3--刀具半径补偿计算
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（五）刀具半径补偿计算 刀具半径补偿，就是计算刀具中心轨迹的各个转接点的坐标值， 刀具半径补偿，就是计算刀具中心轨迹的各个转接点的坐标值，计算 方法与轮廓线型 直线或圆弧）、转接类型（缩短型、伸长型或插入型） 轮廓线型（ ）、转接类型 方法与轮廓线型（直线或圆弧）、转接类型（缩短型、伸长型或插入型） 刀补状态（建立状态、进行状态、撤消状态和非刀具半径补偿状态） 和刀补状态（建立状态、进行状态、撤消状态和非刀具半径补偿状态）有 关。 下面针对直线接直线、直线接圆弧、 下面针对直线接直线、直线接圆弧、圆弧接直线和圆弧接圆弧这四种 线型组合方式，分别讨论刀具半径补偿的计算公式。 线型组合方式，分别讨论刀具半径补偿的计算公式。
=0° ④ α=0°时的处理 在刀具半径补偿建立状态下， =0° 在刀具半径补偿建立状态下，α=0°将 会导致刀具干涉。 会导致刀具干涉。因此用户在编制数控加工 程序时，应该尽量避免出现这种情况。 程序时，应该尽量避免出现这种情况。如果 用户程序出现了这种情况， 用户程序出现了这种情况，系统设计者可以 使系统停止运行并给出一个警告。 使系统停止运行并给出一个警告。
x = −r Yl + k X L y = r X l + k YL
消去参量k 消去参量k，可得等距线方程为
r
rd
P1
l
X
x YL − y X L = −r
（2-1）
② 等距线交点 根据（ 相邻直线轮廓等距线的联立方程如下。 根据（2-1）式，相邻直线轮廓等距线的联立方程如下。
x YL1 − y X L1 = −r x YL 2 − y X L 2 = −r
Y
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
X S 1 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 1 = Y1 + r X l1 + r Yl1 X S 2 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 2 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
S1
P1(X1,Y1) S2 X
S3
X
X S 2 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 2 = Y1 + r X l1 + r Yl1
转接点S3（ 相对于点P沿第二 转接点 （Xs3，Ys3）相对于点 沿第二 条编程轮廓在P1点处的方向矢量的反方向偏移 条编程轮廓在 点处的方向矢量的反方向偏移 了一个刀具半径，故有： 了一个刀具半径，故有：
S2
P0
X
=180° ⑤ α=180°时的处理 此时只有一个转接点。 此时只有一个转接点。
Y
时Biblioteka Baidu
S P1(X1,Y1) P0(X0,Y0)
两条编程轮廓共线，转接角为 两条编程轮廓共线，转接角为180° ，刀具 共线 ° 中心轨迹的交点坐标为： 中心轨迹的交点坐标为：
P2(X2,Y2)
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
X
② 伸长型 此时只有一个转接点S1（ ），该点为两条程编直线轮廓的等距线的交点 该点为两条程编直线轮廓的等距线的交点。 此时只有一个转接点 （Xs1，Ys1），该点为两条程编直线轮廓的等距线的交点。通 过建立两条等距线的直线方程，并联立求解，可得计算公式如下： 过建立两条等距线的直线方程，并联立求解，可得计算公式如下：
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
X
X l 2 − X l1 X S 2 = X1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 r YS 2 = Y1 + X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1
注意： 注意： 当拐角为90° 当拐角为 °时，仍然可以按照伸 长型计算转接点。 长型计算转接点。 当拐角为180° 时，有 当拐角为 °
④ α=0°时的处理 =0° 此时有二个转接点。 此时有二个转接点。
X S 1 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 1 = Y1 + r X l1 + r Yl1
Y
S2 P1 P2
S1
X S 2 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 2 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
S1 S2
P1(X1,Y1)
P
③ 插入型 此时有三个转接点。 此时有三个转接点。 转接点S1（ 相对于轮廓拐点P1 转接点 （Xs1，Ys1）相对于轮廓拐点 仅相差第一条编程轨迹在 第一条编程轨迹在P1点的刀具半径矢量 仅相差第一条编程轨迹在 点的刀具半径矢量 故有： ，故有：
Y
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
Y P0(X0,Y0) S P2(X2,Y2) P1(X1,Y1) X
X l 2 − X l1 X S1 = X 1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1
当
X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 = 0
求解该方程可得
x = r ( X L 2 − X L1 ) ( X L1 YL 2 − X L 2 YL1 ) y = r(YL 2 − YL1 ) ( X L1 YL 2 − X L 2 YL1 )
Y
l2
X
l1
对于直线轮廓端点P 在坐标系中任意位置的一般情况， 对于直线轮廓端点P1在坐标系中任意位置的一般情况，根据上述讨论 结果可得等距线交点坐标为
X l 2 − X l1 X S1 = X 1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 r YS 1 = Y1 + X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1
③ 插入型 此时有两个转接点。 此时有两个转接点。
Y
S P1(X1,Y1)
P0(X0,Y0) P2(X2,Y2) X
X S 1 = X 1 − r Yl 2 YS 1 = Y1 + r X l 2
该式可用于拐角为180°的情况。 该式可用于拐角为180°的情况。 180 Y
P0(X0,Y0) S1 P2(X2,Y2)
P1(X1,Y1)
X
② 伸长型 此时有两个转接点： 此时有两个转接点： 转接点S1 S1（ 转接点S1（Xs1，Ys1）相对于轮廓拐 P1仅相差第一条编程轮廓在P1 仅相差第一条编程轮廓在P1点的刀具 点P1仅相差第一条编程轮廓在P1点的刀具 半径矢量，故有： 半径矢量，故有：
X S 3 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 3 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
注意： 注意： 按照这里介绍的算法确定进刀编程 按照这里介绍的算法确定进刀编程 轨迹（包含G41/G42的程序段）的刀具 的程序段） 轨迹（包含 的程序段 中心轨迹时 中心轨迹时，仍然有可能发生刀具干涉 现象，因此在编制数控加工程序时， 现象，因此在编制数控加工程序时，一 定要合理选择进刀编程轨迹 进刀编程轨迹。 定要合理选择进刀编程轨迹。
Y
S1
S2
P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)
P0(X0,Y0)
X
③ 插入型 此时有三个转接点： 此时有三个转接点：
Y
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
X S 2 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 2 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
P1(X1,Y1)
Y P0(X0,Y0) S P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
② 伸长型 此时有两个转接点： 此时有两个转接点：
X
X l 2 − X l1 X S1 = X 1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 X S 2 = X 1 − r Yl 2 YS 2 = Y1 + r X l 2
Y
S3 S4 P1 P2 S1 S2
P0
X
=180° ⑤ α=180°时的处理 此时可按缩短型处理
刀具半径补偿进行状态 ① 缩短型 此时只有一个转接点S1（ ），该点 此时只有一个转接点 （Xs1，Ys1），该点 为两条编程直线轮廓的等距线的交点。 编程直线轮廓的等距线的交点 为两条编程直线轮廓的等距线的交点。通过建立 两条等距线的直线方程，并联立求解， 两条等距线的直线方程，并联立求解，可得计算 公式如下： 公式如下：
（1）直线接直线 相邻直线轮廓等距线的交点 ① 直线轮廓等距线方程 假设直线轮廓端点P 在坐标系原点上， 假设直线轮廓端点P1在坐标系原点上，直线轮廓上该点的方向矢量为l
rd , r 刀具半径矢量为 ，则等距线上任意一点的位矢 为 r = rd + k l
这是一个矢量方程， 这是一个矢量方程，转换为分量形式 Y
X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 = 0
该式不可用。 该式不可用。
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
转接点S2（ 相对于转接点S1沿 转接点 （Xs2，Ys2）相对于转接点 沿 第一条编程轮廓在P1点处的方向矢量的方向偏 第一条编程轮廓在 点处的方向矢量的方向偏 移了一个刀具半径，故有： 移了一个刀具半径，故有：
Y
S1 P1 P2 S3
=0° ④ α=0°时的处理 在刀具半径补偿撤消状态下， =0° 在刀具半径补偿撤消状态下，α=0°将 会导致刀具干涉。 会导致刀具干涉。因此用户在编制数控加工 程序时，应该尽量避免出现这种情况。 程序时，应该尽量避免出现这种情况。如果 用户程序出现了这种情况， 用户程序出现了这种情况，系统设计者可以 使系统停止运行并给出一个警告。 使系统停止运行并给出一个警告。
X S 1 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 1 = Y1 + r X l1 + r Yl1
X S 3 = X 1 − r Yl 2 YS 3 = Y1 + r X l 2
S3 S1 S2 X
按照这里介绍的算法确定退刀编程轮廓（包含G40的程序段）的刀具中心轨迹时， 的程序段） 按照这里介绍的算法确定退刀编程轮廓（包含 退刀编程轮廓 的程序段 的刀具中心轨迹时 仍然有可能发生刀具干涉现象，因此在编制数控加工程序时，一定要合理选择退刀编 仍然有可能发生刀具干涉现象，因此在编制数控加工程序时，一定要合理选择退刀编 程轮廓。 程轮廓。
X L 2 − X L1 x = X1 + r X L1 YL 2 − X L 2 YL1 YL 2 − YL1 y = Y1 + r X L1 YL 2 − X L 2 YL1
Y
（2-2）
l2
P1(X1,Y1)
l1
X
刀具半径补偿建立状态 ① 缩短型 此时只有一个转接点S1 S1（ ），该点相对于轮廓拐点P1（X1， 该点相对于轮廓拐点P1 此时只有一个转接点S1（Xs1，Ys1），该点相对于轮廓拐点P1（X1，Y1 仅相差第二条编程轮廓在P1点的刀具半径矢量 故有： 第二条编程轮廓在P1点的刀具半径矢量， ）仅相差第二条编程轮廓在P1点的刀具半径矢量，故有：
Y
S1
S2 P1(X1,Y1)
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
转接点S2（ 为两条编程直 转接点S2（Xs2，Ys2）为两条编程直 S2 线轮廓的等距线的交点 的等距线的交点。 线轮廓的等距线的交点。通过建立两条等 距线的直线方程，并联立求解， 距线的直线方程，并联立求解，可得计算 公式如下： 公式如下：
P0
X
=180° ⑤ α=180°时的处理 见缩短型处理小节。 见缩短型处理小节。
3）刀具半径补偿撤消状态 ） ① 缩短型 此时只有一个转接点S1（ ），该点 此时只有一个转接点 （Xs1，Ys1），该点 相对于轮廓拐点P1 相对于轮廓拐点 （X1，Y1）仅相差第一条编 ， ）仅相差第一条编 程轨迹在P1点的刀具半径矢量 故有： 点的刀具半径矢量， 程轨迹在 点的刀具半径矢量，故有：
=0° ④ α=0°时的处理 在刀具半径补偿建立状态下， =0° 在刀具半径补偿建立状态下，α=0°将 会导致刀具干涉。 会导致刀具干涉。因此用户在编制数控加工 程序时，应该尽量避免出现这种情况。 程序时，应该尽量避免出现这种情况。如果 用户程序出现了这种情况， 用户程序出现了这种情况，系统设计者可以 使系统停止运行并给出一个警告。 使系统停止运行并给出一个警告。
x = −r Yl + k X L y = r X l + k YL
消去参量k 消去参量k，可得等距线方程为
r
rd
P1
l
X
x YL − y X L = −r
（2-1）
② 等距线交点 根据（ 相邻直线轮廓等距线的联立方程如下。 根据（2-1）式，相邻直线轮廓等距线的联立方程如下。
x YL1 − y X L1 = −r x YL 2 − y X L 2 = −r
Y
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
X S 1 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 1 = Y1 + r X l1 + r Yl1 X S 2 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 2 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
S1
P1(X1,Y1) S2 X
S3
X
X S 2 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 2 = Y1 + r X l1 + r Yl1
转接点S3（ 相对于点P沿第二 转接点 （Xs3，Ys3）相对于点 沿第二 条编程轮廓在P1点处的方向矢量的反方向偏移 条编程轮廓在 点处的方向矢量的反方向偏移 了一个刀具半径，故有： 了一个刀具半径，故有：
S2
P0
X
=180° ⑤ α=180°时的处理 此时只有一个转接点。 此时只有一个转接点。
Y
时Biblioteka Baidu
S P1(X1,Y1) P0(X0,Y0)
两条编程轮廓共线，转接角为 两条编程轮廓共线，转接角为180° ，刀具 共线 ° 中心轨迹的交点坐标为： 中心轨迹的交点坐标为：
P2(X2,Y2)
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
X
② 伸长型 此时只有一个转接点S1（ ），该点为两条程编直线轮廓的等距线的交点 该点为两条程编直线轮廓的等距线的交点。 此时只有一个转接点 （Xs1，Ys1），该点为两条程编直线轮廓的等距线的交点。通 过建立两条等距线的直线方程，并联立求解，可得计算公式如下： 过建立两条等距线的直线方程，并联立求解，可得计算公式如下：
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
X
X l 2 − X l1 X S 2 = X1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 r YS 2 = Y1 + X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1
注意： 注意： 当拐角为90° 当拐角为 °时，仍然可以按照伸 长型计算转接点。 长型计算转接点。 当拐角为180° 时，有 当拐角为 °
④ α=0°时的处理 =0° 此时有二个转接点。 此时有二个转接点。
X S 1 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 1 = Y1 + r X l1 + r Yl1
Y
S2 P1 P2
S1
X S 2 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 2 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
S1 S2
P1(X1,Y1)
P
③ 插入型 此时有三个转接点。 此时有三个转接点。 转接点S1（ 相对于轮廓拐点P1 转接点 （Xs1，Ys1）相对于轮廓拐点 仅相差第一条编程轨迹在 第一条编程轨迹在P1点的刀具半径矢量 仅相差第一条编程轨迹在 点的刀具半径矢量 故有： ，故有：
Y
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
Y P0(X0,Y0) S P2(X2,Y2) P1(X1,Y1) X
X l 2 − X l1 X S1 = X 1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1
当
X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 = 0
求解该方程可得
x = r ( X L 2 − X L1 ) ( X L1 YL 2 − X L 2 YL1 ) y = r(YL 2 − YL1 ) ( X L1 YL 2 − X L 2 YL1 )
Y
l2
X
l1
对于直线轮廓端点P 在坐标系中任意位置的一般情况， 对于直线轮廓端点P1在坐标系中任意位置的一般情况，根据上述讨论 结果可得等距线交点坐标为
X l 2 − X l1 X S1 = X 1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 r YS 1 = Y1 + X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1
③ 插入型 此时有两个转接点。 此时有两个转接点。
Y
S P1(X1,Y1)
P0(X0,Y0) P2(X2,Y2) X
X S 1 = X 1 − r Yl 2 YS 1 = Y1 + r X l 2
该式可用于拐角为180°的情况。 该式可用于拐角为180°的情况。 180 Y
P0(X0,Y0) S1 P2(X2,Y2)
P1(X1,Y1)
X
② 伸长型 此时有两个转接点： 此时有两个转接点： 转接点S1 S1（ 转接点S1（Xs1，Ys1）相对于轮廓拐 P1仅相差第一条编程轮廓在P1 仅相差第一条编程轮廓在P1点的刀具 点P1仅相差第一条编程轮廓在P1点的刀具 半径矢量，故有： 半径矢量，故有：
X S 3 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 3 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
注意： 注意： 按照这里介绍的算法确定进刀编程 按照这里介绍的算法确定进刀编程 轨迹（包含G41/G42的程序段）的刀具 的程序段） 轨迹（包含 的程序段 中心轨迹时 中心轨迹时，仍然有可能发生刀具干涉 现象，因此在编制数控加工程序时， 现象，因此在编制数控加工程序时，一 定要合理选择进刀编程轨迹 进刀编程轨迹。 定要合理选择进刀编程轨迹。
Y
S1
S2
P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)
P0(X0,Y0)
X
③ 插入型 此时有三个转接点： 此时有三个转接点：
Y
P0(X0,Y0)
P2(X2,Y2)
X S 2 = X 1 − r Yl 2 − r X l 2 YS 2 = Y1 + r X l 2 − r Yl 2
P1(X1,Y1)
Y P0(X0,Y0) S P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
② 伸长型 此时有两个转接点： 此时有两个转接点：
X
X l 2 − X l1 X S1 = X 1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 Yl 2 − Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 X S 2 = X 1 − r Yl 2 YS 2 = Y1 + r X l 2
Y
S3 S4 P1 P2 S1 S2
P0
X
=180° ⑤ α=180°时的处理 此时可按缩短型处理
刀具半径补偿进行状态 ① 缩短型 此时只有一个转接点S1（ ），该点 此时只有一个转接点 （Xs1，Ys1），该点 为两条编程直线轮廓的等距线的交点。 编程直线轮廓的等距线的交点 为两条编程直线轮廓的等距线的交点。通过建立 两条等距线的直线方程，并联立求解， 两条等距线的直线方程，并联立求解，可得计算 公式如下： 公式如下：
（1）直线接直线 相邻直线轮廓等距线的交点 ① 直线轮廓等距线方程 假设直线轮廓端点P 在坐标系原点上， 假设直线轮廓端点P1在坐标系原点上，直线轮廓上该点的方向矢量为l
rd , r 刀具半径矢量为 ，则等距线上任意一点的位矢 为 r = rd + k l
这是一个矢量方程， 这是一个矢量方程，转换为分量形式 Y
X l1 Yl 2 − X l 2 Yl1 = 0
该式不可用。 该式不可用。
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
转接点S2（ 相对于转接点S1沿 转接点 （Xs2，Ys2）相对于转接点 沿 第一条编程轮廓在P1点处的方向矢量的方向偏 第一条编程轮廓在 点处的方向矢量的方向偏 移了一个刀具半径，故有： 移了一个刀具半径，故有：
Y
S1 P1 P2 S3
=0° ④ α=0°时的处理 在刀具半径补偿撤消状态下， =0° 在刀具半径补偿撤消状态下，α=0°将 会导致刀具干涉。 会导致刀具干涉。因此用户在编制数控加工 程序时，应该尽量避免出现这种情况。 程序时，应该尽量避免出现这种情况。如果 用户程序出现了这种情况， 用户程序出现了这种情况，系统设计者可以 使系统停止运行并给出一个警告。 使系统停止运行并给出一个警告。
X S 1 = X 1 − r Yl1 + r X l1 YS 1 = Y1 + r X l1 + r Yl1
X S 3 = X 1 − r Yl 2 YS 3 = Y1 + r X l 2
S3 S1 S2 X
按照这里介绍的算法确定退刀编程轮廓（包含G40的程序段）的刀具中心轨迹时， 的程序段） 按照这里介绍的算法确定退刀编程轮廓（包含 退刀编程轮廓 的程序段 的刀具中心轨迹时 仍然有可能发生刀具干涉现象，因此在编制数控加工程序时，一定要合理选择退刀编 仍然有可能发生刀具干涉现象，因此在编制数控加工程序时，一定要合理选择退刀编 程轮廓。 程轮廓。
X L 2 − X L1 x = X1 + r X L1 YL 2 − X L 2 YL1 YL 2 − YL1 y = Y1 + r X L1 YL 2 − X L 2 YL1
Y
（2-2）
l2
P1(X1,Y1)
l1
X
刀具半径补偿建立状态 ① 缩短型 此时只有一个转接点S1 S1（ ），该点相对于轮廓拐点P1（X1， 该点相对于轮廓拐点P1 此时只有一个转接点S1（Xs1，Ys1），该点相对于轮廓拐点P1（X1，Y1 仅相差第二条编程轮廓在P1点的刀具半径矢量 故有： 第二条编程轮廓在P1点的刀具半径矢量， ）仅相差第二条编程轮廓在P1点的刀具半径矢量，故有：
Y
S1
S2 P1(X1,Y1)
X S 1 = X 1 − r Yl1 YS 1 = Y1 + r X l1
转接点S2（ 为两条编程直 转接点S2（Xs2，Ys2）为两条编程直 S2 线轮廓的等距线的交点 的等距线的交点。 线轮廓的等距线的交点。通过建立两条等 距线的直线方程，并联立求解， 距线的直线方程，并联立求解，可得计算 公式如下： 公式如下：
P0
X
=180° ⑤ α=180°时的处理 见缩短型处理小节。 见缩短型处理小节。
3）刀具半径补偿撤消状态 ） ① 缩短型 此时只有一个转接点S1（ ），该点 此时只有一个转接点 （Xs1，Ys1），该点 相对于轮廓拐点P1 相对于轮廓拐点 （X1，Y1）仅相差第一条编 ， ）仅相差第一条编 程轨迹在P1点的刀具半径矢量 故有： 点的刀具半径矢量， 程轨迹在 点的刀具半径矢量，故有：