最新2019-15事件的独立性-PPT课件
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事件的相互独立性 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
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B.
22
课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是 0.96，乙机 床的次品率是 0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率.
解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用 B 表示“从乙机床生产的 产品中抽得正品”，用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用 D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”， 则 C＝(AB－)∪(A－B)，D＝C∪(AB). (1)由题意知，A 与 B 是相互独立事件，
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课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是 0.96，乙机 床的次品率是 0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率. (3)由于事件 AB 与 C 互斥， 所以 P(D)＝P[(AB)∪C]＝P(AB)＋P(C)
13
课堂精讲
【例 2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8， 乙射中的概率为 0.9，求： (1)2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率； (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率. (4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都未射中”两种情况， 故所求概率为 p＝P(A－ B－)＋P(AB－ )＋P(A－B) ＝P(A－ )·P(B－ )＋P(A)·P(B－ )＋P(A－ )·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
5
事件的相互独立性-PPT
27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
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结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
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3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
【新教材】高中数学 新人教B版(2019)必修第二册 5.3.5随机事件的独立性 课件
解析：记事件 A：“甲第一轮猜对”，事件 B：“乙第一轮猜 对”， 事件 C：“甲第二轮猜对”，事件 D：“乙第二轮猜对”，事 件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”． 由题意知，E＝ABCD＋－A BCD＋A－B CD＋AB－C D＋ABC－D . 由事件的独立性与互斥性，得
P(E) ＝ P(ABCD) ＋ P( －A BCD) ＋ P(A －B CD) ＋ P(AB －C D) ＋ P(ABC－D ) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(－A )P(B)P(C)P(D)＋ P(A)P(－B )·P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(－C )P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(－D )
＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13× 34×23＝23. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为23. 答案：23
答案：152
相互独立事件的判断 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件 A＝ “抽到 K”，事件 B＝“抽到红牌”，事件 C＝“抽到 J”，那么 下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B； (2)C 与 A.
【解】 (1)由于事件 A 为“抽到 K”，事件 B 为“抽到红牌”，故 抽到红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事 件． 以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到 K 的概率为 P(A)＝542＝113， 抽到红牌的概率为 P(B)＝2562＝12，
(2)“两人都不能破译”为事件A－B，则 P(A－B)＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件((A－B )∪(－A B))， 则 P((A－B )∪(－A B))＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)·P(－B )＋P(－A )·P(B) ＝13×1－14＋1－13×14＝152.
北师大版高中数学必修第一册 第七章 4-《事件的独立性》课件PPT
3
2
3
5
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( · · )=P()·P()·P()=(1− 4)×(1− 3)×(1− 8)= 96.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对
5
91
立事件,所以,所求事件概率为() =1− 96 = 96.
反思感悟
与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发
生”“不都发生”等词语的意义.
四、方程思想在概率中的应用
例4
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工
1
1
的零件不是一等品的概率为4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12,
不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为 = (A)+(B)= (A)P()+()()
=0.8×(1−0.8)+(1−0.8)×0.8=0.32.
3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( D )
A.
1
回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, , ,
设乙答对这道题的概率() = ,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此, , 是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
1
9
, , .由题设得 () = 12 ,即 ()(1−()) = 12 ,②由①③,得() =1− 8 (),
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甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( · · )=P()·P()·P()=(1− 4)×(1− 3)×(1− 8)= 96.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对
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91
立事件,所以,所求事件概率为() =1− 96 = 96.
反思感悟
与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发
生”“不都发生”等词语的意义.
四、方程思想在概率中的应用
例4
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工
1
1
的零件不是一等品的概率为4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12,
不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为 = (A)+(B)= (A)P()+()()
=0.8×(1−0.8)+(1−0.8)×0.8=0.32.
3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( D )
A.
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回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, , ,
设乙答对这道题的概率() = ,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此, , 是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
1
9
, , .由题设得 () = 12 ,即 ()(1−()) = 12 ,②由①③,得() =1− 8 (),
第7章 §4 事件的独立性-【新教材】北师大版(2019)高中数学必修第一册课件(共39张PPT)
作
课
探 究
C [∵两人都没有击中的概率为 0.2×0.3＝0.06，∴ 目标被击中
时 分
释 的概率为 1－0.06＝0.94.]
层 作
疑
业
难
返 首 页
·
10
·
自
3．甲、乙两班各有 36 名同学，甲班有 9 名三好学生，乙班有 6 课
主 预
名三好学生，两班各派 1 名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好
习
结
·
探 新
事件 B＝{3，6}，事件 AB＝{6}，
提 素
知
养
合 作
∴
P(A)
＝ 36
＝
1 2
，
P(B) ＝
2 6
＝
1 3
，
P(AB)
＝
1 6
＝
1 2
× 13
，
即
P(AB) ＝
课
探
时
究 P(A)P(B).
分
层
释 疑
故事件 A 与 B 相互独立．当“出现 6 点”时，事件 A，B 可以同
作 业
难
时发生，因此，A，B 不是互斥事件．
作
课
探 “出现的点数为偶数”；
究
时 分
层
释 疑
(2)掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点”；事件 B：“出现 作 业
难
3 点或 6 点”．
返 首 页
·
13
·
自
[解] (1)∵二者不可能同时发生，∴M 与 N 是互斥事件．
课
主
堂
预
(2)样本空间为 Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件 A＝{2，4，6}， 小
概率 10.2事件的相互独立性(实用精品课件)同步课堂(人教A版2019必修第二册)
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02.
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
P(A)=0.2
P(B)=0.3
[变式]P249-3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，
假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
P(AB)=P(A)P(B) =0.2×0.3=0.06.
－－
－
－
(2)甲、乙两地都不降雨的概率; P(AB)=P(A)P(B) =0.8×0.7=0.56.
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，
两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________.
巩固：相互独立事件的概率计算
[变式2]P250-4.甲、乙两人独立地破译一密码，已知各人能破译的概率分别为 ， ，求：
(1)两人都成功破译的概率；
P249-练习2.设样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，且A={a, b}, B={a, c},
C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
判断事件是否相互独立的方法
方法
小结
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
巩固——概率性质的运用
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02.
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
P(A)=0.2
P(B)=0.3
[变式]P249-3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，
假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
P(AB)=P(A)P(B) =0.2×0.3=0.06.
－－
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(2)甲、乙两地都不降雨的概率; P(AB)=P(A)P(B) =0.8×0.7=0.56.
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，
两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________.
巩固：相互独立事件的概率计算
[变式2]P250-4.甲、乙两人独立地破译一密码，已知各人能破译的概率分别为 ， ，求：
(1)两人都成功破译的概率；
P249-练习2.设样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，且A={a, b}, B={a, c},
C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
判断事件是否相互独立的方法
方法
小结
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
巩固——概率性质的运用
事件的独立性 课件
(2)事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是相互独立事件．
• 『规律总结』 两个事件是否相互独立的判断
• (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否 相互影响．
• (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生 的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立 事件．
P(A)P(B) P( A )P( B )
• 典例 3 (西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间 歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受 欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手， 其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另 在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有 偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
• (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
• (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的 分布列．
[解析] (1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手． 观众甲选中 3 号歌手的概率为23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－35． 所以 P(A)＝23×(1－35)＝145． 因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为145．
[解析] 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8， P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以 P( A )＝0.2，P( B )＝0.3，P( C )＝0.1．
(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1 ＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(AB C )＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )
• 『规律总结』 两个事件是否相互独立的判断
• (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否 相互影响．
• (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生 的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立 事件．
P(A)P(B) P( A )P( B )
• 典例 3 (西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间 歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受 欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手， 其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另 在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有 偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
• (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
• (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的 分布列．
[解析] (1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手． 观众甲选中 3 号歌手的概率为23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－35． 所以 P(A)＝23×(1－35)＝145． 因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为145．
[解析] 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8， P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以 P( A )＝0.2，P( B )＝0.3，P( C )＝0.1．
(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1 ＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(AB C )＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )
事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
两个事件互斥与独立的概率计算
事件
概率
A，B互斥
A，B相互独立
A，B中至少有 一个发生
P（A∪B） P（A）+P（B） 1-P（ A）P（B ）
A，B都发生
P（AB）
0
A，B都不发生
P（A B ）
1-［P（A） +P（B）］
A，B恰有一个 发生
P（AB A∪
B）P（A）+P（B）
A，B中至多有 一个发生
则 P（ AB） ＝P （A） P（B）＝
4 5
7
×10
＝
14 25
.
变式2.端午节放假，甲回老家过节的概率为 1 ，乙、丙回老家过节的
3
概率分别为
1 4
，
1 5
.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间
内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A.
59 60
B.
1 2
3
C. 5
D.
1 60
题型三、事件的独立性与互斥性的关系
频率
概率
本身是随机的观测值（试验值），在试验前 无法确定，多数会随着试验的改变而变化， 区别 做同样次数的重复试验，得到的结果也会不 同
本身是固定的理论值， 与试验次数无关，只与 事件自身的属性有关
频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理 联系
论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率
二、相互独立事件的应用
1.事件A与事件B相互独立，就是事件A是否发生不影响事件B发
生的概率；事件B是否发生也不影响事件A发生的概率.
2.相互独立的定义，既可用来判断两个事件是否独立，也可在
相互独立时求积事件的概率.
7.4事件的独立性(课件)-高一数学同步精品课件(北师大版必修第一册)
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 元的概率．
先分别求出甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的 概率．(1)租车费用相同可分为租车费用都为 0 元、2 元、4 元三种 情况．(2)费用之和为 4 元的情况可分为甲、乙的租车费分别为①0 元、4 元，②2 元、2 元，③4 元、0 元．
2．打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，
若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )
A.1245
B.1225
C.34
D.35
解析：设“甲命中目标”为事件 A，“乙命中目标”为事件 B，
根据题意知，P(A)＝180＝45，P(B)＝170，且 A 与 B 相互独立，故他
解析：(2)甲队以 4:1 获胜，则需比赛 5 场，且第 5 场一定是甲胜， 其 概 率 P ＝ 2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6 ＋ 2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.18. 答案：(2)0.18
题型三 互斥事件、对立事件、独立事件的综合 例 2 甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是 0.6，
解析：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率
分别为 1－14－12＝14，1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费用都为 0 元、2 元、4 元三种情
况．租车费用都为 0 元的概率为 P1＝14×12＝18，租车费用都为 2 元 的概率为 P2＝12×14＝18，租车费用都为 4 元的概率为 P3＝14×14＝116.
跟踪训练 1 (1)2021 年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1， 3
乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定 3 人的行动相互之间没有 影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( )
先分别求出甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的 概率．(1)租车费用相同可分为租车费用都为 0 元、2 元、4 元三种 情况．(2)费用之和为 4 元的情况可分为甲、乙的租车费分别为①0 元、4 元，②2 元、2 元，③4 元、0 元．
2．打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，
若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )
A.1245
B.1225
C.34
D.35
解析：设“甲命中目标”为事件 A，“乙命中目标”为事件 B，
根据题意知，P(A)＝180＝45，P(B)＝170，且 A 与 B 相互独立，故他
解析：(2)甲队以 4:1 获胜，则需比赛 5 场，且第 5 场一定是甲胜， 其 概 率 P ＝ 2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6 ＋ 2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.18. 答案：(2)0.18
题型三 互斥事件、对立事件、独立事件的综合 例 2 甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是 0.6，
解析：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率
分别为 1－14－12＝14，1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费用都为 0 元、2 元、4 元三种情
况．租车费用都为 0 元的概率为 P1＝14×12＝18，租车费用都为 2 元 的概率为 P2＝12×14＝18，租车费用都为 4 元的概率为 P3＝14×14＝116.
跟踪训练 1 (1)2021 年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1， 3
乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定 3 人的行动相互之间没有 影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( )
事件的独立性-高一数学上学期课件(北师大版2019必修第一册)
2
6
3
6
即 = ，因此，事件A与B相互独立．
当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
答案：B.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：独立事件的判断
方法归纳
判断两个事件是否相互独立的方法，
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，
列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立
事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
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一，互相独立事件
1，互相独立事件
思考探究：互斥事件、对立事件、独立事件的综合
思考4：甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是0.6，且两人
的投中结果相互独立．求：
(1)两人都投中的概率；
(2)恰有1人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
解：(1)设事件A表示“两人都投中”，则 = 0.6 × 0.6 = 0.36；
有放回摸球”呢？
解：依题意得，
2
1
进行不放回摸球，若事件1 发生，则 2 = = ，
4
2
3
，
4
若事件1 不发生，则 2 =
故事件1 与事件2 不互相独立；
3
进行有放回摸球，不管事件1 是否发生，都有 2 = ，
5
故此时事件1 与事件2 互相独立.
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6
3
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即 = ，因此，事件A与B相互独立．
当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
答案：B.
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思考探究：独立事件的判断
方法归纳
判断两个事件是否相互独立的方法，
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，
列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立
事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
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一，互相独立事件
1，互相独立事件
思考探究：互斥事件、对立事件、独立事件的综合
思考4：甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是0.6，且两人
的投中结果相互独立．求：
(1)两人都投中的概率；
(2)恰有1人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
解：(1)设事件A表示“两人都投中”，则 = 0.6 × 0.6 = 0.36；
有放回摸球”呢？
解：依题意得，
2
1
进行不放回摸球，若事件1 发生，则 2 = = ，
4
2
3
，
4
若事件1 不发生，则 2 =
故事件1 与事件2 不互相独立；
3
进行有放回摸球，不管事件1 是否发生，都有 2 = ，
5
故此时事件1 与事件2 互相独立.
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成立，则称事件A1，A2，…，An两两独立. 这是不是n个事件之间的任意独立性?
例如：
掷骰子试验
电子科技大学
随机事件的独立性
19.4.27 2019/4/27
定义 设A1，A2，…，An 为试验E的事件， 若对任意的 s（1 < s ≤ n）及1 ≤ i1 < i2 < … < is ≤ n，有
P ( A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) i i i i i 1i 2 s 1 2 s
答案 因 A 和B 相互独立.
P ( B A )P ( B A ), 试问 A ,B 是否相互独
P ( AB ) P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P ( A ) P ( A )
P ( AB ) P ( A ) P ( A B ) P ( A )
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
成立，则称事件A1，A2，…，An 相互独立. 注 n 个事件相互独立是比两两独立更强的 结论!
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随机事件的独立性
19.4.27 2019/4/27
定理: 若个事件A1，A2，…，An相互独立， 则将A1，A2，…，An中的任意多个事件换成 它们的对立事件后，所得到的n个事件仍然相 互独立. 事件的独立性有着广泛的用途. 例如 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮” “有志者事竟成” 系统的可靠性设计
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随机事件的独立性
19.4.27 2019/4/27
考虑A1，A2，…，An至少有一个发生 的概率，其中0 < P(Ai) = pi < 1， 若(1) A1，A2，…，An 互不相容; (2) A1，A2，…，An相互独立. 解: (1) 若A1，A2，…，An 互不相容，由概率 的有限可加性可得 p= P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An) = p1+p2+ …+pn
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随机事件的独立性
19.4.27 2019/4/27
(2) 若A1，A2，…，An 相互独立，由对偶原理 可得 p P ( A A A ) 1 2 n 1 P ( A A A ) 1 2 n
1 P ( A ) P ( A ) P ( A ) 1 2 n
1 P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B )
[ 1 P ( A )][ 1 P ( B )]
P (A ) P ( B )
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随机事件的独立性
19.4.27 2019/4/27
设 A ,B 是两个随机事件 ,且 0 P ( A ) 1 ,
随机事件的独立性
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§1.5 事件的独立性
一 、两个事件的独立性 在一般情况下(如P16 例1.3.1) P (A|B) ≠ P ( A ) 但若 P (A|B) = P ( A ) （ *）
成立.即事件A发生的可能性大小不受事件B 的 影响，称A与B是相互独立的.
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特别，当 P(Ai)= p, i=1, 2, …，n ,有
P(A1∪A2∪…∪An })= 1 – ( 1 － p)n
n n解释.
P { A A A } lim [1 (1 p ) ] 1 1 2 n
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A , B;
A, B ;
A, B .
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随机事件的独立性
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证明 仅对第三种情形证明 因为 P (AB) = P ( A ) P ( B ) 所以 P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 [ P ( A ) P ( B ) P ( AB )]
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P ( AB )[ 1 P ( A )] [ P ( B ) P ( AB )] P ( A )
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二、n 个事件的独立性
定义 设A1，A2，…，An 为试验E的事件， 若对若对一切1 ≤ i1 < i2 ≤ n，有
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) i i i 1 i 2 1 2
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定义 设A，B是试验E的两个事件,若满足 P (AB) = P ( A ) P ( B ) （**）
称事件A与B相互独立.
注 上述两个公式是等价的.(*)式常用来判 断事件的独立性，而(**)式常用来计算概率. 定理 若事件A 和 B 相互独立，则下列三对 事件也相互独立
例如：
掷骰子试验
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定义 设A1，A2，…，An 为试验E的事件， 若对任意的 s（1 < s ≤ n）及1 ≤ i1 < i2 < … < is ≤ n，有
P ( A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) i i i i i 1i 2 s 1 2 s
答案 因 A 和B 相互独立.
P ( B A )P ( B A ), 试问 A ,B 是否相互独
P ( AB ) P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P ( A ) P ( A )
P ( AB ) P ( A ) P ( A B ) P ( A )
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
成立，则称事件A1，A2，…，An 相互独立. 注 n 个事件相互独立是比两两独立更强的 结论!
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定理: 若个事件A1，A2，…，An相互独立， 则将A1，A2，…，An中的任意多个事件换成 它们的对立事件后，所得到的n个事件仍然相 互独立. 事件的独立性有着广泛的用途. 例如 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮” “有志者事竟成” 系统的可靠性设计
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考虑A1，A2，…，An至少有一个发生 的概率，其中0 < P(Ai) = pi < 1， 若(1) A1，A2，…，An 互不相容; (2) A1，A2，…，An相互独立. 解: (1) 若A1，A2，…，An 互不相容，由概率 的有限可加性可得 p= P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An) = p1+p2+ …+pn
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(2) 若A1，A2，…，An 相互独立，由对偶原理 可得 p P ( A A A ) 1 2 n 1 P ( A A A ) 1 2 n
1 P ( A ) P ( A ) P ( A ) 1 2 n
1 P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B )
[ 1 P ( A )][ 1 P ( B )]
P (A ) P ( B )
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设 A ,B 是两个随机事件 ,且 0 P ( A ) 1 ,
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§1.5 事件的独立性
一 、两个事件的独立性 在一般情况下(如P16 例1.3.1) P (A|B) ≠ P ( A ) 但若 P (A|B) = P ( A ) （ *）
成立.即事件A发生的可能性大小不受事件B 的 影响，称A与B是相互独立的.
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特别，当 P(Ai)= p, i=1, 2, …，n ,有
P(A1∪A2∪…∪An })= 1 – ( 1 － p)n
n n解释.
P { A A A } lim [1 (1 p ) ] 1 1 2 n
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A , B;
A, B ;
A, B .
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证明 仅对第三种情形证明 因为 P (AB) = P ( A ) P ( B ) 所以 P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 [ P ( A ) P ( B ) P ( AB )]
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P ( AB )[ 1 P ( A )] [ P ( B ) P ( AB )] P ( A )
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二、n 个事件的独立性
定义 设A1，A2，…，An 为试验E的事件， 若对若对一切1 ≤ i1 < i2 ≤ n，有
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) i i i 1 i 2 1 2
随机事件的独立性
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定义 设A，B是试验E的两个事件,若满足 P (AB) = P ( A ) P ( B ) （**）
称事件A与B相互独立.
注 上述两个公式是等价的.(*)式常用来判 断事件的独立性，而(**)式常用来计算概率. 定理 若事件A 和 B 相互独立，则下列三对 事件也相互独立