正弦余弦定理的应用
1) 在三角形ABC中,已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3,求三角形ABC的最大角的弧度数
思路:先证c>a,c>b,说明求角C即可
依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4
再由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2,即得角C=120度
2) 角ABC的三边为a.b.c,并适合
a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。
原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 (同时乘以2)
2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0 (移项)
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0 (分组)
(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0
因为一个数的平方为非负数
所以a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 c^2-a^2=0
即a-b=0 b-c=0 c-a=0
所以此三角形为等边三角形
3)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且
3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(正弦定理)
所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2
又因为(b^2+c^2-a^2)/2bc=cosA(余弦定理)
所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3(b^2+c^2-a^2)/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3 向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bc
cosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==>b^2+c^2=(2bc+9)/3
又因为b^2+c^2>=2bc(基本不等式)
所以b^2+c^2=(2bc+9)/3>=2bc。解得bc<=9/4
综上,向量AB·向量AC<=3/4
因此最大值为3/4
4)在三角形ABC中abc是角A.B.C所对的边,且满足2a2+2c2-2b2=ac
求角B的大小在三角形ABC中
解:cosB=(a2+c2-b2)/2ac=1/4.∠B≈75°31′21〃
5) 三角形ABC中,a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2则三角形ABC 是什么三角形~~
答:等边
a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2
2(a^4+b^4+c^4)=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)
a^4+b^4-2a^2b^2+a^4+c^4-2a^2c^2+b^4+c^4-2b^2c^2=0
(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2=0
a^2=b^2,a^2=c^2,b^2=c^2
a=b=c
6)已知三角形的边为a,b,c,判断
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2的值。
解:它的值小于0,理由如下:
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2
=(a^4-2a^2b^2+b^4)-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4-4b^2c^2
=(a^2-b^2)^2-2c^2*(a^2-b^2)+c^4-4b^2c^2
=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2
=(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)
=[a^2-(b^2-2bc+c^2)][a^2-(b^2+2bc+c^2)]
=[a^2-(b-c)^2][a^2-(b+c)^2]
=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)
可知:a+b-c>0,a-b+c>0,a+b+c>0,a-b-c<0,
所以原式的值是个负数,也就是小于0。
7)在△ABC中,三边长为根号a、根号b、根号c,若a^2+b^2=c^2,则△ABC的形状为锐角三角形,为什么
解:由余弦定理可以知道:c=a+b-2(根号a)(根号b)*cosC,
所以c^2=(a+b)^2+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)(根号b)*cosC=a^2+b^2,
所以2ab+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)(根号b)*cosC=0,现在把cosC当成一个未知数x来解方程,就可以解出:
√a*√b+2√a√b*(cosC)^2-2(a+b)cosC=0的解为cosC始终是大于0的,
所以c为锐角,同理,a和b都可以这样算。
所以这是锐角三角形
8)△ABC中三边之比为1:1:根号2,则△ABC形状一定不是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形
由于:1^2+1^2=(根号2)^2
所以,三角形是直角三角形。又有二边相等。所以是等腰直角三角形C
9)在三角形ABC中,A为锐角,lg b+lg (1/c)=lg SinA= -lg 根号2,则三角形形状为什么
lg SinA= -lg 根号2=lg1/根号2
sinA=1/根号2
A=45度
lg b+lg (1/c)= -lg 根号2
去掉对数就是b/c=1/根号2所以b=c/根号2
由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
将b=c/根号2代入
cosA=cos45度=1/根号2
可得c=a
所以角C=45度
所以这是一个等腰直角三角形
10)在三角形ABC中,A,B为锐角,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2A=3/5,sin=根号下10/10.
1 求A+B的值
2 若a-b=根号下2-1,求a,b,c的值
解:1:(sinA)^2+(cosA)^2=1
锐角三角形,cosA>0
cosA=2*五分之√五
同理,cosB=3*十分之√十
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
代入=√2/2
则A+B=45°
2:sinA=根号5/5,sinB=根号10/10,A+B=45度
a-b=(根号2)-1
利用正弦定律
a/sinA=b/sinB
a/b=sinA/sinB=(根号5/5)/(根号10/10)=根号2
a=根号2b
根号2b-b=根号2-1
b=1 a=根号2
A+B=45
C=135
sinC=根号2/2
c/sinC=b/sinB=1/(根号10/10)
c=根号2/2/(根号10/10)=根号5
11)已知三角形ABC的三边长a,b,c满足a^2+b+|(根号c-1)-2|=10a+2(根号b-4)-22,证明三角形ABC是什么三角形
解:a=b=c=5等边三角形
下面是方法:
右边移项到左边,再配方,得
(a-5)^2+(根号(b-4)-1)^2+|(根号c-1)-2|=0
三项都不能小于0,所以必须为0,则等式成立
可求出a=b=c=5
12)已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且a.b满足根号a-2+b^2-6b+9=0
求c的取值范围
解:原式= √(a-2)+(b-3)2
√(a-2)≥0
(b-3)2 ≥0
a=2 b=3
2边之和大于第3边,2边之差小于第三边
1= b-a 1 13)在三角形ABC中,三边长为连续自然数,且最大角为钝角,这个三角形三边的长分别为? 解:设三边是n-1,n,n+1 因为是钝角三角形 所以(n+1)^2>n^2+(n-1)^2 n^2+2n+1>2n^2-2n+1 n^2-4n<0 0 所以n=1,2,3 若n=1,则n-1=0,不合题意 若n=2,三边长1,2,3,不符合三角形两边之和大于第三边 所以n=3 边长是2,3,4 14)三角形ABC的三边为连续的自然数,且最大角为最小角的二倍,求三边长 解:设三边长分别为n-1,n,n+1,最小角为a,则a为n和n+1的夹角,对边为n-1,2a的两边为n-1和n,对边为n+1。 应用正弦定理得(sin2a/(n+1))=(sina/(n-1))。 而sin2a=2sinacosa,代入化简得cosa=(n+1)/2(n-1)。 再应用余弦定理,cosa=(n2+(n+1)2-(n-1)2)/(2n*(n+1))。 解方程组,可得n=5,则三边长为4,5,6 15)在三角形ABC中,已知2B=A+C,b=1,求三角形ABC的周长的取值范围。解:因为2B=A+C 故:B=60° 故:cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=cos60° 故;a2+c2-b2=ac 因为a2+c2≥2ac,b=1 故:ac=a2+c2-b2≥2ac-1 故:ac≤1 故:a2+c2+2ac-b2=3ac 故:(a+c)2=3ac+1≤4 故:a+c≤2 故:a+b+c≤3 又:a+c>b 故:a+b+c>2b=2 故:2<a+b+c≤3 16)△ABC中,2B=A+C,最大边与最小边之比为(根号3)+1比2,则最大角为? 2B=A+C===>3B=180o===>B=60o 设:最大边为a=(√3+1),则c=2 b2=a2+c2-2accos60o=6===>a=√6 a/sinA=b/sinB ∴sinA=asinB/b=(√3+1)(√3/2)/√6=(√6+√2)/4===>A=75o 则最大角为75o 17)三角形ABC中已知角A等于60度,AB比AC等于8比5面积为10根号3,则其周长为 解:设AB=8x,AC=5x S△ABC=1/2AB×AC×sin∠BAC =(10√3)x2 已知,S△ABC=10√3 即(10√3)x2=10√3,解得:x=1或-1(舍) 所以,AB=8,AC=5 由余弦定理可得:cos∠BAC=(AB2+AC2-BC2)/2AB×AC 将AB=8,AC=5,∠BAC=60°代入 解得:BC=7 所以,周长为20 18)在三角形ABC中,已知内角A=π/3 边BC=2根号3 求周长y的最大值?解:根据公式有,a/sinA=b/sinB=c/sinC a=2√3,∠A=60° =>b=4sinB,c=4sin(120°-B) =>周长l=a+b+c =2√3+4sinB+4sin(120°-B) =2√3+4(sinB+√3/2cosB+1/2sinB) =2√3+2(3sinB+√3cosB) =2√3+2√3(√3sinB+cosB) =2√3+4√3(√3/2sinB+1/2cosB) =2√3+4√3sin(B+30°) 因为-1<=sina<=1且0 1/2 =>l周长=6√3 19)在三角形ABC中,m=(cosC/2 ,sinc/2 ), n=(cosc/2 ,-sin c/2),且mn的夹角为3/π 解:m.n=|m|*|n|cos(π/3)=cos(π/3)=1/2 cos^2(C/2)-sin^2(C/2)=1/2 cosC=1/2 所以C=π/3 2.设AB=c=7/2,AC=b,BC=a (absinC)/2=3√3/2 absin(π/3)=3√3 ab=6 (1) c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab (a+b)^2=c^2+3ab=(49/4)+18=121/4 a+b=11/2 (2) 由(1)(2)解出a,b的值,再求周长。 20)在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c,已知A=π/3,a=2√3,设B=x,三角形ABC周长为y (I)求函数y=f(x)的解析式和定义域 (II)求y=f(x)的单调区间 解:(1)y=a+b+c=2√3+b+c sinB/b=sinA/a=SinC/c =>b=asinB/sinA,C=asinC/sinA y=asinB/sinA+asinC/sinA+2√3 =2√3sinB/sinπ/3+2√3sin(π-π/3-B)/sinπ/3+2√3 =4sinB+4sin(2π/3-B)+2√3 =8sinπ/3cos(B-2π/3+B)/2+2√3 =4√3cos(B-π/3)+2√3 =4√3cos(x-π/3)+2√3 0 (2)x∈(0,π/3)为增函数 x∈(π/3,2π/3)为减函数 21)在△ABC中,A=π/3,BC=2,则三角形ABC的周长为(用角B表示)_____ 解:由正弦定理得: AC=2sinB/sin(π/3)=(4√3/3)sinB AB=2sin(2π/3-B)/sin(π/3)=2cosB+(2√3/3)sinB 故周长为2+2cosB+2√3sinB 22)三角形ABC中,AB=1,BC=2,则当C的取值范围为多少时此三角形是直角三角形? 解1 当BC边为斜边时,AC^2=BC^2-AB^2 =2^2-1^2 =3 所以AC=√3 解2 当AC为直角边时,AC^2=BC^2+AB^2 =4+1 =5 所以AC=√5 ∠C的范围,就是0°<∠C小于180°, AC的取值范围根据三角形三边关系定理 BC-AB<AC<BC+AB 即1<AC<3 23)在三角形ABC中,AB=1,BC=2则角C的取值范围是? 解法1:因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC 根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可知 1<b<3,根据余弦定理 cosC=(a2+b2-c2)/2ab =(4+b2-1)/4b =(3+b2)/4b =3/4b+b/4 =(1/4)(√(3/b)-√b)2+√3/2≥√3/2 所以0 解法2:因为公式cos A =( b*b+c*c-a*a)/( 2*b*c ) 所以对题目中,设AC边长为X,则 COS C= 3/(4X)+X/4 , 又因为A+B 大于等于 2 * 因为∠C必大于0°,所以0 .若问在三角形ABC中,tanA/tanB=((√2) *c-b)/b,则角A=() :因为cos A =( b*b+c*c-a*a)/( 2*b*c ) a/sinA=b/sinb tanA=sinA/cosA 可将已知化减为b*b+c*c-a*a=bc*(根号2) 所以左边/右边=1/(根号2) 即cos A =1/(根号2)。 所以∠A=45°。