2011高等数学各章易混淆概念
高中混淆知识点总结归纳
高中混淆知识点总结归纳一、数学知识点1.1函数和方程式函数和方程式是高中数学中常见的知识点，但是很多学生容易混淆它们的概念。
函数是两个集合之间的一种对应关系，而方程式是等号两边包含未知数的式子。
所以函数是一种抽象的数学概念，而方程式是用来描述具体问题的数学工具。
在解题时，要根据实际情况选择使用函数或者方程式。
1.2三角函数和三角方程三角函数是用来描述角的变化规律的数学函数，而三角方程是包含三角函数的方程式。
在学习三角函数和三角方程时，很多学生容易混淆它们的概念和运用方法。
要注意区分三角函数的定义域、值域和周期，以及掌握解三角方程的方法和技巧，这样才能更好地运用三角函数和三角方程解决实际问题。
1.3函数的导数和积分函数的导数和积分是微积分中的重要概念，但是很多学生容易混淆它们的含义和求解方法。
函数的导数描述了函数在某一点的变化率，而函数的积分描述了函数在某一区间上的累积变化量。
要注意理解导数和积分的几何意义和物理意义，以及掌握导数和积分的计算方法和运用技巧，这样才能更好地理解和运用微积分的知识。
二、物理知识点2.1力和压强力是物体之间相互作用的结果，而压强是单位面积上受力的大小。
在学习力和压强时，很多学生容易混淆它们的概念和应用方法。
要注意区分不同类型的力，理解受力分析的基本原理和方法，以及掌握压强的计算公式和应用技巧，这样才能更好地理解力和压强的知识。
2.2动能和势能动能是物体由于运动而具有的能量，而势能是物体由于位置而具有的能量。
在学习动能和势能时，很多学生容易混淆它们的概念和计算方法。
要注意区分动能和势能的物理意义，理解它们之间的转化关系和守恒定律，以及掌握动能和势能的计算公式和运用技巧，这样才能更好地理解动能和势能的知识。
2.3电流和电压电流是电荷在导体中的移动，而电压是导体中的电子在单位电荷上所具有的能量。
在学习电流和电压时，很多学生容易混淆它们的概念和测量方法。
要注意理解电流和电压的物理意义，掌握电流和电压的计算公式和测量技巧，以及理解电流和电压之间的关系和作用原理，这样才能更好地理解电流和电压的知识。
大一高等数学易错知识点
大一高等数学易错知识点大一的高等数学课程对于许多学生来说是一场严峻的挑战。
虽然数学是一门精确的学科，但在学习过程中，总会有一些易错的知识点。
本文将深入探讨大一高等数学中的一些易错知识点，希望对学习者有所帮助。
1. 极限和连续极限和连续是高等数学的基础概念，也是一些重要定理的基础。
然而，学生常容易混淆这两个概念。
极限强调的是趋近某个值的过程，而连续则强调的是函数在某一点上无间断的特性。
需要注意的是，在某一点上函数的极限存在并不意味着函数在该点上连续，反之亦然。
2. 泰勒展开泰勒展开是在数学和物理学中常用的一种近似方法。
通过将一个函数在某一点附近展开成无穷阶的幂级数，可以用该级数来逼近函数在该点附近的取值。
但是，泰勒展开并不是在所有点上都收敛的，需要满足一定的条件。
因此，在应用泰勒展开时，需要注意选择合适的展开点和截断误差。
3. 微分与导数微分和导数是微积分中最基本的概念之一。
微分代表了函数在某一点上的变化率，而导数则表示了函数在每一点上的变化率。
然而，学生常常对微分和导数的概念混淆不清，容易将它们视为同义词使用。
在正确理解微分和导数的基础上，对于求导的规则和应用也需掌握扎实。
4. 不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分中的重要概念，但容易被学生混淆。
不定积分是原函数的概念，通常与求导操作相反，表示某个函数的一个原函数。
而定积分则是一个区间上函数取值的总和，可以看作是对函数在一段区间上的“加和”。
学生需要明确这两个概念的区别，并能灵活运用不定积分和定积分的性质和公式。
5. 二重积分与三重积分二重积分和三重积分是多重积分的特例。
在解决实际问题时，常常需要对二维或三维空间中的函数进行积分。
但学生容易在计算积分时出错，常见的错误包括错用积分换元法、忘记加上积分限和积分因子等。
因此，对于多重积分的计算方法和技巧，需要进行深入的学习和练习。
6. 偏导数与全微分偏导数是多变量函数中的一种导数形式，用于衡量函数在特定变量上的变化率。
高数易混淆概念
概念区别：1．无界与无穷大无界是对任一M(无论多大),总存在x,使得f(x)>M,这里x任意，存在即可，不强调存在方式。
无穷大是对任一M(无论多大)，总存在x0,当x>x0时，f(x)>M(注，这里的无穷大时x趋近正无穷时，其他同理)，这里的存在有限制。
从定义，再结合图像，无穷算是无界的一种。
但是无界不一定无穷无界是一个区间而无穷是针对一个趋势，举个例子1/x,在(0,+∞)是无界而同是这个函数x趋近0是无穷而趋近无穷则是0第二个例子xsinx,x趋近无穷满足无界的定义，是无界，但不是无穷，因为无论怎样取x0,x>x0总有函数等于0，也就是不存在这样的函数。
也就是说对于一个无界的区间你如果有意识的话可以挑选一些数，有一定顺序组成一个新的函数的话完全可以成为无穷了。
正如例子中你选π/2,5π/2,9π/2……是不是无穷？这也涉及到一元函数的极限概念，考虑一下二元函数极限是x,y无论哪条路径都可以趋近某个值，其实一元函数也有个路径，不过这个路径指的是在x轴无论0，2，4，6……还是1，3，5……等等都是趋近同一值，这是想通之处了。
而对于某一类的无界它也不过是挑取某个路径达到无穷。
不能满足所有路径都是。
2．无穷小和零无穷小是趋势，一定条件下的趋势，同是一个函数在不同条件下地位不同比如x趋近0时时无穷小x趋近1就是，0是无论那种情况都是趋近0，所以0是无穷小。
但是无穷小和0不是等价的，这点把握到这里就可以了。
3．常见的几种点驻点：导数为0的点，不仅有定义，而且导数必须存在且为0极值点：相对点，相对于附近某一小临域，它是最大〔小〕的值，这里强调这个临域存在，临域不是区间；这样的点有一些性质，若可导则导数必为0，但导数为0不全是极值点(x^3)但是这不是判断极值点的唯一条件，还要根据定义，这就属于不可导的点了(|x|的0点)，所以极值点穿插很多，多重考虑，别忘了必须有定义。
拐点：性质有点类似极值点只是要求不同，它是某一临域左右凸凹性改变，同理既要考虑二阶导数是0还有二阶导不存在的穿插，还要注意最基本，有定义4．可积，原函数，变限积分可积指定积分存在〔注意是定积分不包括反常积分广义积分〕，按几何意义，曲线与x轴面积〔这里也可以说是负面积〕存在。
高中数学最易混淆知识点归纳
高中数学最易混淆知识点归纳高中数学最易混淆知识点归纳高中数学课程一直是高考的必考科目，占有很高的教学地位。
高中数学一直是理科生眼中比较难的一门学科,其实高中数学有许多易混淆知识点，下面是店铺为大家精心推荐高中数学最易混淆的一些知识点，希望能够对您有所帮助。
高中数学最易混淆知识点1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
高考数学最易混淆知识点归纳
高考数学最易混淆知识点归纳高考数学作为高中数学的重要组成部分，在高考中占据着很重要的位置。
一些题目可能会涉及到一些知识点的混淆，因此我们必须要对这些混淆的知识点进行整合和分类，以便于我们更好地理解和掌握。
下面，我们来分析一下高考数学中最易混淆的知识点。
一、函数的分段定义在高考数学中，我们经常涉及到函数的分段定义。
如果我们没有认真地学习和理解分段函数的定义，就很容易在相关的题目中出现混淆。
另外，有些题目需要用到二次函数、三角函数等相关的知识点，如果我们没有对这些函数进行系统化的学习，也很容易出现混淆。
二、导数的概念和应用在高考数学中，导数的概念和应用也是很重要的一个知识点。
例如，在求解变化率、极值等相关的问题时，需要用到导数的概念和应用，如果我们对这些相关的知识点没有进行归纳和整理，就很容易出错。
三、立体图形的计算在高考数学中，我们还需要涉及到立体图形的计算。
例如，在计算长方体、圆柱体、圆锥体以及球体的面积和体积等问题时，如果我们没有将这些相关的知识点进行分类、整理，就很容易出现混淆。
四、复合函数的概念在高考数学中，复合函数的概念也是很重要的一个知识点。
例如，在单项式的运算、幂函数、指数函数和对数函数的运算中都用到了复合函数的概念。
如果我们没有对这些相关知识点进行整理和分类，也很容易出现混淆。
五、统计学问题与数学知识的结合在高考数学中，我们还经常遇到同样涉及到一些统计学问题与数学知识的结合。
例如，我们需要对数据进行分析和统计，同时需要运用到平均值、标准差、方差、概率等知识点。
如果我们没有对这些知识点进行系统化的学习和整理，那么也很容易出现混淆。
综上所述，高考数学中最易混淆的知识点包括函数的分段定义、导数的概念和应用、立体图形的计算、复合函数的概念以及统计学问题与数学知识的结合。
如果我们没有对这些相关的知识点进行整理和分类，那么在做相关的题目时就很容易出现混淆。
因此，在备考高考数学时，我们需要认真复习和整理这些知识点，以便于我们更好地掌握和理解。
高中数学函数中最易混淆的11对概念
式．
(II ）若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x+8)=-f(-2 -x），且 x 主 3 日才有 j(x)=x2一 7x+4.求 j(x） 解析式．
。g（，α） >[f（ 功］ 皿
六、 单调区间与区间单调
例6.
(I)若函数j(x)
=
2
x
- (3α－1x) ＋α2
在区间［1何， 刀）上单调递增，
求实数α的取值范围．
(II）若函数j(x)
=
2
x
- (3α－1)x＋α2
单调递增区间是［1+, oo ），
求实数α的取值范围．
分析：（I)j(x)
=
2
x
- (3α－1)x＋α2
分析：(I）若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x+8) = j(-2 -x） ，则有y = j(x）的图象关于直线 x=3 成轴对称：
又 x 主 3 日才有j(x)=x2 -7x+4; 所以 x<3 时，有－ x+6> 3 , j(x)= j(6-x)=(6-x) 2 -7(6-x) +4=x2 -5x- 2.
[ x 2 -7x+ 4(x三巧，
l j(x） 解析式为 j(x)=才 x"钊' -Sx- 2(x < 3).
(II ）函数 j(x）对一切实数X都有 f(x+8)=-f(-2 -x），那么 f(x）的图象关于点（3, 0）成中心对称：又 x 主 3 时
容易混淆的概念-数学一11页
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==． 例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ②① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x xf x →=∞②如果0lim ()x xf x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim ()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x xf x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则01lim()x xf x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
《高等数学》常见易混淆概念梳理
《高等数学》常见易混淆概念梳理摘要概念教学是培养数学核心素养的重要手段，也是高等数学课堂教学的重要一环，只有准确把握概念的内涵与外延，才能够正确理解概念以及应用概念。
《高等数学》作为工科、理科学生必修的基础课程，对于高等数学的学习不仅是对高等数学知识的学习，同时也是对能力与素质的培养，也可以说，高等数学是解锁其他学科的一把钥匙。
高等数学的学习是从对概念的学习开始的，因此，准确把握概念，理清概念之间的区别与联系尤为重要。
本文将讨论三组常见易混淆概念，分析易混淆概念产生原因以及该如何解决。
关键词：高等数学、易混概念一、函数的导数与微分根据同济大学出版的第七版《高等数学》中给出的定义，导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量；如果与之比当时的极限存在，那么称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即.也就是说导数是自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量的增量比的极限，而微分的定义为：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可表示为，其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作dy,即.由此可见，微分的实质是函数值增量的近似值。
很多学生在学习过导数与微分的概念过后，常常会产生，“学习了导数为什么还要学习微分？函数的微分与导数有什么区别？”等等诸如此类的问题，还有部分学生存在对微分概念理解不透彻，对函数的微分与导数的区别与联系理解模糊的问题。
产生以上问题主要有三方面原因：第一、目前，国内大部分教材对于函数的导数与微分的内容安排一般都是首先介绍导数的概念以及导数的相关知识，再介绍求导法则以及求高阶导数、隐函数和参数方程求导数等问题，最后再介绍函数的微分，由于经过前期的学习，学生对于导数及其相关计算熟悉程度较高，在学习到微分的概念时，容易发现函数可导与可微之间的充分必要关系，且在计算微分的过程中，微分的计算又可以借助导数的计算来进行，因此导致学生过多地关注导数的相关知识，忽视了对微分概念的学习，久而久之，导致学生对函数微分的概念理解模糊；第二、函数在一点处可导与函数在一点处可微是充分必要关系，，若只强调导数与微分的计算则会加重对两个概念的混淆，所以，教师若未对函数的微分与导数的区别与联系进行强调，只是强调两者的计算，也会导致对微分的概念理解模糊的问题。
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f (x) > M
则称函数 f (x) 为当 x → x0 （或 x → ∞ ）时的无穷大． 例 4：下列叙述正确的是： ②
x→0−
x→0
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、若 lim f ′(x) = A,(A ≠ 0,可以取∞）, 则 lim f (x) = ∞
x→+∞
x→+∞
若 lim f ′(x) = A ≠ 0 ，不妨设 A > 0 ，则 ∃X > 0, x ≥ X时，f ′(x) > A ，再由微分中值定
x→+∞
四、如果 lim f (x) = 0 不能推出 lim 1 = ∞
x→ x0
x→x0 f (x)
例
6：
x f (x) =
0
x为有理数 x为无理数
，则
lim
x→ x0
f
(x) = 0 ，但由于
1 f (x)
在x
= 0 的任一邻域的无理
点均没有定义，故无法讨论 1 在 x = 0 的极限． f (x)
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条 件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。 （2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换
例 8：求极限 lim 1 + x + 1 − x − 2
x→0
x2
分析一：若将 1+ x + 1− x − 2 写成 ( 1 + x −1) + ( 1 − x −1) ，再用等价无穷小替换就
①
如果
f
(x) 在
x0
某邻域内无界，则
lim
x→ x0
f
(x)
=∞
②
如果 lim x→ x0
f
(x)
=
∞ ，则
f
(x) 在
x0 某邻域内无界
解析：举反例说明．设
f (x) = 1 sin 1 xx
，令
xn
=
1 2nπ +
π
, yn
=
1 nπ
,
， 当 n → +∞
时，
2
xn → 0, yn → 0 ，而
=
0得
lim
n→∞
yn
=
a
．所以选项
A．
二、无界与无穷大
无界：设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在正数 M ，使得
f (x) ≤ M
∀x ∈ X ⊂ D
则称函数 f (x) 在 X 上有界，如果这样的 M 不存在，就成函数 f (x) 在 X 上无界；也就是说
如果对于任何正数 M ，总存在 x1 ∈ X ，使 f (x1) > M ，那么函数 f (x) 在 X 上无界． 无穷大：设函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如
当 x → x0 （或 x → ∞ ）时的无穷大的函数 f (x) ，按函数极限定义来说，极限是不存在 的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不
代表其极限是无穷大．
例
5：函数
f
(x)
=
x
−
1
0
x +1
x<0 x=0 x>0
，当 x → 0 时 f (x) 的极限不存在．
x→+∞
第八章 多元函数微分法及其应用
8.1 多元函数的基本概念
1. ∀ε f 0 , ∃δ1,δ2 f 0 , 使 得 当 x − x0 p δ1 , y − y0 p δ2 且 (x,y)≠(x0,y0) 时 , 有 f (x, y) − A p ε ,那么 lim f (x, y) = A 成立了吗?
lim
n→+∞
f
( xn
)
=
lim (2nπ
n→+∞
+
π 2
)
=
+∞
lim
n→+∞
f
( yn )
=
0
故 f (x) 在 x = 0 邻域无界，但 x → 0 时 f (x) 不是无穷大量，则①不正确．
由定义，无穷大必无界，故②正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
三、函数极限不存在 ≠ 极限是无穷大
如果 (x, y) ≠ (x0, y0 ) 条件没有,说明 f (x0, y0 ) 有定义,并且 (x0 , y0 ) 包含在该点的任何邻
域 内 , 由 此 对 ∀ε f 0 , 都 有 f (x, y) − A p ε , 从 而 A = f (x0, y0 ) , 因 此 我 们 得 到
结论均不一定成立。
第二章 导数与微分
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续，连续不一定可导。 例 11． f (x) = x 在 x = 0 连读，在 x = 0 处不可导。 二、 f (x) 与 f (x) 可导性的关系 （1）设 f (x0 ) ≠ 0 ， f (x) 在 x = x0 连续，则 f (x) 在 x = x0 可导是 f (x) 在 x = x0 可导的 充要条件。 （2）设 f (x0 ) = 0 ，则 f ′(x0 ) = 0 是 f (x) 在 x = x0 可导的充要条件。 三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论 设 F (x) = g(x)ϕ(x) ，ϕ(x) 在 x = a 连续，但不可导，又 g′(a) 存在，则 g(a) = 0 是 F (x) 在 x = a 可导的充要条件。
第一章：函数与极限
一、数列极限大小的判断
例 1：判断命题是否正确．
若
xn
<
yn (n
>
N)
，且序列
xn ,
yn
的极限存在，
lim
n→∞
xn
=
A, lim n→∞
yn
=
B,则A
<
B
解答：不正确．在题设下只能保证
A
≤
B
，不能保证
A
<
B
．例如：
xn
=
1 n
,
yn
=
1， n +1
xn
<
yn ,∀n
，而
lim
解：本题切忌将 sin x 用 x 等价代换，导致结果为 1。
lim sin x = sinπ = 0
x→π x
π
七、函数连续性的判断
（1）设 f (x) 在 x = x0 间断， g(x) 在 x = x0 连续，则 f (x) ± g(x) 在 x = x0 间断。而 f (x) ⋅ g(x), f 2 (x), f (x) 在 x = x0 可能连续。
2
理
f (x) = f ( X ) + f ′(ξ )(x − X )
(x > X ,ξ ∈ ( X , x))
⇒ f (x) ≥ f (X ) + A (x − X ) 2
(x > X )
⇒ lim f (x) = +∞ x→+∞
同理，当 A < 0 时， lim f (x) = −∞ x→+∞ 若 lim f ′(x) = +∞,⇒ ∃X > 0, x ≥ X时，f ′(x) >1 ，再由微分中值定理 x→+∞
例 10．设 f (x) = 0 x ≠ 0 ， g(x) = sin x ，则 f (x) 在 x = 0 间断， g(x) 在 x = 0 连续， 1 x = 0
f (x) ⋅ g(x) = f (x) ⋅ sin x = 0 在 x = 0 连续。
若设
f
(x)
=
1
x ≥ 0 ， f (x) 在 x = 0 间断，但 f 2 (x) = f (x) ≡ 1 在 x = 0 均连续。
（2）如果
f
(x)
在 (a,b) 内连续，x0
∈ (a,b) ，且设
lim
x→ x0 +
f
′( x)
=
lim
x→ x0 −
f
′( x)
=
m,
则
f
(x)
在
x = x0 处必可导且 f ′(x0 ) = m 。
若没有如果 f (x) 在 (a,b) 内连续的条件，即设 lim f ′(x) = lim f ′(x) = a ，则得不到任
结论：如果
lim
x→ x0
f (x) = 0
，且
f (x)
在
x0
的某一去心邻域内满足
f (x) ≠ 0
，则
lim 1 = ∞ ．反之， f (x) 为无穷大，则 1 为无穷小。
x→x0 f (x)
f (x)
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处
极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
分析：若 g(a) = 0 ，由定义
F′(a) = lim F (x) − F (a) = lim g(x)ϕ(x) − g(a)ϕ(a) = lim g(x) − g(a) ϕ(x) = g′(a)ϕ(a)
x→a x − a
x→a
x−a
x→a x − a
反之，若 F′(a) 存在，则必有 g(a) = 0 。用反证法，假设 g(a) ≠ 0 ，则由商的求导法则知