数列的概念经典例题百度文库

一、数列的概念选择题

1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）

（注：()()

22221211236

n n n n ++++++=

）

A ．1624

B ．1198

C ．1024

D ．1560

2．已知数列{}n a 满足12a =，11

1n n

a a +=-，则2018a =（）. A ．2

B ．

12 C ．1-

D ．12

3．在数列{}n a 中，11a =，11n n

a a n +=++，设数列1n a ??

????

的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（）

A ．()3,+∞

B ．[

)3,+∞

C ．()2,+∞

D ．[)2,+∞

4．已知数列2233331131357135

1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n

，则该数列第2019项是（） A ．

1019892 B ．

2019

2 C ．

1989

2 D ．

2019

2 5．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??=

+ ???

，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++

+=（）

A ．135

B ．141

C ．149

D ．155

6．数列{}n a 满足11

1n n

a a +=-，12a =，则2a 的值为（） A ．1

B ．-1

C ．

D ．13

7．在数列{}n a 中，()11

11,1(2)n

n n a a n a --==+

≥，则5a 等于

A ．

B ．

53 C ．85

D ．

8．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()

11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，

22017a =，则100S =（）

A ．2016

B ．2017

C ．2018

D ．2019

9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（）

A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.

B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.

C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.

10．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，

12()n

n S S S S 恒成立，则15S 等于（）

A ．210

B ．211

C ．224

D ．225

11．数列{}n a 中，()1121n

n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（） A ．32

B ．36

C ．38

D ．40

12．已知数列{}n a 满足11a =，12

n n a a n n

+=++，则10a =（） A ．

259

B ．

145 C ．

3111

D ．

176

13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（） A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

14．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（） A ．45

B ．46

C ．47

D ．48

15．已知数列{}n a 满足2122

1,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（） A ．92

B ．102

C ．

D ．112

16．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）

A ．201920212S F =+

B ．201920211S F =-

C ．201920202S F =+

D ．201920201S F =-

17．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么

24620201a a a a +++++=（）

A ．2021a

B ．2022a

C ．2023a

D ．2024a

18．数列{}n a 满足：12a =，111n

n n

a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（） A ．6-

B ．1

C ．

D ．6

19．在数列{}n a 中，11a =，()*

22,21

n n a n n N a -=≥∈-，则3

a =（）

A ．6

B ．2

C ．

D ．

211

20．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（）

A ．21n a n =-

B ．()1(21)n

n a n =--

C ．()

1(21)n n a n +=--

D ．()

1(21)n n a n +=-+

二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54

C ．S 2020＝a 2022－1

D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋

a 2021＝a 2022

22．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +??

-=+ ???

，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式

()22212n

a t a t a a n

<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4

B ．－2

C ．0

D ．2

24．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（） A ．0,2,n n a n ?=?

为奇数

为偶数

B ．1(1)1n n a -=-+

C ．2sin

n n a π

= D ．cos(1)1n a n π=-+

25．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（）

A ．7S 最小

B ．130S =

C ．49S S =

D ．70a =

26．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列

{}n

a 也是等差数列

27．定义11222n n

n a a a H n

-++

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

28．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

29．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-

B ．23n a n =+

C ．2

23n S n n =-

D ．2

4n S n n =+

30．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）

A ．若59S S =，则必有14S =0

B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项

C ．若67S S >，则必有78S S >

D ．若67S S >，则必有56S S >

31．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）

A ．若100S =，则280S S +=；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大

D ．若78S S <，则89S S <

32．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列

C ．数列{

a n

是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列

33．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．24

d -

<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ??

???

中最小项为第7项 34．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17a

B ．35S

C ．1719a a -

D ．1916S S -

35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >

B ．170S <

C ．1819S S >

D ．190S >

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】

设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则

n c n =，依次用累加法，可求解.

【详解】

设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，

()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=++

+=++++-

所以11n n b b C +=-，1213b a a -==

22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以()211

33222

n n n n b n -=+=-+，

()()()()

221111

1212332

n n n n B n n n n +-=

+++-

++++=

同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=++

+=+++--

11n n a a B +-=

所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】

本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.

2．B

解析：B 【分析】

利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】在数列{}n a 中，

1n n

a a +=-，且12a =， 211112

a a ∴=-=， 32

1121a a =-=-=- ， ()413

1112a a a =-

=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，

201867232=?+，

201821

a a ∴==.

故选：B 【点睛】

本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.

3．D

解析：D 【分析】

利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】

11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，

由累加法可得

()()()()12132111232

n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++

，

()122211

n a n n n n ∴

==-++，2222

2222222311n S n n n ?

?????∴=-+-+

+-=-< ? ? ?

++?

?????

，由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.

故选：D. 【点睛】

本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

4．C

解析：C 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号

里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11

2m -，所以第12个括号里的第995项是11

1989

2. 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

5．D

解析：D 【分析】

利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】

解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??=+ ???

，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，11

1111

[()]22n n n n n n n S a S S a S S --??=+=-+ ?-?? 所以11

n n n n S S S S ---=

-，

所以2

=n S n ，

因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =====

==,

[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==

== ,

[]363740[][]6S S S ==

==.

所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155??????，

故选：D 【点睛】

此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.

6．B

解析：B 【分析】

根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】因为11

1n n a a +=-，12a =，所以21111112

a a =

==---，故选：B. 【点睛】

本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.

7．D

解析：D 【解析】

分析：已知1a 逐一求解234512

2323a a a a ====，，，．详解：已知1a 逐一求解234512

2323

a a a a ==

==，，，．故选D 点睛：对于含有()1n

-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．

8．A

解析：A 【分析】

根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案．【详解】

解：因为12018a =，22017a =，()

11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，

则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-，

543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=，

76511(2017)2018a a a a =-=--==， 8762201812017a a a a =-=-==，

…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，因为12560a a a a ++???++=，所以

()100125697989910016S a a a a a a a a =++???++++++

12342016a a a a =+++=．

故选：A ．【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．

9．A

解析：A 【分析】

运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】

数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，

121n n n n a a a a +++∴≥--，

设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，

∴数列{}n d 是递减数列.

对于A ，由11a =，20192019a =，则201911220182019a a d d d =+++=，

所以1220182018d d d ++

+=，又1232018d d d d ≥≥≥

≥，

所以1122018201820182018d d d d d ≥++

+≥，

故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，

02019N ?=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++

≤++++=

即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；

结合A ，故B 不正确；

对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列，则n a 无最大值，故C 不正确；

对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确；故选：A 【点睛】

本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.

10．D

解析：D 【分析】

利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合1

12()n

n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，

得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，

所以11515()15(291)15

22522

a a S ++=

==，故选：D ．【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．

11．B

解析：B 【分析】

根据所给数列表达式，递推后可得()

21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以

()

-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入

即可求解. 【详解】

由已知()1121n

n n a a n ++-=-，① 得()

21121n n n a a n ++++-=+，②

由()1n ?-+①②得()()()212121n

n n a a n n ++=-?-++，

取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=，故81234836S a a a a a =++++???+=. 故选：B. 【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.

12．B

解析：B 【分析】由122n n a a n n +=++转化为11

121n n a a n n +??-=- ?+??

，利用叠加法，求得23n

a n =-，即可求解. 【详解】由12

2n n a a n n +=+

+，可得121

12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??

，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+

11111

111222*********n n n n n n ????????

=-+-+-+

+-+ ? ? ? ?-----??????

122113n n ??

=-+=- ???

，

所以102143105

a =-=. 故选：B. 【点睛】

数列的通项公式的常见求法：

1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；

2、对于递推关系式可转化为

()n n

a f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1

n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.

13．C

解析：C 【分析】

利用443a S S =-计算．

【详解】

由已知22

443(44)(33)8a S S =-=+-+=．

故选：C ．

14．C

解析：C 【分析】

利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解【详解】

当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C

15．B

解析：B 【分析】

本题先根据递推公式进行转化得到

112n n n n a a a a +++=．然后令1n n n

a b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322n

n n a a +??

= ???

．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二

次函数的知识可得数列{}n a 的最大项．【详解】

解：由题意，可知： 21

112n n n n

a a a a +++=．令1n n n a

b a +=，则11

n n b b +=． 2

16a b a =

=， ∴数列{}n b 是以16为首项，

为公比的等比数列． 1

11163222n n

n b -??

∴== ?

???

．

∴11322n

n n a a +??

= ???

． ∴1

211322a

a ??

= ???

，

21322a a ??

= ???

，

11322n n n a a --??

= ???

．

各项相乘，可得： 1

111(32)222n n n

a a --??????=? ? ? ???????

．

(1)

511()22n n n --??

= ?

?? 2115(1)

1122n n n ---????= ? ???

211

5522

12n n n --+??

= ???

(1110)

12n n -+??= ???

．

令2()1110f n n n =-+，

则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-?+=-，()2661161020f =-?+=-，

()f n ∴的最小值为20-． ∴2

(1110)(20)10

101112222n n -+?--??????=== ? ? ???

．

∴数列{}n a 的最大项为102．

故选：B ．【点睛】

本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；

16．B

解析：B 【分析】

利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++

+++，可得

21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.

【详解】

由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++

1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++

123211n n n n F F F F F F ---=++++

+++，

所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，

故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出

21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.

17．A

解析：A 【分析】

根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】

由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++

+++++=+

3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++

=+++=+=.

故选：A

18．A

解析：A 【分析】

根据递推公式推导出(

)4n n a a n N *

+=∈，且有1234

1a a a a

=，再利用数列的周期性可计算

出2018T 的值. 【详解】

12a =，()*111++=

∈-n

n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132

a -==-+，41

1121312a -

==+，5

1132113

a +

==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()123411

23123

a a a a ??=?-?-?= ???，

201845042=?+，因此，()504

2018450421211236T T a a ?+==?=??-=-.

故选：A. 【点睛】

本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.

19．C

解析：C 【分析】

利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】

()*122,21

n n a n n N a -=

≥∈-，11a =，212221

a a ∴=

=-，3222

213a a =

=-. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.

20．C

解析：C 【分析】

分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】

数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n

n a n =--．故选C ．【点睛】

本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．

二、多选题 21．BCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C ，可

解析：BCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；

对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥，则()()()()1234131425311++++

++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----

即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确；对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，

()()()135202124264202220202022+++

+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.

22．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，，，，故A 正确；

对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加

解析：AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++，所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.

23．AB 【分析】

由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，，则，，，，

上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立

解析：AB 【分析】由题意可得

111

11n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n

=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为

()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.

【详解】

111

n n n a a n n

++-

=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，

则

11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111

122

a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，1

22n a n n

∴=-<，

()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，

整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立，

对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42??-????

，包含[]1,2，故A 正确；

对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22??-????

，包含[]1,2，故B 正确；

对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02??-????

，不包含[]1,2，故C 错误；

对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2

??-???

，不包含[]1,2，故D 错误，

故选：AB. 【点睛】

本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.

24．BD 【分析】

根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：，符合题设；选项C ：，不符合题设；选项D ：，符合题设

解析：BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；

选项B ：0

1(1)12,a =-+=1

2(1)10,a =-+=

23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；

选项C ：，12sin

2,2

a π

==22sin 0,a π==

332sin

a π

==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=

3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

25．BCD 【分析】

由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列的公差为. 由有，即所以,则选项D 正确.

选项A. ,无法判断其是否有最小

解析：BCD 【分析】

由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列{}n a 的公差为d .

由13522,a a S +=有()111254

2252

a a a d d ?+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.

选项A. ()71176

773212S a d a d d ?=+

=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 1

137131302

a S a a +=?==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件

13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,

属于中档题.

26．AB 【分析】

根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列中，即， .

对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，

解析：AB 【分析】

根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，

1149249,2

a d a d =-=-

. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确.

对于C 选项，149

a d =-

，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?

?=+-=-

+-=- ??

?，令0n a ≥得5151

0,22n n -

≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列

{}n

a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.

故选：AB 【点睛】

等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.

27．AC 【分析】

由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由

解析：AC 【分析】由题意可知112222n n n

n a a a H n

-++

+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2

n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数

列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由112222n n n

n a a a H n

-++

+==，

得112222n n n a a a n -++

+=?，①

所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---++

+=-?，②