相反数、倒数及绝对值教材讲解
《相反数与绝对值》 讲义
《相反数与绝对值》讲义一、相反数在数学的世界里，相反数是一个非常基础但又十分重要的概念。
那什么是相反数呢？简单来说，相反数就是绝对值相等，符号相反的两个数。
比如 5 和－5 就是一对相反数，再比如－2 和 2 也是相反数。
为了更准确地理解相反数，我们需要知道以下几个要点：1、相反数的特性（1）互为相反数的两个数之和为 0。
例如，3 的相反数是－3，3 ＋（－3) ＝ 0。
（2）0 的相反数是 0 本身。
这是因为 0 既不是正数也不是负数，它是一个特殊的存在。
2、相反数的表示方法一个数 a 的相反数可以表示为 a。
所以，如果给定一个数 x，那么它的相反数就是 x 。
3、相反数在数轴上的表现在数轴上，互为相反数的两个数位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
比如 4 和－4，它们到原点的距离都是 4 个单位长度。
4、相反数的实际应用相反数在解决实际问题中也有很多用处。
比如，在温度的表示中，零上 5 摄氏度和零下 5 摄氏度就是一对相反数；在盈利和亏损的计算中，盈利 100 元与亏损 100 元也是相反数。
二、绝对值说完相反数，我们再来看看绝对值。
绝对值的定义是：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
例如，数字 7 在数轴上对应的点到原点的距离是 7 ，所以 7 的绝对值是 7 ，记作｜7| ＝ 7 ；－7 在数轴上对应的点到原点的距离同样是7 ，所以－7 的绝对值也是 7 ，记作｜－7 ｜＝ 7 。
接下来，我们详细了解一下绝对值的一些重要性质和特点：1、绝对值的非负性绝对值总是非负的，即对于任何实数 a ，都有｜ a ｜≥ 0 。
2、正数和 0 的绝对值正数的绝对值是它本身。
比如，｜ 5 ｜＝ 5 。
0 的绝对值是 0 ，即｜ 0 ｜＝ 0 。
3、负数的绝对值负数的绝对值是它的相反数。
例如，｜－8 ｜＝ 8 。
4、绝对值的运算（1）两个数的和的绝对值与这两个数绝对值的和之间的关系：｜ a ＋ b ｜≤ ｜ a ｜＋｜ b ｜，当且仅当 a 、 b 同号或者至少有一个为 0 时，等号成立。
2-4 绝对值与相反数(教师版)2021-2022学年七年级数学上册讲义(苏科版)
第2章 有理数2.4 绝对值与相反数 课程标准 课标解读 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 1、相反数和绝对值的表示方法 2、数轴的几何意义表示，在数轴上分析绝对值和相反数性质知识点01 相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．【微点拨】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．【即学即练1】1．3-的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【答案】C【分析】目标导航知识精讲依据相反数的定义求解即可．【详解】解：-3的相反数是3．故选：C．知识点02 多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．【微点拨】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．【即学即练2】2．在下列各数：13⎛⎫--⎪⎝⎭，36-，227，0，－（＋3），－|－2015|中，负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】先化简各数，再与0比较即可．【详解】解：：11=033⎛⎫-->⎪⎝⎭，－（＋3）=-3<0，－|－2015|=-2015<0，负数有36-，－（＋3），－|－2015|，负数的个数是3．故选择：C．知识点03 绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．【微点拨】（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．【即学即练3】3．已知关于x 的方程mx |m |+1＝0是一元一次方程，则m 的取值是（ ）A ．±1B ．﹣1C ．1D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义得出m≠0且|m|=1，求出m 即可．【详解】解：∵关于x 的方程mx |m|+1＝0是一元一次方程，∵m≠0且|m|＝1，解得：m ＝±1，故选：A ． 知识点04 有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩－数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于03． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【微点拨】利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．【即学即练4】4．下列四个数中，最小的数是（ ）A ．2-B ．4-C ．(1)--D ．0【答案】A【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．【详解】解：∵()44,11-=--=，∵()4102->-->>-，∵最小的数是-2；故选A ．考法01 化简绝对值1、根据题设条件只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2、借助数轴 能力拓展①零点的左边都是负数，右边都是正数．②右边点表示的数总大于左边点表示的数．③离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．3、采用零点分段讨论法①求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．②分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．③在各区段内分别考察问题．④将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．【典例1】a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）∵0ab >； ∵c a b -<<-； ∵11a b >； ∵b b =-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【分析】根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出b ＜c ＜0＜a ，b a c >>，再分别判断各式．【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得b ＜c ＜0＜a ，b a c >>．∵∵0ab <，故错误；∵c a b -<<-，故正确； ∵11a b>，故正确； ∵b b =-，故正确；考法02 绝对值的意义一.绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
倒数相反数绝对值的概念
倒数相反数绝对值的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊倒数、相反数和绝对值这几个有趣的概念。
先来说说倒数吧！这就好比是数字世界里的“好拍档”。
比如说 5 吧，它的倒数就是 1/5。
你看，5 和 1/5 凑在一起，相乘就等于 1 啦！这不就跟咱生活里的好朋友似的，两个人在一起能发挥出特别的力量。
而且哦，倒数可神奇了，整数有倒数，分数也有倒数呢！那小数有没有倒数呢？当然有啦！就像每个人都能找到和自己特别合拍的伙伴一样。
再讲讲相反数。
嘿呀，相反数就像是数字的“小对头”，但可不是真正的敌人哦！比如 3 的相反数就是-3。
它们俩呀，加在一起就等于 0 呢！这多有意思呀，就好像有两个家伙，一个总是和另一个对着干，但凑一块儿又能达成一种特别的平衡。
咱生活中不也有这样看似对立，实则相互依存的情况吗？比如白天和黑夜，热和冷，不都是这样嘛！最后可不能忘了绝对值呀！绝对值就像是给数字穿上了一件“保护衣”，不管这个数字本身是正数还是负数，穿上这“保护衣”后，就都变成正数啦！比如说-5 的绝对值是 5，5 的绝对值还是 5 呢！这多神奇呀，就好像不管你之前经历了什么挫折或者成功，到最后都能被一种力量保护起来，让你变得很重要。
那这三个概念有啥用呢？哎呀，用处可大啦！在数学里，它们能帮我们解决好多问题呢！比如计算呀，判断大小呀。
而且，你想想，生活中不也有类似的情况吗？我们有时候需要找到和自己互补的人，就像相反数；有时候需要找到能和自己相互成就的伙伴，就像倒数；而有时候我们也需要一种力量来保护自己，让自己变得更有价值，就像绝对值。
你说数学是不是很奇妙呀？这些小小的概念，居然能和我们的生活产生这么多的联系。
所以呀，别小看了这些知识，它们就像是隐藏在数字世界里的小秘密，等着我们去发现和探索呢！以后再遇到倒数、相反数和绝对值，可别只是把它们当成一堆符号和数字啦，要想想它们背后的意义和故事哦！相信我，这样学起数学来会更有趣，也会更有收获呢！总之，倒数、相反数和绝对值，它们就像是数字世界里的小精灵，各有各的特点和魔力。
相反数、绝对值提高[PPT课件白板课件思维导图知识点]苏教版初一七年级上册下册数学
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22334
9 10
＝1 1 10
＝9 10
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
探究2
3、若|a＋1|＝3，则a＝________
把绝对值中的算 分析： 式a＋看1作＝一3 个或整a体＋1＝－3
考虑
①a＋1＝3
②a＋1＝－3
a＝3－1
a＝－3－1
a＝2
a＝－4
探究2
4、若|x－5|＝6，则x＝_______
分析： 分两种情况讨论
①x－5＝6 x＝6＋5 x＝11
②x－5＝－6 a＝－6＋5 a＝－1
-4 -3 –2 –1 0 1 2 3 4
概念回顾
绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上表 示数a的点与原点的距离。
3 2
-3 –2 –1
4 01234
探究1
绝对值小于4的所有整数的和是多少？
-4 -3 -2
2 34
-6 -5 -4 -3 数-2 形-1 结0 合1 是2 学3 4 5 6 习数学很重要
分析：
由|x|＝3知 x＝3或－3 由|y|＝2知 y＝2或－2
3＋2＝5
3＋（－2）＝1
－3＋2＝－1 （－3）＋（－2）＝－5
学以致用1
已知：|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a＜0 且a＞b＞c，则a＋b－c的值是多少？
分析： a＝±1 b＝± 2 c＝±3 由a＜0得 a＝－1 又因为a＞b＞c， 所以a＝－1，b＝－2，c＝－3 a＋b－c＝－1＋（－2）－（－3）＝0
2 32 43 54
10 9
1 2＝－1＝1＝2－1 3 5＝－2＝2＝5－3
原式＝
1 1 1 1 1 1 ........ 1 1
《相反数与绝对值》 讲义
《相反数与绝对值》讲义一、引入在数学的奇妙世界中，相反数和绝对值是两个非常基础且重要的概念。
它们就像是数学大厦中的基石，虽然看似简单，却在解决各种数学问题中发挥着关键的作用。
想象一下，我们在数轴上漫步，每一个数字都有它独特的位置和性质。
相反数和绝对值就是帮助我们更好地理解这些数字的特性和它们之间关系的工具。
二、相反数的定义与性质（一）定义相反数，简单来说，就是绝对值相等，符号相反的两个数。
例如，5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3。
（二）性质1、互为相反数的两个数之和为 0。
比如，2 和－2 互为相反数，2 ＋（－2) ＝ 0。
2、 0 的相反数是 0。
这是一个特殊的情况，因为 0 既不是正数也不是负数。
为了更直观地理解相反数，我们可以在数轴上观察。
数轴就像一个有方向的直尺，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。
一个数和它的相反数在数轴上关于 0 点对称。
三、绝对值的定义与性质（一）定义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
用符号“｜｜”表示。
比如，｜3| ＝ 3，｜－3| ＝ 3。
（二）性质1、正数的绝对值是它本身。
例如，｜5| ＝ 5。
2、 0 的绝对值是 0。
3、负数的绝对值是它的相反数。
比如，｜－7| ＝ 7。
从几何意义上来看，绝对值表示的是一个数在数轴上的位置到原点的距离，所以绝对值总是非负的。
四、相反数与绝对值的计算（一）求相反数要找出一个数的相反数，只需要改变它的符号即可。
正数变为负数，负数变为正数。
例如：求－8 的相反数，就是 8；求 12 的相反数，就是－12。
（二）求绝对值对于正数和 0，绝对值就是它们本身；对于负数，绝对值是它的相反数。
比如：｜－15 ｜＝ 15，｜ 0 ｜＝ 0，｜ 20 ｜＝ 20。
五、相反数与绝对值在方程中的应用在方程求解中，相反数和绝对值经常会出现。
例如：方程｜x 3| ＝ 5，我们需要分两种情况来考虑。
当x 3 ≥ 0 时，即x ≥ 3，方程变为 x 3 ＝ 5，解得 x ＝ 8。
数的相反数和倒数
数的相反数和倒数数学中，我们经常会遇到相反数和倒数的概念。
相反数是指与某个数相加后等于零的数，倒数则是指与某个数相乘后等于一的数。
这两个概念在数学运算和实际应用中都具有重要的意义。
本文将对相反数和倒数进行详细的介绍。
一、相反数相反数是一对数中的一种特殊关系。
对于任意一个实数a来说，其相反数记作−a，满足a + (−a) = 0。
简单来说，a的相反数就是与a相加后等于零的数。
例如，数1的相反数是−1，数−3的相反数是3。
相反数具有以下性质：1. 相反数的绝对值相等，符号相反。
例如，数a的相反数的绝对值等于a的绝对值，但符号相反。
2. 两个相反数的和是零。
例如，数a和其相反数−a相加等于零。
相反数在数轴上的表示方法：在数轴上，相反数的表示方法是在a 的位置上找到与之相对的点，这个点的坐标就是-a。
例如，在数轴上，数2的相反数是-2，在数轴上的表示就是从原点出发，往左移动2个单位长度。
二、倒数倒数是数学中另一个重要的概念。
对于任意一个非零实数a来说，其倒数记作1/a或a^(-1)，满足a * (1/a) = 1。
简单来说，a的倒数就是与a相乘后等于1的数。
例如，数2的倒数是1/2，数3的倒数是1/3。
倒数具有以下性质：1. 零没有倒数。
因为任何数与0相乘都得0，所以零没有倒数。
2. 除数的倒数等于被除数的倒数。
如果a和b都是非零数，那么a/b 的倒数就等于b/a的倒数。
倒数在数轴上的表示方法：在数轴上，倒数的表示方法是通过分数来表示。
例如，数2的倒数是1/2，在数轴上就是将1等分成2份，所在的位置就是倒数的表示。
三、相反数和倒数的应用相反数和倒数在数学的运算和实际应用中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 相反数常用于解决方程和平衡等式。
通过引入相反数，可以进行消元和抵消，简化问题的求解过程。
2. 倒数常用于分数的运算和比例的计算。
在分数的除法中，可以通过求倒数来将除法转化为乘法，简化运算过程。
苏科版七年级上册数学 第2章 绝对值与相反数 绝对值——绝对值的定义和性质 授课课件
所以：a＝2 ，b＝1.
感悟新知
总结
知3－讲
若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
感悟新知
知3－练
1 绝对值最小的数是____0____；绝对值最小的负整数 2 是___－__1___．
2如果＋|b－a－11|＝0，那么a＋b＝( )
C
感悟新知
知1－练
1 (中考·连云港)数轴上表示－2的点与原点的距离是 _______2_．
感悟新知
知识点 2 绝对值的求法
知2－讲
1.几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距
离叫做数a的绝对值，记作
a.
2.代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数
的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；任意一个
2
A．B.－C.1D．1 1
3
2
2
2
感悟新知
3 写出下列各式的值，并回答问题．
知3－练
1
15
=
__1_5___，2.5
=
__2_.5__，2 3
=
2 __3___；2－15=___1_5__
，－2.5
=
_2__.5__，－
2
=
2 ___3__
；
3
3由以上可以看出：当a 是正数时，a ___＞___ 0 ；
作业2
1
5
5
2 (中考·东营) 的－相1反数是(
A. B．－1 C．3D．－331
3
3
)B
知2－练
感悟新知
知识点 3 绝对值的性质
想一想： 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?
《相反数与绝对值》 讲义
《相反数与绝对值》讲义一、引入在数学的广阔天地中，相反数和绝对值是两个非常基础而重要的概念。
它们看似简单，却在数学运算、方程求解以及实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
想象一下，我们在数轴上跳跃，相反数就像是与原点对称的两个点，而绝对值则像是点到原点的距离。
接下来，让我们一起深入探索这两个有趣的概念。
二、相反数的定义与性质（一）定义相反数，简单来说，就是绝对值相等，符号相反的两个数。
比如 5和－5，它们的绝对值都是 5，但一个是正数，一个是负数，所以它们互为相反数。
（二）性质1、互为相反数的两个数之和为 0。
例如 3 ＋（－3) ＝ 0 。
2、 0 的相反数是 0 。
这是因为 0 既不是正数也不是负数，它自身就是自己的相反数。
三、如何求一个数的相反数（一）正数的相反数对于正数，只需要在它前面加上一个“”号，就得到了它的相反数。
比如正数 7 的相反数是－7 。
（二）负数的相反数负数的相反数是把负号去掉。
例如－2 的相反数是 2 。
（三）特殊情况0 的相反数就是 0 ，这是一个比较特殊但又很容易理解的情况。
四、相反数的实际应用（一）在加减法运算中的应用在进行加减法运算时，如果遇到相反数，它们可以相互抵消，简化计算。
比如 8 5 ＋（－5) ，其中 5 和－5 是相反数，相互抵消后，式子就变成了 8 0 ＝ 8 。
（二）在解决实际问题中的应用比如在温度的表示中，如果规定零上为正，那么零下的温度就可以用其相反数来表示。
五、绝对值的定义与性质（一）定义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
用符号“｜｜”表示。
例如，｜5| 表示 5 这个点到原点的距离，所以｜5| ＝ 5 ；｜－5| 表示－5 这个点到原点的距离，同样｜－5| ＝ 5 。
（二）性质1、绝对值具有非负性，即任何数的绝对值都大于等于 0 。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等。
六、如何求一个数的绝对值（一）正数的绝对值正数的绝对值就是它本身。
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相反数、倒数及绝对值概念的应用
相反数、倒数、绝对值的概念有广泛的应用．举例说明如下：
例1已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，计算a+b+x2-cdx 的值．
解：由题设知a+b＝0，cd＝1，又|x|＝1，
∴x＝±1。
①当x＝1时，原式＝0+12-1＝0；
②当x＝-1时，原式＝0+(-1)2+1＝2．
解：由题设知 a+b＝0，cd＝1，又|m|＝2，
∴m2＝4。
解：由题设知a+b＝0，cd＝1，又|m|＝2，
∴m＝±2，m2＝4。
例4若a、b互为相反数，cd互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．
解：由题设知a+b＝0，cd＝-1，
则|a+b+cd|＝|0-1|＝1。
A．16 B．-16 C．48 D．-48
解：由题设知xy＝1，m+n＝0，
，
∴选(A)。
例6若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy的负倒数是________．
解：由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0，
例7已知a、b是互为相反数，c、d是互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则x3+abcdx+a-bcd的值是_______．
解：由题设知a+b＝0，cd＝-1．又x的绝对值等于它的相反数的2倍，
∴x＝0，
∴原式＝03+0+a-b·(-1)＝a+b＝0。
练习题
已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于1，则a+b+x2-cdx的最大值是_______．
(结果为2和0，故最大值为2)。