小波变换及其在图像压缩中的作用

小波变换及其在图像压缩中的作用南京信息工程大学 电子与信息工程学院张志华 20091334030摘 要:主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩的技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果.关键词:小波变换;多分辨分析;图像分解;图像压缩小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支,素有“数学显微镜”的美称. 它是继1822 年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域,解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题. 小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理,具有良好的局部化性质,能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性,具有极强的自适应性,因此在图像处理中具有极好应用价值. 本文主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果. 先引入文中的有关基本理论.1 基本理论小波是指函数空间2()L R ) 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ 3()Rx C d ψψωω=<∞⎰,这里, 3R = R - { 0} 表示非零实数全体.对于任意的函数或者信号f ( x) ,其小波变换定义为(,)1(,)()()()f a b RRx b w a b f x x dx f x dx a aϕϕ-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 因此,对任意的函数f ( x) ,它的小波变换是一个二元函数.另所谓多分辨分析是指设{ Vj ; j ∈Z} 是2()L R 上的一列闭子空间,其中的一个函数,如果它们满足如下五个条件,即 (1) 单调性:Vj < Vj + 1 , P j ∈Z ; (2) 惟一性: {}0j j zI V ∈= ;(3) 稠密性: 2()j Y R V L= ;(4) 伸缩性: 1()(2)j j f x V Zf x V +∈∈ , j p Z ∈;(5) Riesz 基存在性:存在0()t V φ∈,使得(){};2jx n n Z φ-∈构成j V 的Riesz 基. 称()t φ为尺度函数. 那么,称{}{};,()jj Z x Vφ∈是2()R L 上的一个多分辨分析.若定义函数2,()2(2)jjj n x x n φφ=-,,j p n Z∈;则由多分辨分析的定义, 容易得到一个重要结果, ,即函数族2,{()2( ;2)}jjj n x x n n Z φφ=-∈是空间Vj 的标准正交基. 关于多分辨分析,在这里以一个三层的分解进行说明, 多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频部分则不予考虑. 分解具有关系 3321S A D D D =+++;另外强调一点,这里只是以一个层分解进行说明,如果要进行进一步分解,则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分,以下再分解,依次类推. 在理解多分辨分析时,必须牢牢把握一点,即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器. 多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解,使频率的分辨率变得越来越高. 而关于Mallat 算法是将2()L R 上的多分辨分析记为{{;};()}J V j Z x φ∈,,尺度方程和小波方程为()2(2)n n zx h x n φφ∈=-∑和()2(2)n n zx g x n ψφ∈=-∑,其中,系数关系是11(1),kk k g h k Z--=-∈,对任意的整数j 和k ,沿用记号2,()2() 2j j j n x x n φφ=-,2,()2() 2jj j n x x k ψψ=-和,,,2(){();}{();}'{();}j j nj j nj j n j Z V x n Z W x n Z W x L Z R n φψψ∈⎧⎫=∈⎪⎪⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪=⎪=∈⎪⎩⎭ 对于任意信号2(,)()L f R x ∈引入记号,,,,()(),()(),j kj kj k j k RRC f x x dx d f x x dx φψ==⎰⎰称为f ( x) 的尺度系数和小波系数,同时,将f ( x) 在闭子空间jV 和jW上的正交投影记为()j f x 和()j g x ,这样,,,,()(),()(),j j kj k j j kj k k Zk Zf x Cx g x dx φφ∈∈==∑∑根据空间正交值和分解关系 1',i i i V V W +=可得1()(),j j j ff xg x +=+因此,信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成1,1,,,,,()()().j kj k j kj k j k j kk zk zk zCx Cx d x φφψ++∈∈∈=+∑∑∑2 小波变换在图像压缩中的应用二维离散小波变换后的系数分布{}{}123,1(,)(,)(,),(,),(,)jj j j j j n m Z ZSf n m W f n m W f n m W f n m =--∈⨯ ,构成了信号f ( x , y) 的二维正交小波分解系数, 它们每一个都可被看做一幅图像,1(,)j W f n m 给出了f ( x , y) 垂直方向的高频分量的小波分解系数,3(,)j W f n m 给出了f( x , y ) 水平方向的高频分量的小波分解系数,2(,)j W f n m 给出了f ( x , y) 对角方向高频分量的小波分解系数,(,)j S f n m 给出了f ( x , y) 的低频分量的小波分解系数.由此可见,若用jS,1j W ,2j W ,3jW 分别表示(,)j S f n m ,1(,)j W f n m ,2(,)j W f n m ,3(,)j W f n m 经2∶1 亚抽样后的变换系数(简称为子图像) ,则任一图像都可以分解为,,1j J =-- 之间的3J + 1个离散子图像:jS,1j W ,2j W ,3jW 其中SJ 是原图像的一个近似,(1,2,3;,,1)ij W i j J ==-- 则是图像在不同方向、不同分辨率下的细节;如果原图像有2N 个像素,则子图像jS,1j W ,2j W ,3j W 2j N 个像素,因而分解后总的像素数T N为222143[4]JJj T j N N NN--=-=+=∑.可见,分解后总的像素数不变.二维数字信号也即数字图像, 对它的处理是基于图像的数字化来实现的. 图像的数字化结果就是一个巨大数字矩阵,图像处理就在这个矩阵上完成. 所以,可将二维数字信号m nd 看做0(,)s f n m ,即2300(,)((,)(,)(,)(,)(,),m n Rd s f n m f x y x y n m f x y x n y m dxdy ==Φ--=Φ--⎰⎰并采用与一维情况类似的Mallat 算法. 由于两次一维小波变换来实现一次二维小波变换,所以先对该矩阵的行进行小波变换,再对列进行小波变换.3 运用Matlab 小波工具箱进行图像分解并压缩下面的实例是基于二维小波分析对图像进行压缩. 一个图像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的. 高分辨率(即高频) 子图像上大部分点都接近于0 ,越是高频这种现象越明显. 对一个图像来说,表现一个图像最主要的部分是低频部分,所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解,去掉图像的高频部分而只保留低频部分.图像压缩可按如下Matlab 程序进行处理.load woman ;subplot (221) ;image (X) ;colormap (map) ;title ('原始图像') ;axis square ;% ==============================[ c ,s ] =wavedec2 (X ,2 ,'bior3. 7') ;ca1 = appcoef2 (c ,s ,'bior3. 7',1) ;ch1 = detcoef2 ('h',c ,s ,1) ;cv1 = detcoef2 ('v',c ,s ,1) ;cd1 = detcoef2 ('d',c ,s ,1) ;a1 =wrcoef2 ('a',c ,s ,'bior3. 7',1) ;h1 =wrcoef2 ('h',c ,s ,'bior3. 7',1) ;v1 =wrcoef2 ('v',c ,s ,'bior3. 7',1) ;d1 =wrcoef2 ('d',c ,s ,'bior3. 7',1) ;c1 = [ a1 ,h1 ;v1 ,d1 ] ;subplot (222) ;image (c1) ;axis squaretitle ('分解后低频和高频信息') ;% =============ca1 = appcoef2 (c ,s ,'bior3. 7',1) ;ca1 =wcodemat (ca1 ,440 ,'mat',0) ;ca1 = 0. 5 3 ca1 ;subplot (223) ;image (ca1) ;colormap (map) ;title ('第一次压缩图像') ;axis square% ==============ca2 = appcoef2 (c ,s ,'bior3. 7',2) ;ca2 =wcodemat (ca2 ,440 ,'mat',0) ;ca2 = 0. 25 3 ca2 ;subplot (224) ;image (ca2) ;colormap (map) ;axis square ;title ('第二次压缩图像') ;在这里可以看出,第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信息,此时压缩效果较好,压缩比较小(约为1/ 3) ;第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分) ,其压缩比比较大(1/ 12) ,压缩效果在视觉上也基本过得去,它不需要经过其他处理即可获得较好的压缩效果.通过MATLAB仿真,所得图像如下所示:4 结论图像压缩是一个很有发展前途的研究领域,它的研究就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的信噪比,在压缩传输后还要恢复原信号,且在压缩、传输、恢复的过程中,还要求图像的失真度小. 而将小波分析引入图像压缩的研究范畴,当一个图像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的. 高分辨率子图像上大部分点的数值都接近0 ,越高就越明显.而对于一个图像来说,表现一个图像的最主要部分是低频部分. 而且小波分析能使压缩比高、压缩速度快,压缩后能保持信号与图像的特征基本不变. 在数字图像处理中具有很强的使用价值.参考文献[1 ] 程正兴. 小波分析算法与应用[M] . 西安:西安交通大学出版社,1998.[2 ] 冉启文. 小波变换与分数傅立叶变换理论及应用[M] . 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2001.[3 ] 徐佩霞,孙公宪. 小波分析与应用实例[M] . 合肥:中国科技大学出版社,1996.[4 ] 秦前清. 实用小波分析[M] . 西安:西安电子科技出版社,1998.[5 ] 杨福生. 小波变换的工程分析与应用[M] . 北京:科学出版社,1999.[6 ] 郑宏兴,姚纪欢.MATLAB5. X工具箱使用技巧与实例[M] . 武汉:华中科技大学出版社,2001.[7 ] 郑治真. 小波变换及其Matlab 工具箱的应用[M] . 北京:地震出版社,2001.[8 ] 王晓丹,吴崇明. 基于MATLAB 的系统分析与设计———图像处理[M] . 西安:西安电子科技大学出版社,2000.。