选修 2

)
D. 101 100
【解析】选A.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
a1 4d 5, 因为a5=5,S5=15,所以 5 5 1 5a d 15, 1 2 a1 1, 所以a =a +(n-1)d=n. 所以 n 1 d 1, 所以 1 1 1 1 , a n a n 1 n n 1 n n 1 所以数列 { 1 } 的前100项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 100 . 2 2 3 100 101 101 101 a n a n 1
(4)倒序相加法求和: 首末两端等“距离” 的两项的和等于首末两项 如果一个数列{an}与___________________ 之和,可把正着写与倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和, 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如等差数列的前n项 和公式即是用此法推导的. (5)分组求和法求和: 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数 列组成,则求和时可用分组转化求和法,分别求和而后相加减.例如已 知an=2n+(2n-1),求Sn.
(2)(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=- 4 ,
3
则{an}的前10项和等于(
)
1 (1-310) 9
A.-6(1-3-10)
C.3(1-3-10)
B.
D.3(1+3-10)
【解析】选C.由3an+1+an=0，得
3
故数列{an}是公比q=- 1 的等比数列.
2 2 2 4
所以an= 4 ( 1 ) n 1 ( 1 ) n 3 , 所以an·an+1= ( 1 ) 2n 5 8 ( 1 ) n 1 , 即数列{anan+1}是以8为首项，以 1 为公比的等比数列. 所以a1a2+a2a3+„+anan+1
4 1 8(1 n ) 32 4 1 4 n . 1 3 1 4 2 4
b1 1 q n 1 q
从而{bn}的前n项和Tn=

2 n 4 1 . 3
【规律方法】几类可以使用公式求和的数列
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成
的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为
(3)(必修5P61T5改编)一个球从100m高处自由落下,每次着地后又 跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是( A.100+200×(1-2-9) C.200(1-2-9) B.100+100(1-2-9) D.100(1-2-9) )
【解析】选A.第10次着地时,经过的路程为100+2(50+25+„+100×2-9) =100+2×100×(2-1+2-2+„+2-9)
1 9 2 (1 2 ) =100+200(1-2-9). =100+200× 1 21
3.真题小试 感悟考题
试一试
(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等 比数列,则{an}的前n项和Sn=( A.n(n+1) C. n(n 1)
2
)
(6)并项求和法求和:
把数列中的若干项结合到一起,形成一个新的可求和的数列,此时,
正、负相间 出现或呈现_______. 周期性 形如an=(-1)nf(n) 数列中的项可能___________ 类型,可采用两项合并求解.例如:Sn=1002-992+982-972+„+ 22-12=(1002-992)+(982-972)+„+(22-12)=(100+99)+(98+97)+„ +(2+1)=5050.
又q≠0,从而q=- 1 .
2
(2)由已知可得a1-a1 ( 1 ) 2=3,
2
故a1=4,
1 4[1 ( ) n ] 8 1 2 从而 Sn [1 ( ) n ]. 1 3 2 1 ( ) 2
【加固训练】数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,满足关系式3tSn(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,„). (1)求证:数列{an}为等比数列. (2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f（ 1 ）
数的立方和
1 2 n [
3.必用技法
核心总结
看一看
(1)常用方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组
求和法、并项求和法、迭代法、累加法及累乘法等.
(2)数学思想:函数与方程、转化与化归、特殊与一般、分类讨论.
(3)记忆口诀
数列求和比较难,错位相减巧转换,
取长补短高斯法,裂项求和公式算.
(2)(必修5 P61T4(3)改编)Sn= 1 1 3 nn 等于(
2 2 8 2
)
2n n 1 2n 1 n 2 2n n 1 2n 1 n 2 A. B. C. D. n n n 2 2 2 2n
【解析】选B.方法一：Sn= 1 22 33 nn知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)公式法求和: 使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差等比 数列的求和方法.
(2)裂项相消法求和:
把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项
的求和方法.
(3)错位相减法求和:
(i)适用的数列:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公 比为q≠1的等比数列. (ii)方法:设Sn=a1b1+a2b2+„+anbn(*), 则qSn=a1b2+a2b3+„+an-1bn+anbn+1(**), (*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+„+bn)-anbn+1,就转化为根据公式 可求的和. 例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
a n 1 1 , an 3
1 4[1 ( )10 ] 3 又a2=- 4 ，可得a1=4.所以S10= 1 3 1 ( ) 3
=3(1-3-10).
1 1 ) 8 16 1 n2 n 1 n2 n A. n B. n 2 2 2 2 1 n2 n 1 n2 n C. n 1 D. n 1 2 2 2 2 【解析】选C.由题意，得 a n 1 , 所以Sn=(1+2+3+„+n)+ n n 2 1 1 (1 ) n n n 1 2 1 1 1 n2 n 1 2 ( n ) 1 n . 故选C. 1 2 4 2 2 2 2 1 2


(2)①因为{an}是首项为1,公差为2的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
n a a n 1 2n 1 故Sn=1+3+„+(2n-1)= 1 n n2. 2 2
②由①得a4=7,S4=16. 因为q2-(a4+1)q+S4=0. 即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b1=2,{bn}是公比为4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.
(3)(2015·兰州模拟)数列 1 ， „的前n项和为( 2 ， 3 ， 4 ，
1 2
1 4
(4)(2015·昆明模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15, 则数列 {
A. 100 101
1 } 的前100项和为( a n a n 1
B. 99 101 C. 99 100
【解题提示】(1)先利用等比数列的通项公式求出an,再证明数列 {anan+1}成等比数列,最后利用等比数列的前n项和公式求解. (2)直接根据等差、等比数列的性质求解通项公式及其前 n项和.
【规范解答】(1)选C.设数列{an}的公比为q, 因为a2=2,a5=a2·q3= 1 , 所以q= 1 ,所以a1=4,
奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解.
【变式训练】(2015·南昌模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知 S1,S3,S2成等差数列. (1)求{an}的公比q. (2)若a1-a3=3,求Sn.
【解析】(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).
由于a1≠0,故2q2+q=0,
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n项和时使用公式
n a a Sn= 1 n 较为合理.( 2
)
(2)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=
a1 a n 1 .( 1 q
)
(3)当n≥2时,
1 1 1 ( . 2 n 1 n 1 n 1
2.教材改编
链接教材
练一练
1 , 则S 5等 n n 1
(1)(必修5P47T4改编)数列{an}的前n项和为Sn,若an=
于
A.1
(
)
B. 5 6 C. 1 6 D.
1 30 1 1 所以S =a +a +„+a = 【解析】选B.因为 a 1 5 1 2 5 , n n n 1 n n 1 1 1 1 1 5 1 . 2 2 3 6 6