微课课件错位相减法
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《错位相减法求和》课件
幂级数求和
幂级数求和公式
利用错位相减法，我们可以得到幂级数的求和公式，即$S_n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ldots + a_n x^n$。
实例
以幂级数$frac{1}{2}x + frac{1}{4}x^2 + frac{1}{8}x^3 + ldots$为例，利用错位相减法求和，得到 结果为$frac{2}{3}(x + x^2 + x^3 + ldots)$。
和时间。
对于某些特定问题，可能存在 更高效的算法。
错位相减法的未来发展
随着数学理论和计算机技术的发展， 错位相减法可能会得到进一步优化和 改进。
新的计算技术和算法可能会被引入， 以提高错位相减法的计算效率和适用 范围。
未来研究可能会探索错位相减法的扩 展应用，以解决更多类型的问题。
错位相减法在其他领域的应用
02 错位相减法的基本原理
错位相减法的定义
01
错位相减法是一种数学方法，用 于求解等差数列和等比数列的求 和问题。
02
它通过错位相减的方式，将原数 列拆分成易于处理的数列，从而 简化求和过程。
错位相减法的公式推导
错位相减法的公式推导基于等差数列和等比数列的性质，通过错位相减的方式， 推导出相应的求和公式。
优点 计算过程简单明了，易于理解。
对于某些特定问题，错位相减法可以提供快速且准确的解决方案。
错位相减法的优缺点
• 通过错位相减，可以将复杂问题分解为更简单的子问题， 便于解决。
错位相减法的优缺点
01
缺点
02
03
04
适用范围有限，不是所有问题 都可以通过错位相减法解决。
高中数学错位相减法求和标准文档ppt
例题讲解
例题讲解
基础检测
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ①高①高根用 ①一在②在高在在②在高在①在在在①一在①高②中中据①②般用数中用数数中数用用用②般用②中书 关 关 书的 数 数 等 的的 地 “ 列 数 “ 列 列 数 列 “ “ “ 的 地 “ 的 数写注注写右学学比两 右，错求学错求求学求错错错右，错右学规字字规边错错数边 边对位和错位和和错和位位位边对位边错范母母范有位位列分 有于相的位相的的位的相相相有于相有位、，，、很相相的别 很等减问相减问问相问减减减很等减很相计弄弄计多减减通减 多比法题减法题题减题法法法多比法多减算清清算相法法项去 相数”中法”中中法中”””相数”相法细分分细同求求公② 同列时，求时，，求，时时时同列时同求心类类心的和和式的的应什和应什什和什应应应的应的和；讨讨；项，两 项注么注么么么注注注项注项论论上边 意样意样样样意意意意....的的式， 些的些的的的些些些些依依可就 什结什结结结什什什什据据写可 么构么构构构么么么么.. 成以 ？选？选选选？？？？消 择择择择去 ““““这 错错错错些 位位位位相 相相相相同 减减减减的 法法法法项 ””””， ？？？？得 一般地，对于等比数列
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
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高中数学错位相减法求和
基础检测
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
数列求和之错位相减法示范课
数列求和之错位相减法示范课
错位相减法是一种常用的数列求和方法，特别适用于等差数列。
下面我们以一个简单的例子来进行示范。
例题：
求等差数列1, 3, 5, 7, 9的和。
解答步骤：
1. 首先，我们观察数列，发现每个数都比前一个数大2，因此，这是一个公差为2的等差数列。
2. 接下来，我们使用错位相减法来求和。
将数列错位一位，得到1, 3, 5, 7, 9。
3. 然后，将原数列和错位后的数列相减，得到0, 0, 0, 0。
4. 最后，将相减后的结果求和，得到0 + 0 + 0 + 0 = 0。
答案：
等差数列1, 3, 5, 7, 9的和为0。
通过这个例子，我们可以看到，使用错位相减法可以简化等差数列求和的过程，将原问题转化为相减问题，进而得到更简洁的答案。
同样的方法也适用于其他类型的数列。
错位相减法求数列前n项和课件
步骤详解
01
02
03
04
步骤一
写出原数列的前n项和的等式 。
步骤二
将等式两边同时乘以公差或公 比。
步骤三
将步骤二得到的等式与原数列 的等式错位相减。
步骤四
整理得到一个更简单的等式， 并求解。
实例一：等差数列求和
01
02
03
04
05
实例描述
使用错位相减法求等差数 列的前n项和。
1. 写出等差数列 2. 将等式两边同
适用范围
等差数列
错位相减法适用于等差数列的前n项和求解，特别是当数列项数较大时，能够 快速得到结果。
部分等差数列
对于一些形式上接近等差数列的数列，也可以使用错位相减法进行求解。
注意事项
01
02
03
初始位置
在应用错位相减法时，需 要注意各项的初始位置， 确保错位后能够得到正确 的结果。
计算精度
由于错位相减法涉及到大 量的加减运算，因此需要 注意计算精度，避免出现 误差。
更简…
q*Sn - Sn = a1 * (q q^n) / (1 - q) - a1 * (1 q^n) / (1 - q)。
(q - 1)*Sn = a1 * (q q^n) / (1 - q)，并求解得 到Sn。
实例三：非等差、等比数列求和
实例描述：使用错位相减法求
非等差、等比数列的前n项和
。
错位相减法求数 列前n项和课件
contents
目录
• 错位相减法简介 • 错位相减法在数列求和中的应用 • 错位相减法的步骤与实例 • 错位相减法的优缺点 • 练习与思考
01
CATALOGUE
错位相减法简介
错位相减法求和ppt
数列求和 —— 错位相减法
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1
基础检测
-
2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
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3
Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
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例题讲解
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6
基础检测
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7
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8
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9
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
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课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
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爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
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1
基础检测
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2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
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Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
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例题讲解
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基础检测
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课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
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课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
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爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
数列求和(错位相减法)强烈推荐.ppt
即Sn 1 2 2 22 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即 Sn 2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2 1 2
最新.课件
2
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？ 2、分组求和法：
通项公式是“等差 等比”型数列的求和 注：
在求和之前，一定要先判断数列的类型， 如何判断？
通项公式：一次函数
等差数列
指数型函数
等比数列
最新.课件
3
方法探究
例题：
已知数列{an}的通项公式为an 2n 1，等差数列
数列{bn}的通项公式为bn 2n 等比数列
22
2
2
1 (1)n 22
1 2
n ( 1 ) n1
1 1
2
2
1 (1)n
n
1 n1
2
2
故Tn
2 ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
最新.课件
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课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
(1)求数列{an}的前n项和 (2)求数列{bn}的前n项和
公式法
(3)求数列{an bn}的前n项和 分组求和法
新问题：
？ 求数列{anb } 最新n.课件的前n项和
4
情景重现： 银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
人教A版高中数学必修五2.5.2错位相减法求数列前n项和课件
错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn
相 减
法
总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列, 为等比数列.
即如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项乘积构 成的，那么这个数列的前n项和则采 用“错位相减法” 求和.
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
求数列{anbn}的前n项和
解：anbn n 2n
Sn a1b1 a2b2 a3b3 an-1bn-1 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24
(n-1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
n1
故Tn
2 ( 1 )n1 2
n ( 1 )n =22
2+n 2
( 1 )n1 2
练一练
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
2.5.2 错位相减法 求数列前n项和
课前小测 求和：
11 3 5 2n 3 2n 1
错位相减法求数列前n项和课件
等差数列的错位相减法求和
01
总结词
02
详细描述
03
实例
等比数列的错位相减法求和
总结词 详细描述 实例
混合数列的错位相减法求和
总结词 详细描述 实例
错位相减法的进阶技巧
错位相减法的变形
错位相减法的常规形式
优化二
通过选择合适的数列进行错位相减法， 使得计算过程更加简便。例如，选择 等差数列或等比数列进行错位相减法， 可以简化计算过程。
错位相减法的定义
它适用于某些特定类型的数列，如等 差数列、等比数列等，通过错位相减 法可以快速准确地求出数列的前n项和。
错位相减法的步骤
第一步
第二步
写出需要求和的数列， 并确定数列的类型和特点。
根据数列的特点，选择 适当的系数进行错位相减。
第三步
进行错位相减操作，将 数列的各项乘以适当的 系数后相减，得到一个
新的数列。
第四步
对新得到的数列进行求 和，得到原数列的前n项
和。
错位相减法的注意事项
注意选择合适的系数进行错位相减， 以保证结果的准确性和计算的简便性。
对于一些特殊的数列，可能需要采用 其他方法进行求和，错位相减法不一 定适用。
在进行错位相减时，要仔细核对每一 项的符号和数值，避免出现计算错误。
错位相减法的实例解析
错位相减法的应用场景
01
02
在金融领域
在统计学中
03 在计算机科学中
错位相减法的重要性
错位相减法是一种重要的数学 方法，在解决实际问题中具有 广泛的应用价值。
通过错位相减法，可以简化复 杂的数学计算过程，提高计算 效率和准确性。
掌握错位相减法对于数学学习 和实际应用都具有重要意义。
数列求和之错位相减法微课完美版PPT
第二步，上式左右两边乘以等比数列公比 9
10
9 10 S n
2 9 2 3 9 3 4 9 4 . .n . 9 n n 1 9 n 1
101010 10 10
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第三步，两式进行错位相减得：
〔能那的在够么公相 使 该 差乘用数为的错列d1 ，1 两位前那项相nS 项么中减和上n ，法0 的式 等的展又差通2 开可数项式化列公 为简不式1 :为9 变是：，由 等等 比差0 数数 列列1 9 依与次等 向比2 后数0 推列 了的1 一积9 项组〕成 3 。0 .. . 1 .9 .n 0 . n 1 1 9 n 0 1
设等差数列 b n 的公差为d，那么上式又可化简为：
1 q S n b 1 c 1 d 2 d 3 c . c d .n .b n c c n 1
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对于函数 an n2n 经过以上两步得到的
两式相减得：
S n 2 2 2 2 3 2 n n 2 n 1
248
2n
an (1)n1
2n1. 2n1
2 4 6 2n , , ,, ,
2 22 23 2n
1 ,3 a ,5 a 2 , ,( 2 n 1 ) a n 1 ( a 0 )
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假
，其中 b n 与 c n 分别是
设
项数相同的等差数列和以q为公比的等比
数列。那么该数列前n项和的展开式为:
n1
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1.学会区分。能够使用错位相减法的通项公式是由 等差数列与等比数列的积组成。 2.能够正确写出解答错位相减法求前n项和的三个步 骤。 3.能够防止使用错位相减法过程中的几个易错点。
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(1 q ) S n a1b1 d (b1q b1q 2 b1q n 1 ) an b1q n
④整理得到 S n
六、小试牛刀
1 n 练习：已知数列通项公式为 Cn (2n 1) ( ) ，求 Cn 的前 n 项和 Tn 。 2
参考答案：
①
2 S n 1 2 2 3 23 5 2 4 （2n 3) 2 n (2n 1) 2 n 1
①-②得：
②
Sn 1 2 2 (22 23 2n ) (2n 1) 2n1
4 (1 2n1 ) Sn 2 2 (2n 1) 2n1 1 2
S n (2n 3) 2 n 1 6
五、方法总结 错位相减法攻略
1.适用于 an bn 型数列的求和，其中 an 为等差数列， bn 为等比数列。
2.步骤总结： ①写出前 n 项和 S n a1 b1 a2 b1q a3 b1q 2 an b1q n 1 ②两边同乘以 q 得到： qS n a1 b1q a2 b1q 2 a3 b1q 3 an b1q n ③ 找到同次项，错位相减得到：
数列求和方法篇
错位相减法
浙江省衢州第三中学
刘佳
一、追本溯源
“英雄也问出 处” • 必修5教材第62页等比数列的求和公式推导
二、方法讲解
引例：已知等比数列 an ，首项为 a1 ，公比为 q ，求 该数列的前 n 项和 Sn 。
解：S n a1 a2 源自a3 an①-②得：
Sn 1 2 2 2 2 n 2
2 3 n
n1
Sn (n 1) 2
n1
2
四、变式提高
例题 2：已知数列 an （2n - 1） 2 n ，求数列 an 的前 n 项和 S n 。
S n 1 2 3 2 2 5 23 (2n 1) 2 n
S n a1 a1q a1q 2 a1q n1
①
两边同乘以q qS n a1q a1q 2 a1q n-1 a1q n ①—②得：（错位相减）
同乘q 错位减
②
（1 q) S n a1 a1q n
a1 (1 q n ) Sn 1 q
1 n Tn (2n 1) ( ) 1 2
同乘q 错位减
谢谢观看！
课件制作：刘佳 录音： 刘佳
视频剪辑：刘佳
(q 1)
三、典例分析
例题1： 已知数列 a 解：
n
n 2 n ，求数列 an 的前 n 项和 S n 。
① ②
S n 1 2 2 2 2 3 23 n 2 n
2 Sn 1 22 2 23 （n 1) 2n n 2n1