2010年全国高教杯数学建模——关于油罐问题
2010数学建模—A题
储油罐的变位识别与计量监测管理模型分析摘 要：本文根据微积分原理建立监测管理模型，用以研究储油罐的变位识别与罐容表标定。
根据罐容表的定义，文章从罐内油位高度和储油量（即罐内油品所占体积）的角度出发。
对于问题一，文章解决了小椭圆型储油罐在无变位情况下的油位高度与储油量的关系问题，并建立了相关模型；其次，还得到了小椭圆型储油罐在仅有纵向变位条件下，油位高度与储油量的关系，其中针对其特殊位置的油量关系，进行了分类讨论；最后，根据题目要求，对于罐体变位后的油位高度间隔为1cm 的罐容表进行重新标定，标定结果见表一，得出实际计算进油量与油罐内油量的偏差率为4.5%。
对于问题二，在解决问题一的前提下，根据之前建立的模型，研究了实际储油罐在既有纵向变位又有横向变位的条件下罐内储油量与油位高度之间的一般关系，过程中主要讨论了在实际情况下储油罐在无变位情况，仅存在纵向变位或横向变位情况，以及既有纵向变位又有横向变位的条件下罐内储油量与油位高度之间的一般关系，并建立理想数学模型。
另外，在模型求解的过程中，充分运用了mathematics 数学软件，省去了繁琐的积分演算过程，并且利用了罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，确定变位参数，得出 2.3=α， 8.2=β，从而确立实际数学模型，对罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表重新标定，标定结果见表三。
最后，为了将模型付诸于实践，我们利用实际检测数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性，利用包面法在mathematics 软件中的应用，得出实际出油量与计算所得的出油量的偏差率为1.45﹪，数值较为理想，模型可应用于实际。
关键词：储油罐；变位参数；微积分；包面法；偏差1问题重述随着社会经济发展迅速，汽车逐渐普及，加油站点数目不断增长。
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A
储油罐的变位识别与罐容表标定的积分方程模型摘要：本文通过建立积分方程组模型：()()()()()()()()()()()()()1110022010313120444235454334,0,0,,cos ,,cos ,,cos ,,x d H C V x h x x H x H C V x h x H x H x H C V H S A x B x dx h x H x H x H C C V H x h x H x H C C V H x h x h H H x H ααα==≤≤⎧⎪-⎪==≤≤⎪⎪-⎪=+--=≤≤⎨⎪⎪-=--=≤≤⎪⎪=--=≤≤⎪⎩⎰刻画、描述和揭示了储油罐由于地基变化而引起的罐体变位时储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
合理的假设当储油罐在软土地基所加荷载不大时，地基变形小；当荷载增大到一定程度后．油罐地基沉降速率变快，由于地基内孔隙水来不及消散，地基变形保持体积不变，导致土体侧向移动，从而引起远罐地表土隆起，近罐地表土沉降，随着荷载的增加和时间的延续，地基内孔隙水压力逐渐消散，土体固结而产生沉降，使得隆起的地表又逐渐下沉，经过一段时间后，趋于稳定，即储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系曲线就是先是有坡度的，然后有一个平缓的部分，还有一个有坡度的部分。
再利用非线性回归分析的方法通过附表中的数据将α与β非线性拟合出来 ，且拟合效果高度逼近理论结果，从而在模型中任意给出重要参数()S x (油面横切面的面积)，1l (倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距离)，2l (倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离), 3l (倾斜时油箱右上顶点到油面的距离)的值，便可以描述出储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
以此为基础，给出了两个问题较完备的答案。
关键词：积分方程；非线性回归分析；非线性拟合；油面高度；罐容表标定刻度一 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010“高教社杯”全国大学生数学建模大赛A题论文
基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。
本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。
问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。
分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。
最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。
问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。
在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2010数学建模论文(储油罐问题)
储油罐的变为识别与灌容表标定目录储油罐的变为识别与灌容表标定 (1)目录 (1)摘要 (2)一问题的提出 (3)二符号说明 (3)三模型的假设 (4)四问题分析 (4)五模型的建立及求解 (5)1.问题一 (5)1.1未变位的椭圆球体 (5)1.2变位后的椭圆球体 (7)1.3用已经建立的模型研究罐体变位后对灌容表的影响。
(9)1.4计算油位高度为1cm的灌容表标定值 (10)2.问题二 (11)2.1确定储油量与储油高度及变位参数的关系 (11)六．模型的检验 (14)七．模型改进方向 (15)参考文献 (15)摘 要加油站的地下储油罐使用一段时间后会发生变位，针对这个问题，我们建立了数学模型，并利用matlab 和mathmatica 等软件对其进行求解，得到了储油罐的变位后对灌容表的影响和对变位后的罐容量重新标定。
问题一，我们先针对储油罐变位前后分别对体积其建立数学积分模型，用数值积分求得模型，然后用附表一中的有无变位进油中所得的油位高度分别代入两个模型求得体积与附表一相对应的累加进油量和灌内容量初始值之和相差不大，说明我们建立的模型可以接受。
用这两个模型变位前后的曲线，发现变位后的油罐灌容表测得高度值偏大，致使测得容量值与实际值相比偏小。
根据误差分析对模型进行修正并检验，并利用变位后的修正模型模型给出了间隔1cm 的灌容表标定值。
问题二，以圆柱体为主体，两边是两个球冠体的储油罐发生横向偏移和纵向偏移之，首先分析储油罐横向偏转对油位探针测量的高度2h 的影响，储油罐发生纵向倾斜对任意位置油面的高度的影响。
把该储油罐分成中间部分和左右两个球冠体，然后针对储油罐变位后分别对三部分建立数学积分模型，得出油罐中油的体积与油位探针测量的高度2h 的积分关系，比较复杂不易求解，从而对模型进行简化，得到了灌内储油量与油位高度及变位参数α和β的关系5232.532528.3356cos 42.5034cos 56.6712tan v h ββα=+--，通过待定系数法确定了变位参数的值0.2693,21.3484αβ=︒=︒。
数学建模A题油罐问题思路
数学建模A题油罐问题思路————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2010油罐问题思路问题一：解题的总思路是采用微元法求体积。
（1）罐体无变位时的罐容体积模型：当油罐无变位时，取小椭圆油罐截面椭圆，建立适当的坐标系如右图所示：利用椭圆曲线方程，沿右半椭圆曲线对y (0,)h ∈积分,从而 求出小椭圆油截面积为()S h ,由此得出罐体体积()()V h L S h =*。
为验证模型的准确合理性：取附录一数据中的高度h 代入体积公式算出对应的剩余油量理论值，将其与实际剩余值进行曲线拟合。
（2）纵向变位倾斜角04.1α=时的罐容表标定模型： 同样利用积分思想求变位后的体积，对油罐正面示意图建立相应的坐标系，如下图所示：其中120.4, 2.05,3L m L m M m ===根据上图可求得横坐标油面的高度为：1()*tan y h L x α=+- 根据罐油量的多少，可以将它分为三种类型讨论：① 当20tan h L α≤≤，如右下图所示：可求得油罐量的体积为：1tan 10()(()*tan )h L V h S h L x dx αα+=+-⎰②当21tan tan L h M L αα<<-时，如下图所示： 可求得油罐量的体积为：1210()(()*tan )L L V h S h L x dx α+=+-⎰③当1tan M L h M α-≤≤时，如图所示： 可求得油罐量的体积为：1tan 10(()*tan )hL m V V S h L x dx αα+=-+-⎰然后进行模型的验证：由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量V ，将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律，作出误差分析，判断模型建立的合理性。
根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h 的公式，则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的灌容表标定值。
2010年数学建模论文
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要在加油站的储油罐中，一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据。
在问题1中，我们对无α=︒的纵向变位的情况利用重积分的方法建立了基本数学模型，并对倾斜角 4.1变位建立了罐体变位后对灌容表影响的两种数学模型，并利用MATLAB软件中误差分析函数，对附件1的数据进行处理，同时对两种模型进行校验得出了最优模型，并确定了罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值。
在问题2中，我们利用问题1的相关结论以及近似、微元法、迭代法、重积分、数理统计等常用的数学方法建立了罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型，而后通过MATLAB软件对附件2数据进行分析与校验，最终确定了所建数学模型的变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
同时进一步利用附件2中的实际检测数据验证了所建模型的正确性与方法的可靠性。
关键词：变位、最优化处理、微元法、数理统计、迭代法、MATLAB一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
2010年全国高教杯数学建模——关于油罐问题解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。
针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。
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承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。
针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。
针对问题二中的典型储油罐的横纵变位对罐容表的影响，建立了积分容积模型。
我们对横向变位(α≠0,β=0)、纵向变位(α=0,β≠0)和横纵变位(α≠0,β≠0)三种情况分别进行研究，最终得到了三种情况α,β和罐容表之间的一般关系。
根据所建模型求解出了三种情况下α，β值分别为：(1)α=3.878;(2)β=7.920;(3)α= 2.762，β=5.390。
对于所建的模型，都有严谨的数学推导，并通过模型检验证明所建模型具有可靠性和准确性。
关键词：变位 积分 修正高度 运动合成模型一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
二、基本假设1、假设温度变化对实验数据没有影响。
2、假设罐体壁厚度不考虑。
3、由地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，假设这个纵向倾斜和横向偏转角度都为小角度。
4、假设油浮子阻力可以忽略不计。
5、假设油浮子的体积大小忽略，将其认为为一个点。
三、符号说明H油浮子的高度V储油罐内的油量α纵向变位的角度β横向变位的角度L油罐的长度l 浮油子杆到油罐左端的距离 h 油罐的直径R 球冠体所在球的半径 r 油罐圆柱体的半径 a 椭圆油罐的长半轴 b 椭圆油罐的短半轴'H 油面修正高度四、 问题分析与建模4.1 数据预处理对于附件中的实验数据，由于在实验中存在读数、测量方法、仪器及电磁干扰等等因素产生的粗大误差和由固定不变的或者规律变化因素造成的系统误差。
对于存在的这两种误差，我们分采用了中位数检验法和马利科夫判据读数据作处理，筛选出真实有效的数据。
在附件一中，两组进油数据中都有底油，H 高度油罐中的油量为累加油量加上底油才是当前高度H 对应的油量V ，对两附件数据部分处理结果（见附录）。
4.2 问题一的分析与建模在问题一中用)(1H V 表示无变位的高度H 和油量V ，)(2H V 表示无变位的高度H 和油量V ，问题一中为了要掌握罐体变位后对罐容表的影响，必须要得到罐体无变位和倾斜后油量V 和高度H 的函数V 关系,因此根据附件数据，建立了模型一：数据拟合模型。
我们采用了对于该数据比较适合的拟合算法麦夸特(Levenberg-Marquardt) 和通用全局优化法,用1stOpt 进行拟合得到函数模型：油罐无变位时： 油罐无变位(1)2324.20003.00163.04695.03387.77590.625595.21402495.0)(273252231H H H H H H H H V *-*+*-*+*-*+*-=时：(2)109298.610600.2108963.3100158.3104300.100742.00872.0)(123310268206144822H H H H H H H V **-**+**-**+**-*+=-----由于用拟合方式只有在统计上具有说服力，要得到油量V 和高度H 更加准确和更加有说服力对应函数)(H F V =，根据题中给出的罐体的各种参数和对于这种规则但罐体倾斜的体积，我们采用了积分方法建模，得到了我们的模型二：积分容积模型。
4.2.1 问题一无变位情况 在这种情况下，利用积分求体积的方式很快就能够建立出无变位的数学模型—--积分容积模型（各参变量如图1所示）。
z图1 不变位情况图示具体方法如下：建立如图1所示的坐标系，在油罐液体中，沿着平行于xoy 平面的方向取出一个油液薄片，其体积L dS dV *=。
dS 为截面的面积，得到下面坐标系如图2的截面图：图 1 椭圆截面图示截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，dy x dS **2= ，因此dy b y ba a dS *)(*22222--=，在将dS 沿y 轴从0到H 积分得到油的体积：()(3) 2)(0221⎰--=Hdy b y b baL H V 4.2.2 问题一变位情况经过分析在变位时存在两种特殊情况：第一种油面很低，由于变位油液始终在斜底部，以至于增加少量油液，油液高度H 始终为0；第二种情况当油面很高，高到油浮子到了杆的顶部，此后随着油液的增加油液高度始终保持最大值H 不变。
除这两种特殊情况外存在三种一般情况，求出了具体的H V -关系。
由于H 在不同的取值区间有不同函数以及被积区间，我们把积分过程分成以下情况。
情况一：液高度H 低于AB ，即︒*≤≤tan4.1l)-(L H 0时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图3所示）。
z图 2 变位情况一图示对于这种情况，建立如图3所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+b b y a x ，取出油液薄片，油液薄片投影如图4所示。
X图 3 变位情况一截面投影图示先对算出截面的面积dy b y ba a dy x ds *)(*2**22222--==，而对dS 积分的上限即y 的值与截面所取的位置有关即与z 有关，所以根据油高H 和α角建立关系求出上限值，上限值等于ααtan *tan *z l H -+，再将面积对z 积分，z 的上限值确定也与H 和α有关，为αtan Hl +，得出积分表达式如下：()(4) 2)(tan 02222tan tan 02dydz b y ba a H V H l z l H ⎰⎰+-+--=ααα情况二：液高度H 低于AB , 即︒︒*≤<*tan4.1l -h 4.1tan l)-(L H 时，能够建立模型----积分容积数学模型（各参变量如图5所示）。
z图 4 变位情况二图示对于此情况，建立如图5所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，油液薄片如上图所示，仿照情况一的思路，我们得到这种情况下的积分式：()(5) 2)(0tan tan 022222⎰⎰-+--=Lz l H dydz b y ba a H V αα情况三：液高度H 低于AB ,即︒*>tan4.1l -h H 时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图6所示）。
z图 5 变位情况三图示对于这种情况，建立如图6所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，油的体积可分成两部分，第一部分为规则的椭圆柱的体积，第二部分为一不规则体的体积。
对规则的椭圆柱求其体积，求出椭圆柱的高为αtan hH l -+，利用底乘以高得到)tan (*απhH l ab -+，从而得出第一部分的体积；对于第二部分，仍取油液薄片如图6所示，仍是算出薄片的微元体积再对其积分，为此先根据H 和α的关系确定出积分上下限，对面积积分即对y 积分时因为积分的高度与取油液薄片的位置（z的取值）、H 和α的值有关，所以根据H l z y =-+αtan *)(,求出y 的值即为对y 积分的上限，对z 积分时，下限的取值是椭圆柱的高到罐体长L 。