A14_测不准关系 波函数 薛定谔方程 四个量子数
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量子力学-第二章波函数和薛定谔方程
因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
量子力学第二章 波函数与薛定谔方程
c1 1 c 2 2 (c1、c 2 一般为复数）
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
子状态用波函数
i ( E t p r ) p ( r , t ) Ae
即 r , p 决定体系的一切性质。
d r F m (3)质点状态的变化 （运动） 遵从牛顿定律： 2 F ， 当 dt
2
已知时，如果初始时刻 r0 , p 0 ( v 0 ) 也已知，则积分得： t t t F v( t ) dt v 0 ； p( t ) Fdt p 0 ； r ( t ) v( t )dt r0 m 0 0 0 即任何时刻的r (t ), p(t ) 完全确定.
可以写作而薛定谔方程这个方程称为哈密顿算是常数其中可以写作于是定态薛定谔方程定义哈密顿算符值方程的解称为哈密顿算符的本征相应的一系列的本征函一系列的本征值求得满足这个方程的是常数其中波函数这样的波函数称为定态程的一系列特解这样我们得到薛定谔方定态波函数与时间t的关系是正弦型的其角频率2eh
一、状态的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间 的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点
的几率密度，则
x x
x | ( x ) | 2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是 粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 2 x x x | ( r ) | d
两者一一对应 具有类似的物理含义
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
子状态用波函数
i ( E t p r ) p ( r , t ) Ae
即 r , p 决定体系的一切性质。
d r F m (3)质点状态的变化 （运动） 遵从牛顿定律： 2 F ， 当 dt
2
已知时，如果初始时刻 r0 , p 0 ( v 0 ) 也已知，则积分得： t t t F v( t ) dt v 0 ； p( t ) Fdt p 0 ； r ( t ) v( t )dt r0 m 0 0 0 即任何时刻的r (t ), p(t ) 完全确定.
可以写作而薛定谔方程这个方程称为哈密顿算是常数其中可以写作于是定态薛定谔方程定义哈密顿算符值方程的解称为哈密顿算符的本征相应的一系列的本征函一系列的本征值求得满足这个方程的是常数其中波函数这样的波函数称为定态程的一系列特解这样我们得到薛定谔方定态波函数与时间t的关系是正弦型的其角频率2eh
一、状态的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间 的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点
的几率密度，则
x x
x | ( x ) | 2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是 粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 2 x x x | ( r ) | d
两者一一对应 具有类似的物理含义
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
四个量子数[精品文档]
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1-4. 四个量子数 1.主量子数n描述原子中电子出现几率最大区域离核的远近(电子层数); 决定电子能量高低。
取值： n=1 2 3 4 5 6 …… 电子层符号 K L M N O P…… 对于氢原子其能量高低取决于n但对于多电子原子，电子的能量除受电子层影响，还因原子轨道形状不同而异，（即受角量子数影响）(2) 角量子数l ，它决定了原子轨道或电子云的形状或表示电子亚层（同一n 层中不同分层） 意义: 在多电子原子中，角量子数与主量子数一起决定电子的能量。
之所以称l 为角量子数，是因为它与电子运动的角动量M 有关。
如 M=0时，说明原子中电子运动情况同角度无关，即原子轨道或电子云形状是球形对称的。
．角量子数，l 只能取一定数值l = 0 1 2 3 4 ……(n-1)电子亚层 s p d f g说明M 是量子化的，具体物理意义是：电子云（或原子轨道）有几种固定形状，不是任意的。
如： s p d f球形对称 哑铃形 花瓣形 180︒，90︒棒锤形 第一电子层 仅有 l s 电子，（l =0） 第二电子层 有 2s ，2p 电子（l =0, 1）第三电子层 有 3s, 3p, 3d 电子 （l =0, 1, 2…） 依此类推。
见p76表3-2 ．对H 和类氢离子来说： E1s ＜E2s ＜E3s ＜E4s E4s ＝E4p ＝E4d ＝E4f但对多电子原子来说：存在着电子之间的相互作用，n 相同，l 不同时，其能量也不相等。
一般应为：Ens ＜Enp ＜End ＜Enf也就是说：同一电子层上不同亚层能量也不相同，或说同一电子层上有不同能级. ∴2s ，2p 又称能级。
线状光谱在外加强磁场的作用下能发生分裂，显示出微小的能量差别，即，3个2p 轨道，或同是5个d 轨道，还会出现能量不同的现象，由此现象可推知，某种形状的原子轨道，可以在空间取不同的伸展方向，而得到几个空间取向不同的原子轨道，各个原子轨道能量稍有差别。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
四个量子数的物理意义和量子化条件
四个量子数的物理意义和量子化条件量子力学，这个听起来高深莫测的词，其实就像一把钥匙，打开了微观世界的奇妙大门。
四个量子数就像是这个世界的小精灵，它们各自有各自的故事和角色。
你知道吗？在原子的舞台上，每个电子都在按照它们的规则跳舞，简直像是在进行一场宇宙的芭蕾舞演出。
我们来说说第一个量子数，主量子数。
它就像是一张身份证，告诉我们电子离原子核有多远。
数值越大，电子就越“潇洒”，离核越远，活得越自在。
想象一下，一个孩子在游乐场玩耍，离家越远越开心，主量子数就是那份自由的象征。
主量子数可不仅仅是个数字哦，它是决定能量级的关键。
能量高了，电子就像开了挂一样，飞得更远，能量低了，它们就得乖乖待在家里，跟原子核亲密接触。
接下来就是角量子数了。
它就像电子在“舞池”里跳舞时的舞步样式。
这个数决定了电子的轨道形状，像是个舞者的风格，有的优雅，有的张扬。
它的数值越高，舞姿越复杂，像极了现代舞中的那些神奇动作。
想象一下，如果电子是舞者，那角量子数就是他们的舞伴，伴随他们在空间中旋转、跳跃。
每个舞者都有自己的特色，电子也是如此。
无论是s轨道的圆润，还是p轨道的优雅，每一种形状都能带来不同的能量感受。
然后是磁量子数，这个有点像是电子的朝向。
在这个舞池中，舞者不仅要有风格，还要知道朝哪儿转。
这个量子数告诉我们电子在空间中的取向，就像是一名舞者在舞台上的位置。
如果你想象一下，舞者在不同的方向旋转，那种感觉是不是特别棒？每个方向都有独特的魅力。
磁量子数可以有很多种选择，每个选择都像是给舞者添加了不同的舞台效果，让整体的演出更加丰富多彩。
就是自旋量子数，听起来有点神秘对吧？它就是电子自身的旋转状态。
想象一下，电子就像个小陀螺，不停地旋转。
这个旋转的方向可以是顺时针或者逆时针，仿佛给了电子一种独特的个性。
自旋量子数的存在让电子在微观世界中显得更加活泼。
正因为这个小家伙的存在，电子才能在整个原子中找到自己的位置，和其他电子一起和谐共存。
36-1第三十六讲波函数-薛定谔方程
应该是唯一的和有限的，概率的空间分布不能 发生突变，所以波函数必须满足单值、有限、 连续三个条件——称波函数的标准条件。
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程
1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：
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34
J s and x 0.05 nm 代入得到： E1 150.95 eV
2
电子较高一级能态的能量： E2 2
h2 E2 4 E1 8m( x nm ，电子最低能态的能量： E1 (0.05) 2 E1 —— E1 37.74 eV (0.1) 2
09. 钴( Z 27 )有两个电子在 4 s 态，没有其它 n 4 的电子，则在 3d 态的电子可有 7 个。 主量子数 n 1 to n 4 的量子态为：
n 1, l 0, ml 0, ms
1 2
1s 2 —— 2 个
1 2s 2 l 0, ml 0, ms 2 —— 8 个 n 2, 1 6 l 1, m 0, 1, m 2p l s 2
n 1, 2, 3, 正整数，它可决定原子中电子的能量。
主量子数主要决定电子的能量，对于相同主量子数的状态，角量子数的不同对能量有一些影响。 08. 原子中电子的主量数 n 2 ，它可能具有状态数最多为 8 个。 根据量子态数： N 2n
2
—— n 2 对应的状态数是 8
( x ) 0 2 d ( x ) 2m 2 E ( x ) 0 dx 2
0 x, x 0 0 x x
方程的通解形式： ( x ) A sin kx B cos kx 根据波函数的连续性： (0) ( x ) 0 ，得到： B 0
1 3s 2 ms l 0, ml 0, 2 1 3 p 6 ——18 个 n 3, l 1, ml 0, 1, ms 2 1 3d 10 l 2, ml 0, 1, 2 ms 2
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—— E 1 eV 2
t
t 3.3 1016 s 2 E
21. 电子被限制在一维相距 x 的两个不可穿透壁之间， x 0.05 nm ，试求 1) 电子最低能态的能量是多少？ 2) 如果 E1 是电子最低能态的能量，则电子较高一级能态的能量是多少？ 3) 如果 x 0.05 nm 时 E1 是电子最低能态的能量，则 x 0.1 nm 时电子最低能态的能量是多 少？ 电子沿 x 轴作一维运动：
22. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，波函数为：
n ( x)
2 n x ( 0 x a )若粒子处于 sin a a
n 1 的状态，试求在区间 0 x
1 1 1 a 发现粒子的几率。( sin 2 xdx x sin 2 x C ) 4 2 4
2
粒子在空间的几率密度分布函数： n ( x ) 在区间 0 x
19. 一电子的速率为 3 10 m / s ，如果测定速度的不准确度为 1% ，同时测定位置的不准确量是多
6
少? 如果这是原子中的电子可以认为它作轨道运动吗? 根据测不准关系 x p
p mv —— 2 p mv
x v
x 2m 2mv
( x ) A sin kx —— k
电子的能量： E n
2
n ， n 1, 2, 3, 4, 5 ， k 0 x
h2 —— n 1, 2, 3, 4, 5 8m( x ) 2 h2 —— n 1 8m( x )2
电子最低能态的能量： E1 将 h 6.63 10
V ( x ) 0 V ( x )
0 x x 0 x , x x
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大学物理教程_下_习题集参考解答
电子的定态薛定谔方程： ( x )
2
2m ( E U ) ( x ) 0 2
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 2 dx k 2 2mE 2
并且有 2 个 4 s ， 共 12 个电子， 钴的核外电子数为 27， 根据题意电子填充满 n 1 和 n 2 所有状态， 剩余的 15 个电子填充 n 3 的量子态。显然 3d 态有 7 个电子。 10. 如果电子被限制在边界 x 和 x x 之间， x 0.05 nm ，则电子动量 x 分量的不确定量近似地 为 p x 1.056 10
( r , t )
2
2
dV 1 。如果将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍，
( r , t )
dV 1 —— 这时的波函数 ( r , t ) 还没有进行归一化，这不
影响粒子在空间的几率分布。 03. 由氢原子理论，当氢原子处于 n 3 的激发态时，可发射 (A) 一种波长的光； (B) 两种波长的光； (C) 三种波长的光； 04. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是： (A) 康普顿实验； (B) 卢瑟福实验； 【 C 】 (D) 各种波长的光。 【 D 】
2 2 n x sin a a
a/4 a/4 2 x 1 2 a 发现粒子的几率： 1 ( x ) dx dx sin 2 0 0 4 a a
a/4
0
a/4
1 ( x ) dx
2
2
2
a/4
0
2 1x 1 2 x sin sin d( ) ( ) a a 2 a 4 a 0
(
h ) 有以下几种理解。 2
对于微观粒子，动量和坐标不能同时确定，正确描述(C) 02. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍， 则粒子在空间的分布几率将： (A) 增大 D ；
2
【 D 】
(B) 增大 2 D ；
(C) 增大 D ；
(D) 不变。
粒子在空间出现的概率： 粒子在空间出现的概率：
17. 在一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即不可能具有相同的 四个量子数。
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【 对 】
大学物理教程_下_习题集参考解答
四 计算题 18. 同时测量能量为 1 KeV 的作一维运动的电子位置与动量时，若位置的不确定值在 0.1 nm 内，则 动量的不确定值的百分比 (电子质量 me 9.11 10
大学物理教程_下_习题集参考解答
1 4s 2 ms l 0, ml 0, 2 1 l 1, m 0, 1, 4 p6 ms l 2 n 4, —— 32 个 1 10 l 2, m 0, 1, 2 4d ms l 2 1 l 3, ml 0, 1, 2, 3 ms 4 f 14 2
1 ； 2 1 ； 2
(B) n 3, l 1, ml 1, ms (C) n 1, l 2, ml 1, ms
1 ； 2
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大学物理教程_下_习题集参考解答
(D) n 1, l 0, ml 1, ms
1 。 2
v 0.01v 3 104 m / s —— x 1.9 109 m x ~ r1 0.529 1010 m —— 原子中的电子不能看作是做轨道运动
20. 测定核的某一确定状态的能量时，不准确量为 1 eV ，试问这个状态的最短寿命是多长？ 根据测不准原理： E t
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单元十四 测不准关系 波函数 薛定谔方程 四个量子数
一 选择题 01. 关于不确定关系 xp x 1) 粒子的动量不可能确定； 2) 粒子的坐标不可能确定； 3) 粒子动量和坐标不可能同时确定； 4) 不确定关系不仅用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是： (A) (1)、(2)； (B) (2)、(4)； (C) (3)、(4)； (D) (4)、(1)。 【 C 】
2 n x 。则粒子处于基态时各处的概率密 sin a a
2 2x sin 。 a a
三 判断题 14. 电子自旋现象仅存在于氢原子系统。 【 错 】
15. 描述粒子运动波函数为 ( r , t ) ， 则 表示 t 时刻粒子在 r ( x, y , z ) 处出现的概率密度。 【 对 】 16. 关于概率波的统计解释是：在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的概率正比于该时刻、该 地点的波函数。 【 错 】
24
N s (不确定关系式 x px / 2 ，普朗克常量 h 6.63 1034 J s )。
直接应用测不准关系： x p x
24 —— p x 1.056 10 N s 2
11. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是粒子在空间分布的几率波， 波函数没有具体的物理意义，波函数的平方代表粒子在空间各点出现的几率分布。机械波是机械振 动在介质中引起机械波，波函数表示质点的振动位移。 机械波是介质中的质点共同振动形成的，波函数描述了各质点离开平衡位置的大小，机械波是振 动位相和能量的传播过程。 德布罗意波描述的是粒子在空间一点出现的概率，没有具体的物理意义。当我们要计算某一物理量 时，根据概率分布得到该物理量的统计平均值。 12. 泡利不相容原理的内容是一个原子中不能有两个电子具有完全相同的量子态 泡利不相容原理的内容：一个量子态只能填充一个电子，即两个电子具有完全相同的量子态。也 就是两个电子不能有完全相同的四个量子数(主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数)。 13. 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 n ( x ) 度
原子中电子的状态由 4 个量子数确定 1) 主量子数 n ：主要决定原子中电子的能量，取值： n 1, 2, 3, 4, 。 2) 角量子数(副量子数) l ：决定电子的轨道角动量，处于同一主量子数的状态，不同的角量子 数，能量略有不同，取值： l 0, 1, 2, 3, 4, ( n 1) ，有 n 个可能的取值。 3) 磁量子数 ml ：描述角动量的空间量子化，决定角动量在外磁场方向上的分量，取值：
J s and x 0.05 nm 代入得到： E1 150.95 eV
2
电子较高一级能态的能量： E2 2
h2 E2 4 E1 8m( x nm ，电子最低能态的能量： E1 (0.05) 2 E1 —— E1 37.74 eV (0.1) 2
09. 钴( Z 27 )有两个电子在 4 s 态，没有其它 n 4 的电子，则在 3d 态的电子可有 7 个。 主量子数 n 1 to n 4 的量子态为：
n 1, l 0, ml 0, ms
1 2
1s 2 —— 2 个
1 2s 2 l 0, ml 0, ms 2 —— 8 个 n 2, 1 6 l 1, m 0, 1, m 2p l s 2
n 1, 2, 3, 正整数，它可决定原子中电子的能量。
主量子数主要决定电子的能量，对于相同主量子数的状态，角量子数的不同对能量有一些影响。 08. 原子中电子的主量数 n 2 ，它可能具有状态数最多为 8 个。 根据量子态数： N 2n
2
—— n 2 对应的状态数是 8
( x ) 0 2 d ( x ) 2m 2 E ( x ) 0 dx 2
0 x, x 0 0 x x
方程的通解形式： ( x ) A sin kx B cos kx 根据波函数的连续性： (0) ( x ) 0 ，得到： B 0
1 3s 2 ms l 0, ml 0, 2 1 3 p 6 ——18 个 n 3, l 1, ml 0, 1, ms 2 1 3d 10 l 2, ml 0, 1, 2 ms 2
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—— E 1 eV 2
t
t 3.3 1016 s 2 E
21. 电子被限制在一维相距 x 的两个不可穿透壁之间， x 0.05 nm ，试求 1) 电子最低能态的能量是多少？ 2) 如果 E1 是电子最低能态的能量，则电子较高一级能态的能量是多少？ 3) 如果 x 0.05 nm 时 E1 是电子最低能态的能量，则 x 0.1 nm 时电子最低能态的能量是多 少？ 电子沿 x 轴作一维运动：
22. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，波函数为：
n ( x)
2 n x ( 0 x a )若粒子处于 sin a a
n 1 的状态，试求在区间 0 x
1 1 1 a 发现粒子的几率。( sin 2 xdx x sin 2 x C ) 4 2 4
2
粒子在空间的几率密度分布函数： n ( x ) 在区间 0 x
19. 一电子的速率为 3 10 m / s ，如果测定速度的不准确度为 1% ，同时测定位置的不准确量是多
6
少? 如果这是原子中的电子可以认为它作轨道运动吗? 根据测不准关系 x p
p mv —— 2 p mv
x v
x 2m 2mv
( x ) A sin kx —— k
电子的能量： E n
2
n ， n 1, 2, 3, 4, 5 ， k 0 x
h2 —— n 1, 2, 3, 4, 5 8m( x ) 2 h2 —— n 1 8m( x )2
电子最低能态的能量： E1 将 h 6.63 10
V ( x ) 0 V ( x )
0 x x 0 x , x x
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电子的定态薛定谔方程： ( x )
2
2m ( E U ) ( x ) 0 2
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 2 dx k 2 2mE 2
并且有 2 个 4 s ， 共 12 个电子， 钴的核外电子数为 27， 根据题意电子填充满 n 1 和 n 2 所有状态， 剩余的 15 个电子填充 n 3 的量子态。显然 3d 态有 7 个电子。 10. 如果电子被限制在边界 x 和 x x 之间， x 0.05 nm ，则电子动量 x 分量的不确定量近似地 为 p x 1.056 10
( r , t )
2
2
dV 1 。如果将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍，
( r , t )
dV 1 —— 这时的波函数 ( r , t ) 还没有进行归一化，这不
影响粒子在空间的几率分布。 03. 由氢原子理论，当氢原子处于 n 3 的激发态时，可发射 (A) 一种波长的光； (B) 两种波长的光； (C) 三种波长的光； 04. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是： (A) 康普顿实验； (B) 卢瑟福实验； 【 C 】 (D) 各种波长的光。 【 D 】
2 2 n x sin a a
a/4 a/4 2 x 1 2 a 发现粒子的几率： 1 ( x ) dx dx sin 2 0 0 4 a a
a/4
0
a/4
1 ( x ) dx
2
2
2
a/4
0
2 1x 1 2 x sin sin d( ) ( ) a a 2 a 4 a 0
(
h ) 有以下几种理解。 2
对于微观粒子，动量和坐标不能同时确定，正确描述(C) 02. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍， 则粒子在空间的分布几率将： (A) 增大 D ；
2
【 D 】
(B) 增大 2 D ；
(C) 增大 D ；
(D) 不变。
粒子在空间出现的概率： 粒子在空间出现的概率：
17. 在一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即不可能具有相同的 四个量子数。
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【 对 】
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四 计算题 18. 同时测量能量为 1 KeV 的作一维运动的电子位置与动量时，若位置的不确定值在 0.1 nm 内，则 动量的不确定值的百分比 (电子质量 me 9.11 10
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1 4s 2 ms l 0, ml 0, 2 1 l 1, m 0, 1, 4 p6 ms l 2 n 4, —— 32 个 1 10 l 2, m 0, 1, 2 4d ms l 2 1 l 3, ml 0, 1, 2, 3 ms 4 f 14 2
1 ； 2 1 ； 2
(B) n 3, l 1, ml 1, ms (C) n 1, l 2, ml 1, ms
1 ； 2
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(D) n 1, l 0, ml 1, ms
1 。 2
v 0.01v 3 104 m / s —— x 1.9 109 m x ~ r1 0.529 1010 m —— 原子中的电子不能看作是做轨道运动
20. 测定核的某一确定状态的能量时，不准确量为 1 eV ，试问这个状态的最短寿命是多长？ 根据测不准原理： E t
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单元十四 测不准关系 波函数 薛定谔方程 四个量子数
一 选择题 01. 关于不确定关系 xp x 1) 粒子的动量不可能确定； 2) 粒子的坐标不可能确定； 3) 粒子动量和坐标不可能同时确定； 4) 不确定关系不仅用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是： (A) (1)、(2)； (B) (2)、(4)； (C) (3)、(4)； (D) (4)、(1)。 【 C 】
2 n x 。则粒子处于基态时各处的概率密 sin a a
2 2x sin 。 a a
三 判断题 14. 电子自旋现象仅存在于氢原子系统。 【 错 】
15. 描述粒子运动波函数为 ( r , t ) ， 则 表示 t 时刻粒子在 r ( x, y , z ) 处出现的概率密度。 【 对 】 16. 关于概率波的统计解释是：在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的概率正比于该时刻、该 地点的波函数。 【 错 】
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N s (不确定关系式 x px / 2 ，普朗克常量 h 6.63 1034 J s )。
直接应用测不准关系： x p x
24 —— p x 1.056 10 N s 2
11. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是粒子在空间分布的几率波， 波函数没有具体的物理意义，波函数的平方代表粒子在空间各点出现的几率分布。机械波是机械振 动在介质中引起机械波，波函数表示质点的振动位移。 机械波是介质中的质点共同振动形成的，波函数描述了各质点离开平衡位置的大小，机械波是振 动位相和能量的传播过程。 德布罗意波描述的是粒子在空间一点出现的概率，没有具体的物理意义。当我们要计算某一物理量 时，根据概率分布得到该物理量的统计平均值。 12. 泡利不相容原理的内容是一个原子中不能有两个电子具有完全相同的量子态 泡利不相容原理的内容：一个量子态只能填充一个电子，即两个电子具有完全相同的量子态。也 就是两个电子不能有完全相同的四个量子数(主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数)。 13. 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 n ( x ) 度
原子中电子的状态由 4 个量子数确定 1) 主量子数 n ：主要决定原子中电子的能量，取值： n 1, 2, 3, 4, 。 2) 角量子数(副量子数) l ：决定电子的轨道角动量，处于同一主量子数的状态，不同的角量子 数，能量略有不同，取值： l 0, 1, 2, 3, 4, ( n 1) ，有 n 个可能的取值。 3) 磁量子数 ml ：描述角动量的空间量子化，决定角动量在外磁场方向上的分量，取值：