高一力学竞赛训练1——教师用

高一力学竞赛模拟题一

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1.有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？

2.有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面

绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20

m，地球半径

R＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通

道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

3.一半径为 1.00m R =的水平光滑圆桌面，圆心为O ，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C ，如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.510kg m =⨯－的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为

0 4.0m/s v =的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立

柱上。已知当绳的张力为0 2.0N T =时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．

1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?

2．若绳刚要断开时，桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度0.80m H =．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为

210m/s ．

4.如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1 年。1986 年它过近日点P0时，与太阳S 的距离r0=0.590AU,AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP0的夹角θp = 72.0o已知：1AU =1.50×1011m，引力常量G=6.67×10−11m3kg−1s−2，太阳质量m s=1.99×1030kg。试求P 到太阳S 的距离r p及彗星过P 点时速度的大小和方向（用速度方向与SP0的夹角表示）

5.设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ；物块边长为b，密度为'ρ，且ρ

ρ<'。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

6.如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为π-α，α <π/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内

挡板对C的冲量的大小．

7.图中的AOB 是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R 的1/4圆周连接而成，它们的圆心1O 、2O 与两圆弧的连接点O 在同一竖直线上．B O 2沿水池的水面．一小滑块可由弧AO 的任意点从静止开始下滑．

1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO 上的何处？（用该处到1O 的连线与竖直线的夹角表示）．

2．凡能在O 点脱离滑道的小滑块，其落水点到2O 的距离如何？

8.如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给v沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，定速度

并详细讨论以后可能发生的运动情况。

参考答案

1.放上圆柱B 后，圆柱B 有向下运动的倾向，对圆柱A 和墙面有压

力。圆柱A 倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A 受地面的正压力为1N ，水平摩擦力为1F ；圆柱B 受墙面的正压力为，竖直摩擦力为2F ，圆柱A 受圆柱B 的正压力为3N ，切向摩擦力为3F ；圆柱B 受圆柱A 的正压力为3N '，切向摩擦力为3F '，如图复解20-5所示。各力以图示方向为正方向。

已知圆柱A 与地面的摩擦系数1μ＝0.20，两圆柱间的摩擦系数3μ＝0.30。设圆柱B 与墙面的摩擦系数为2μ，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为ϕ。

设两圆柱的质量均为M ，为了求出1N 、2N 、3N 以及为保持平衡所需的1F 、2F 、3F 之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程： 圆柱A ：133sin cos 0Mg N N F ϕϕ-++=（1）

133cos sin 0F N F ϕϕ-+=（2）

13F R F R =（3）

圆柱B ：233sin cos 0Mg F N F ϕϕ''---=（4）

233cos sin 0N N F ϕϕ''-+=（5）

32F r F r '=（6）

由于33F F '=，所以得

1233F F F F F '====（7）

式中F 代表1F ，2F ，3F 和3F '的大小。又因33N N '=，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：

2

N