湖南省湘潭市20xx年中考数学真题试题(含解析).doc
2020年湖南省湘潭市中考数学试卷-含详细解析
2020年湖南省湘潭市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−6的绝对值是()A. −6B. 6C. −16D. 162.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.6×108B. 6×107C. 6×108D. 6×1093.已知2x n+1y3与13x4y3是同类项，则n的值是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列图形中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.下列运算中正确的是()A. (a2)3=a5B. (12)−1=−2 C. (2−√5)0=1 D. a3⋅a3=2a6 6.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=()A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°7.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是()A. 0.25B. 0.3C. 25D. 308.如图，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1)，当kx+b≥x时，则x的取值范围为()A. x≤1B. x≥1C. x<1D. x>1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.计算：sin45°=______．10.在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为______.(任意写出一个即可)11.计算：√8−√2=______．12.走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是______步．13.若yx =37，则x−yx=______．14.如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB=60°，则阴影部分面积为______．15.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为______．16.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）17. 解分式方程：3x−1+2=xx−1．18. 化简求值：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1，其中a =−2．19. 生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2分别表示甲、乙两班4个学生) (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3，将步梯DE 改造为斜坡AF ，其坡度为i 2=1：4，求斜坡AF 的长度．(结果精确到0.01m ，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)21.“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5时长x(小时)4<x≤55<x≤66<x≤77<x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b应用数据：(1)填空：a=______，b=______；(2)补全频数直方图；(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x≤7小时的人数．22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4)．(1)求过点B的反比例函数y=k的解析式；x(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．(1)求这两种书的单价；(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA 、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．26.如图，抛物线y=−x2+bx+5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以−6的绝对值是6．故选：B．在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：600000000=6×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】Bx4y3是同类项，【解析】解：∵2x n+1y3与13∴n+1=4，解得，n=3，故选：B．根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值．本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．4.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】C【解析】解：A、(a2)3=a6，故A错误；)−1=2，故B错误；B、(12C、(2−√5)0=1，正确；D、a3⋅a3=a6，故D错误；故选：C．根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式． 6.【答案】D【解析】解：∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD =∠B +∠A ，∴∠A =∠ACD −∠B ，∠B =50°， ∴∠A =60°， 故选：D ．根据三角形的外角的性质进行计算即可．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 7.【答案】B【解析】解：由图知，八年级(3)班的全体人数为：25+30+10+20+15=100(人)， 选择“5G 时代”的人数为：30人， ∴选择“5G 时代”的频率是：30100=0.3；故选：B ．先计算出八年级(3)班的全体人数，然后用选择“5G 时代”的人数除以八年级(3)班的全体人数即可．本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键． 8.【答案】A【解析】解：由题意，将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)， 可得k +b =1，即k −1=−b ，整理kx +b ≥x 得，(k −1)x +b ≥0， ∴−bx +b ≥0， 由图象可知b >0， ∴x −1≤0， ∴x ≤1， 故选：A ．将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)，可得k −1=−b ，再将kx +b ≥x 变形整理，得−bx +b ≥0，求解即可．本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．9.【答案】√22【解析】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=√22．根据特殊角的三角函数值解答．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=12，cos30°=√32，tan30°=√33，cot30°=√3；sin45°=√22，cos45°=√22，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=√32，cos60°=12，tan60°=√3，cot60°=√33．10.【答案】3【解析】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0从中任选一个即可故答案为：3(答案不唯一，3，2，1，0，−1，−2，−3任意一个均可)根据数轴表示数的意义，可得出答案为±3，±2，±1，0中任意写出一个即可． 本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 11.【答案】√2【解析】解：√8−√2=2√2−√2=√2． 故答案为√2．先把√8化简为2√2，再合并同类二次根式即可得解．本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12.【答案】6400【解析】解：这3天步数的平均数是：6200+5800+72003=6400(步)，故答案为：6400．根据算术平均数的计算公式即可解答．本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．13.【答案】47【解析】解：由yx =37可设y =3k ，x =7k ，k 是非零整数， 则x−y x=7k−3k 7k =4k 7k =47．故答案为：47．根据比例的基本性质变形，代入求值即可．本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 14.【答案】6π【解析】解：阴影部分面积为60π×62360=6π，故答案为：6π．直接根据扇形的面积计算公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式． 15.【答案】3【解析】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD ⊥OA ，PD =3， ∴PM =PD =3， 故答案为：3．根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 16.【答案】8167【解析】解：根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：8167．根据算筹计数法来计数即可．本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．17.【答案】解：3x−1+2=xx−1去分母得，3+2(x −1)=x ， 解得，x =−1，经检验，x =−1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x =−1．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18.【答案】解：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1=a −1−2a −1⋅(a −1)2a −3=a −1，将a =−2代入得：原式=−2−1=−3．【解析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a =−2代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19.【答案】解：(1)可能出现的结果有：男 1女 1、男 1男 2、男 1女 2、男 2女 1、男 2女 2、女 1女 2；(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况， 所以恰好选中一男一女的概率为24=12．【解析】(1)直接列举出所有可能出现的结果即可；(2)画出树状图，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.【答案】解：∵DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3， ∴在Rt △DCE 中，DE =√DC 2+CE 2=2DC =10， ∴解得DC =5．∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD =5．∵斜坡AF 的坡度为i 2=1：4， ∴AB BF =14，∴BF =4AB =20， ∴在Rt △ABF 中，AF =√AB 2+BF 2=5√17≈20.61(m)．故斜坡AF 的长度约为20.61米．【解析】先由DE 的坡度计算DC 的长度，根据矩形性质得AB 长度，再由AF 的坡度得出BF 的长度，根据勾股定理计算出AF 的长度．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．21.【答案】6 6.5【解析】解：(1)由总人数是20人可得在5<x ≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以a =6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b =6.5；故答案为：6，6.5；(2)由(1)得a =6．频数分布直方图补充如下：(3)由图可知，学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比=6+820×100%=70%，∴1000×70%=700(人)．∴学习时长在5<x ≤7小时的人数是700人．(1)根据各组频数之和等于数据总数，可得5<x ≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；(2)根据(1)中的数据画图即可；(3)先算出样本中学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．22.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =AD AB =AC， ∴Rt △ABD≌Rt △ACD(HL)；(2)直线DE 与⊙O 相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD=DC，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．【解析】(1)AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；(2)由△ABD≌△ACD得BD=BC，结合AO=BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．23.【答案】解：(1)过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A(3,4)，∴OE=3，AE=4，∴AO=√OE2+AE2=5∵四边形OABC是菱形，∴AO=AB=OC=5，AB//x轴，∴EF=AB=5，∴OF=OE+EF=3+5=8，∴B(8,4)．设过B点的反比例函数解析式为y=kx，把B点坐标代入得，k=32，所以，反比例函数解析式为y=32x；(2)∵OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBF+∠DBF=90°，∵∠DBF+∠BDF=90°，∴∠OBF=∠BDF，又∠OFB=∠BFD=90°，∴△OBF～△BDF，∴OFBF =BFDF，∴84=4DF，解得，DF=2，∴OD =OF +DF =8+2=10，∴D(10,0)．设BD 所在直线解析式为y =kx +b ，把B(8,4)，D(10,0)分别代入，得：{8k +b =410k +b =0，解得，{k =−2b =20， ∴直线BD 的解析式为y =−2x +20．【解析】(1)由A 的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B 的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)证明△OBF ～△BDF ，利用相似三角形的性质得出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 解析式即可．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，由题意得：{2x +y =1006x =7y， 解得{x =35y =30． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，则n 可以取17、18、19、20，当n =17时，50−n =33，共花费17×35+33×30=1585元；当n =18时，50−n =32，共花费17×35+33×30=1590元；当n =19时，50−n =31，共花费17×35+33×30=1595元；当n =20时，50−n =30，共花费17×35+33×30=1600元；．所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【解析】(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．25.【答案】解：(1)连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线，∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE//AB ，DE =12AB ，∴△ODE∽△OAB ，∴OD OA =DE AB =12， ∵AB =2，BD =1，∠ADB =90°，∴AD =√3，OD =√33， ∴S △OBC =BC⋅OD 2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3； (2)由(1)可知，OD OA =12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比， 故S △OBCS △ABC =13，是定值； (3)①∵四边形ABCD 是正方形，∴CD//AB ，AB =BC =CD =4，∴△CME ～△AMB ，∴EM BM =CE AB ，∵E 为CD 的中点，∴CE =12CD =2， ∴BE =√BC 2+CE 2=2√5，∴EM BM =12， ∴EM BE =13， 即EM =23√5；②∴S △CME =1，且ME BM =12，∴S △BMC =2，∵ME BM =12， ∴S △CME S △AMB =(ME BM )2=14，∴S △AMB =4，∴S △ABC =S △BMC +S △ABM =2+4=6，又S △ADC =S △ABC ，∴S △ADC =6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．【解析】(1)连接DE，利用相似三角形证明ODAO =12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；(2)根据(1)的证明可求解；(3)①证明△CME∽△ABM，得EMBM =12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26.【答案】解：(1)①抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴，则b2=2，解得：b=4，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，则OB′=OB，PB′=PB，对于y=−x2+4x+5，令y=0，则−x2+4x+5=0，解得：x1=−1，x2=5，∴A(−1,0)，B(5,0)，∴OB′=OB=5，∴CB′=√OB′2−OC2=√25−4=√21，∴B′(2,√21)，设点P(2,m)，由PB′=PB可得：√21−m=√m2+(5−2)2，解得：m=2√217，∴P(2,2√217)；同理，当点P在x轴下方时，P(2,−2√217).综上所述，点P(2,2√217)或P(2,−2√217)；(2)∵抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴当b≥4时，x=b2≥2，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x=2，y有最大值，即y=−4+2b+5=2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．【解析】(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB′=OB，PB′=PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′(2,√21)，再根据PB′=PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；(2)当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第(1)②问要先画出图形再理解，第(2)问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．。
湘潭市中考数学试卷
湘潭市中考数学试卷湘潭市中考数学试卷共8小题.每题3分.共24分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．±22．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日.某校为了解全校2000名学生的体重情况.随机抽测了200名学生的体重.根据体质指数（BMI）标准.体重超标的有15名学生.则估计全校体重超标学生的人数为（）A．15 B．150 C．200 D．20004．（3分）如图.点A的坐标（﹣1.2）.点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（1.2）B．（﹣1.﹣2）C．（1.﹣2）D．（2.﹣1）5．（3分）如图.已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点.则四边形EFGH 是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形6．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x37．（3分）若b＞0.则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（）A． B． C． D．8．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根.则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1二、填空题（本题共8小题.每题3分.共24分）9．（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2=．10．（3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试.其中物实验操作考试有4个考题备选.分别记为A.B.C.D.学生从中机抽取一个考题进行测试.如果每一个考题抽到的机会均等.那么学生小林抽到考题B的概率是．11．（3分）分式方程=1的解为．12．（3分）如图.在等边三角形ABC中.点D是边BC的中点.则∠BAD=．13．（3分）如图.AB是⊙O的切线.点B为切点.若∠A=30°.则∠AOB=．14．（3分）如图.点E是AD延长线上一点.如果添加一个条件.使BC∥AD.则可添加的条件为．（任意添加一个符合题意的条件即可）15．（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一.在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈.末折抵地.去本三尺.问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示.△ABC中.∠ACB=90°.AC+AB=10.BC=3.求AC的长.如果设AC=x.则可列方程为．16．（3分）阅读材料：若a b=N.则b=log a N.称b为以a为底N的对数.例如23=8.则log28=log223=3．根据材料填空：log39=．三、解答题（本题共10题.102分）17．（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣．18．（6分）先化简.再求值：（1+）÷．其中x=3．19．（6分）随看航母编队的成立.我国海军日益强大.2018年4月12日.中央军委在南海海域降重举行海上阅兵.在阅兵之前我军加强了海上巡逻.如图.我军巡逻舰在某海域航行到A处时.该舰在观测点P的南偏东45°的方向上.且与观测点P 的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后.到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处.问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414.≈1.732.结果精确到1海里）．20．（6分）为进一步深化基教育课程改革.构建符合素质教育要求的学校课程体系.某学校自主开发了A书法、B阅读.C足球.D器乐四门校本选修课程供学生选择.每门课程被选到的机会均等．（1）学生小红计划选修两门课程.请写出所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程.则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？21．（6分）今年我市将创建全国森林城市.提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应.在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动.校团委对全校各班的植树情况道行了统计.绘制了如图所示的两个不完整的统计图．（1）求该校的班级总数；（2）将条形统计图补充完整；（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．22．（6分）如图.在正方形ABCD中.AF=BE.AE与DF相交于于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．23．（8分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后.又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应.决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱.若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元.且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱.如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个.且费用不超过10000元.请你列举出所有购买方案.并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？24．（8分）如图.点M在函数y=（x＞0）的图象上.过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C．（1）若点M的坐标为（1.3）．①求B、C两点的坐标；②求直线BC的解析式；（2）求△BMC的面积．25．（10分）如图.AB是以O为圆心的半圆的直径.半径CO⊥AO.点M是上的动点.且不与点A、C、B重合.直线AM交直线OC于点D.连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时.求DM的长；②当AM=12时.求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中.∠DMC的大小是否为定值？若是.求出该定值；若不是.请说明理由．26．（10分）如图.点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的.请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N.且平行于x轴.点N的坐标为（0.﹣1）.过点P 作PM⊥l于M．①问题探究：如图一.在对称轴上是否存在一定点F.使得PM=PF恒成立？若存在.求出点F的坐标：若不存在.请说明理由．②问题解决：如图二.若点Q的坐标为（1.5）.求QP+PF的最小值．湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项.本题共8小题.每题3分.共24分）1．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2．故选：A．2．【解答】解：该几何体的主视图是三角形.故选：C．3．【解答】解：估计全校体重超标学生的人数为2000×=150人.故选：B．4．【解答】解：点A的坐标（﹣1.2）.点A关于y轴的对称点的坐标为：（1.2）．故选：A．5．【解答】解：连接AC、BD．AC交FG于L．∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∵DH=HA.DG=GC.∴GH∥AC.HG=AC.同法可得：EF=AC.EF∥AC.∴GH=EF.GH∥EF.∴四边形EFGH是平行四边形.同法可证：GF∥BD.∴∠OLF=∠AOB=90°.∵AC∥GH.∴∠HGL=∠OLF=90°.∴四边形EFGH是矩形．故选：B．6．【解答】解：A、x2+x3.无法计算.故此选项错误；B、x2•x3=x5.正确；C、（﹣x2）3=﹣x6.故此选项错误；D、x6÷x2=x4.故此选项错误；故选：B．7．【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0.b＞0.∴一次函数的图象经过一、二、四象限.故选：C．8．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根.∴△=（﹣2）2﹣4m＞0.解得：m＜1．故选：D．二、填空题（本题共8小题.每题3分.共24分）9．【解答】解：原式=（a﹣b）2故答案为：（a﹣b）210．【解答】解：∵物实验操作考试有4个考题备选.且每一个考题抽到的机会均等.∴学生小林抽到考题B的概率是：．故答案是：．11．【解答】解：两边都乘以x+4.得：3x=x+4.解得：x=2.检验：x=2时.x+4=6≠0.所以分式方程的解为x=2.故答案为：x=2．【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°.AB=AC．又点D是边BC的中点.∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．13．【解答】解：∵AB是⊙O的切线.∴∠OBA=90°.∴∠AOB=90°﹣∠A=60°.故答案为：60°．14．【解答】解：若∠A+∠ABC=180°.则BC∥AD；若∠C+∠ADC=180°.则BC∥AD；若∠CBD=∠ADB.则BC∥AD；若∠C=∠CDE.则BC∥AD；故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）15．【解答】解：设AC=x.∵AC+AB=10.∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∴AC2+BC2=AB2.即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．16．【解答】解：∵32=9.∴log39=log332=2．故答案为2．三、解答题（本题共10题.102分）17．【解答】解：原式=5+1﹣3﹣2=1．18．【解答】解：（1+）÷=×=x+2．当x=3时.原式=3+2=5．19．【解答】解：在△APC中.∠ACP=90°.∠APC=45°.则AC=PC．∵AP=400海里.∴由勾股定理知.AP2=AC2+PC2=2PC2.即4002=2PC2.故PC=200海里．又∵在直角△BPC中.∠PCB=90°.∠BPC=60°.∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里．20．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数.其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4.所以他们两人恰好选修同一门课程的概率==．21．【解答】解：（1）该校的班级总数=3÷25%=12.答：该校的班级总数是12；（2）植树11颗的班级数：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2.如图所示：（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（颗）.答：该校各班在这一活动中植树的平均数约是12颗数．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠DAB=∠ABC=90°.AD=AB.在△DAF和△ABE中..∴△DAF≌△ABE（SAS）.（2）由（1）知.△DAF≌△ABE.∴∠ADF=∠BAE.∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°.∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．23．【解答】解：（1）设温情提示牌的单价为x元.则垃圾箱的单价为3x元.根据题意得.2x+3×3x=550.∴x=50.经检验.符合题意.∴3x=150元.即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数）.则垃圾箱为（100﹣y）个.根据题意得.意..∴≤y≤52.∵y为正整数.∴y为42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.共11中方案；即：温馨提示牌42个.垃圾箱58个.温馨提示牌43个.垃圾箱57个.温馨提示牌44个.垃圾箱56个.温馨提示牌45个.垃圾箱55个.温馨提示牌46个.垃圾箱54个.温馨提示牌47个.垃圾箱53个.温馨提示牌48个.垃圾箱52个.温馨提示牌49个.垃圾箱51个.温馨提示牌50个.垃圾箱50个.温馨提示牌51个.垃圾箱49个.温馨提示牌52个.垃圾箱48个.根据题意.费用为30y+150（100﹣y）=﹣120y+15000.当y=52时.所需资金最少.最少是8760元．24．【解答】解：（1）①∵点M的坐标为（1.3）且B、C函数y=（x＞0）的图象上∴点C横坐标为1.纵坐标为1点B纵坐标为3.横坐标为∴点C坐标为（1.1）.点B坐标为（.3）②设直线BC解析式为y=kx+b把B、C点坐标代入得解得∴直线BC解析式为：y=﹣3x+4（2）设点M坐标为（a.b）∵点M在函数y=（x＞0）的图象上∴ab=3由（1）点C坐标为（a.）.B点坐标为（.b）∴BM=a﹣.MC=b﹣=∴S△BMC25．【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时.∵OM=OA.∴△AMO是等边三角形.∴∠A=∠MOA=60°.∴∠MOD=30°.∠D=30°.∴DM=OM=10②过点M作MF⊥OA于点F.设AF=x.∴OF=10﹣x.∵AM=12.OA=OM=10.由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2∴x=.∴AF=.∵MF∥OD.∴△AMF∽△ADO.∴.∴.∴AD=∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于之间时.连接BC.∵C是的重点.∴∠B=45°.∵四边形AMCB是圆内接四边形.此时∠CMD=∠B=45°.当点M位于之间时.连接BC.由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述.∠CMD=45°26．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2.﹣1）∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位.再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．（2）①存在一定点F.使得PM=PF恒成立．如图一.过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a.a2）∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0.1）②由①.PM=PFQP+PF的最小值为QP+QM的最小值当Q、P、M三点共线时.QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．∴QP+PF的最小值为5．。
2023年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案)145433
2023年湖南省湘潭市中考数学试卷试卷考试总分：112 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有条对称轴？（ ） A. B. C. D.2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.3. 在下列运算中，正确的是( )A.B.C.D.4. 某居民小区开展节约用水活动，月份各户用水量比月份有所下降，不同节水量的户数统计如下表所示：节水量（立方米） 户数那么月份平均每户节水量是（ ）42x−4−−−−−√x x ≥2x ≠2x >2x ≤2⋅=a 2a 6a 12=(a )b 32a 6b 6=()a 32a 5÷=aa 5a 43212320120603A.立方米B.立方米C.立方米D.立方米5. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为( )A.B.C.D.6. 已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是( )A.B.C.D.无法确定7. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是 A.B.C.D.8. 东胜到呼市相距千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的倍．从东胜到呼市的时间缩短了小时．设列车提速后所需时间为小时，根据题意，可列方程 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）9. 如图，在中，弦所对的圆周角＝，＝，＝，则度数为（ ）1.92.233.3366.67ABCD M N AB CD AM =CN MN AC O BO ∠DAC =31∘∠OBC 31∘49∘59∘69∘A(−1,)y 1B(1,)y 2C(2,)y 3y =−1x y 1y 2y 3<<y 1y 2y 3<<y 2y 3y 1<<y 3y 2y 1526()180∘150∘120∘90∘234 2.21.2x ()−=1.2234x 2342.2x =×2.2234x+1.2234x −=1.22342.2x 234x ×2.2=234x+1.2234x⊙O AB ∠C 45∘AB BC 1∠AA.B.C.D.10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，且过点，则下列结论正确的是( )A.B.方程的两个根是，C.D.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）11. 已知：若的整数部分为，小数部分为，则________．12. 已知：，那么________．13. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则点到的距离为________．14.用边长为厘米的正方形，做了一套七巧板，拼成如下图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为________平方厘米．四、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 7 分 ，共计70分 ）30∘36∘45∘60∘y =a +bx+c x 2x =1(3,0)abc <0a +bx+c =0x 2=−1x 1=3x 22a +b =04a +2b +c <010−−√a b 3a −(b +3=)2−6a +9+|b +1|=0a 2+=a 2b 2∠MON O OM A ON B A B OA ∠MON C OC OA =5AB =6B AC 10 x+1)≤1,①115. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．16. 先化简，再求值：，其中．17. 已知中为边上高，为上一点，，的延长线与延长线交于点，求证： .18. “共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为，，，）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上，，，四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，请用列表法或画树状图的方法，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．19. 为了解某校八年级学生运篮球过障碍物的成绩情况，随机抽查了部分同学的成绩（满分为分，成绩取整数），规定：等次（分~分）；等次（分~分）；等次（分~分）；等次（分以下），并根据调查结果制作了如下的频数分布图表（不完整）：请根据图表信息解答问题：表中的________，_______，_______；并补全频数分布直方图；这组数据的中位数落在________等次，众数落在________等次；若该校八年级有学生名，请估计运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数.20. 周末，小李时骑自行车从家里出发到郊外春游，时回到家里．他离家的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系可利用图中的折线表示，根据图象回答下列问题：(x+1)≤1,①131−x <2.②(−1)÷1x−3−3x x 2−6x+9x 2x =2–√△ABC CE AB D AC DG ⊥BC GD BA H GF ⋅GH =GB ⋅GC 2019A B C D A B C D 15A 12.515B 10.512.5C 8.510.5D 8.5(1)m=n =p =(2)(3)20008.5816S t小李到达离家最远的地方是什么时间？小李何时第一次休息？时到时，小李骑行了多少千米？返回时小李的平均速度是多少？21. 如图，已知，，是平面直角坐标系上三点.请画出关于原点对称的；画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点坐标.22. 如图，这是阳台电动升降晾衣架，它左侧的基本形状是菱形，通过调节菱形内角的大小，从而实现升降晾衣杆．图是晾衣架左侧的示意图，已知菱形的边长为．当晾衣架伸展至长(即点到直线的距离)为 时，求的大小．（参考数据：，，，）23. 在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化．如图，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是________，与的位置关系是________；当点在菱形外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图，图中的一种情况予以证明或说理）；如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求四边形的面积． 24. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，抛物线经过、两点，连接，．求抛物线的解析式；点在第二象限的抛物线上，过点作于点，交轴于点，若 ，求的长；在（）的条件下，若点和点同在一个象限内，连接、，，求点的坐标．(1)(2)(3)1112(4)A(−3,−3)B(−2,−1)C(−1,−2)(1)△ABC O △A 1B 1C 1(2)△ABC O 90∘△A ′B ′C ′C ′1215cm O l 2105cm ∠OAP sin ≈0.2615∘cos ≈0.9715∘sin ≈0.7851.3∘cos ≈0.8558.1∘ABCD ∠ABC =60∘P BD AP △APE E P (1)1E ABCD CE BP CE CE AD (2)E ABCD (1)23(3)4P BD BE AB =23–√BE =219−−√ADPE y =x+5x A y C B x y =a +bx+5x 2A B BC =20S △ABC (1)(2)P P PH ⊥AC H y D PD =3PH PD (3)2M(m,7+m)P MD MP tan ∠MDP =13M参考答案与试题解析2023年湖南省湘潭市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】直接利用轴对称图形的性质分析得出符合题意的答案．【解答】解：，正三角形有条对称轴，故此选项错误；，正方形有条对称轴，故此选项正确；，正六边形有条对称轴，故此选项错误；，正八边形有条对称轴，故此选项错误．故选.2.【答案】A【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得：，∴的取值范围是：．故选.3.【答案】D【考点】同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法【解析】A 3B 4C 6D 8B 2x−4−−−−−√2x−4≥0x ≥2x x ≥2A根据同底数幂的乘法和同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方的运算法则判断即可.【解答】解：，，故此项错误；，，故此项错误；，，故此项错误；，，故此项正确.故选.4.【答案】B【考点】加权平均数【解析】直接利用加权平均数的计算公式计算即可确定正确的选项．【解答】平均节水量立方米，5.【答案】C【考点】菱形的性质【解析】根据菱形的判定与性质进而得出＝，利用可得，可得＝，然后可得，继而可求得的度数．【解答】解：∵四边形是菱形，，，，，，，．故选.6.【答案】B【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】先判断出函数的增减性，再根据其坐标特点进行比较即可．A ⋅=a 2a 6a 8B =(a )b 32a 2b 6C =()a 32a 6D ÷=a a 5a 4D ==2.220+120×2+60×320+120+60AM CN ASA △AMO ≅△CNO AO CO BO ⊥AC ∠OBC ABCD ∴AB//CD AB=BC BO ⊥AC ∴∠BOC=90∘∵∠DAC=31∘∴∠BCA=∠DAC=31∘∴∠OBC=−90∘31∘=59∘C【解答】解：∵，∴在每一象限，随的增大而增大.∵，∴，当时，，∴．故选．7.【答案】B【考点】几何体的展开图弧长的计算【解析】利用底面周长展开图的弧长可得．【解答】解：，解得．故选．8.【答案】D【考点】由实际问题抽象出分式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得，提速之前的时间为：，故可列方程组为：.故选.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）9.【答案】∵∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴OB ＝OA ＝【考点】圆周角定理【解析】k =−1<0y x 0<1<2<<0y 2y 3x =−1>0y 1<<y 2y 3y 1B =2π×=526nπ180n =150∘B x+1.2×2.2=234x+1.2234xD此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A,B,C【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】由抛物线对称轴的位置确定的符号，由抛物线与轴的交点在轴上方得，则可对进行判断，根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为 ，则可对进行判断，由对称轴可对进行判断，由当时，函数值大于，则有，于是可对进行判断．【解答】解：，抛物线与轴的交点在轴上方，.对称轴为直线，，，故正确；，抛物线过点，二次函数图象的对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，方程的两个根是，，故正确；，对称轴为直线，，，故正确；，当时，，，故错误.综上所述，正确结论的序号是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）11.【答案】【考点】估算无理数的大小【解析】先估算的范围，求出、的值，代入求出即可．【解答】解：∵，∴，，∴．ab y x c >0①x (−1,0)②③x =204a +2b +c <0④A ∵y x ∴c >0∵x =−=1b 2a ∴ab <0∴abc <0A B ∵(3,0)x =1∴x (−1,0)∴a +bx+c =0x 2=−1x 1=3x 2B C ∵x =1∴x =−=1b 2a ∴2a +b =0C D ∵x =2y >0∴4a +2b +c >0D ABC ABC −110−−√a b 3<<410−−√a =3b =−310−−√3a −(b +3=3×3−(−3+3=−1)210−−√)2【答案】【考点】非负数的性质：偶次方非负数的性质：绝对值【解析】先将已知等式变形为，再由非负数的性质求出，值，最后代入计算即可.【解答】解：,，，且，，，当，时，.故答案为：.13.【答案】【考点】作图—基本作图角平分线的性质【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点到的距离，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，为的角平分线，∵，平分，∴，设与交于点，作于点，∵，，，，∴，＝，，∴，∵．∴，解得，.10(a −3+|b +1|=0)2a b ∵−6a +9+|b +1|=0a 2∴(a −3+|b +1|=0)2∴a −3=0b +1=0∴a =3b =−1a =3b =−1+=+(−1=10a 2b 232)210245B AC OC ∠MON OA =OB OC ∠AOB OC ⊥AB OC ABD BE ⊥AC E AB =6OA =5AC =OA OC ⊥AB AC =5∠ADC 90∘AD =3CD =4=AB ⋅CD 2AC ⋅BE 2=6×425×BE 2BE =2452414.【答案】【考点】七巧板正方形的性质【解析】根据图形分析可得阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，进而计算可得答案．【解答】读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为＝平方厘米；四、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 7 分 ，共计70分 ）15.【答案】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集是．【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集是．16.【答案】解：原式．5010×10÷250x ≤2x >−1−1<x ≤2x ≤2x >−1−1<x ≤2=⋅1−x+3x−3(x−3)2x(x−3)=4−x x=2−14−–√当时，原式．【考点】分式的化简求值【解析】无【解答】解：原式．当时，原式．17.【答案】证明：∵为高，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴，即 . 【考点】相似三角形的判定与性质【解析】∵为高，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴，即 . 【解答】证明：∵为高，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴，即 .18.【答案】解：由题意画树状图如下：x =2–√==2−14−2–√2–√2–√=⋅1−x+3x−3(x−3)2x(x−3)=4−x x x =2–√==2−14−2–√2–√2–√CE ∠FCG =−∠ABC 90∘HG ⊥BC ∠H =−∠ABC 90∘∠FCG =∠H ∠BGH =∠FGC =90∘△BGH ∼△FGC GF ∶GB =GC ∶GH GF ⋅GH =GB ⋅GCCE ∠FCG =−∠ABC 90∘HG ⊥BC ∠H =−∠ABC 90∘∠FCG =∠H ∠BGH =∠FGC =90∘△BGH ∼△FGC CF ∶GB =GC ∶CH GF ⋅GH =GB ⋅GCCE ∠FCG =−∠ABC 90∘HG ⊥BC ∠H =−∠ABC 90∘∠FCG =∠H ∠BGH =∠FGC =90∘△BGH ∼△FGC GF ∶GB =GC ∶GH GF ⋅GH =GB ⋅GC共有种等可能的结果，其中小明和小华查找同一位院士资料的有种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为.【考点】列表法与树状图法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意画树状图如下：共有种等可能的结果，其中小明和小华查找同一位院士资料的有种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为.19.【答案】,,,要求运篮球过障碍物成绩在分以上的学生，即求不是等次的学生，则根据成绩频数分布表可得名学生成绩在分以上的人数有：名.答：若该校八年级有学生名，则运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数为名.【考点】众数中位数频数（率）分布直方图频数（率）分布表用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，补全的频数分布直方图如下：164=41614164=4161410150.3B B (3)8.5D 20008.52000×(1−0.1)=180020008.51800(1)m=×20=100.20.4p =1−0.2−0.4−0.1=0.3n =×5=15p 0.1故答案为：；；.由的频数分布直方图可知，本组数据的总数为，则中位数为第个和第个数据的平均数，即中位数为，落在等次；再从频率分布直方图可得，最高的为数据出现次数最多的，则众数为，也落在等次；故答案为：；.要求运篮球过障碍物成绩在分以上的学生，即求不是等次的学生，则根据成绩频数分布表可得名学生成绩在分以上的人数有：名.答：若该校八年级有学生名，则运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数为名.20.【答案】解：由图可得，小李到达离家最远的地方是时．由图可得，小李时第一次休息．由图可知，(千米)，∴时到时，小李骑了千米．由图可知，(千米/时)，∴返回时，小李的平均车速为千米/时．【考点】一次函数的应用【解析】根据函数图象中的数据，可知小李到达离家最远的地方是什么时间；根据函数图象中的数据，可知小李何时第一次休息；根据函数图象中的数据，可以计算出时到时，小李骑了多少千米；根据函数图象中的数据，可以计算出返回时，小李的平均车速是多少．【解答】解：由图可得，小李到达离家最远的地方是时．由图可得，小李时第一次休息．由图可知，(千米)，∴时到时，小李骑了千米．由图可知，(千米/时)，∴返回时，小李的平均车速为千米/时．21.【答案】解：如图所示，是所求.10150.3(2)(1)502526=2020+202B 20B B B (3)8.5D 20008.52000×(1−0.1)=180020008.51800(1)14(2)10(3)25−20=511125(4)30÷(16−14)=30÷2=1515(1)(2)(3)1112(4)(1)14(2)10(3)25−20=511125(4)30÷(16−14)=30÷2=1515(1)△A 1B 1C 1如图所示，是所求，.【考点】坐标与图形变化-旋转坐标与图形变化-对称【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，是所求.如图所示，是所求，.22.【答案】解：连接，过点作于点．(2)△A ′B ′C ′(−2,1)C ′(1)△A 1B 1C 1(2)△A ′B ′C ′(−2,1)C ′OP A AM ⊥OP M晾衣架伸展至，．在中，．，．【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：连接，过点作于点．晾衣架伸展至，．在中，．，．23.【答案】,中的结论仍然成立．证明：选图证明，连接交于，设交于．∵105cm ∴OM =105÷9=(cm)353Rt △OAM sin ∠OAM ==≈0.78OM OA 79∴∠OAM ≈51.3∘∴∠OAP ≈102.6∘OP A AM ⊥OP M ∵105cm ∴OM =105÷9=(cm)353Rt △OAM sin ∠OAM ==≈0.78OM OA 79∴∠OAM ≈51.3∘∴∠OAP ≈102.6∘BP =CE CE ⊥AD (2)(1)2AC BD O CE AD H如图，∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∵是等边三角形，∴，，，∴,∴，∴，，∵，∴，∴，即．选图证明，连接交于，如图，∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∵是等边三角形，∴，，，∴∴，∴，，∵，∴，∴，即．解：连接交于点，，作于，如图，∵四边形是菱形，∴，平分.∵，，∴，∴，∴.由知，∵,∴,∵，∴，由知，∴，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴ABCD ∠ABC =60∘△ABC △ACD ∠ABD =∠CBD =30∘△APE AB =AC AP =AE ∠BAC =∠PAE =60∘∠BAP =∠CAE △BAP ≅△CAE BP =CE ∠ABP =∠ACE =30∘∠CAH =60∘∠CAH+∠ACH =90∘∠AHC =90∘CE ⊥AD 3AC BD O ABCD ∠ABC =60∘△ABC △ACD ∠ABD =∠CBD =30∘△APE AB =AC AP =AE ∠BAC =∠PAE =60∘∠BAP =∠CAE△BAP ≅△CAE BP =CE ∠ABP =∠ACE =30∘∠CAH =60∘∠CAH+∠ACH =90∘∠AHC =90∘CE ⊥AD (3)AC BD O CE EH ⊥AP H ABCD AC ⊥BD BD ∠ABC ∠ABC =60∘AB =23–√∠ABO =30∘AO =，BO =DO =33–√BD =6(2)CE ⊥AD AD//BC CE ⊥BC BE =2，BC =AB =219−−√3–√CE ==8(2−(219−−√)23–√)2−−−−−−−−−−−−−−−√(2)BP =CE =8DP =2OP =5AP ==2+(523–√)2−−−−−−−−−√7–√△APE PH =，EH =7–√21−−√=+S 四边形ADPE S △ADP S △APE =DP ⋅AO +AP ⋅EH S 四边形ADPE 1212×2×+×2×11.∴四边形的面积为.【考点】四边形综合题【解析】如图中，结论：，．连接，想办法证明即可解决问题；结论仍然成立．证明方法类似；首先证明，解直角三角形求出，，即可解决问题；【解答】解：连接,如图，∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∵是等边三角形，∴，，，，∴，∴，，延长交于，∵，∴，∴，即．故答案为：；．中的结论仍然成立．证明：选图证明，连接交于，设交于．如图，∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∵是等边三角形，∴，，，∴,∴，∴，，∵，∴，∴，即．选图证明，连接交于，如图，∵四边形是菱形，，=×2×+×2×123–√127–√21−−√=+73–√3–√=83–√ADPE 83–√(1)1PB =EC CE ⊥AD AC △BAP ≅△CAE (2)(3)△BAP ≅△CAE AP DP OA (1)AC ABCD ∠ABC =60∘△ABC △ACD ∠ABD =∠CBD =30∘△APE AB =AC AP =AE ∠BAC =∠PAE =60∘∴∠BAP =∠CAE △BAP ≅△CAE BP =CE ∠ABP =∠ACE =30∘CE AD F ∠CAF =60∘∠CAF +∠ACF =90∘∠AFC =90∘CE ⊥AD BP =CE CE ⊥AD (2)(1)2AC BD O CE AD H ABCD ∠ABC =60∘△ABC △ACD ∠ABD =∠CBD =30∘△APE AB =AC AP =AE ∠BAC =∠PAE =60∘∠BAP =∠CAE △BAP ≅△CAE BP =CE ∠ABP =∠ACE =30∘∠CAH =60∘∠CAH+∠ACH =90∘∠AHC =90∘CE ⊥AD 3AC BD O ABCD ∠ABC =60∘∴，都是等边三角形，，∵是等边三角形，∴，，，∴∴，∴，，∵，∴，∴，即．解：连接交于点，，作于，如图，∵四边形是菱形，∴，平分.∵，，∴，∴，∴.由知，∵,∴,∵，∴，由知，∴，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴.∴四边形的面积为.24.【答案】解：（1）直线交轴于点，交轴于点∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵抛物线经过、两点，∴∴抛物线解析式为．（2）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点．易证四边形为矩形则△ABC △ACD ∠ABD =∠CBD =30∘△APE AB =AC AP =AE ∠BAC =∠PAE =60∘∠BAP =∠CAE△BAP ≅△CAE BP =CE ∠ABP =∠ACE =30∘∠CAH =60∘∠CAH+∠ACH =90∘∠AHC =90∘CE ⊥AD (3)AC BD O CE EH ⊥AP H ABCD AC ⊥BD BD ∠ABC ∠ABC =60∘AB =23–√∠ABO =30∘AO =，BO =DO =33–√BD =6(2)CE ⊥AD AD//BC CE ⊥BC BE =2，BC =AB =219−−√3–√CE ==8(2−(219−−√)23–√)2−−−−−−−−−−−−−−−√(2)BP =CE =8DP =2OP =5AP ==2+(523–√)2−−−−−−−−−√7–√△APE PH =，EH =7–√21−−√=+S 四边形ADPE S △ADP S △APE =DP ⋅AO +AP ⋅EH S 四边形ADPE 1212=×2×+×2×123–√127–√21−−√=+73–√3–√=83–√ADPE 83–√y =x+5x A y CA(−5,0),C(0,5)OC =OA =5=20S △ABC AB =8OB =3B(3,0)y =a +bx+5x 2A B {0=9a +3b +5,0=25a −5b +5∴ a =−13b =−23y =−−x+513x 223P PE ⊥y E P PF ⊥x F AC G PEOF PF =EO,PE =OF.设点的横坐标为，则纵坐标为∴∴∴∵，∴．∵，∴∴∴．∴∵，∴∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴∴∵，∴ ．∴或（舍去）∴．（3）点的坐标为或【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵抛物线经过、两点，∴∴抛物线解析式为．（2）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点．易证四边形为矩形则设点的横坐标为，则纵坐标为P 3n −−×3n+5=−3−2n+513(3n)223n 2E(0,−3−2n+5),F (3n,0)n 2OE =−3−2n+5,OF =−3nn 2PE =−3n,PF =−3−2n+5n 2OC =OA =5AF =5+3n,∠OAC =∠OCA =45∘PH ⊥AC ∠CHD =.90∘∠PDE ==∠DPE.45∘PE =ED =−3n PD =−3n.2–√PD =3PH PH =−n.2–√∠DPE =45∘∠GPH =45∘∠PGH ==∠GPH 45∘PH =GH =−n 2–√PG =−2n ∠OAC =∠AGF =45∘AF =GF =5+3n.PF =−2n+5+3n =n+5PF =−3−2n+5n 2−3−2n+5=n+5n 2n =−1n =0PD =−3n =32–√2–√M (−2,5)(−4,3)y =x+5x A y C A(−5,0),C(0,5)OC =OA =5=20S △ABC AB =8OB =3B(3,0)y =a +bx+5x 2A B {0=9a +3b +5,0=25a −5b +5∴ a =−13b =−23y =−−x+513x 223P PE ⊥y E P PF ⊥x F AC G PEOF PF =EO,PE =OF.P 3n −−×3n+5=−3−2n+513(3n)223n 2E(0,−3−2n+5),F (3n,0)2∴∴∴∵，∴．∵，∴∴∴．∴∵，∴∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴∴∵，∴ ．∴或（舍去）∴．（3），∴点在直线上．∵，∴．∴点也在直线上．①当点在点上方时，过作于，过点作于点．∵，∴．∴．∴．∴．∵，．在中，∴．∵，∴．∵，∴．∴．②当点在点下方时，过点作交的延长线于点．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴∴点的坐标为或E(0,−3−2n+5),F (3n,0)n 2OE =−3−2n+5,OF =−3nn 2PE =−3n,PF =−3−2n+5n 2OC =OA =5AF =5+3n,∠OAC =∠OCA =45∘PH ⊥AC ∠CHD =.90∘∠PDE ==∠DPE.45∘PE =ED =−3n PD =−3n.2–√PD =3PH PH =−n.2–√∠DPE =45∘∠GPH =45∘∠PGH ==∠GPH 45∘PH =GH =−n 2–√PG =−2n ∠OAC =∠AGF =45∘AF =GF =5+3n.PF =−2n+5+3n =n+5PF =−3−2n+5n 2−3−2n+5=n+5n 2n =−1n =0PD =−3n =32–√2–√M(m,7+m)M y =x+7n =−1P (−3,4)P y =x+7M P P PE ⊥OC E M MN ⊥PE N M(m,7+m),P (−3,4)N (m,4)PN =m−(−3)=m+3,MN =7+m−4=m+3PN =MN ∠MPN =∠PMN =45∘∠DPE =45∘∴∠MPD =∠MPN +∠DPE =90∘Rt △PMN PM =m+3,MN =m+3PM =(m+3)=m+32–√2–√2–√tan ∠MDP ==PM PD 13PD =3PM PD =32–√m=−2M(−2,5)M P M MK ⊥EP EP K M(m,7+m),P (−3,4)K(m,4)PK =−3−m,MK =4−(7+m)=−3−m PK =MK ∠MPK =∠PMK =45∘∠DPE =45∘∠MPD =−∠MPK −∠DPE =180∘90∘PK =−3−m,MK =−3−m PK =MK PM =(−3−m)=−m−32–√2–√2–√tan ∠MDP ==PM PD 13PD =3PM 3=3(−m−3)2–√2–√2–√m=−4M(−4,3)M (−2,5)(−4,3)。
2023年湖南湘潭中考数学真题及答案
2023年湖南湘潭中考数学真题及答案考试时量：120分钟满分：120分考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A .爱B.我C.中D.华2.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x <1B.x ≤1C.x >1D.x ≥13.下列计算正确的是（）A.824a a a÷= B.23a a a+= C.()325a a = D.235a a a ⋅=4.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占20%，现场展示占80%．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（）A .95分B.94分C.92.5分D.91分5.如图，菱形ABCD 中，连接AC BD ，，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A.20︒B.60︒C.70︒D.80︒6.如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A.2B.2-C.1D.1-7.如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 AA '的长为（）A.4πB.6πC.8πD.16π8.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x 千米/时，则可列方程为（）A.505011.26x x =+ B.505010 1.2x x+= C.5050101.2x x=+ D.501506 1.2x x+=二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.下列选项中正确的是（）A.081= B.88-= C.()88--= D.=±10.2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩67x ≤<78x ≤<89x ≤<910x ≤<1011x ≤<频数2625125则下列说法正确的是（）A.样本容量为50B.成绩在910x ≤<米的人数最多C.扇形图中C 类对应的圆心角为180︒D.成绩在78x ≤<米的频率为0.111.如图，AC 是O 的直径，CD 为弦，过点A 的切线与CD 延长线相交于点B ，若AB AC =，则下列说法正确的是（）A.AD BC ⊥B.90CAB ∠=︒C.DB AB =D.12AD BC =12.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（）A.0a >B.0c > C.240b ac -< D.930a b c ++=三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13.5的点所表示的整数有__________．（写出一个即可）14.已知实数a ，b 满足()2210a b -++=，则b a =_________．15.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作弧，分别交,AC AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，在BAC ∠内两弧交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为1，则CD 的长为__________．16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.解不等式组：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来．18.先化简，再求值：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭，其中6x =．19.在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC上的高．（1）证明：C ABD BA ∽△△；（2）若610AB BC ==，，求BD 的长．20.为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．21.教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1541a 32b 34整理数据：时间段03x ≤<36x <≤69x ≤<人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54请结合以上信息回答下列问题：（1）m =__________，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a b <，则=a __________，b =__________；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．22.我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x 元，全部售完的利润为y 元．求利润y （元）关于售价x （元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？23.如图，点A 的坐标是()3,0-，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90︒得到A BC ''△．（1）反比例函数ky x=的图像经过点C '，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A 、A '两点，求该一次函数的表达式．24.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0=t 时，某盛水筒恰好位于水面A 处，此时30AOM ∠=︒，经过95秒后该盛水筒运动到点B 处． 1.414 1.732≈≈）问题解决：（1）求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时，BOM ∠的度数；（2）求该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）25.问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G ，以BG 为边长向外作正方形BEFG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时，连接DF AC ，相交于点P ，小红发现点P 恰为DF 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG ，并延长与DF 相交，发现交点恰好也是DF 中点P ，如图②，根据小红发现的结论，请判断APE V 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α，连接DF ，点P 是DF 中点，连接AP ，EP ，AE ，APE V 的形状是否发生改变？请说明理由．26.如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.C3.D4.B5.C6.A7.C8.A二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.ABC 10.AC 11.ABD 12.BD三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13.2（答案不唯一）【详解】解：设所求数为a ，则a <，且为整数，则a <<，<<，即23<<，∴a 可以是2±或1±或0．故答案为：2（答案不唯一）．14.12【详解】解：∵()2210a b -++=，∴20a -=且10b +=，解得：2a =，1b =-；∴1122ba -==；故答案为：12．【详解】解：如图所示，过点D 作DE AB ⊥于点E ，依题意1DE =，根据作图可知AD 为CAB ∠的角平分线，∵,DC AC DE AB ⊥⊥∴1CD DE ==，故答案为：1．16.2【详解】解：如图所示，依题意，22OD AD ==12OE OD ==∴图中阴影部分的面积为222OE ==故答案为：2．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.解不等式组：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为：22x -<≤．画图见解析【详解】解：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，由①得：2x ≤，由②得：26>4x x ++，∴>2x -，在数轴上表示其解集如下：∴不等式组的解集为：22x -<≤．18.先化简，再求值：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭，其中6x =．【答案】3x x -；2【详解】解：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭2212119x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++-⎝⎭，()()()33131x x x x x x ++=++-⋅，3x x =-，当6x =时，原式2=．19.在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC上的高．（1）证明：C ABD BA ∽△△；（2）若610AB BC ==，，求BD 的长．【答案】（1）见解析（2）185BD =【小问1详解】证明：∵90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．∴90ADB ∠=︒，90B C ∠+∠=︒∴90B BAD ∠+∠=︒，∴BAD C∠=∠又∵B B∠=∠∴C ABD BA ∽△△，【小问2详解】∵C ABD BA∽△△∴AB BD CB AB=，又610AB BC ==，∴23618105AB BD CB ===．20.为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．【答案】（1）,,,,,AB AC AD BC BD CD （2）13【小问1详解】解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为,,,,,AB AC AD BC BD CD ；【小问2详解】解：列表如下，AB D AAA AB AD B BA BB BDD DA DB DD共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，∴他俩选到相同社团的概率为3193=．21.教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1541a 32b 34整理数据：时间段03x ≤<36x <≤69x ≤<人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据 3.4 3.54请结合以上信息回答下列问题：（1）m =__________，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a b <，则=a __________，b =__________；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．【答案】（1）1；频数直方图见解析（2）4；7（3）1400人【小问1详解】解：根据题意，可得10361m =--=，故答案为：1，补全频数直方图，如图所示：【小问2详解】解： 在家做家务时间段为69x ≤<有1人，且a b <，6b ∴≥，观察数据，可得在家做家务时间段为36x <≤的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故36a ≤<，众数为4，在已知数据中在家做家务时间为4和3的各有2人，4a ∴=，根据平均数，可得方程()15414323410 3.4b +++++++++÷=，解得7b =，故答案为：4；7；【小问3详解】解：612000140010+⨯=（人），答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．22.我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x 元，全部售完的利润为y 元．求利润y （元）关于售价x （元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？【答案】（1）100050000y x =-；（2）该商店继续购进了4000件航天模型玩具．【小问1详解】解：因每件玩具售价为x 元，依题意得()100050100050000y x x =-=-；【小问2详解】解：设商店继续购进了m 件航天模型玩具，则总共有()1000m +件航天模型玩具，依题意得：()()1000605020%10000m +-⨯=，解得4000m =，答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．23.如图，点A 的坐标是()3,0-，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90︒得到A BC ''△．（1）反比例函数k y x=的图像经过点C '，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A 、A '两点，求该一次函数的表达式．【答案】（1）8y x=（2）1377y x =+【小问1详解】解：∵点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，∴()0,2C ，2OC BC ==，由旋转可得：2BC BC '==，90CBC '∠=︒，∴()2,4C '，∴248k =⨯=，∴反比例函数的表达式为8y x=；【小问2详解】如图，过A '作A H BC '⊥于H ，则90AOB A HB '∠=∠=︒，而90ABA '∠=︒，AB A B '=，∴90ABO BAO ABO A BO '∠+∠=︒=∠+∠，∴BAO A BH ¢Ð=Ð，∴ABO BA H ' ≌，∴3AO BH ==，4OB A H '==，∴431OH =-=，∴()4,1A '，设直线AA '为y mx n =+，∴3041m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AA '为1377y x =+．24.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0=t 时，某盛水筒恰好位于水面A 处，此时30AOM ∠=︒，经过95秒后该盛水筒运动到点B 处． 1.414 1.732≈≈）问题解决：（1）求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时，BOM ∠的度数；（2）求该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】（1）45BOM ∠=︒；（2）该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．【小问1详解】解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转3603120=︒︒，当经过95秒后该盛水筒运动到点B 处时，36039575AOB ∠=︒-︒⨯=︒，∵30AOM ∠=︒，∴753045BOM ∠=︒-︒=︒；【小问2详解】解：作BC OM ⊥于点C ，设OM 与水平面交于点D ，则OD AD ⊥，在Rt OAD △中，30AOD ∠=︒，2OA =，∴112AD OA ==，22213OD =-=，在Rt OBC △中，45BOC ∠=︒，2OB =，∴222BC OC ===，∴320.3CD OD OC =-=≈(米)，答：该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．25.问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G ，以BG 为边长向外作正方形BEFG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时，连接DF AC ，相交于点P ，小红发现点P 恰为DF 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG ，并延长与DF 相交，发现交点恰好也是DF 中点P ，如图②，根据小红发现的结论，请判断APE V 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α，连接DF ，点P 是DF 中点，连接AP ，EP ，AE ，APE V 的形状是否发生改变？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）APE V 的形状不改变，见解析【详解】（1）证明：连接BD ，BF ，BP ，如图，∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形，∴45CBD FBG ∠=︒=∠，∴90DBF ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，又∵AP AP =，∴()SAS APD APB ≌，∴BP DP =，∴PDB PBD ∠=∠，∵90PDB PFB PBD PBF ∠+∠=︒=∠+∠，∴PBF PFB ∠=∠，∴PB PF =，∴PD PF =，即点P 恰为DF 的中点；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形，∴45CAE PEA ∠=∠=︒∴,90AP EP APE =∠=︒，∴APE V 是等腰直角三角形；（3）APE V 的形状不改变，延长EP 至点M ，使PM EP =，连接,MA MD ，∵四边形ABCD 、四边形BEFG 都是正方形，∴90AB AD BAD ABC EBG BE EF =∠=∠=∠=︒=，，，BG EF ∥，∵点P 为DF 的中点，∴PD PF =，∵DPM EPF ∠=∠，∴()SAS E MPD PF ≌，∴,DM EF DMP PEF =∠=∠，∴BE DM =，DM EF ∥，∴BG DM ∥，设DF 交BC 于点H ，交BG 于点N ，∴MDN DNB ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADN BHN ∠=∠，∵180BHN BNH HBN ∠+∠+∠=︒，∴180ADM ADN MDN BHN BNH HBN ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，∵360180ABE ABC EBG HBN HBN ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠，∴ADM ABE ∠=∠，又∵AD AB =，∴()SAS A ADM BE ≌，∴AM AE =，DAM BAE ∠=∠，∵PM EP =，∴AP ME ⊥，即90APE ∠=︒，∵90DAM MAB ∠+∠=︒，∴90BAE MAB ∠+∠=︒，即90MAE ∠=︒，∴45MAP PAE ∠=∠=︒，∴45PEA PAE ∠=︒=∠，∴AP EP =，∴APE V 是等腰直角三角形．26.如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．【答案】（1）243y x x =-+（2）()2,1P -或317717,22P ⎛ ⎝⎭+或317717,22P ⎛ ⎝⎭+-（3）31752a <<或31721a <--<．【小问1详解】解：将点()10B ,，()0,3C 代入2y x bx c =++，得103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：43b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为243y xx =-+；【小问2详解】∵243y x x =-+()221x =--，顶点坐标为()2,1，当0y =时，2430x x -+=解得：121,3x x ==∴()3,0A ，则3OA =∵()0,3C ，则3OC =∴AOC 是等腰直角三角形，∵PAC ABCS S =△△∴P 到AC 的距离等于B 到AC 的距离，∵()3,0A ，()0,3C ，设直线AC 的解析式为3y kx =+∴330k +=解得：1k =-∴直线AC 的解析式为3y x =-+，如图所示，过点B 作AC 的平行线，交抛物线于点P ，设BP 的解析式为y x d =-+，将点()10B ,代入得，10d -+=解得：1d =∴直线BP 的解析式为1y x =-+，2143y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩∴()2,1P -，∵()()22223212,2112,312PA PB AB =-+==-+=-=∴222PA PB AB +=∴ABP 是等腰直角三角形，且90APB ∠=︒，如图所示，延长PA 至D ，使得AD PA =，过点D 作AC 的平行线DE ，交x 轴于点E ，则DA PA =，则符合题意的点P 在直线DE 上，∵APB △是等腰直角三角形，,DE AC AC PD ⊥∥∴45DAE BAP ∠=∠=︒PD DE⊥∴ADE V 是等腰直角三角形，∴222AE AP ===∴()5,0E设直线DE 的解析式为y x e=-+∴50e -+=解得：5e =∴直线DE 的解析式为5y x =-+联立2543y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得：31727172x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31727172x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴37,22P ⎛ ⎝⎭-+或37,22P ⎛ ⎝⎭+-综上所述，()2,1P -或317717,22P ⎛ ⎝⎭-+或317717,22P ⎛ ⎝⎭+-；【小问3详解】①当0a >时，如图所示，过点C 作CG AC ⊥交2x =于点G ，当点Q 与点G 重合时，ACQ 是直角三角形，当90AQC ∠=︒时，ACQ是直角三角形，设AC 交2x =于点H ，∵直线AC 的解析式为3y x =-+，则()2,1H ，∴CH ==,∵45CHG OCH ∠=∠=︒，∴CHG △是等腰直角三角形，∴HG =4==∴()2,5G ，设()2,Q q ，则()22222221,23613AQ q CQ q q q =+=+-=-+∵2223318AC =+=∴222186131q q q =-+++解得：3172q -=（舍去）或3172q =∴32,2Q ⎛+ ⎝⎭∵QAC △是锐角三角形∴352a +<<；当a<0时，如图所示，同理可得222AQ QC AC +=即∴222186131q q q =-+++解得：32q -=或32q =（舍去）由（2）可得AM AC ⊥时，()2,1M -∴31721a <--<综上所述，当QAC △是锐角三角形时，31752a +<<或31721a <--<．。
20XX年湖南省湘潭市中考真题数学试卷及答案(word版)
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湘潭市20XX年初中毕业学业考试数学试题卷(考试时量：120分钟满分：120分)考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）或写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列判断中，你认为正确的是A．0的绝对值是0b．1是无理数3c．4的平方根是2D．1的倒数是?12．下列计算正确的是A.2?3．函数3?23b.a?a2?a3c.(2a)?(3a)?6aD.2?1?12y?1?x中自变量的取值范围是?1b.x?1c.x?1D.x?1A.x4．一组数据1，2，3，4，5，5，5的中位数和众数分别是A．4，3b．3，5c．5，5D．4，55．在△Abc中，D、e分别是Ab、Ac的中点，若De=2cm，则bc 的长是A．2cmb．3cmc．4cmD．5cm6．不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为○5题图6题图●-12A．?x??1x?2b．?x??1x?2c．?x??1x?2D．?x??1x?27．下列说法中,你认为正确的是A．四边形具有稳定性b．等边三角形是中心对称图形c．任意多边形的外角和是360oD．矩形的对角线一定互相垂直8．在同一坐标系中，正比例函数Aoxyy?x与反比例函数y?y2x的图象大致是yyoxoxoxb8题图cD二、填空题（本小题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．?2的相反数是．10．分解因式：x2Fc12Ae11题图b?2x?1?．oD11．如图，已知Ab△cD，?1?80，则?2?o．12．湖南省第十一届运动会将在我市举行，新建的市体育公园总建筑面积达28000平方米，用科学计数法表示总建筑面积为平方米．13．如图所给的三视图表示的几何体是．·主视图左视图13题图俯视图14．长方形的周长为12cm，长是宽的2倍，则长为cm．15．△Abc 中，若△A=80，△b=50，Ac=5，则Ab=.16.有四张不透明的卡片,正面写有不同命题（见下图）,背面完全相同.将这四张卡片背面朝上洗匀后,随机抽取一张,得到正面上命题是真命题的概率为.oo直角三角形中30的角所对的边是斜边的一半o垂直于弦的直径平分这条弦平移改变图形的位置和大小到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17．（本题满分6分）计算：(?1)18．（本题满分6分）解不等式：2(x?1)19．（本题满分6分）如图，我护航军舰在某海域航行到b处时，灯塔A在我军舰的北偏东60的方向；我军舰从b处向正东方向行驶1800米到达c处，此时灯塔A在我军舰的正北方向．求c处与灯塔A的距离（结果保留四个有效数字）．北b19题图东60oo2?(??3)0?2cos60o?x?1，并求它的非负整数解．Ac20．（本题满分6分）先化简，再求值：xy?，其中x?2?1，y?2?1．y(x?y)x(x?y)21．（本题满分6分）我市某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率．22．（本题满分6分）为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂（假设在骑自行车过程中匀速行驶）．李明离家的距离y（米）与离家时间x（分钟）的关系表示如下图：（1）李明从家出发到出现故障时的速度为米／分钟；（2）李明修车用时分钟；（3）求线段bc所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．y(米）40003000Acbo15202522题图x(分钟）23．（本题满分8分）Rt△Abc与Rt△FeD是两块全等的含30、60角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，cb与De重合．（1）求证：四边形AbFc为平行四边形；（2）取bc中点o，将△Abc绕点o顺时钟方向旋转到如图（二）中△A?b?c?位置，直线b?c?与Ab、cF分别相交于p、Q两点，猜想oQ、op长度的大小关系，并证明你的猜想．(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形pcQb为菱形(不要求证明).ooA\'c\'c(e)Fc(e)QoA图(一)24．（本题满分8分）23题图Fb(D)A图(二)pb\'b(D)某市为了提高学生的安全防范意识和能力，每年在全市中小学学生中举行安全知识竞赛，为了了解今年全市七年级同学的竞赛成绩情况，小强随机调查了一些七年级同学的竞赛成绩，根据收集到的数据绘制了参与调查学生成绩的频数分布直方图和其中合格学生成绩的扇形统计图如下：人数合格但不优秀40090﹪100合格且优秀成绩合格成绩不合格类别10﹪24题图根据统计图提供的信息，解答以下问题：(1)小强本次共调查了多少名七年级同学的成绩？被调查的学生中成绩合格的频率是多少?(2)该市若有10000名七年级学生，请你根据小强的调查统计结果估计全市七年级学生中有多少名学生竞赛成绩合格？对此你有何看法？以下是为大家整理的20XX年湖南省湘潭市中考真题数学试卷及答案(word版)(2)的相关范文，本文关键词为20XX年,湖南省,湘潭市,中考,真题,数学,试卷,答案,w，您可以从右上方搜索框检索更多相关文章，如果您觉得有用，请继续关注我们并推荐给您的好友，您可以在中考初中中查看更多范文。
2023年湖南省湘潭市中考数学真题(原卷与解析)
2023年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷考试时量：120分钟满分：120分考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A .爱B.我C.中D.华2.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x <1B.x ≤1C.x >1D.x ≥13.下列计算正确的是（）A.824a a a÷= B.23a a a+= C.()325a a = D.235a a a ⋅=4.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占20%，现场展示占80%．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（）A.95分B.94分C.92.5分D.91分5.如图，菱形ABCD 中，连接AC BD ，，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A.20︒B.60︒C.70︒D.80︒6.如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A.2B.2- C.1 D.1-7.如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 AA '的长为（）A.4πB.6πC.8πD.16π8.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x 千米/时，则可列方程为（）A.505011.26x x =+ B.505010 1.2x x+= C.5050101.2x x=+ D.501506 1.2x x+=二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.下列选项中正确的是（）A.081= B.88-= C.()88--= D.822=±10.2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩67x ≤<78x ≤<89x ≤<910x ≤<1011x ≤<频数2625125则下列说法正确的是（）A.样本容量为50B.成绩在910x ≤<米的人数最多C.扇形图中C 类对应的圆心角为180︒D.成绩在78x ≤<米的频率为0.111.如图，AC 是O 的直径，CD 为弦，过点A 的切线与CD 延长线相交于点B ，若AB AC =，则下列说法正确的是（）A.AD BC ⊥B.90CAB ∠=︒C.DB AB= D.12AD BC =12.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（）A.0a > B.0c > C.240b ac -< D.930a b c ++=三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13.__________．（写出一个即可）14.已知实数a ，b 满足()2210a b -++=，则b a =_________．15.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作弧，分别交,AC AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，在BAC ∠内两弧交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为1，则CD 的长为__________．16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.解不等式组：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来．18.先化简，再求值：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭，其中6x =．19.在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC上的高．（1）证明：C ABD BA ∽△△；（2）若610AB BC ==，，求BD 的长．20.为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A （合唱社团）、B （硬笔书法社团）、C （街舞社团）、D （面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C （街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．21.教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1541a32b34整理数据：时间段03x ≤<36x <≤69x ≤<人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54请结合以上信息回答下列问题：（1）m =__________，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a b <，则=a __________，b =__________；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．22.我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x 元，全部售完的利润为y 元．求利润y （元）关于售价x （元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？23.如图，点A 的坐标是()3,0-，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90︒得到A BC ''△．（1）反比例函数ky x=的图像经过点C '，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A 、A '两点，求该一次函数的表达式．24.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0=t 时，某盛水筒恰好位于水面A 处，此时30AOM ∠=︒，经过95秒后该盛水筒运动到点B 处．（参考数据，1.414 1.732≈≈）问题解决：（1）求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时，BOM ∠的度数；（2）求该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）25.问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G ，以BG 为边长向外作正方形BEFG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时，连接DF AC ，相交于点P ，小红发现点P 恰为DF 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG ，并延长与DF 相交，发现交点恰好也是DF 中点P ，如图②，根据小红发现的结论，请判断APE V 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α，连接DF ，点P 是DF 中点，连接AP ，EP ，AE ，APE V 的形状是否发生改变？请说明理由．26.如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．2023年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.【答案】C【解析】解：将选项A ，B ，D 中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C 中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C ．2.【答案】D【解析】解：由题意得，x －1≥0，解得x ≥1．故选：D ．3.【答案】D【解析】解：A 选项，826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，23a a a +≠，故该选项不正确，不符合题意；C 选项，()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．4.【答案】B【解析】解：依题意，她的最后得分为9020%9580%94⨯+⨯=分，故选：B ．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形∴,BD AC AB CD ⊥∥，∴1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒，∵120∠=︒，∴2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．6.【答案】A【解析】解：AM x ⊥ 轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2，2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．7.【答案】C【解析】解：依题意， AA '的长2π48π=⨯=，故选：C ．8.【答案】A【解析】解：设大巴车的平均速度为x 千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时，根据题意列方程为：505011.26x x =+，故答案为：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9.【答案】ABC【解析】解：081=，故A 符合题意，88-=，故B 符合题意；()88--=，故C 符合题意；=D 不符合题意；故选ABC 10.【答案】AC【解析】解：样本容量为262512550++++=，故A 正确；根据统计表，可得成绩在89x ≤<米的人数最多，故B 错误；扇形图中C 类对应的圆心角为2536018050⨯︒=︒，故C 正确；根据统计表，可得成绩在78x ≤<米的频率为6500.12÷=，故D 错误，故选：AC ．11.【答案】C【解析】解：∵AC 是O 的直径，∴AD BC ⊥，故A 选项正确，∵AB 是O 的切线，∴AC AB ⊥，∴90CAB ∠=︒，故B 选项正确，∵AB AC=∴ABC 是等腰直角三角形，∵AD BC ⊥，∴CD DB =，∴12AD BC =，故D 选项正确∵ADB 是直角三角形，AB 是斜边，则AB DB >，故C 选项错误，故选：C ．12.【答案】BD【解析】解：A 选项，由函数图象得，抛物线开口向下，故a<0，故A 错误；B 选项，图象与y 轴的交点在原点上方，故0c >，故B 正确；C 选项，因为抛物线和x 轴有两个交点，故240b ac ->，故C 错误．D 选项，当3x =时，930y a b c =++=，故D 正确；故选：BD ．三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：设所求数为a ，则a <则a <<，<<，即23<<，∴a 可以是2±或1±或0．故答案为：2（答案不唯一）．14.【答案】12【解析】解：∵()2210a b -++=，∴20a -=且10b +=，解得：2a =，1b =-；∴1122b a -==；故答案为：12．15.【答案】1【解析】解：如图所示，过点D 作DE AB ⊥于点E ，依题意1DE =，根据作图可知AD 为CAB ∠的角平分线，∵,DC AC DE AB⊥⊥∴1CD DE ==，故答案为：1．16.【答案】2【解析】解：如图所示，依题意，2OD AD ==12OE OD ==∴图中阴影部分的面积为222OE ==故答案为：2．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17.【答案】不等式组的解集为：22x -<≤．画图见解析【解析】解：()7140234x x x -≤⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，由①得：2x ≤，由②得：26>4x x ++，∴>2x -，在数轴上表示其解集如下：∴不等式组的解集为：22x -<≤．18.【答案】3x x -；2【解析】解：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭2212119x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++-⎝⎭，()()()33131x x x x x x ++=++-⋅，3x x =-，当6x =时，原式2=．19.【答案】（1）见解析（2）185BD =【解析】（1）证明：∵90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．∴90ADB ∠=︒，90B C ∠+∠=︒∴90B BAD ∠+∠=︒，∴BAD C∠=∠又∵B B∠=∠∴C ABD BA ∽△△，（2）∵C ABD BA ∽△△∴AB BD CB AB=，又610AB BC ==，∴23618105AB BD CB ===．20.【答案】（1）,,,,,AB AC AD BC BD CD（2）13【解析】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为,,,,,AB AC AD BC BD CD ；（2）解：列表如下，AB D AAA AB AD B BA BB BD DDA DB DD 共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，∴他俩选到相同社团的概率为3193=．21.【答案】（1）1；频数直方图见解析（2）4；7（3）1400人【解析】（1）解：根据题意，可得10361m =--=，故答案为：1，补全频数直方图，如图所示：（2）解： 在家做家务时间段为69x ≤<有1人，且a b <，6b ∴≥，观察数据，可得在家做家务时间段为36x <≤的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故36a ≤<， 众数为4，在已知数据中在家做家务时间为4和3的各有2人，4a ∴=，根据平均数，可得方程()15414323410 3.4b +++++++++÷=，解得7b =，故答案为：4；7；（3）解：612000140010+⨯=（人），答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．22.【答案】（1）100050000y x =-；（2）该商店继续购进了4000件航天模型玩具．【解析】（1）解：因每件玩具售价为x 元，依题意得()100050100050000y x x =-=-；（2）解：设商店继续购进了m 件航天模型玩具，则总共有()1000m +件航天模型玩具，依题意得：()()1000605020%10000m +-⨯=，解得4000m =，答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．23.【答案】（1）8y x=（2）1377y x =+【解析】（1）解：∵点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，∴()0,2C ，2OC BC ==，由旋转可得：2BC BC '==，90CBC '∠=︒，∴()2,4C '，∴248k =⨯=，∴反比例函数的表达式为8y x=；（2）如图，过A '作A H BC '⊥于H ，则90AOB A HB '∠=∠=︒，而90ABA '∠=︒，AB A B '=，∴90ABO BAO ABO A BO '∠+∠=︒=∠+∠，∴BAO A BH ¢Ð=Ð，∴ABO BA H ' ≌，∴3AO BH ==，4OB A H '==，∴431OH =-=，∴()4,1A '，设直线AA '为y mx n =+，∴3041m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AA '为1377y x =+．24.【答案】（1）45BOM ∠=︒；（2）该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．【解析】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转3603120=︒︒，当经过95秒后该盛水筒运动到点B 处时，36039575AOB ∠=︒-︒⨯=︒，∵30AOM ∠=︒，∴753045BOM ∠=︒-︒=︒；（2）解：作BC OM ⊥于点C ，设OM 与水平面交于点D ，则OD AD ⊥，在Rt OAD △中，30AOD ∠=︒，2OA =，∴112AD OA ==，22213OD =-=，在Rt OBC △中，45BOC ∠=︒，2OB =，∴222BC OC ===，∴320.3CD OD OC =-=≈(米)，答：该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．25.【答案】（1）见解析；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）APE V 的形状不改变，见解析【解析】（1）证明：连接BD ，BF ，BP ，如图，∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形，∴45CBD FBG ∠=︒=∠，∴90DBF ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，又∵AP AP =，∴()SAS APD APB ≌，∴BP DP =，∴PDB PBD ∠=∠，∵90PDB PFB PBD PBF ∠+∠=︒=∠+∠，∴PBF PFB ∠=∠，∴PB PF =，∴PD PF =，即点P 恰为DF 的中点；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形，∴45CAE PEA ∠=∠=︒∴,90AP EP APE =∠=︒，∴APE V 是等腰直角三角形；（3）APE V 的形状不改变，延长EP 至点M ，使PMEP =，连接,MA MD ，∵点P 为DF 的中点，∴PD PF =，∵DPM EPF ∠=∠，∴()SAS E MPD PF ≌，∴,DM EF DMP PEF =∠=∠，∴BE DM =，DM EF ∥，∴BG DM ∥，设DF 交BC 于点H ，交BG 于点N ，∴MDN DNB ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADN BHN ∠=∠，∵180BHN BNH HBN ∠+∠+∠=︒，∴180ADM BHN BNH HBN ∠=∠+∠=︒-∠，∵180ABE HBN ∠=︒-∠，∴ADM ABE ∠=∠，又∵AD AB =，∴()SAS A ADM BE ≌，∴AM AE =，DAM BAE ∠=∠，∵PM EP =，∴AP ME ⊥，即90APE ∠=︒，∵90DAM MAB ∠+∠=︒，∴90BAE MAB ∠+∠=︒，即90MAE ∠=︒，∴45MAP PAE ∠=∠=︒，∴45PEA PAE ∠=︒=∠，∴AP EP =，∴APE V 是等腰直角三角形．26.【答案】（1）243y x x =-+（2）()2,1P -或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+（3）352a <<或321a <-<．【解析】（1）解：将点()10B ,，()0,3C 代入2y x bx c =++，得103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：43b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为243y xx =-+；（2）∵243y x x =-+()221x =--，顶点坐标为()2,1，当0y =时，2430x x -+=解得：121,3x x ==∴()3,0A ，则3OA =∵()0,3C ，则3OC =∴AOC 是等腰直角三角形，∵PAC ABCS S =△△∴P 到AC 的距离等于B 到AC 的距离，∵()3,0A ，()0,3C ，设直线AC 的解析式为3y kx =+∴330k +=解得：1k =-∴直线AC 的解析式为3y x =-+，如图所示，过点B 作AC 的平行线，交抛物线于点P ，设BP 的解析式为y x d =-+，将点()10B ,代入得，10d -+=解得：1d =∴直线BP 的解析式为1y x =-+，2143y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩∴()2,1P -，∵312PA PB AB =====-=∴222PA PB AB +=∴ABP 是等腰直角三角形，且90APB ∠=︒，如图所示，延长PA 至D ，使得AD PA =，过点D 作AC 的平行线DE ，交x 轴于点E ，则DA PA =，则符合题意的点P 在直线DE 上，∵APB △是等腰直角三角形，,DE AC AC PD ⊥∥∴45DAE BAP ∠=∠=︒PD DE⊥∴ADE V是等腰直角三角形，∴2AE ===∴()5,0E 设直线DE 的解析式为y x e=-+∴50e -+=解得：5e =∴直线DE 的解析式为5y x =-+联立2543y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得：31727172x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31727172x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴31771722P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+-综上所述，()2,1P -或37,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或37,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+-；（3）①当0a >时，如图所示，过点C 作CG AC ⊥交2x =于点G ，当点Q 与点G 重合时，ACQ 是直角三角形，当90AQC ∠=︒时，ACQ是直角三角形，设AC 交2x =于点H ，∵直线AC 的解析式为3y x =-+，则()2,1H ，∴CH ==,∵45CHG OCH ∠=∠=︒，∴CHG△是等腰直角三角形，∴HG=4==∴()2,5G ，设()2,Q q ，则()22222221,23613AQ q CQ q q q =+=+-=-+∵2223318AC =+=∴222186131q q q =-+++解得：32q-=（舍去）或32q =∴3172,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∵QAC △是锐角三角形∴31752a +<<；当a<0时，如图所示，同理可得222AQ QC AC +=即∴222186131q q q =-+++解得：3172q -=或3172q +=（舍去）由（2）可得AM AC ⊥时，()2,1M -∴31721a <-<综上所述，当QAC △是锐角三角形时，31752a +<<或31721a <--<．。
湖南省湘潭市中考数学试卷及答案(Word解析版)
湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）（•湘潭）﹣5的相反数是（）A．5B．C．﹣5 D．考点：相反数．专题：计算题．分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．解答：解：﹣5的相反数是5．故选A．点评：本题主要考查相反数的概念和意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．2．（3分）（•湘潭）一组数据1，2，2，3．下列说法正确的是（）A．众数是3 B．中位数是2 C．极差是3 D．平均数是3考点：极差；算术平均数；中位数；众数．分析：根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、众数为2，故本选项错误；B、中位数是2，故本选项正确；C、极差为2，故本选项错误；D、平均数为2，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度一般．3．（3分）（•湘潭）如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．析：解答：解：从上面看易得两个横向排列的正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，属于基础题，要求同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）（•湘潭）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．正五边形C．等腰梯形D．直角三角形考点：中心对称图形分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点评：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5．（3分）（•湘潭）一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据题意得x1•x2==﹣2．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（3分）（•湘潭）下列命题正确的是（）A．三角形的中位线平行且等于第三边B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．四条边都相等的四边形是菱形D．相等的角是对顶角考点：命题与定理分析：利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得出答案．解答：解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；故选C．点评：此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的关键．7．（3分）（•湘潭）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式（）A．B．C．D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：把P点坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到答案．解答：解：∵点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，∴k=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=，故选：D．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点必能满足解析式．8．（3分）（•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．B D=CE B．A D=AE C．D A=DE D．B E=CD考点：等腰三角形的性质分析：根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）（•湘潭）|﹣3|=3．考点：绝对值分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．解答：解：|﹣3|=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．10．（3分）（•湘潭）如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A=55°．考点：平行线的性质专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．解答：解：∵∠EFD为△ECF的外角，∴∠EFD=∠C+∠E=55°，∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．故答案为：55°点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．11．（3分）（•湘潭）到底，湘潭地区总人口约为3020000人，用科学记数法表示这一数为 3.02×106．考点：科学记数法—表示较大的数分科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，析：要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．故答案为：3.02×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（•湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为2x+16=3x．考点：由实际问题抽象出一元一次方程分析：根据“送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完”表示出牛奶的总盒数，进而得出答案．解答：解：设敬老院有x位老人，依题意可列方程：2x+16=3x，故答案为：2x+16=3x．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据已知表示出牛奶的总盒数是解题关键．13．（3分）（•湘潭）“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是．考点：概率公式分析：由在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，∴恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）（•湘潭）函数：中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．考点：函数自变量的取值范围专计算题．题：分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．解答：解：根据题意可得x+1≠0；解可得x≠﹣1；故答案为x≠﹣1．点评：求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．15．（3分）（•湘潭）计算：=2．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=×+1=1+1=2．故答案为2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．16．（3分）（•湘潭）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为2．考点：函数值；估算无理数的大小专题：图表型．分析：根据＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解．解答：解：∵x=＞1，∴y=2﹣1=3﹣1=2．故答案为：2．点评：本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17．（6分）（•湘潭）解不等式组．．考点：解一元一次不等式组分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．解答：解：，由①得：x≥2，由②得：x≤4，不等式组的解集为：2≤x≤4．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．（6分）（•湘潭）先化简，再求值：，其中x=﹣2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=×=，当x=﹣2时，原式=﹣=﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：分别在Rt△ACD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案．解答：解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=×60=30海里，∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=30×=60海里，60÷60=1（小时）．答：从B处到达C岛需要1小时．点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．20．（6分）（•湘潭）4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，某市派出抢险救灾工程队赶芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米？考点：分式方程的应用分析：首先设原计划每小时抢修道路x米，则实际施工速度为每小时抢修道路（x+40）米，根据题意可得等量关系：原计划修2400米道路所用时间﹣实际修2400米道路所用时间=2小时，根据等量关系，列出方程即可．解答：解：设原计划每小时抢修道路x米，由题意得：﹣=2，解得：x1=200，x2=﹣240，经检验：x1=200，x2=﹣240，都是原分式方程的解，x=﹣240不合题意，舍去，答：原计划每小时抢修道路200米．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意解出分式方程后要进行检验．21．（6分）（•湘潭）6月5日是世界环境日，今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息，小文积极学习与宣传，并从四个方面A：空气污染，B：淡水资源危机，C：土地荒漠化，D：全球变暖，对全校同学进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．以下是他收集数据后，绘制的不完整的统计图表：关注问题频数频率A 24 0.4B 12 0.2C n 0.1D 18 m合计 a1请你根据图表中提供的信息解答以下问题：（1）根据图表信息，可得a=60；（2）请你将条形图补充完整；（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．分析：（1）根据空气污染的频数除以对应的频率即可求出a的值；（2）由a的值，减去其它频数求出n的值，补全条形统计图即可；（3）求出表格中m的值，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：24÷0.4=60，即a=60；故答案为：60；（2）根据题意得：n=60﹣（24+12+18）=6，补全条形统计图，如图所示；（3）由表格得：m=0.3，根据题意得：该校关注“全球变暖”的学生大约有1200×0.3=360（人）．点评：此题考查了条形统计图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）（•湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．考点：一次函数的应用分析：（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这种商品所获得的利润．解答：解：（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，，解得，故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=﹣2x+32；（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：W=（﹣2x+32）（13﹣10）=﹣6x+96．点评：此题考查了一次函数的应用问题，此题综合性较强，难度一般，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．23．（8分）（•湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．考点：一元一次不等式组的应用分析：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，根据条件建立不等式组，运用分类讨论思想求出其解即可．（2）当小明先购买一张2元的祝福卡，小明购花的钱就只有28元了，求出能够购花的方案，就可以求出实现愿望的概率．解答：解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得，∵x、y为正整数，当x=1时，y=6，7，8符合题意，当x=2时，y=5，6符合题意，当x=3时，y=4，5符合题意，当x=4时，y=3符合题意，当x=5时，y=1舍去，当x=6时，y=0舍去．共有8种购买方案，方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；（2）由题意，得，，购花的方案有：方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，∴小明能实现购买愿望的概率为P=．点评：本题考查了列不等式组及运用分类讨论思想解答方案设计的运用，概率在实际问题中的运用，解答时根据不等式组及分类讨论思想求出购买方案是关键．24．（8分）（•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．解答：解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．25．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D 点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．考相似形综合题点：分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；（2）证△PCO∽△CBO，得出=，求出OP=即可；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出=，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出=，求出R即可．解答：解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y 轴，垂足分别为A、C两点，∴DC=5，OC=4，OB=3，∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP，∵PC∥DC，∴四边形DBPC是平行四边形，∴DC=BP=5，∴OP=5﹣3=2，2÷1=2，即当t为2秒时，PC∥BD；（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，∴∠CPO=∠BCO，∴△PCO∽△CBO，∴=，∴=，∴OP=，÷1=，即当t为秒时，PC⊥BC；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，则PM=OC=4=OP，4÷1=4，即t=4；②如图2，当⊙P与BC相切时，∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM，∴=，∴=，R=12，12÷1=12，即t=12秒；③根据勾股定理得：BD==2，如图3，当⊙P与DB相切时，∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，∴△ADB∽△MPB，∴=，∴=，R=6+12；（6+12）÷1=6+12，即t=（6+12）秒．点评：本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力．26．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF•h=S△ABC，∴（﹣x）•（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．。
2020年湘潭市数学中考试题及答案
2020年湘潭市数学中考试题及答案一、选择题1．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--2．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．9a+3b+c ＞0D ．c+8a ＜03．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是（ ）A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()222323m n ++=D ．()222349m n ++= 5．已知11(1)11A x x ÷+=-+，则A ＝( ) A ．21x x x -+ B ．21x x - C ．211x - D ．x 2﹣16．某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（ ）A ．7分B ．8分C ．9分D ．10分7．如图，直线l 1∥l 2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l 1上，两直角边分别与直线l 1、l 2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）A ．25°B ．75°C ．65°D ．55°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AC =5，BC =2，则sin ∠ACD 的值为（ ）A ．53B ．255C ．52D ．239．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -=B ．()11362x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=10．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．811．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）A．B．C．D．12．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为___．14．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．15．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．16．82=_______________．17．当m=____________时,解分式方程533x mx x-=--会出现增根．18．正六边形的边长为8cm，则它的面积为____cm2．19．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率______．20．若式子3x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 三、解答题 21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y (元)与x (千克)之间的函数关系式；(2)小明选择哪家快递公司更省钱？22．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？23．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：232212+=+（），善于思考的小明进行了以下探索： 设()2a b 2m n 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2mn 2+=++．∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若()2a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋ 3)2；（3）若()2433a m n +=＋，且a b m n 、、、均为正整数，求a 的值． 24．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE∥BC 交AB 于点E ，DF∥AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF 的面积．25．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有 人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ． 2．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y 轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a ＜0，c ＞0，b ＞0，所以abc ＜0，所以A 错误；因为抛物线与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，所以B 错误；又抛物线与x 轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以930a b c ++=，所以C 错误；因为当x=-2时，42y a b c =-+＜0，又12b x a=-=，所以b=-2a ，所以42y a b c =-+8a c =+＜0，所以D 正确，故选D. 考点：二次函数的图象及性质.3．C解析：C【解析】【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题；②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题；③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题；④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题，真命题有3个，故选C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件等知识，难度不大．4．D解析：D【解析】【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可.【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点， ∴32a m -+=，02b n +=， ∴23,2a m b n =+=， 又,a b 满足等式：229a b +=，∴()222349m n ++=，故选D ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式． 5．B解析：B【解析】【分析】由题意可知A=111)11x x ++-（，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再用分式的乘法法则计算即可得到结果．【详解】解：A=11111x x++-=111xx x+-=21xx-故选B.【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．B解析：B【解析】【分析】根据平均数的定义进行求解即可得．【详解】根据折线图可知该球员4节的得分分别为：12、4、10、6，所以该球员平均每节得分=1241064+++=8，故选B．【点睛】本题考查了折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的求解方法．7．C解析：C【解析】【分析】依据∠1＝25°，∠BAC＝90°，即可得到∠3＝65°，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65°．【详解】如图，∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，∴∠3＝180°-90°-25°=65°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠3＝65°，故选C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．8．A解析：A【解析】【分析】在直角△ABC 中，根据勾股定理即可求得AB ，而∠B ＝∠ACD ，即可把求sin ∠ACD 转化为求sin B ．【详解】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB ===3． ∵∠B +∠BCD ＝90°，∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin ∠B 3AC AB ==． 故选A ．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．9．A解析：A【解析】【分析】共有x 个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：12x （x ﹣1）＝36， 故选：A ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.10．B解析：B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ，∴AD=DB=12在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)2 )2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键11．C解析：C【解析】试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；B、的主视图是正方形，故B不符合题意；C、的主视图是圆，故C符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．12．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．二、填空题13．【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=ADBC∥OA根据D（84）和反比例函数的图象经过点D求出k=32C点的纵坐标是2×4=8求出C的坐标即可得出答案∵四边形ABCO是菱形∴CD=ADBC∥OA解析：【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，∵D （8，4），反比例函数的图象经过点D，∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴，把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，故答案为2．14．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°15．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为2解析：2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：2πR=1804 180π⨯，解得R=2．故答案为2.16．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键【解析】【分析】.【详解】=..【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．17．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：2解析：2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．详解：分式方程可化为：x-5=-m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD解析：3【解析】【分析】【详解】如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD=60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=83432⨯=cm，∴S△OCD=12CD•OE=12×8×43=163cm2．∴S正六边形=6S△OCD=6×163=963cm2．考点：正多边形和圆19．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为解析：5 16．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为5 16.20．x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围【详解】解：若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得：x≥﹣3则x的取值范围是：x≥﹣3故答案为：x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式解析：x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．【详解】.3x 在实数范围内有意义，则x+3≥0，解得：x≥﹣3，则x的取值范围是：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．三、解答题21．答案见解析【解析】试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．试题解析：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y 甲=22x ；当1＜x 时，y 甲=22+15（x ﹣1）=15x+7．y 乙=16x+3；∴22? (01){157?(1)x x y x x 甲<<=+>，=163y x +乙； （2）①当0＜x≤1时，令y 甲＜y 乙，即22x ＜16x+3，解得：0＜x ＜12； 令y 甲=y 乙，即22x=16x+3，解得：x=12； 令y 甲＞y 乙，即22x ＞16x+3，解得：12＜x≤1． ②x ＞1时，令y 甲＜y 乙，即15x+7＜16x+3，解得：x ＞4；令y 甲=y 乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y 甲＞y 乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x ＜4． 综上可知：当12＜x ＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x ＜12或x ＞4时，选甲快递公司省钱． 考点：一次函数的应用；分段函数；方案型． 22．20元/束．【解析】【分析】设第一批花每束的进价是x 元/束，则第一批进的数量是：4000x ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程． 【详解】设第一批花每束的进价是x 元/束， 依题意得：4000x ×1.5=45005x -， 解得x =20．经检验x =20是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是20元/束．【点睛】本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5列方程．23．（1）22m 3n +，2mn ；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝13．【解析】【分析】【详解】(1)∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13． 24．(1)见解析;(2)243.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【详解】证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠EBD=∠DBF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBF ，∴∠EBD=∠EDB ，∴BE=ED ，∴平行四边形BFDE 是菱形；（2）连接EF ，交BD 于O ，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=30°，∴BD=DC=12，∵DF ∥AB ，∴∠FDC=∠A=90°，∴4333== 在Rt △DOF 中，()222243623DF OD -=-=∴菱形BFDE的面积=12×EF•BD＝12×12×43=243．【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．25．(1)1000,(2)答案见解析；（3）900.【解析】【分析】（1）结合不剩同学的个数和比例，计算总体个数，即可．（2）结合总体个数，计算剩少数的个数，补全条形图，即可．（3）计算一餐浪费食物的比例，乘以总体个数，即可．【详解】解：（1）这次被调查的学生共有600÷60%＝1000人，故答案为1000；（2）剩少量的人数为1000﹣（600+150+50）＝200人，补全条形图如下：（3），答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐．【点睛】考查统计知识，考查扇形图的理解，难度较容易．。
湖南湘潭中考数学及答案-8页word资料
山东李现振整理答案湖南湘潭市2019年初中毕业学业考试数 学 试 题 卷考试时量：120分钟 满分：120分考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题.请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一．选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分） 1．（2019湖南湘潭市，1，3分）下列等式成立是 A. 22=- B. 1)1(-=-- C.1÷31)3(=- D.632=⨯- 【答案】A2．（2019湖南湘潭市，2，3分）数据：1，3，5的平均数与极差分别是 A.3，3 B.3，4 C.2,3 D.2,4 【答案】B3．（2019湖南湘潭市，3，3分）不等式组⎩⎨⎧≤>21x x 的解集在数轴上表示为【答案】A4．（2019湖南湘潭市，4，3分）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是A.球B. 圆柱C.长方体D.圆锥【答案】B5．（2019湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是B21 0 C2 1 0 D21 0 A2 1 0 左视图 俯视图主视图A.平行四边形B.正方形C.等腰梯形D.矩形【答案】B6．（2019湖南湘潭市，6，3分）在平面直角坐标系中，点A （2,3）与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标为A.（3,2）B.（－2，－3）C.（－2,3）D.(2,－3) 【答案】D7．（2019湖南湘潭市，7，3分）一元二次方程0)5)(3(=--x x 的两根分别为 A. 3, －5 B. －3，－5 C. －3,5 D.3，5 【答案】D8. （2019湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是 【答案】C二．填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）9．（2019湖南湘潭市，9，3分）因式分解：12-x ＝_____________. 【答案】 (x+1)(x-1)10．（2019湖南湘潭市，10，3分）为改善湘潭河东地区路网结构，优化环境，增强城市功能，湖南湘潭市河东风光带于2010年7月18日正式开工，总投资为880000000元，用科学计数法表示这一数字为_____________元. 【答案】8.8×10811．（2019湖南湘潭市，11，3分）如图，a ∥b ，若∠2＝130°，则∠1＝_______度.【答案】50°12．（2019湖南湘潭市，12，3分）函数11-=x y 中，自变量x 的取值范围是_________. 【答案】x ≠113．（2019湖南湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为______________. 【答案】50-8x=382l1 ab14. （2019湖南湘潭市，14，3分） 端午节吃粽子是中华民族的习惯.今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是_____. 【答案】31015．（2019湖南湘潭市，15，3分）如下图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，AE ＝2，则EC ＝_______.【答案】416．（2019湖南湘潭市，16，3分）规定一种新的运算：ba b a 11+=⊗，则=⊗21____. 【答案】112三．解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分） 17．（2019湖南湘潭市，17，6分）(本题满分6分)计算：o45cos 2)2011(201+---π.【答案】解：1012112(2011)2cos 4512112222π-︒--+=-+⨯=-+= 18．（2019湖南湘潭市，18，6分）（本题满分6分） 先化简，再求值：)111(+-x x x ，其中15-=x . 【答案】解：1111()1(1)1x x x x xx x x x +--==+++，当15-=x ，原式=155511=-+。
2023年湖南省湘潭市中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年湖南省湘潭市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻.观察下列汉字，其中是轴对称图形的是( )A. 爱B. 我C. 中D. 华2. 若式子√ x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A. x<1B. x>1C. x≤1D. x≥13. 下列计算正确的是( )A. a8÷a2=a4B. a+a2=a3C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a54. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面.其中教学设计占20%，现场展示占80%.某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为( )A. 95分B. 94分C. 92.5分D. 91分5.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°6.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，若四边形AMON的面积为2.则k的值是( )A. 2B. −2C. 1D. −17. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′⏜的长为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为( )A. 50x =501.2x+16B. 50x+10=501.2xC. 50x=501.2x+10 D. 50x+16=501.2x二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。
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湖南省湘潭市2015年中考数学真题试题一、选择题（本大题共8 个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分）1．在数轴上表示﹣ 2 的点与表示 3 的点之间的距离是（）A ．5B ．﹣ 5C ．1D ．﹣1考点：数轴． .分析：根据正负数的运算方法，用3减去﹣ 2，求出在数轴上表示﹣ 2 的点与表示3 的点之间的距离为多少即可．解答：解： 3﹣（﹣ 2）=2+3 =5．所以在数轴上表示﹣ 2 的点与表示 3 的点之间的距离为 5．故选 A点评：此题主要考查了正负数的运算方法，关键是根据在数轴上表示﹣之间的距离列出式子．2 的点与表示3 的点2．（ 3 分）（2015?湘潭）下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（）A ．B ．C ．D ．考点：简单几何体的三视图． .分析：根据三视图的概念求解．解答：解： A 、主视图、左试图是矩形，俯视图是圆，故A 错误；B 、主视图、左视图、俯视图都是圆，故B 正确；C 、主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故 C 错误；D 、主视图、俯视图都是矩形，左视图是三角形，故 D 错误；故选： B ．点评：本体考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的视图是左视图，从上面看得到的视图是俯视图．3．（ 3 分）（2015?湘潭）下列计算正确的是（）A ．B ． 3 ﹣ 1428623=﹣ 3 C ． （ a ） =a D ． a ÷a =a考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂；二次根式的加减法．. 分析： A ．不是同类二次根式， 不能合并； B ．依据负整数指数幂的运算法则计算即可；C ．依据幂的乘方法则计算即可； D ．依据同底数幂的除法法则计算即可．解答：解： A ．不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B ．，故 B 错误；C ．（ a 4） 2=a 4×2=a 8，故 C 正确；626﹣ 24D ． a ÷a =a=a ，故 D 错误．故选： C ．点评：本题主要考查的是数与式的运算，掌握同类二次根式的定义、负整数指数幂、积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键．4．（ 3 分）（2015?湘潭）在△ ABC 中， D、 E为边 AB、AC的中点，已知△ ADE 的面积为4，那么△ ABC 的面积是（）A． 8 B． 12 C． 16 D． 20考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．.分析：由条件可以知道DE是△ ABC的中位线，根据中位线的性质就可以求出，再根据相似三角形的性质就可以得出结论．解答：解：∵ D、 E 分别是 AB、 AC的中点，∴DE是△ ABC的中位线，∴DE∥BC，，∴△ ADE∽△ ABC，∴，∵△ ADE的面积为4，∴，∴S△ABC=16．故选： C．点评：本题考查中位线的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△ADE∽△ ABC 是解答本题的关键．5．（ 3 分）（2015?湘潭）下列四个命题中，真命题是（）A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件B．“湘潭市明天会下雨”是必然事件C．“预计本题的正确率是95%”表示 100 位考生中一定有95 人做对D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是考点：命题与定理． .分析：根据四边形内角和和不可能事件的定义对 A 进行判断；根据必然事件的定义对B 进行判断；根据估计的含义对 C 进行判断；根据概率的定义对 D 进行判断．解答：解： A、“任意四边形内角和为360°”是必然事件，错误；B、“湘潭市明天会下雨”是随机事件，错误；C、“预计本题的正确率是95%”表示 100 位考生中不一定有95 人做对，错误；D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，正确．故选 D．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．M、 N 两点，6．（ 3 分）（2015?湘潭）如图，已知直线AB∥CD，且直线EF 分别交AB、 CD于NH是∠ MND的角平分线．若∠ AMN=56°，则∠ MNH 的度数是（）A． 28°B． 30°C． 34°D． 56°考点：平行线的性质． .分析：先根据平行线的性质求出∠MND 的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．解答：解：∵直线AB∥CD，∠ AMN=56°，∴∠ MND=∠AMN=56°．∵NH是∠ MND的角平分线，∴∠ MNH= ∠MND=28°．故选 A．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．7．（ 3 分）（2015?湘潭）如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，若∠ DAB=60°，则∠ BCD 的度数是（）A． 60°B． 90°C． 100°D． 120°考点：圆内接四边形的性质．.分析：根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，求解．解答：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ DAB+∠DCB=180°．∵∠ DAB=60°，∴∠ BCD=180°﹣ 60°=120°．故选 D．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：解答本题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补的性质．8．（ 3 分）（2015?湘潭）如图，观察二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论：①a+b+c＞ 0，② 2a+b＞ 0，③b2﹣ 4ac＞0，④ ac＞ 0．其中正确的是（）A．①②B．① ④C．②③D．③④考点：二次函数图象与系数的关系． .分析：令 x=1 代入可判断①；由对称轴 x=﹣的范围可判断②；由图象与x 轴有两个交点可判断③；由开口方向及与x 轴的交点可分别得出a、 c 的符号，可判断④．解答：解：由图象可知当 x=1 时， y＜ 0，∴a+b+c＜ 0，故①不正确；由图象可知0＜﹣＜1，∴＞﹣ 1，又∵开口向上，∴a＞ 0，∴b＞﹣ 2a，∴2a+b＞ 0，故②正确；由图象可知二次函数与 x 轴有两个交点，∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，即 b2﹣4ac ＞ 0，故③正确；由图象可知抛物线开口向上，与y 轴的交点在x 轴的下方，∴a＞ 0， c＜ 0，∴ac＜ 0，故④不正确；综上可知正确的为②③，故选 C．x 轴的点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与交点等知识是解题的关键．二、填空题（本题共8 个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分24 分）9．（ 3 分）（2015?湘潭）的倒数是2．考点：倒数． .分析：根据倒数的定义，的倒数是2．解答：解：的倒数是 2，故答案为： 2．点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．10．（ 3 分）（2015?湘潭）计算：23﹣（﹣ 2） = 10 ．.考点：有理数的乘方；有理数的减法．分析：根据有理数的混合计算解答即可．3解答：解：2 ﹣（﹣ 2）=8+2=10．故答案为： 10．点评：此题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方得出23=8，再与 2 相加．11．（ 3 分）（2015?湘潭）在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评选活动中，截止5到 5 月底，王老师获得网络点赞共计183000 个，用科学记数法表示这个数为 1.83 ×10 ．考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10 n的形式，其中 1≤|a| ＜ 10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．解答：解：将 183000 用科学记数法表示为 1.83 ×10 5． 5n1≤|a| ＜ 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．12．（3 分）（2015?湘潭）高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为： 5、 7、9、 10、7，则这组数据的众数是7．考点：众数． .分析：根据众数的定义即可求解．解答：解：这组数据的众数是7．故答案为： 7．点评：本题主要考查了众数的概念．关键是根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．13．（ 3 分）（2015?湘潭）湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50 元，儿童票每张30 元．如果某日杜鹃园售出门票100 张，门票收入共4000 元．那么当日售出成人票50张．考点：一元一次方程的应用．.分析：根据总售出门票100 张，共得收入4000 元，可以列出方程求解即可．解答：解：设当日售出成人票x 张，儿童票（100﹣x）张，可得： 50x+30（100﹣ x）=4000，解得： x=50．答：当日售出成人票50 张．故答案为： 50．点评：此题考查一元一次方程的应用，本题解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．214．（ 3 分）（2015?湘潭）已知菱形 ABCD的面积为 24cm，若对角线 AC=6cm，则这个菱形的边长为 5 cm．考点：菱形的性质． .分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．然后根据勾股定理即可求得边长．解答：解：菱形ABCD的面积 =AC?BD，2∵菱形 ABCD的面积是24cm，其中一条对角线AC长 6cm，边长是：=5cm．故答案为： 5．点评：本题考查了菱形的性质．菱形被对角线分成4 个全等的直角三角形，以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．15．（ 3 分）（ 20 15?湘潭）如图，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ AED，若线段AB=3，则BE= 3 ．考点：旋转的性质． .分析：根据旋转的性质得出∠ BAE=60°，AB=AE，得出△ BAE 是等边三角形，进而得出 BE=3 即可．解答：解：∵将△ ABC绕点 A 顺时针旋转60°得到△ AED，∴∠ BAE=60°， AB=AE，∴△ BAE 是等边三角形，∴B E=3．故答案为： 3．点评：本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．16．（ 3 分）（2015?湘潭）小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为 8cm，母线长为 25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 200π cm2．（结果保留π）考点：圆锥的计算． .分析：圆锥的侧面积 =底面周长×母线长÷ 2．解答：解：底面半径为8cm，则底面周长 =16π，侧面面积 = ×16π ×25=200π cm2．故答案为200π．点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．三、解答题（本大题共10 个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72 分）17．（ 6 分）（2015?湘潭）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．.分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，由①得， x＞﹣ 2，由②得， x＜ 3．所以，不等式组的解集为﹣2＜ x＜3．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（ 6 分）（2015?湘潭）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=+1．考点：分式的化简求值．.分析：首先将小括号内的部分进行通分、计算，然后将除法转化为乘法，接下来再进行分解、约分，最后代数求值即可．解答：解：原式 ====，将 x=+1 代入得：原式 ==．点评：本题主要考查的是分式的化简与计算，掌握分式的通分、约分、分式的减法、分式的乘法、除法法则是解题的关键．19．（ 6 分）（2015?湘潭）“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到 A 处时，发现前方江面上 B 处有一漂浮物，从 A 测得 B 处的俯角为 30°，已知该直升机一直保持在距江面 100 米高度飞行搜索，飞行速度为 10 米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到 0.1 ，≈1.73 ）考点：解直角三角形的应用- 仰角俯角问题． .分析：作 AD⊥BD 于点 D，由题意得：∠ABC=30°， AD=100米，在 Rt△ABD中，=tan ∠ABC，求得 BD的长后除以速度即可得到时间．解答：解：作 AD⊥BD 于点 D，由题意得：∠ ABC=30°， AD=100米，在 Rt△ABD中，=tan ∠ABC，∴BD= = =100 米，∵飞行速度为10 米每秒，∴飞行时间为100÷10=10≈17.3秒，∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3 秒可到达漂浮物的正上方．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．20．（ 6 分）（2015?湘潭） 2015 年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后顺序），我市某区域的初三毕业生可填报的省级示范性高中有A、 B、 C、D 四所．（1）请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；（2）求填报方案中含有 A学校的概率．考点：列表法与树状图法．.分析：（ 1）首先根据题意画出树状图，从而可得到所有可能结果；（2）根据树状图找出所有含有 A 的结果，然后再利用概率公式计算即可．解答：解：（ 1）该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果如下图所示：（2）根据树状图可知：该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果共有 12 种，其中含有 A 的共有 6 种，故填报方案中含有 A 学校的概率= ．点评：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m种结果，那么事件A 的概率P（ A）= ．21．（ 6 分）（2015?湘潭）水利部确定每年的 3 月 22 日至 28 日为“中国水周”（1994 年以前为 7 月 1 日至 7 日），从 1991 年起，我国还将每年 5 月的第二周作为城市节约用水宣传周．某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区5000 户家庭中随机抽取100 户，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图表：用户月用水量频数分布表平均用水量（吨）频数频率3～6 吨10 0.16～9 吨m 0.29～12 吨36 0.3612～ 15 吨25 n15～ 18 吨9 0.09请根据上面的统计图表，解答下列问题：（1）在频数分布表中： m= 20 ， n= 0.25 ；（2）根据题中数据补全频数直方图；（ 3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，全部享受基本价格？12 吨，不超过基本月用水量的部分享受那么该社区用户中约有多少户家庭能够考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．.分析：（ 1）根据频率 =频数÷数据总数，可得到m÷100=0.2，可求得频数÷数据可求得n 的值；（ 2）根据（ 1）中的结果画出统计图即可；（ 3）求得 100 户家庭中能够全部享受基本价的频数，然后再乘解答：解：（ 1）m÷100=02，m=20，然后利用频率5 即可．=解得 m=20，n=25÷100=0.25；故答案为： 20；0.25 ；（ 2）补全频数直方图如图：（3）（10+20+36）× 5=330（户）．答：该社区用户中约有 330 户家庭能够全部享受基本价格．点评：本题主要考查的是统计表和统计图的应用，掌握频数、总数、频率之间的关系是解题的关键．22．（ 6 分）（2015?湘潭）如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，△ ACD 沿 AD折叠，使得点 C 落在斜边 AB上的点 E 处．（1）求证：△ BDE∽△ BAC；（2）已知 AC=6， BC=8，求线段 AD的长度．考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．.分析：（ 1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠ DEB=∠C，∠ B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知 CD=DE， AC=AE．根据题意在 Rt△BDE中运用勾股定理求 DE，进而得出 AD即可．解答：证明：（ 1）∵∠ C=90°，△ ACD 沿 AD折叠，∴∠ C=∠AED=90°，∴∠ DEB=∠C=90°，∵∠ B=∠B，∴△ BDE∽△ BAC；（ 2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6， DE=CD，∠ AED=∠C=90°．∴B E=AB﹣ AE=10﹣ 6=4，在 Rt△BDE中，由勾股定理得，2 2 2DE+BE=BD，2 2 2即 CD+4 =（8﹣ CD），解得： CD=3，在 Rt△ACD中，由勾股定理得2 2 2 AC+CD=AD，2 2 2即 3 +6 =AD，解得： AD= ．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．23．（8 分）（2015?湘潭）如图，已知一次函数y=x+b 与反比例函数y=的图象交于A、B 两点，其中点 A 的坐标为（ 2， 3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求点 B 的坐标；（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.分析：（ 1）把 A 的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；（3）根据 A、 B的坐标结合图象即可得出答案．解答：解：（ 1）把点 A 的坐标（ 2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3=2+b，解得： b=1，所以一次函数的解析式为：y=x+1 ；把点 A 的坐标（ 2， 3）代入反比例函数的解析式中，可得：k=6，所以反比例函数的解析式为： y= ；（ 2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，可得：，解得： x1=2， x2=﹣3，所以点 B 的坐标为（﹣ 3，﹣ 2）；（ 3）∵ A（ 2， 3）， B（﹣ 3，﹣ 2），∴使一次函数值大于反比例函数值的x 的范围是：﹣3＜ x＜ 0 或 x＞ 2．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．24．（ 8 分）（2015?湘潭）阅读材料：用配方法求最值．已知 x， y 为非负实数，∵x+y﹣ 2 ≥0∴x+y≥2，当且仅当“ x=y”时，等号成立．示例：当 x＞ 0 时，求 y=x+ +4 的最小值．解：+4=6，当 x= ，即 x=1 时， y 的最小值为 6．（ 1）尝试：当 x＞0 时，求 y= 的最小值．（ 2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10 万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4 万元， n 年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用= ）？最少年平均费用为多少万元？考点：配方法的应用． .分析：，可得 y=x+ +1 ，然后应用配方法，求出当x＞ 0 时，（ 1）首先根据 y=y=的最小值是多少即可．（ 2）首先根据题意，求出年平均费用=（+0.4n+10 ）÷ n=，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．解答：解：（ 1） y==x+ +1+1=3，∴当 x=，即x=1时，y的最小值为3．（ 2）年平均费用 =（+0.4n+10 ）÷ n==2+0.5=2.5 ，∴当，即 n=10 时，最少年平均费用为 2.5 万元．点评：此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．25．（10 分）（2015?湘潭）如图，已知 AB是⊙O的直径，过点 A 作⊙O 的切线 MA，P 为直线MA上一动点，以点 P 为圆心， PA 为半径作⊙ P，交⊙O 于点 C，连接 PC、 OP、 BC．（ 1）知识探究（如图1）：①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；②判断直线OP与 BC的位置关系，请证明你的结论．（ 2）知识运用（如图2）：当 PA＞ OA时，直线 PC交 AB的延长线于点 D，若 BD=2AB，求 tan ∠ABC的值．考点：圆的综合题． .分析：（ 1）① PC 与⊙O相切．易证明△ PAO≌△ PCO，则∠ PAO=∠PCO，由PA是⊙O 的切线，可知∠ PAO=∠PCO=90°，即可证明结论；②OP∥BC．由（ 1）可知∠ POA=∠POC，根据圆周角定理可知∠ B=∠POA，根据同位角相等可证明 OP∥BC．（ 2）根据OP∥BC，可知，由BD=2AB，可知AD=6OA， OD=5OB，所以PD=5PC，设设 PA=PC=R，OA=r，根据勾股定理列方程求出Rr 的数量关系，即可在Rt△PAO与中求出 tan ∠ABC=tan∠POA．解答：（ 1）① PC 与⊙O相切．证明：如图1，连接 OC，在△ PAO和△ PCO中，，∴△ PAO≌△ PCO，∴∠ PAO=∠PCO，∵PA 是⊙O 的切线， AB是⊙O 的直径，∴∠ PAO=∠PCO=90°，∴PC与⊙O 相切．②OP∥BC．证明：∵△ PAO≌△ PCO，∴∠ POA=∠POC，∴∠ B=∠POA，∴OP∥BC．（2）解：如图 2，∵BD=2AB，∴BD=4OB， AD=6OA，∴，∵OP∥BC，∴，∴P D=5PC，设 PA=PC=R， OA=r，∴A D=6r， PD=5R，2 2 2∵PA +AD=PD，2 2 2∴R+（6r ） =（ 5R）解得： R= r ，∵tan ∠ABC=tan∠POA=，∴tan ∠ABC═==．点评：本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．226．（ 10 分）（2015?湘潭）如图，二次函数y=x +bx+c 的图象交x 轴于 A（﹣ 1， 0）、 B（ 3，0）两点，交y 轴于点 C，连接 BC，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从 B 向 C 运动， P、Q同时出发，连接 PQ，当点 Q到达 C 点时，P、 Q同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图 1，当△ BPQ为直角三角形时，求 t 的值；（ 3）如图 2，当 t ＜2 时，延长QP交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点N，使得 PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N 的坐标与t 的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（ 1）根据二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过A（﹣ 1， 0）、 B（ 3，0）两点，应用待定系数法，求出二次函数的解析式即可．（ 2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点 Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠ PQB=90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t 的值各是多少即可．（ 3）首先延长MQ交抛物线于点N， H是 PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N 即可．2解答：解：（ 1）∵二次函数y=x +bx+c 的图象经过A（﹣ 1，0）、 B（ 3， 0）两点，∴，解得．∴二次函数的解析式是：y=x 2﹣ 2x﹣ 3．（2）∵ y=x 2﹣ 2x﹣ 3，∴点 C的坐标是（ 0，﹣ 3），∴BC= =3 ，设 BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，则，解得．∴BC所在的直线的解析式是：y=x﹣ 3，∵经过 t 秒， AP=t， BQ= t ，∴点 P 的坐标是（ t ﹣ 1，0），设点 Q的坐标是（ x， y），∵OB=OC=3，∴∠ OBC=∠OCB=45°，则y= ×sin45 °=×=t ，∴BP= = ×=t ，∴x=3﹣ t ，∴点 Q的坐标是（ 3﹣ t ，t ），①如图 1，，当∠ QPB=90°时，点 P 和点 Q的横坐标相同，∵点 P 的坐标是（ t ﹣ 1，0），点 Q的坐标是（ 3﹣ t ， t ），∴t﹣ 1=3﹣ t ，解得 t=2 ，即当 t=2 时，△ BPQ为直角三角形．②如图 2，，当∠ PQB=90°时，∵∠ PBQ=45°，∴BP=，∵BP=3﹣（ t ﹣ 1） =4﹣ t ， BQ=，∴4﹣ t=即 4﹣ t=2t ，解得 t= ，即当 t=时，△ BPQ为直角三角形．综上，可得当△ BPQ为直角三角形，t=或2．（ 3）如图 3，延长 MQ交抛物线于点N， H是 PQ的中点，，设 PQ所在的直线的解析式是y=cx+d ，∵点 P 的坐标是（ t ﹣ 1，0），点 Q的坐标是（ 3﹣ t ， t ），∴，解得．∴PQ所在的直线的解析式是y=x+，∴点 M的坐标是（ 0，）∵，，∴PQ的中点 H的坐标是（ 1，）假设 PQ的中点恰为MN的中点，∵1×2﹣ 0=2，=，∴点 N的坐标是（ 2，），又∵点 N 在抛物线上，∴=22﹣2×2﹣ 3=﹣ 3，解得 t=或t=﹣（舍去），∵＞，∴当 t ＜ 2 时，延长 QP交 y 轴于点 M，在抛物线上不存在一点N，使得 PQ的中点恰为MN的中点．点评：（ 1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．。