应用多元统计分析-第七章 主成分和因子分析
这里的Initial
Eigenvalues就是这 里的六个主轴长度，即特征值（数据 相关阵的特征值）。
27
方差贡献率
28
主成分分析
选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的 主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。 有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主 轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一 个大体的说法；具体选几个，要看实际情况 而定。
1 , 2 p 0为 的特征根， 1 , , e p为 e
对应的标准正交化特征 向量。则根据线性代数 知识 可分解为： 1 U 0 0 ' U p
i ei ei '
i 1
p
( 1 e1 , ,
' 1 e1 p e p ) e' p p
9
10
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
11
主成分分析
那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在 短轴方向上，数据变化很少；在极端的情 况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴 的方向才能够解释这些点的变化了；这样， 由二维到一维的降维就自然完成了。
12
主成分分析
当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的 变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量 就描述了数据的次要变化。 但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因 此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新 变量和椭圆的长短轴平行。 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就 用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维）， 降维就完成了。 椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道 理。
13Βιβλιοθήκη 主成分分析对于多维变量的情况和二维类似，也有高 维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表 大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量； 这样，主成分分析就基本完成了。 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴 也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是 原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component)。
3
主成分与因子分析
结果统计学家成功了! 这两个不相关的指标就是上衣的型和号。 本章的教学目的就是教会学生如何建立和 使用降维模型。
4
主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。 比如全国或各个地区的带有许多经济和社 会变量的数据；各个学校的研究、教学等各 种变量的数据等等。 这些数据的共同特点是变量很多，在如此 多的变量之中，有很多是相关的。人们希望 能够找出它们的少数“代表”来对它们进行 描述。
14
主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成 分。
15
主成分分析的一般模型
这个方程且满足：
16
主成分分析
其中 μ ij 有以下原则来确定：
这时称：Y1是第一主成分
Y2是第二主成分 ｜
17
主成分分析
如何求出满足上述要求的方程组的系数呢？ a , , , pi a a 而每个方程式中的系数向量 1i 2i 恰好是X的协差阵 的特征值所对应的特 ( 征向量，也就是从数学上可以证明使 Var F1) 达到最大，这个最大值是在的第一个特征 之所对应特征向量处达到。 以此类推…
达到最大，且aa=1
21
主成分的推导
22
主成分的推导
23
24
上述推导表明： 的主成分就是以 的特征向量为系数的线性组合，他们互不相关， 其方差为 的特征根。 由于 的特征根 所以有： ，
25
主成分的含义
26
对于我们的数据，SPSS输出为：
Tot al Va rianc e Exp laine d Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Variance Cumulative % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142
主成分一：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6
主成分二：
37
因子分析
我们如果想知道每个变量与公共因子的关系，则 就要进行因子分析了。因子分析模型为：
38
因子载荷
a ij 称为因子载荷（实际上是权数）。
因子载荷的统计意义：就是第i个变量与第j个公共 因子的相关系数，即表示变量xi依赖于Fj的份量 （比重），心理学家将它称为载荷。
0.0
-.5
-1.0 -1.0
该图左面三个点是数学、物理、化学三科， 右边三个点是语文、历史、外语三科。
-.5 0.0 .5 1.0
35
C omponent 1
因子分析
因子分析是主成分分析的推广和发展。 为什么要进行因子分析？ 由主成分分析的模型可知：
36
成绩数据（student.sav）
X i ai1F1 ai 2 F2 aij Fj aimFm i
可以得到，X与F的协方差为：
m cov(X i , F j ) cov aik Fk , F j k 1 m cov aik Fk , F j cov( i , F j ) aij k 1
Initial Eigenvalues Component Total % of Variance Cumulative % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.
Extraction Sums of Squared Loadings % of Varianc Cumulati Total e ve % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142
32
主成分分析
• 头两个成分特征值对应的方差累积占了总方差的 81.142%，称为累计方差贡献率为81.142%。后面的 特征值的贡献越来越少。 • 一般我们取累计方差贡献率达到85%左右的前k个 主成分就可以了，因为它们已经代表了绝大部分的 信息 。 • Spss中选取主成分的方法有两个：一是根据特征 根≥1来选取； 另一种是用户直接规定主成分的个 数来选取。
29
主成分的含义
但是，spss软件中没有直接给出主成分系数(即特 征向量)，而是给出了因子载荷，我们可将因子载 荷系数除以相应的 ，即可得到主成分系数。
30
a Com ponent Matri x
Component 1 2 MATH -.806 .353 PHYS -.674 .531 CHEM -.675 .513 LITERAT .893 .306 HISTORY .825 .435 ENGLISH .836 .425 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 2 components extracted.
由Component1、2的系数除以 以 3.735 、 1.133，得到：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6 Y2=0.183x1+0.275x2+0.265x3+0.158x4+0.225x5+0.220x6
31
主成分分析
为什么spss中只取了两个主成分呢？
8
主成分分析
例中的数据点是六维的；也就是说，每个 观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6 维空间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的）
39
因子分析模型
简记为: X 且满足： 1）m p 2) Cov(F, )=0 0 1 3) D(F)= I m 即F1 Fm不相关且方差=1. 0 1
40
A
F
+
(p 1)
（p 1） (p m)(m 1)
因子载荷的统计意义
对于因子模型
5
主成分分析和因子分析
本章就介绍两种把变量维数降低以便于描 述、理解和分析的方法：主成分分析 （principal component analysis）和因子 分析（factor analysis）。实际上主成分分 析可以说是因子分析的一个特例。在引进主 成分分析之前，先看下面的例子。
6
成绩数据（student.sav）
Tot al Va rianc e Exp laine d
Initial Eigenvalues % of Compon Varianc Cumulati ent Total e ve % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.
因子分析与主成分分析的基本概念
因子分析与主成分分析的基本概念因子分析和主成分分析是常用的多元统计分析方法，用于研究变量之间的关系和数据的结构。
本文将介绍因子分析和主成分分析的基本概念和应用场景。
一、因子分析因子分析是一种多元统计分析方法，用于揭示观测变量背后的潜在因子结构。
通过降维，将一组原始变量拆分为若干个潜在因子，以解释观测变量之间的关系和共享的信息。
1. 基本原理在因子分析中，我们将观测变量表示为潜在因子和误差项的线性组合。
其中，潜在因子是无法直接观测到的，而误差项则代表了无法被潜在因子解释的特殊因素。
该方法基于以下假设：观测变量间的相关性可以通过潜在因子来解释。
2. 应用场景因子分析广泛应用于一些具有观测变量过多、相关性较高的数据集分析中，如社会科学研究、心理学测试、市场调查等。
通过因子分析，我们可以更好地理解变量之间的关系，挖掘变量背后的潜在结构。
二、主成分分析主成分分析是一种降维技术，它通过寻找观测变量间的最大方差方向，将原始变量投影到新的坐标系上。
新坐标系的特征向量称为主成分，通过保留最重要的主成分，我们可以将高维数据转化为低维表示。
1. 基本原理在主成分分析中，我们通过数学方法寻找原始数据的特征向量和特征值。
特征向量表示了数据在新空间中的方向，而特征值则表示了数据在该方向上的方差。
我们选择特征值最大的几个特征向量作为主成分，将原始数据投影到这些主成分上。
2. 应用场景主成分分析广泛应用于数据可视化、维度约减和特征选择等领域。
通过主成分分析，我们可以减少数据的维度，消除冗余信息，提取出最具代表性的特征，从而更方便地进行数据分析和建模。
结语因子分析和主成分分析是常用的多元统计分析方法，它们可以帮助我们揭示数据背后的潜在结构和关系。
通过降维和特征提取，我们可以更好地理解和解释数据，为后续的研究和应用提供支持。
注意事项：由于文章给定的题目是“因子分析与主成分分析的基本概念”，因此本文采用说明文的格式，分别介绍了因子分析和主成分分析的基本原理和应用场景。
《应用多元分析》第三版(第七章 主成分分析)
其中T t1 , t 2 ,
, t p tik 是正交矩阵。
x Ty
y1 t11
y t
2 12
y p t1 p
t2 p
t p1 x1
t p 2 x2
达到最大。第i主成分为
yi t1i x1 t2i x2
t pi x p tix , i 1, 2,
,p
主成分的几何意义
❖
在几何上，ti表明了第i主成分的方向，yi是x在ti上的
投影值（其绝对值即为投影长度），λi是这些值的
方差，它反映了在ti上投影点的分散程度。
x投影到ti上的值
y1
y2
⋯
yp
x1
t11
t12
⋯
t1p
x2
t21
t22
⋯
t2p
⋮
⋮
⋮
xp
tp1
tp 2
⋮
⋯
tpp
正交变换 y T x 的几何意义
❖
正交变换 y T x 的几何意义是将Rp中由x1,x2, ⋯,xp构
成的原p维坐标轴作一正交旋转，一组正交单位向量
t1,t2, ⋯,tp表明了p个新坐标轴的方向，这些新坐标轴
第七章 主成分分析
❖ §7.1
引言
❖ §7.2 总体的主成分
❖ §7.3 样本的主成分
§7.1 引言
主成分分析（或称主分量分析，principal component
analysis）由皮尔逊（Pearson,1901）首先引入，后
来被霍特林（Hotelling,1933）发展了。
主成分分析与因子分析的主要方法和思想
1.(10分)数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么?在多元线性回归分析中,因为涉及多个自变量,自变量的单位往往不同,会给分析带来一定的困难,又由于涉及的数据量很大,就可能会以舍入误差而使得计算结果不理想.1.中心化处理后可以减少一个未知参数,减少了计算的工作量,对手工计算尤为重要.2.标准化处理后有利于消除量纲不同和数量级的差异所带来的影响,避免不必要的误差.2.(10分)在实际问题中运用多元线性回归应注意哪些问题?在实际问题中,人们用复相关系数R来表示回归方程对原有数据拟合程度的好坏,但是拟合优度并不是检验模型优劣的唯一标准,有时为了使模型从结构上有较合理的经济解释,R2等于0.7左右也给回归模型以肯定的态度.在多元线性回归分析中,我们并不看重简单相关系数,而认为偏相关系数才是真正反映因变量y与自变量x i以及自变量x i与x j的相关性的数量.用相关系数R2大小来衡量模型的拟合优度,不能仅由R2值很大来推断模型优劣.在实际应用回归方程进行控制和预测时,给定的x0值不能偏离样本均值太大,如果太大,用回归方程无论是作因素分析还是经济预测,效果都不会理想.得到实际问题的经验回归方程后,还不能马上用它去作分析和预测,还需运用统计方法对回归方程进行检验.3.(15分)主成分分析与因子分析的主要方法和思想是什么?两者有何联系与区别?求解主成分的方法:从协方差阵出发(协方差阵已知),从相关阵出发(相关阵R 已知),采用的方法只有主成分法。
一、主成分分析的基本思想在对某一事物进行实证研究中,为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律,人们往往要考虑与其有关系的多个指标,这些指标在多元统计中也称为变量。
这样就产生了如下问题:一方面人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标,而另一方面随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性,同时由于各指标均是对同一事物的反映,不可避免地造成信息的大量重叠,这种信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。
[数学]应用多元分析第7章主成分分析
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则称z1为第一主成分.
如果z2=u2’x满足
cov(z1 , z2 ) 0 u2 1 u2
var( z2 ) max var(u' x)
则称z2为第二主成分.
…
§7.2 总体的主成分
一、主成分的导出
' x = (x ,x , ,x ) 1 2 p 为一p维随机向量，其二 设
E( x), V ( x). 记1 2 p 0 为的 阶矩存在， 特征值， t1, t2 , , t p为相应的单位特征向量， 且相互正交。
D( x )
i 1 i
2
Principal component in 2d
One-dimensional projection
其中y1、y2分别都是x1、x2的线性组合，并且 信息尽可能地集中在y1上。在以后的分析中 舍去y2，只用主成分y1来分析问题，起到了 降维的作用。 主成分分析就是通过适当的变量替换，使新 变量成为原变量的线性组合，并寻求主成分 来分析事物的一种方法。
0.383 0 , t 0 , t1 = 0.924 2 0.000 1
1的贡献率为 5.83/ （ 5.83+ 2.00 + 0.17） = 72.875%
y1及( y1, y2 )对每个原始变量的贡献率
I 1 2 3
yi t x
' i
i 1,2, , p
则yi为第i个主成分。
二、主成分的性质
1、主成分的均值与协方差
记
1 2 ' y = (y1 , ,y p ) , v E ( y), 0 T (t1, , t p ), v E (T ' x) T ' V ( y) T 'V ( x)T T ' T
因子分析、主成分分析
通过主成分分析，可以研究多个变量之间的相关性，揭示变量
之间的内在联系。
多元回归分析
03
在多元回归分析中，主成分分析可以用来消除变量间的多重共
线性，提高回归分析的准确性和稳定性。
金融数据分析
风险评估
在金融数据分析中，主成分分析可以用来评估投资组合的风险， 通过提取主要因子来反映市场的整体波动。
市场趋势分析
主成分分析案例：金融数据分析
总结词
主成分分析用于金融数据分析中，能够 降低数据维度并揭示主要经济趋势。
VS
详细描述
在金融领域，主成分分析被广泛应用于股 票、债券等资产组合的风险评估和优化。 通过对大量金融数据进行主成分分析，可 以提取出几个关键主成分，这些主成分代 表了市场的主要经济趋势。投资者可以利 用这些信息进行资产配置和风险管理。
特征提取
主成分分析能够提取出数据中的 主要特征，突出数据中的主要变 化方向，有助于揭示数据的内在 规律。
数据可视化
降低数据维度后，数据的可视化 变得更加容易，有助于直观地理 解和分析数据。
多元统计
多元数据描述
01
主成分分析可以用来描述多元数据的总体特征，提供对多元数
据分布的整体理解。
多元相关分析
02
目的
通过找出影响观测变量的潜在结构， 更好地理解数据的意义，简化复杂数 据的分析，并解决诸如多重共线性等 问题。
因子分析的原理
1 2 3
基于相关性
因子分析基于观测变量之间的相关性，通过找出 这些相关性背后的公因子来解释变量之间的依赖 关系。
降维
通过提取公因子，将多个观测变量的复杂关系简 化为少数几个潜在因子的线性组合，实现数据的 降维。
多元统计分析第7章-主成分分析
22
且使得
第七章 §7.1总体的主成分
定理7.1.1的推论
设Z=(Z1, Z2 ,…, Z p )′为p维随机向量，则 其分量Zi (i=1,2,…, p) 依次是X的第i主成分 的充分必要条件是： ① Z=A'X，A为正交阵； ② D(Z)=diag(λ1 , λ2 , … , λp )，即随机向量 Z的协差阵为对角阵； ③ λ1≥λ2≥…≥λp ≥0 .
表7.1
28
第七章 §7.1总体的主成分
主成分的性质
, A 事实上,由 A , AA故有
k 1
(4) 2 ( Z k , X i ) 1 (i 1,2,, p)
p
ai1 p 2 p p k aik 2 ii (ai1 ,, aip ) k aik ,即 2 ( Z k , X i ) 1. a k 1 ip k 1 k 1 ii
(见附录(8.3)式)
16
第七章 §7.1总体的主成分
主成分的求法
因a1≠0,故|Σ -λI|=0,求解(7.1.4),其实就 是求Σ 的特征值和特征向量问题.设λ=λ1是Σ 的 最大特征值,则相应的单位特征向量a1即为所求 . 一般地,求X的第i主成分就是求Σ 的第i大特征 值对应的单位特征向量. 定理7.1.1 设X=(X1,…,Xp)′是p维随机向 量,且D(X)=Σ ,Σ 的特征值λ 1≥λ 2≥…≥λ p ， A1,a2,…,ap为相应的单位正交特征向量,则X的 17 第i主成分为
10
第七章 §7.1总体的主成分
主成分的几何意义
从代数学观点看主成分就是p个变量的一些 特殊的线性组合,而从几何上看这些线性组合正 是把X1,…,Xp构成的坐标系旋转产生的新坐标 系,新坐标轴使之通过样本变差最大的方向(或 者说具有最大的样本方差). 设有n个观测,每个观测有p个变量X1,…,Xp , 它们的综合指标(主成分)记为Z1,…,Zp . 当p=2时原变量为X1, X2.设(X1, X2 )服从二元 正态分布,则样品点X(i) =(xi1, xi2 ) (i=1,2,…n)的 11 散布图(见下面图形)在一个椭园内分布着.
因子分析与主成分分析
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基本原理
01
主成分分析
02
因子分析
03
本章小结
04
提 纲
主成分分析（Primary Component Analysis）主要是通过降维过程，将多个相关联的数值指标转化为少数几个互不相关的综合指标的统计方法，即用较少的指标来代替和综合反映原来较多的信息，这些综合后的指标就是原来多指标的主要成分。
进行分析，按一定标准确定提取的因子数目；
如果进行的是主成分分析，则将主成分存在的新变量用于继续分析，步骤到此结束；
如果进行的是因子分析，则考察因子的可解释性，并在必要时进行因子旋转，以寻求最佳解释方式；
如有必要，可计算出因子得分等中间指标供进一步分析使用。
因子分析
因子分析是多元统计分析的一个重要分支。其主要目的是运用对诸多变量的相关性研究，即可以用假设的少数几个变量来表示原来变量的主要信息，以便浓缩数据（Data Reduction）。
基本原理
因子分析（Factor Analysis）是主成分分析的推广和发展，也是利用降维方法进行统计分析的一种多元统计方法。因子分析研究相关矩阵或协方差的内部依赖关系，由于它将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，故得到了广泛的应用。
因子分析一般要求提取出的公因子有实际含义，如果分析中各因子难以找到合适的意义，则可以运用适当的旋转，以改变信息量在不同因子上的分析，最终方便对结果的解释。
因子分析
在理论分析和具体SPSS操作方面，因子分析过程需经过如下几个重要步骤。 因子提取。 因子旋转。 计算因子得分。
因子分析
依次单击菜单“分析→降维→因子分析”命令，打开 “因子分析”主对话框
指导应用多元统计分析资料报告习题解答_因子分析资料报告
第七章 因子分析7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。
答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。
②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。
因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。
因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。
如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。
因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。
而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。
此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。
7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。
目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。
具体来说，①因子分析可以用于分类。
如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。
即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。
对我们进一步研究与探讨指示方向。
在社会调查分析中十分常用。
③因子分析的另一个作用是用于时空分解。
如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。
7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。
答：对于因子模型1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p =因子载荷阵为11121212221212(,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ai X 与j F 的协方差为：1Cov(,)Cov(,)mi j ik k i j k X F a F F ε==+∑=1Cov(,)Cov(,)mikk j i j k aF F F ε=+∑=ij a若对i X 作标准化处理，=ij a ,因此 ij a 一方面表示i X 对j F 的依赖程度；另一方面也反映了变量iX 对公共因子jF 的相对重要性。
应用多元统计分析习题解答 第七章讲解学习
应用多元统计分析习题解答第七章第七章 因子分析7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。
答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。
②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。
因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。
因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。
如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。
因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。
而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。
此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。
7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。
目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。
具体来说，①因子分析可以用于分类。
如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。
即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。
对我们进一步研究与探讨指示方向。
在社会调查分析中十分常用。
③因子分析的另一个作用是用于时空分解。
如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。
7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。
答：对于因子模型1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p =因子载荷阵为11121212221212(,,,)m m m p p pm a a a aa a A A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ai X 与j F 的协方差为：1Cov(,)Cov(,)mi j ik k i j k X F a F F ε==+∑=1Cov(,)Cov(,)mik k j i j k a F F F ε=+∑=ij a若对iX作标准化处理，=ija,因此ija一方面表示iX对jF的依赖程度；另一方面也反映了变量i X对公共因子jF的相对重要性。
应用多元统计分析习题解答_因子分析
第七章 因子分析7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。
答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。
②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。
因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。
因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。
如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。
因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。
而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。
此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。
7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。
目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。
具体来说，①因子分析可以用于分类。
如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。
即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。
对我们进一步研究与探讨指示方向。
在社会调查分析中十分常用。
③因子分析的另一个作用是用于时空分解。
如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。
7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。
答：对于因子模型1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p =因子载荷阵为11121212221212(,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ai X 与j F 的协方差为：1Cov(,)Cov(,)mi j ik k i j k X F a F F ε==+∑=1Cov(,)Cov(,)mikk j i j k aF F F ε=+∑=ij a若对i X 作标准化处理，=ij a ,因此 ij a 一方面表示i X 对j F 的依赖程度；另一方面也反映了变量iX对公共因子jF的相对重要性。