复变函数的积分
复变函数的积分
4i (cos i sin )d
0
2π
0.
第三章 复变函数的积分
1 例4 求 n 1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 C (z z ) 0 y 径的正向圆周 n 为整数. ,
z
解: 积分路径的参数方程为
z0
o
r
z z0 re i
(0 2π ),
§3.1复变函数积分的概念 及其简单性质
1、 复变函数积分的定义与计算问题
2、复变函数积分的基本性质
第三章 复变函数的积分 光滑曲线的概念回顾:
对于简单曲线C : z x( t ) iy( t ) t 如果在 t 上, x( t ) 和 y( t ) 都是连续的, 且对于 t 的每一个值, 有 [x( t )]2 [y( t )]2 0,那末 称这曲线C为光滑的.
(2)
C
f ( z )dz {u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
f [ z(t )]z(t )dt .
第三章 复变函数的积分
计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. 例1 ： C
解： C的参数方程为: z (3 4i )t , 0 t 1
这里 zk zk zk 1 ,
B
记 = max |zk-zk-1|
y
k z k zk 1
(4)求极限
当 n 无限增加且 0 时,
A
C z n 1
1 2
如果不论对 C 的分法及 k 的 o x 取法如何, Sn有唯一有限的极限J , 则称f ( z )沿着C的正 向可积,极限值J 称为函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
复变函数积分的概念
复变函数积分在物理学的应用中，如何更好地解释和推导 物理现象，是未来研究的一个重要方向。
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感谢观看
波动方程的求解
波动方程
数值解法
复变函数积分在求解波动方程中发挥了关键 作用。波动方程描述了波动现象的基本规律， 通过复变函数积分，可以求解波动方程的解， 从而得到波动过程的详细描述。
对于难以解析求解的波动方程，复变函数积 分还可以与其他数值方法结合，如有限差分 法、有限元法等，提供高效的数值解法，用 于模拟和分析复杂的波动现象。
特性，为电路设计和优化提供指导。
06
总结与展望
复变函数积分的重要性
数学基础
复变函数积分是数学分析的一个 重要分支，它为解决复数域上的 微积分问题提供了基础。
应用广泛
复变函数积分在物理学、工程学、 经济学等领域有着广泛的应用， 如量子力学、电路分析、金融建 模等。
理论价值
复变函数积分对于研究复函数的 性质、解析函数的性质以及全纯 函数的性质等具有理论价值。
特殊函数的积分
指数函数
对于任何实数a，函数e^(az)在全复平面上的 积分等于2π乘以a的整数倍。
对数函数
对于任何非零实数a，函数log(a)(z)在全复平面上的 积分等于2πi乘以a的整数倍。
三角函数
对于任何实数k，函数sin(kz)和cos(kz)在全复 平面上的积分都等于0。
04
复变函数积分的物理意义
路径积分的量子化
在量子力学的路径积分表述中，复变函数积分用于计算粒子在各种路径上的贡 献，从而实现量子态的演化。
其他领域的应用
流体力学中的涡旋场
复变函数积分在流体力学中被用于描述涡旋场的性质，如旋度的计算。
第二章复变函数的积分
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA
f (z)dz
l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz
z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M
1
r
3
r
2
s ds 2 r z r
复变函数的积分
复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。
复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。
本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。
首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。
复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。
在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。
复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。
复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。
柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。
柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。
这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。
在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。
在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。
除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。
通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。
同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。
因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。
总之，复变函数的积分是复分析中的重要概念，它涉及到复数域上的积分运算，需要特殊的技巧和理论来处理。
复变函数的积分
θ =
π- m R θmin - - m R θmax 2mR
θmin
代入 I 可得： I = π ε R
- m R θmin
-
- m R θmax
=
πε 2m
- m R θmin - - m R θmax 0
2mR
CR
若 m < 0， lim f (z) m z z = 0 则要求当 z 在下半平面趋于 ∞ 时， f (z) 一致趋于 0。 R∞ 上一章提到的积分（见下）就是利用 π < θ ≤ π 的任一段大圆弧上 CR 上的积分为 0。当然还要利用一个闭合回 2 路的积分为 0 把积分化为沿 z + 1 = r θ0 （固定 θ0 = 2 π， r 从 0 到无穷）进行。至于什么条件下沿闭合路径积 3 分为 0，下一节就将讨论。
L
,
t2
f (z) z = f [z(t)] z(t) =
L
f [z(t)] z′ (t) t ⟹ 实部与虚部两个一元函数的积分
t1
复变函数积分的性质
◼ 若曲线 L = L1 + L2 + ... + Ln，则
n
f (z) z = f (z) z
L k=1 Lk
Sn = f (ξk) Δ zk 的极限
k=1 n max {Δ zk }
lim
Sn = f (z) z
L
(1.1)
存在，则称极限值为 f (z) 在 L上的积分，记为： ∫ L f (z) z。
注意极限存在须与 1. 弧段的分法 2. ξk 在 zk-1 到 zk 间的取法 无关
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式复变函数积分计算是复变函数理论中的重要内容之一，是对复变函数在给定路径上的定积分进行求解的过程。
复变函数的积分计算公式可以通过两种方式得到：一是基于实变函数定积分的工具，如Cauchy-Riemann方程等，通过对实变函数的求解来得到复变函数的积分计算公式；二是利用复平面上的路径积分来进行计算和推导，通过考虑路径的参数化来得到计算公式。
下面将详细介绍这两种方式。
一、基于实变函数的工具1. Cauchy-Riemann方程：设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)为实部和虚部，z=x+iy是复变量。
如果f(z)在其中一点满足Cauchy-Riemann方程，即u和v满足以下偏导数关系：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x那么f(z)在该点处解析，且在该点处的积分计算公式为：∫ f(z) dz = ∫ (u(x,y)+iv(x,y)) (dx+idy) = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)。
2.基于保守场的路径积分：设f(z)是复平面上的解析函数，且存在实部u(x,y)和虚部v(x,y)，则对于f(z)满足的路径积分公式：∫ f(z) dz = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)其中路径积分沿着点A到点B的路径P进行计算，路径P上的起点为z1，终点为z2二、利用复平面上的路径积分1. 曲线的参数化：考虑路径积分时，首先需要对路径进行参数化。
一般来说，可以将路径P表示为z(t)=x(t)+iy(t)，其中x(t)和y(t)分别是t的函数，而t属于一些区间[a,b]。
这样，路径P上的积分计算问题就转化为对参数t的积分计算问题。
2.几种常见路径的积分公式：(1)闭合路径上的积分：如果路径P是一个闭合路径，且f(z)在P内解析，那么闭合路径上的积分计算公式为：∮ f(z) dz = 0其中∮表示对路径P上的积分。
复变函数的积分方法
复变函数的积分方法一、引言复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。
复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。
本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。
二、复变函数的积分定义在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。
复变函数的积分定义如下：设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有：∫[A,B]f(z)dz = C那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。
三、复变函数的积分方法1. 直线积分直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。
它是沿着一条直线对复变函数进行积分。
直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。
2. 曲线积分曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。
它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。
曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。
3. 围道积分围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。
它是沿着一个围道对复变函数进行积分。
围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。
围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。
四、复变函数的积分应用复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。
它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。
在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。
在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。
五、总结复变函数的积分方法是研究复变函数的重要内容，它在数学和物理中有着广泛的应用。
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复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设C 为从原点沿2y x =至1i +的弧段，则2()Cx iy dz +=⎰[ ]（A ）1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）1566i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg Czdz =⎰[ ]（A ）4π（B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i +3．设C 是从0到12i π+的直线段，则zC ze dz =⎰ [ ]（A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12ei π-4．设()f z 在复平面处处解析且()2iif z dz i πππ-=⎰，则积分()iif z dz ππ--=⎰[ ]（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定二．填空题1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则2Czdz =⎰2 。
2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则2232(4)ÑC z z dz z -+=-⎰10.i π三．解答题1．计算下列积分。
（1）323262121()02iz iiz i i i e dzee e ππππππ---==-=⎰22222sin1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分||C z dz z ⎰Ñ的值，其中C 为正向圆周：（1）2200||22,022224.2i i i z C z e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I=2200||44,024448.4i i i z C z e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I=3．分别沿y x =与2y x =算出积分10()ii z dz +-⎰的值。
解：(1)沿y=x 的积分曲线方程为(1),01z i t t =+≤≤则原积分11120[(1)](1)(12)[(1)]2I i i t i dti t dt i t t i =--+=--=--=-⎰⎰（2）沿2y x =的积分曲线方程为2,01z t it t =+≤≤则原积分120113224300[()](12)3112[32(1)][()]2.2233I i t it it dtt t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+⎰⎰4．计算下列积分(1)2()Cx y ix dz -+⎰,C:从0到1i +的直线段；C 的方程：(1),01z i t t =+≤≤(),01x t tt =⎧≤≤⎨或则原积分120120[](1)1(1).3I t t it i dti i t dt =-++-=-=⎰⎰(2)2()Cz zz dz +⎰，C ：||1z =上沿正向从1到1-。
C 的方程：,0i z e θθπ=≤≤则原积分20330(1)8().33i i i i i i I e ie d e i e e d e πθθπθπθθθθθ=+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广－复合闭路定理一、选择题1． 设()f z 在单连通区域B 内解析，C 为B 内任一闭路，则必有 [ ]（A ）Im[()]0Cf z dz =⎰Ñ （B ）Re[()]0Cf z dz =⎰Ñ （C ）|()|0Cf z dz =⎰Ñ （D ）Re ()0Cf z dz =⎰Ñ2．设C 为正向圆周1||2z =，则321cos2(1)C z z dz z -=-⎰Ñ [ ] （A ）2(3cos1sin1)i π- （B ）0 （C ）6cos1i π （D ）2sin1i π- 3．设()f z 在单连通域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分()2()()()Cf z f z f z dz f z '''++=⎰Ñ [ ] （A ）2i π （B ） 2i π- （C ） 0 （D ）不能确定二、填空题1．设C 为正向圆周||3z =，则||C z z dz z +=⎰Ñ6.i π2．闭曲线:||1C z =取正方向，则积分122(2)(3)z C edz z z -=+-⎰Ñ 0 。
三、解答题利用柯西积分公式求复积分（1）判断被积函数具有几个奇点； （2）找出奇点中含在积分曲线内部的，若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零； 若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式. 1．计算下列积分 （1）221,:||(0);C dz C z a a a z a -=>-⎰Ñ .22111121111C C dz dz z a a z a z a i π⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎛⎫⎰⎰蜒解：22221112.C z aC z a z aidz i z a z aaππ==-=⋅=-+⎰Ñ解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，故由柯西积分公式可得 （2）．2,:||2;1C zdz C z z =-⎰Ñ21111=+=22)2.121+12C C z dz dz i i i z z z πππ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰蜒解：（ 解法二：211zC z z =±-被积函数在内部具有两个奇点，分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C 1、 C 2， 且C 1和 C 2含于C 内部。
由复合闭路定理，122221111122112C C C z z z z zdz dz dz z z z z zi iz z i i iπππππ==-=+---=++-=+=⎰⎰⎰蜒? （3）2||5||53123212226.31z z z dzz z dz i i i z z πππ==---⎛⎫=+=⨯+= ⎪-+⎝⎭⎰⎰ÑÑ同上题中的解法二，122||51331313123(3)(1)(3)(1)31312224631z C C z z z z z dz dz dzz z z z z z z z ii i i iz z πππππ==-=---=+---+-+--=+=+=-+⎰⎰⎰蜒?（4）2cos 4-⎰ÑC z dz z ，其中22:4C x y x +=正向2cos cos /(2)cos22cos2/(22).422C C z z z i dz dz i z z ππ+==+=--⎰⎰蜒2．计算积分2(1)C dzz z +⎰Ñ，其中C 为下列曲线：2121111111(1)222C C C C C dzI dz dz dz dz z z z z i z i z z i z i ⎛⎫==--=-- ⎪++-+-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰蜒蜒?（1）1:||2C z =; 2002.I i i ππ=--=解法二：21221z I i i z ππ===+（2）3:||2C z i -=; 1202.2I i i i πππ=--⋅=解法二：20112221()z z iI i i i i i z z z i πππππ===+=-=++（3）1:||2C z i +=; 1020.2I i i ππ=-⋅-=-解法二：12()z iI i i z z i ππ=-==--（4）3:||2C z =。
112220.22I i i i πππ=-⋅-⋅=解法二：20111222201()()z z i z iI ii i i i i z z z i z z i ππππππ==-==++=--=+-+3．计算Ln Czdz ⎰，其中（1）Ln ln ||arg ,:||1z z i z C z =+=;C 的方程：,i z e θπθπ=-≤≤Ln (1)2.i i Czdz i ie d i ei ππθθππθθθπ--=⋅=-=-⎰⎰（2）Ln ln ||arg 2,:||z z i z i C z R π=++=.C 的方程：,i z Re θπθπ=-≤≤Ln (ln arg 2)arg 2.i CCCzdz R i z i dz i zdz i Rie d R i πθππθθπ-=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数一．选择题。
1．设C 是正向圆周2220x y x +-=，则2sin()41C z dz z π=-⎰Ñ [ ] （A）2i （Bi （C ）0 （D）2i - 2．设C 为正向圆周||2z =，则2cos (1)C zdz z =-⎰Ñ [ ]（A ）sin1- （B ）sin1 （C ）2sin1i π- （D ）2sin1i π3．设||4()ξξξξÑe f z d z ==-⎰，其中||4z ≠，则()f i π'= [ ]（A ）2i π- （B ）1- （C ）2i π （D ）1 4．设C 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则2(1)(1)C zdz z z -+⎰Ñ为 [ ]（A ）2i π（B ）2i π-（C ）0 （D ）以上都有可能二．填空题：1．闭曲线:||3C z =取正方向，积分3(2).(1)zC e dz e i z z π=--⎰Ñ32011111()''()'22(1)(1)12!1!z z z z zz C z e e e dz i e ie z z z z ππ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰Ñ 2．设||2sin()2()Ñf z d zξπξξξ==-⎰，其中||2z ≠，则(1)f '= 0 ，(3)f '= 0 。