数学物理方法总复习
第一章 复变函数
复数的三种表示：
代数表示，三角表示与指数表示
几个初等函数的定义式：
()1sin 2iz iz
z e e i
-=- ()1cos 2
iz iz
z e e -=+
()12
z z
shz e e -=- ()12
z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz
z z e
z z ==+
§1.3导数
u v
x y v u x
y ???=????????=-
????
Cauchy-Riemann 方程
§1.4 解析函数
1．定义
若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？
解：222)(y x z z f +==，2
2y x u +=，0=v ，
x x u 2=??，y y u 2=??，0=??x
v ，0=??y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析?
?可导
某一区域B，函数解析?可导
2．解析函数的性质
（ⅰ）几何性质
（ⅱ）调和性
（ⅲ）共轭性
例已知32
3
u x xy
=-求v看书上例题
§2.1 复变函数的积分
∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同.
§2.2 柯西定理的应用
§2.3 不定积分
§2.4 柯西公式
均属于考试内容！
第三章幂级数展开
,)()()(2
020100
0Λ+-+-+=-∑∞
=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）
（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）
（3.2.6）
§3.3 泰勒级数的展开
2. 其他展开法
可用任何方法展开，只要0
()k z z -项相同，那么展开结果
一定相同（根据Taylor 展开的唯一性） 如利用
0111!k
k k z k t t t z e z k ∞
==∞
=?=
∑∑
∞
<+-=∑∞
=+z k z
z k k k ,
)!12()1(sin 0
1
2;
∞<-=∑∞
=z k z
z k k k ,
)!2()1(cos 0
2 等等！
例6 将21
1z -在00z =点邻域展开（1z <）
解：利用0
11k
k t t
∞
==-∑有：
24222
11(1)
1k k
k z z z z z z ∞
==+++++=<-∑K K 例7
1
1z -在02
i z =点的邻域展开 解：0
1
1111
1(1)()12222
112
12(
)1122()2(1)
22(1)2
k
k k
k k i i i i z z z i i z i i i z i i z i ∞=∞
+===?
------
--
-
=--
-=-<--∑∑
§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开 （1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；
3展开方法的唯一性
间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数2
1
()(2)(3)f z z z =
--在
021
z <-<内展开为
Laurent 级数
解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)n
n n c z ∞
=-∞-∑
01113(2)11(2)
(2)(21)
n
n z z z z z +∞
===------=---<∑
而2
0111(2)(3)
312(2)(2)(21)
n n n z z z z n z z ∞=-''????=-=- ???--????=+-++-+-<∑K K
得到：