处理差分方法在图像处理中也有广泛的应用。
例如，图像边缘检测算法就是基于差分方法的。
通过计算图像中像素之间的差分，可以检测出图像中的边缘。
2.5 数值优化差分方法还可以用于数值优化，即通过利用函数在某点附近的差分信息来搜索函数的最优解。
差分方法在机器学习、优化算法中有重要的应用。
3. 总结差分方法是一种常见的数值计算方法，通过利用函数在某点附近的导数来近似计算函数的值。
有限元几种差分方法
有限元几种差分方法有限元法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构的分析与设计。
在有限元法中，差分方法是计算过程中的一项重要技术，它可以将连续的物理问题转化为离散的数值计算问题。
本文将介绍有限元法中几种常用的差分方法。
1. 前向差分法（Forward Difference Method）前向差分法是一种简单直观的差分方法，它通过将函数的导数定义中的极限转化为有限差分的形式来求解微分方程。
该方法的基本思想是使用函数在某一点的近似导数来代替实际的导数，从而得到微分方程的数值解。
前向差分法的优点是计算简单，但由于近似误差较大，精度相对较低。
2. 向后差分法（Backward Difference Method）向后差分法与前向差分法类似，也是通过差分逼近来求解微分方程。
其原理是使用函数在某一点的近似导数来代替实际的导数，从而得到微分方程的数值解。
与前向差分法不同的是，向后差分法使用函数在当前点和前一点的差值作为近似导数，因此误差相对较小，计算结果更加准确。
3. 中心差分法（Central Difference Method）中心差分法是一种更为精确的差分方法，它通过使用函数在当前点两侧的差值来逼近导数的值。
中心差分法的基本思想是使用函数在当前点两侧的差值的平均值作为近似导数，从而得到微分方程的数值解。
相对于前向差分法和向后差分法，中心差分法的精度更高，但计算复杂度也更高。
在有限元法中，这些差分方法常用于离散化微分方程的空间项。
通过将连续的物理问题离散化为有限个节点上的代数方程组，再进行求解，可以得到微分方程的数值解。
在实际应用中，根据问题的具体特点和要求，可以选择合适的差分方法来求解微分方程。
除了上述介绍的几种差分方法外，还有其他一些常用的差分方法，如高阶差分法、多步差分法等。
这些方法在不同的问题和场景中具有不同的优势和适用性。
因此，在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的差分方法，以获得更准确和可靠的数值解。
difference method 差分法
差分法，又称差分分析法，是数学，经济学，物理学，工程学等各个领域使用的有力工具。
这种方法涉及将两个数据点之间的差数用于分析两个点之间的变化速率或"偏差"。
通过了解数据如何随时间变化或跨越不同的变量，可以获取宝贵的见解，并用来作出知情的决定。
在数学中，微积分中常用差法来计算一个函数的变化率。
通过找到代表某一函数在特定间隔期间平均变化速率的差价，数学家可以理解该函数的行为，并对其未来值作出预测。
在经济学中，差异法用于分析GDP，通货膨胀率，就业数字等经济指标的变化。
通过逐年比较这些指标的差异，经济学家可以评估一个经济体的健康，并就政策变化提出建议。
在物理学中，差异法用于分析物体的运动及其随时间的变化位置。
物理学家通过取不同时点的位置值差异，可以计算一个物体的速度和加速，提供关于其行为的宝贵信息。
在工程学中，差异法被用于信号处理，控制系统，优化等各种应用。
通过分析输入和输出信号的差异，工程师可以设计应对环境变化的系统，并发挥最佳性能。
行动差异方法的一个例子是金融领域，它用来计算股票或资产的每日收益。
通过将连续两天的股票收盘价格之间的差额，分析家可以计算日收益，分析股票的波动性和性能。
另一个例子是环境科学，其中使用差异法分析温度、降水量和其他气候指标的变化。
通过长期比较这些指标的差异，科学家可以评估气候变化的影响，并对未来趋势作出预测。
总体而言，差别方法是一个多功能和强大的工具，可用于广泛的领域，以获得洞察力和作出知情决定。
无论是分析某一函数在数学中的变化速度，还是评估某一存量在金融中的表现，差异法都提供了宝贵的信息，可以用来推动进步和创新。
第三章 常微分方程的差分方法
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自 动 化 工 程 学 院
School of Automation Engineering
第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。
数值计算中的差分方法研究
数值计算中的差分方法研究差分方法是数值计算中一种常用的数值分析技术，用于近似求解微分方程和积分方程。
该方法通过将连续函数或方程离散化为一系列点或网格，然后利用差分近似公式来计算函数或方程在离散点上的近似值。
本文将探讨差分方法在数值计算中的应用和研究。
一、差分方法的基本原理差分方法的基本思想是将连续函数或方程离散化，通过有限差分公式计算函数或方程在离散点上的近似值。
差分方法的基本原理可概括为以下几点：首先，将连续函数或方程在一定区间内进行离散化。
其次，通过有限差分公式，将函数或方程的微分或积分近似表示为相邻点之间的差分。
最后，利用差分逼近计算函数或方程在离散点上的近似值。
二、差分方法的分类根据离散化的方式和逼近的精度，差分方法可分为多种类型。
常见的差分方法包括：前向差分、后向差分、中心差分、向前差分、向后差分等。
其中，前向差分和后向差分适用于一阶微分逼近，中心差分适用于二阶微分逼近。
此外，差分方法还可以分为常微分方程差分方法和偏微分方程差分方法。
三、差分方法的应用领域差分方法在科学计算、工程技术和自然科学等领域中得到了广泛的应用。
在科学计算中，差分方法常用于函数插值、积分计算、微分方程求解等问题。
在工程技术中，差分方法可应用于材料科学、力学分析、结构设计等领域。
在自然科学中，差分方法能够模拟地理气象、生物传播、化学反应等现象。
四、差分方法的发展和挑战随着计算机技术的不断发展，差分方法在数值计算中的应用和研究逐渐深入。
差分方法的发展主要集中在改进差分逼近公式、提高数值稳定性和减小数值误差等方面。
然而，差分方法仍面临一些挑战，如适用范围的限制、收敛性和稳定性问题等。
五、差分方法的优缺点差分方法作为一种常用的数值计算技术，具有一些优点和缺点。
差分方法的优点包括简单易懂、计算速度快、适用范围广等。
然而，差分方法也存在一些缺点，如精度受限、逼近误差较大等。
六、结语差分方法是数值计算中一种重要的数值分析技术，广泛应用于科学计算、工程技术和自然科学等领域。
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差分方程模型的理论和方法引言1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。
同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
第一节 差分方程的基本知识一、 基本概念1、差分算子设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=∆∆+1:为n x 在n 处的向前差分。
而1--=∆n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见n x ∆是n 的函数。
从而可以进一步定义n x ∆的差分：n n x x 2)(∆=∆∆称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。
类似可定义在n 处的k 阶差分为：))((1n k n k x x -∆∆=∆2、差分算子 、不变算子、平移算子记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。
则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=∆I E -=∆∴由上述关系可得：i n ki i k i k n ik i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=∆00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。
反之，由 n n n x x x -=∆+1 得 n n n x x x ∆+=+1：n n n n x x x x +-=∆++1222，得：n n n n x x x x 2122∆++-=++,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。
即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。
……..,)1(10k n i n k i i k i k n kx x C x ++-=-+-=∆∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ∆+--=+-=-+∑10)1( （2）可以看出：k n x +可以由n k n n x x x ∆∆,...,,的线性组合表示出来3、差分方程由n x 以及它的差分所构成的方程),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -∆∆=∆ （3）称之为k 阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4）故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项与其前，前面k 项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
4、差分方程的解与有关概念（1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为方程（4）的解。
（2） 如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即),...,,(---=x x n F x则称-=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。
平衡解可能 不只一个。
平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有),...,,(---=x x n F x（3） 如果（4）的解n x 使得--x x n 既不是最终正的，也不是最终负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。
（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5）则 0=y 成为（5）的平衡点。
（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方程 （5）是振动方程。
如果（5）的所有解是关于0=y 非振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。
（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0>≥n N n y Sup y则称n y 为正则解。
（即不会从某项后全为零）（7） 如果方程（4）的解n x 使得-∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。
5、差分算子的若干性质（1）n n n n y x y x ∆+∆=+∆βαβα)(.)(（2）)(1)(1n n n n n n n n y x x y y y y x ∆-∆=∆+（3）n n n n n n y x x y y x ∆+∆=∆+1)(（4）∑∑==+++∆+-=∆ba k k k ab a k a b b k k y x y x y x x y 111（5）∑=∆=+∆==ni i i n nn n x C x I x E x 0000)( 6、Z 变换定义：对于数列n x ，定义复数级数∑∞=-==0)()(k k k n z x x Z z X （6）这是关于z 洛朗级数。
它的收敛域是：21R z R <<，其中2R 可以为∞，1R 可以为0。
称)(n x Z 为n x 的z -变换。
由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z 变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：))((1z X Z x n -= （7）z 变换是研究数列的有效工具 。
z 变换的若干重要性质：（1）线性性 )()()(n n n n y Z x Z y x Z βαβα+=+（2）平移性质 ])([)(10∑-=-+-=N k kk N N n z x z X z x Zz 变换举例：（1）⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(n n n δ, 则∑∞==--=⨯==001)1()())((k k k k z z k n Z δδ（2）⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(k k n u ，则∑∑∞=∞=-->-===00,1,1)())((k k k k z z zz z k u n u Z（3）设,)(n a n f =则∑∞=->>-==0,0,,)(k k k n a a z a z zz a a Z（4）设,!1)(n n f =则0,!1)!1(01>==∑∞=-z e z k n Z k z k第二节 差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如n n x λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ （10）称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成项：n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解：=n x -n x +*n x （11）（8） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。