(完整版)苏科版八年级下册第九章中心对称图形章节知识点§9.1~9.5,推荐文档
§9.1 图形的旋转
【知识点总结】
1、生活中的旋转
例1：下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）
A.2个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2、旋转的概念
将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置。
例 2：如图所示，ΔABC绕顶点 C 顺时针方向旋转某一角度后，得到ΔA′B′C′。请回答下列问题：
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角是哪个角？
（3）经过旋转，点 A、B 分别移动到什么位置？
（4）找出图形中所有相等的角和线段。
例 2 图
3、旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连
线所成的角相等。
例 3：四边形 ABCD 是正方形， E、F 分别是 DC 和 CB 延长线上的点，且 DE=BF，连接
AE、AF、EF
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方
向旋转度得到；
（3）若 BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
4、画旋转后的图形
利用图形的旋转的性质，可以画出一个图形绕某点按照一定的方向旋转一定角度后的图形。
基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。
例 4：如图， O 为ΔABC 外的一点，求作：ΔABC 绕点 O 按顺时针方向旋转60°后所得的
ΔA′B′C′。
【典例展示】
题型一确定图形的旋转角度
例 1：如图所示，点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点 O 按逆时针方向
旋转而得，则旋转的角度为（）
A.30°
B.45°
C.90°
D.135°
题型二确定图形的旋转中心
.O
例 2：如图， O 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，如果正
方形 CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么图形所
在的平面上可以作为旋转中心的点共个。
题型三生活中的数学问题
例 3：如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（
）
A. B. C. D.
题型四推理说明题
例 4：将两块大小相同的含30°角的直角三角尺（∠BAC=∠B′A′C′=30°）按如图①所示的方式放置，固定三角尺A′B′C′，然后将三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所
示的位置，AB 与A′C交于点 E，AC 与A′B′交于点 F，AB
与A′B′相交于点 O．
（1）求证：△BCE≌△B′CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB 与A′B′垂直吗？请说明理
由．
题型五有关旋转的做图题
例5：在方格纸上按下列要求作图（如图①），不用写作法：
（1）做出“小旗子”向右平移 6 格后的图案；
（2）做出“小旗子”绕点 O 按逆时针方向旋转90°后的图案。
题型六探究性问题
例 6：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段 BC 绕点 B
按逆时针方向旋转60°得到线段 BD。（1）如图 1，直接写出∠ABD的大
小（用含α的式子表示）；
（2）如图 2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证
明；
（3）在（2）的条件下，连接 DE，若∠DEC=45°，求α的值．
【误区警示】
误点 1 不能抓住图形旋转的基本要素，导致错误
例 1：如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图形的阴影部分）绕中心O 至少经过次旋转而得到，每一次旋转°
误点2 不能灵活运用图形旋转的性质，导致错误
例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC饶点C 按顺时针旋转后得到ΔEDC，此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为．
例2 图
§9.2中心对称与中心对称图形
【知识点总结】
1、中心对称的概念
一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么
称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点
叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
例 1：如图，四边形 ABCD 与四边形A′B′C′D′是关于点 O 成中心
对称的两个图形，试找出它们的对应顶点和对应边。
2、中心对称的性质
一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形
具有图形旋转的一切性质。
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平
分。
例2:如图，四边形 ABCD 与四边形A′B′C′D′是成中心对称的两个图形，
试找出它们的对称中心。
3、中心对称图形的定义及其性质
把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
例 3：任意一条线段是中心对称图形吗？如果是，那么它的对称中心是什么？
4、轴对称图形与中心对称图形的对比
轴对称图形中心对称图形
图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合图形绕对称中心旋转180° 重合
对称点的连线被对称轴垂直平分对称点的连线经过对称中心，且别对称中心平分
例4：下列图形图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B．C．D．
5、成中心对称图形的画法
例 5：如图所示，O 为△ABC 外一点，求做：△A′B′C′。使它与△ABC 关于点 O 成中心对称。例5 图【典例展示】
题型一识别中心对称图形
例1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B．C．D．
题型二游戏中的数学问题
例 2：已知如图①所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的图②，则旋转的
牌是（）
A．B．
C．D．
题型三方案设计题
例 3：如图①，是一个4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点 O 为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为 4．
题型四推理说明题
例 4：如图，直线l1 l 2 ，垂足为 O，点 A1与点 A 关于直线l1 对称，、点 A2与点 A
关于直线l 2 对称，点 A1与点 A2有怎样的对称关系？请说明理由。
题型五操作探究题
例 5：如图，在网格中有一个四边形图案
（1）请你画出此图案绕点 O 按顺时针方向旋转90°、180°、270°的图案，你会得到一个美丽的图案，
千万不要将阴影位置画错。
（2）若网格中每个小正方形的边长为 1，旋转后点 A 的对应点依次为 A1，A2，A3，求四边形 AA1A2A3的
面积．
（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
图形中除了□ABCD 外，
【误区警示】
误点 1 不能正确识别中心对称图形，导致错误 例 1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B ．
C ．
D ．
误点 2 不能运用中心对称图形的性质将问题进行转化，导致错误
?
?
?
?
例 2：如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm ， OA 与 OC 关于点 O 中心对称，则 AB 、BC 、
CO 、 OA 所围成的面积是
cm 0
．
§9.3 平行四边形
【知识点总结】
1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 例 1:如图，在□ ABCD 中 EF∥AD，MN∥AB，MN 与 EF 交于点 P ，且点 P 在 BD 上。还有
个平行四边形。
2、平行四边形的性质 例 1 图
平行四边形的性质：（10 平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 例2：在□ ABCD 中，(1)如果∠A=60°，那么∠B= °，∠C= °。 （2） 如果□ ABCD 的周长为 32cm ，且 AB=5cm,那么 BC= cm ，CD= cm ，AD= cm ；
（3） 对角线 AC 、BD 相交于点 O ，且 AC=4cm 、BD=6cm ，则 AO=
=
cm ， BO= = cm.
3、判定平行四边形的条件
（1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 图
（4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
例 3：如图所示，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O 点，
AB∥CD，AO=CO ，求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
4、平行四边形的画法
例 4：如图，已知线段 a 、b 和 α，求作：□ ABCD ，使 AB=a ，BC=b ，∠ABC=α。
5、反证法
反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反
例 3
例 3 图
点 的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。例 5：如图，点 E 、F 分别在 ΔABC 的边 AB 、AC 上，求证：BF 、CE 不能互相平分。
【典例展示】
题型一 运用性质进行求值
例 1：如图，□ ABCD 与□ DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，
∠F=110°，则∠DAE 的度数为
题型二 与平行四边形判定相关的判断说理问题
例 2：如图，在□ ABCD 中，∠DAB=60°，点 E 、F 分别在 CD 、AB 的延长线上，且 AE=AD ，CF=CB.（1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
图
题型三 生活中的数学问题
例 3：如图是小飞家的一个四边形池塘，在池塘的四个角上分别栽着一个大桃树，现在要把池塘扩大建成 鱼塘，使池塘的面积增加一倍又不想移动大桃树
的位置，并要求扩建后的鱼塘为一个平行四边形。请问小飞家能实现这个梦想吗？如能，请你设计并画出图形，如不能，请说明理由。
题型四 开放性问题
例 4：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，请你添加一个 条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，你添加的条件是
题型五 体现数学思想的题型
例 5：如图在□四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点
O ，AC+BD=18,BC=6,则 ΔAOD 的周长为
例 6：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC,AD>BC,BC=6cm，点 P 、Q 分别以 A 、C 同时出发，P 以 1cm/ s 的速度由点 A 向点 D 运动，Q 以 2cm/s 的速度由 C 出发向 B 运动，设运动时间为 x 秒．则当 x=时，四边形 ABQP 是平行四边形．
题型六探索性问题
例 7：在ΔABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 边所在的直线
上，过点 D 作DE∥AC 交直线 AB 于点 E ，DF∥AB 交直线 AC 于点 F
（1）当点 D 在边BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点 D 在边BC 的延长线上时，如图②；当点 D 在边BC 的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中 DE，DF，AC 之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=．
【误区警示】
误点 1 不能正确把握平行四边形的条件，导致错误
例 1：在四边形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO；④AB∥CD,AD=BC，其中，一定能判定四边形是平行四边形的条件有（）
A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组
误点 2 不能正确应用反证法，导致错误
例 2：用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”的
第一步假设（）
A.三角形中有一个角小于60°
B.三角形中没有一个内角大于
60°
C.三角形中每一个内角都大于60°
D.三角形中没有一个内角等于
60°
§9.4 矩形、菱形、正方形
【知识点总结】
1、矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 为边 BC 上两点，且 BE=CF，连接 AF、DE 交于点 O，求证：
（1）ΔABF≌ΔDCE
（2）ΔAOD是等腰三角形
2、判定矩形的条件
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
例 2：如图，P 为□ ABCD 的边CD 的中点，且 PA=PB，求证：四边形 ABCD 为矩
形。
3、平行线之间的距离及其性质
如图 9.4-1，直线a∥b，P 为直线 a 上的任意一点，PQ⊥b，垂足为 Q，则线段 PQ 的长度称为平行线a、b 之间的距离
性质：两条平行线之间的距离处处相等
例3：（1）如图，直线a∥b，A、B 为直线b 上的两点，
C、P 为直线a 上的两点，则ΔABC的面积与ΔABP的面
积关系是（填“相等”或“不等”）
（2）如果 P 点在直线 a 上移动，那么无论点 P 移动到哪
个位置，总有与ΔABC的面积相等，理由是
4、菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质
外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
例 4：如图，在菱形 ABCD 中，AB=3,∠ABC=60°，则对角线 AC 的长度为（
）
A.12
B.9
C.6
D.3
5、判定菱形的条件
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例 5：如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形。
6、正方形的概念、性质和判定条件
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且
是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
判定正方形的条件：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
例6：下列说法:①有一个角是直角的菱形是正方形；②两条对角线相等的菱形是正方形；③对角线互相
垂直的矩形是正方形；④四条边都相等的四边形是正方形。其中，正确的有（）
A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【典例展示】
题型一运用相关性质进行解题
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是边 AB 上的
一点，EF⊥EC，且EF=EC,DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求AE
的长。
例2：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 与点
F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为（）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
例 3：已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交于 O 点，P 是射线
AB 上的任意一点，过点 P 分别作直线 AC、BD 的垂线PE、PF，垂足分别为
E、F。
（1）如图①，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值．
（2）如图②，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE-PF 的值．
例 3 图
题型二运用特殊的平行四边形的判定方法进行解题
例 4：如图，将□ ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点 F
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接 AC、BE，求证：四边形 ABEC 是矩形．
例 4
A 4
例 5：如图，在 ΔABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点作 BC 的平行线，交 BE 的延长线于点 F ，连接 CF 。
（1） 求证：AF=DC ；
（2） 若 AB⊥AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
例 5 图
例 6：如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上的一点， 过点 P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 M ，N ．
（1） 求证：∠ADB=∠CDB；
（2） 若∠ADC=90°，求证：四边形 MPND 是正方形．
例 6 图
题型三 生活中的数学问题
例 7：如何检验木工做成的门框是否是矩形？说说你的想法与理由。
题型四 体现数学思想的问题
例 8：如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，把矩形纸片沿直线 AC 折叠， 点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F ，若 AF 25
cm ，则 AD 的长为（ ）
A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.7cm
题型五 最值问题
例 8 图
例 9：正方形的边长为 8，点 M 在边 CD 上，且 DM=2，N 是边 AC 上的一个动点， 则 DN+MN 的最小值为
题型六 探究性问题
例10：如图，在ΔABC中，O 是边AC 上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线MN∥BC，设MN 交∠ACB
的平分线于点 E，交∠BCA的外角平分线于点 F，连接 AE、AF．那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF
是矩形？并证明你的结论．
BC
例 11：如图，在ΔABC 中，D 是边 BC 上的一点，E 是边 AD 的中点，过点 A 作
的平分线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF
（1）线段 BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由．
【误区警示】
误点 1 对特殊的平行四边形的性质、判定条件掌握不透彻，导致错误
例1：矩形具有而菱形不具有的性质是（）
A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.两组对角分别相
等
误点 2 不能根据条件画出符合要求的所有的图形，导致错误
例 2:如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将ΔAEF 绕其定点 A 旋转，在旋转的过程中，当BE=DF 时，∠BAE的度数是
§9.5 三角形的中位线
【知识点总结】
例 1 图
1、三角形中线的概念和性质
连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半
例1：如图，在ΔABC中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，∠B=70°，则∠ADE=°。
2、三角形的中位线与中线的区别例 1 图
（1）区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过
这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，
但经过它所平分的边相对的顶点。
（2）联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。
例 2：如图，在ΔABC 中，点 D、E、F 分别是边 BC、AB、AC 的中点，求证 AD 与 EF 互相平分。
【典例展示】
题型一三角形中位线的简单应用
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的
中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．
题型二构造三角形中位线解题
2 例 2：如图，在 ΔABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF⊥AE 于点 F ，AB=5，AC=2,求 DF 的长
例 3：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 M 、N 分别是两条对角线 BD 、AC 的中点， 求证：MN∥BC 且 MN = 1
(BC - AD )
题型三 中点四边形问题
例 4：如图，在 ΔABC 中，AB=AC ，点 O 在ΔABC 的内部，∠BOC=90°，OB=OC ，点 D 、E 、F 、G 分别是边 AB 、OB 、OC 、AC 的中点。
（1） 求证：四边形 DEFG 是矩形 （2） 若 DE=2，EF=3，求△ABC 的面积
题型四 探究性问题
例 5：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC,对角线 AC 、BD 交于点 O ，AC=BD ，AC⊥BD，点 E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点
（1） 求证：四边形 EFGH 是正方形；
（2） 若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积．
【典例展示】
误点 1 不能灵活掌握中位线性质，导致错误
例 1:如图，点 D、E 分别为ΔABC 的边 AC、BC 的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点P 处。若∠CDE=48°，则∠APD的度数为（）
A.42°
B.48°
C.52°
D.58°
误点 2 不能掌握中点四边形的特点，导致错误
例 2：如图，杨伯伯家小院子里的四棵小树 E、F、G、H 刚好在其四边形院子 ABCD 各边的中点上，四边形ABCD 的对角线相等，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!