2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形有（ ）个（1）（2）（3）（4）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】根据直线和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】（1）如图，连接AC ，易知//AC MN ，//BC NP ，,AC BC C MN NP N ⋂=⋂=,故平面//MNP 平面ABC ，AB Ì平面ABC ，故//AB 平面MNP ，（1）正确；（2）如图，连接AE ，易知//AE NP ，由线面平行的判定定理可得//AE 平面MNP ，若//AB 平面MNP ，则平面//ABE 平面MNP ，故//BE 平面MNP ，不成立，故（2）错误；（3）如图，易知//BE PN ，若//AB 平面MNP ，则平面//ABE 平面MNP ，故//BE 平面MNP ，不成立，故（3）错误；（4）如图，连接EF ，易知//AB EF ，//NP EF ，故//AB NP ，故由线面平行的判定定理可得//AB 平面MNP ，故（4）正确.故选：B .【点睛】本题考查了线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.2．如图两正方形ABCD ，CDFE 所在的平面垂直，将EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，则直线EC 与AC 所成角的取值范围是（ ）A ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】可证得AF AC CF ==，故3ACF π∠=，4ECF π∠=，当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，CEA ECF FCA ∠≤∠+∠，且CEF ACF ECF ∠≥∠-∠，结合线线角的取值范围即得解.【详解】如下图所示，连接AF ，因为正方形ABCD 和CDFE ，则AD CD ⊥，FD CD ⊥，AD DC DF ==又因为面ABCD ⊥面CDFE ，面ABCD I 面CDFE CD =，则AD ⊥面CDFE ，因此AD DF ⊥.因此222AF AD DF =+，222AC AD DC =+，222CF CD DF =+，则AF AC CF ==， 因此3ACF π∠=因为4ECF π∠=， 则当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠= 12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=，当CEF ∠为锐角或直角时，直线EC 和AC 所成角的等于CEF ∠当CEF ∠为钝角时，直线EC 和AC 所成的角等于CEF ∠的补角因此直线EC 和AC 所成的角的取值范围是,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.3．如图，N ，S 是球O 直径的两个端点，圆1C 是经过N 和S 点的大圆，圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆，圆1C ，2C 交于点A ，B ，圆1C ，3C 交于点C ，D ．设a ，b ，c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长，圆2C 上半圆弧AB 的弧长，圆3C 上半圆弧CD 的弧长，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c >=B ．b c a =>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】设球的半径为,2(0)2R COD παα∠=<<，求出=2sin ,,sin CD R b R c R αππα==，可得,b c >再根据球面距离的定义可得c a >，得出结论.【详解】 设球的半径为,2(0),2sin 2R COD CD R πααα∠=<<=，则,sin b R c R ππα==，则,b c > a 是圆1C 上劣弧CND 的弧长，而圆1C 是大圆，a 是CD 在球面上距离，c 是圆3C 上半圆弧CD 的弧长， 由球面距离的定义可知c a >，所以b c a >>.故选:D【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.4．三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交（ ）A ．一条B ．两条C ．无数条D ．没有【答案】C【解析】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ，BC ，1DD 两两异面，取1DD 上一点P ，则11PA B 确定平面α，使平面α与BC 交于2C ，则2PC 与11A B 必相交，得到答案.【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ，BC ，1DD 两两异面，取1DD 上一点P ，则11PA B 确定平面α，使平面α与BC 交于2C ，则2PC 与11A B 必相交，有无穷多个点P 满足条件，故有无穷多条直线.故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题5．若P l ∈，P α∈，Q l ∈，Q α∉，则直线l 与平面α有_____个公共点；【答案】1【解析】根据已知条件判断出直线l 与平面α相交，由此确定直线l 与平面α的公共点个数.【详解】由于P l ∈，P α∈，所以直线l 与平面α有公共点，而Q l ∈，Q α∉，所以直线l 与平面α相交，故直线l 与平面α的公共点个数为1个.故答案为：1【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.6．给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.【答案】②③【解析】对四个选项进行逐一分析即可.【详解】对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误； 对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.7．若异面直线a ，b 所成的角为70︒，则过空间上任一点P 可做不同的直线与a ，b 所成的角都是55︒，可做直线有______条.【答案】3【解析】将异面直线a ，b 平移过点P ，此时,a b 确定一个平面α，当c α⊂时，有1条直线，当α⊄c 时，有2条直线满足，得到答案.【详解】将异面直线a ，b 平移过点P ，此时,a b 确定一个平面α，当c α⊂时，有1条直线满足所成的角为55︒.当α⊄c 时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为55︒.故共有3条直线满足条件.故答案为：3.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.【答案】13+ 【解析】根据11AC AB AD AA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2224c c =+-=，解得31c =+.故答案为：31+.【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．如图，在三棱锥A BCD -中，底面是边长为2的正三角形，4AB AC AD ===，且E ，F 分别是BC ，AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__________．【答案】41015【解析】连结DE ，到DE 中点P ，连结PF 、PC ，则PF ∥AE ，从而∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE 和CF 所成角的余弦值.【详解】解：因为三棱锥A −BCD 中，底面是边长为2的正三角形，AB ＝AC ＝AD ＝4， 所以三棱锥A −BCD 为正三棱锥；连结DE ，取DE 中点P ，连结PF 、PC ，∵正三棱锥A −BCD 的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，∴PF ∥AE ，∴∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，2222=4115,213AE DE -=-=222161647cos 22448AC AD CD CAF AC AD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 2274224268CF =+-⨯⨯⨯=， 2211537122PF AE PC ⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭， 157641044cos 15262PFC +-∴∠==⨯⨯∴异面直线AE 和CF 所成角的余弦值为41015. 故答案为：1015. 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 【答案】26 【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A C 上运动，异面直线BP 与1AD 所成的角为θ，则θ的最小值为______.【答案】30o【解析】设正方体边长为1，如图所示：连接1BC ，1PC ，1A B ，根据对称性知：1PB PC m ==， 计算62PB ∈⎣，23cos 22m θ=≤，得到答案. 【详解】设正方体边长为1，如图所示：连接1BC ，1PC ，1A B ，根据对称性知：1PB PC m ==， 在1Rt A BC V 中，1BC =，12A B =，13AC =，当1PB A C ⊥时，根据等面积法63PB =， 故62PB m =∈⎣， 易知11//AD BC ，故1PBC ∠为异面直线BP 与1AD 所成的角，2223cos 2222m mθ==≤，故30θ≥︒. 故答案为：30°.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.AE CF，六个顶点任12．如图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且//意两点连线能组成异面直线的对数是__________．【答案】39【解析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成C64﹣2＝13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（C64﹣2）＝39．【详解】解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成C64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3（C64﹣2）＝39．故答案为39．【点睛】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．13．直线l在平面α上，直线m平行于平面α，并与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为______（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 【答案】双曲线【解析】如图所示：设直线m 在平面α内的投影为'm ，m 和'm 的距离为d ，得到222PA PB d =+，以l 和'm 的交点为原点，以l 和'm 的角平分线为y 轴建立直角坐标系，化简得到()2214k d xy k+=，得到答案.【详解】如图所示：设直线m 在平面α内的投影为'm ，m 和'm 的距离为d ，作PA l ⊥于A ，'PB m ⊥于B ，BC m ⊥于C ，故2222PA PC PB BC ==+， 即222PA PB d =+，以l 和'm 的交点为原点，以l 和'm 的角平分线为y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，:l y kx =-，':m y kx =，0k >，故()()2222211kx y kx y d kk+-=+++，化简得到：()2214k d xy k+=，故为双曲线.故答案为：双曲线.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是_______.【答案】11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标.作'HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+.作'PN CC ⊥根据空间中两点间距离公式即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M,连接PM 则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =由两点间距离公式可得()()2213x x z =-+-化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+- ()224421x x =+-+- ()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用,利用空间两点间距离公式及二次函数求最值,属于难题.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为______. 【答案】167π 【解析】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC V 的中心，易知球心O 为12O O 中点，R =276416412777S a ππ⎡⎤⎛⎫=-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到答案. 【详解】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC V 的中心，易知球心O 为12O O 中点，在2Rt AOO △中：2AO =，22b OO =，故R =，故()2222222764164444343412777a a b a S R a πππππ⎛⎫⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==+=+=-+≥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故该球的表面积的最小值为167π. 当67a =，87b =时等号成立. 故答案为：167π.【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16．已知异面直线a ，b 所成角为60︒，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别是点A ，B ,若动点P a ∈，Q b ∈，PA QB m +=，则线段PQ 中点M 的轨迹围成的区域的面积是_______.【答案】234m . 【解析】线段AB 的中垂面为α，易知M α∈，a 在平面α的投影为'a ，b 在平面α的投影为'b ，设',',a b AB 相交于点O ，M 为''P Q 中点，以O 为原点，'b 为x 轴建立直角坐标系，得到24233y yx m +=，讨论得到答案. 【详解】如图所示：线段AB 的中垂面为α，易知M α∈，a 在平面α的投影为'a ，b 在平面α的投影为'b ，设','.a b AB 相交于点O .Q 在平面α的投影为'Q ，P 在平面α内的投影为P'，连接''P Q ，则M 为''P Q 中点，以O 为原点，'b 为x 轴建立直角坐标系，设(),M x y ，()',0Q q ，13'2P p p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则243q p x py ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得323p q x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故24233y yx m +=，当3y x ≥，0y ≥时，23x m -=；当3y x ≥，0y <时，23x m --=； 当3y x <，0y ≥时，23x m +=；当3y x <，0y <时，23x m -=. 如图所示，解得,02m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02m I ⎛⎫⎪⎝⎭，3,4m m H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,4m m J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 故面积为21333222444m m m m S m ⎛⎫⎛⎫=⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：234m .【点睛】本题考查了异面直线夹角，轨迹问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b .假设a b ¹，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与,a b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.【答案】存在，选择3号和4号容器.【解析】分别计算出四个容器的体积，可求得()()233220a b a b b a a b a b +--=+->，从而得到必胜方案，即选择3号和4号容器. 【详解】1号容器体积为：2a b ；2号容器体积为：2b a ；3号容器体积为：3a ；4号容器体积为：3b a b ≠Q()()()()()23322220a b a b b a a b a ab b ab a b a b a b ∴+--=+-+-+=+->∴存在必胜方案，即选择3号和4号容器【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式子，从而得到所求方案.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1122AB AA BC ===，P ，Q 分别为11B C 与1BB 中点.（1）经过P ，Q 作平面α，平面α与长方体1111ABCD A B C D -六个表面所截的截面可能是n 边形，请根据n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如3n =只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；（2）若R 为直线AD 上的一点，且2AR =，求过PQR 截面图形的周长. 【答案】（1）见解析；（2）4522【解析】（1）画出截面图得到答案.（2）画出截面图，计算线段长度得到周长. 【详解】 （1）（2）如图所示：,,M N H 分别为111,,AB DD D C 的中点，易知//RN PQ ，确定平面α， 易知////RM NQ HP ，NQ α⊂，P α∈，N α∈，Q α∈，R α∈，故H α∈，M α∈.5PQ NR RM HP ====，2MQ NH ==，故周长为4522+.【点睛】本题考查了长方体的截面问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19．如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为26，求圆锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）163π 【解析】（1）假设BC SA ⊥，得到AB BC ⊥，不成立，得到证明.（2）如图所示：延长CO 与圆交于点E ，连接AE ，D 在底面的投影为OC 中点F ， 易知//BC EA ，故DAE ∠为异面直线AD 与BC 所成角，根据余弦定理解得2r =，计算得到体积. 【详解】（1）假设BC SA ⊥，易知SO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故SO BC ⊥， 故BC ⊥平面SOA ，AB Ì平面SOA ，故AB BC ⊥，不成立，故假设不成立.BC 与SA 不可能垂直.（2）如图所示：延长CO 与圆交于点E ，连接AE ，D 在底面的投影为OC 中点F ， 易知//BC EA ，故DAE ∠为异面直线AD 与BC 所成角，设底面半径为r ， 在ADE V 中：2AE r =，2944DE r =+2222544DA OF OA FO r =++=+根据余弦定理：2222cos DE DA AE DA AE DAE =+-⋅∠，计算得到2r =. 故体积211633V r h ππ=⋅=.【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ,6AB AC PA ===,,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直PA ⊥底面ABCD ，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直PA EF ⊥，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得AB AC ⊥（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质得//MF PA ，即得//MF 平面PAB .同理，得//EF 平面PAB ，最后根据线面平行证得面面平行平面//MEF 平面PAB ，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y 试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o ， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥.因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，所以PA ⊥底面ABCD .又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥.又因为PA AC A ⋂=，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .（2）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB .同理，得//EF 平面PAB ，又因为MF EF F ⋂=，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB ，又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB .（3）在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N ， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =，因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y .【考点】线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理，线面平行判定与性质定理，四棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π∠=∠=，G 是BC 的中点.24AB BC AD ===，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点，且//EF BC ，设AE x =（[]0,4x ∈），沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图.（1）当2x =时，求证：DB EG ⊥；（2）若以B 、C 、D 、F 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； （3）当()f x 取得最大值时，求二面角D BF C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）83；（3）14 【解析】（1）如图所示：DH EF ⊥于H ，连接,HG HB ，证明DH EG ⊥，EG BH ⊥得到EG ⊥平面DBH ，得到证明.（2）计算得到()()228233x f x --+=，根据二次函数性质得到答案. （3）如图所示：以,,EB EF EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面BCF 的一个法向量为()10,0,1n =u r ，平面DBF 的一个法向量为()23,2,1n =u u r ，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：DH EF ⊥于H ，连接,HG HB ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，DH EF ⊥，故DH ⊥平面EBCF ，EG ⊂平面EBCF ， 故DH EG ⊥，易知EBGH 为正方形，故EG BH ⊥，BH DH H =I ，故EG ⊥平面DBH ，DB ⊂平面DBH ，故DB EG ⊥.（2）()()()21112844233233D BCF BCF V S x D x x x f H -=⋅=⨯⨯⋅-=-=-+△， 故()()max 823f x f ==. （3）如图所示：以,,EB EF EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,2D ，()0,3,0F ，易知平面BCF 的一个法向量为()10,0,1n =u r ，设平面DBF 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ，则2200n BF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即23020x y y z -+=⎧⎨-=⎩， 取2y =，得到()23,2,1n =u u r ，故12121214cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ， 观察知二面角D BF C --的平面角为钝角，故余弦值为14-.【点睛】本题考查了线线垂直，体积的最值，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。