专题八 立体图形的表面积与体积
立体几何的表面积公式和体积公式
立体几何的表面积公式和体积公式一、棱柱。
1. 直棱柱。
- 表面积公式：S = 2S_底+S_侧，其中S_底为底面多边形的面积，S_侧=Ch （C为底面多边形的周长，h为直棱柱的高）。
- 体积公式：V = S_底h。
2. 斜棱柱。
- 侧面积公式：S_侧=C'l（C'为直截面（垂直于侧棱的截面）的周长，l为侧棱长）。
- 体积公式：V = S_直截面l。
二、棱锥。
1. 棱锥。
- 表面积公式：S = S_底+S_侧，其中S_侧=∑_i = 1^n(1)/(2)l_ih_i（n为侧面三角形的个数，l_i为第i个侧面三角形的底边长，h_i为第i个侧面三角形的高）。
- 体积公式：V=(1)/(3)S_底h（h为棱锥的高）。
三、棱台。
1. 棱台。
- 表面积公式：S = S_上底+S_下底+S_侧，其中S_侧=∑_i =1^n(1)/(2)(l_i+l_i')h_i（n为侧面梯形的个数，l_i为棱台上底面第i条边的长，l_i'为棱台下底面第i条边的长，h_i为第i个侧面梯形的高）。
- 体积公式：V=(1)/(3)h(S_上底+S_下底+√(S_上底)S_{下底})（h为棱台的高）。
四、圆柱。
1. 圆柱。
- 表面积公式：S = 2π r^2+2π rh（r为底面半径，h为圆柱的高）。
- 体积公式：V=π r^2h。
五、圆锥。
1. 圆锥。
- 表面积公式：S=π r^2+π rl（r为底面半径，l为圆锥的母线长）。
- 体积公式：V=(1)/(3)π r^2h（h为圆锥的高，且l=√(r^2) + h^{2}）。
六、圆台。
1. 圆台。
- 表面积公式：S=π r^2+π R^2+π l(r + R)（r为上底面半径，R为下底面半径，l为圆台的母线长）。
- 体积公式：V=(1)/(3)π h(r^2+R^2+rR)（h为圆台的高）。
七、球。
1. 球。
- 表面积公式：S = 4π R^2（R为球的半径）。
立体图形的表面积和体积课件知识讲解
三、解决问题
1、一个圆柱形水池，半径是１米，深2米。 ①挖成这个水池，共需挖土多少立方米？ ②在池内的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的 面积是多少平方米？
2、一个圆柱底面积6.28平方分米，高3分米，与 它等底等高的圆锥的体积是多少？（口头列式）
3、把两个棱长5厘米的正方体木块粘合成一个长方 体,这个长方体的表面积和体积各是多少？
立体图形的表面积和体积课件
二、复习表面积公式
a
h
hb a
aa
r
长方体表面积 = (ab+ah+bh) ×2
正方体表面积 = 6a2
圆 柱 表 面 积 = 2лrh+ 2лr2
圆柱的表面积=侧面积+底面积×2
三、复习立体图形的体积公式
h ab
V= abh V=
a aa
hh
s
s
a3
V= sh
(4）圆柱的表面积等于（ 侧面积 ）+（ 底面积） ×2 （5)等底等高的圆柱体的体积是圆锥的( 3倍 )。
1、一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积就 扩大8倍。（ ） 2、一个圆柱的侧面积展开是一个正方形，那么这个圆柱 的高等于它的底面周长。（ ） 3、圆柱的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，圆柱的体积 不变。（ ） 4、圆柱的体积是圆锥的3倍。（ ）
4、一根圆柱形木料，底面积是157平方 厘米，如果把它平均截成2段，表面积 比原来增加了多少平方厘米？
想：锯成两段 ，需要锯一次，其实就是增加了两个底面积。
增加了的面积：157 ×2=314（平方厘米）
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立体图形 意义 a
h
b
表面积
一个立体图形的所有的面的面积总和
体积
物体所占空间的大小
S=（ab+ah+bh) × 2
V= abh V=a3 V= sh V= 3 sh
1Leabharlann a a a r hS=6a2
S=2兀rh+2兀r2
V = sh
s
h
计量单位
cm2 dm2 m2
…
Cm3(mL)dm3(L)m3 …
一、判断。（近年真题再现）
9、
如图，是塑料蔬菜大棚，长15米，横截面是一个 直径2米的半圆。（2017年期末试题） （1）大棚的种植面积是多少平方米？ （2）覆盖在大棚上薄膜面积有多少平方米？ （3）大棚内空间有多大？
10、一堆圆锥形沙堆，底面周长是25.12 米，高15分米。每立方米的沙重1.5吨，这
堆沙重多少千克？（2012年期末试题）
小学数学总复习之：
倒计时开始
整理要求
• 1.小组可选择自己喜欢的方式进行整理。 • 2.整理 的表面积计算公式 并说说 它们表面积公式推导过程。 • 3.整理 体积公式及 的推导过程。 • 4.小组在展示整理的结果时要简洁明了，条理清晰。
整理要求
• 1.小组可选择自己喜欢的方式进行整理。 • 2.整理 的表面积计算公式 并说说 它们表面积公式推导过程。 • 3.整理 体积公式及 的推导过程。 • 4.小组在展示整理的结果时要简洁明了，条理清晰。
1、长方体、正方体、圆柱的体积都可以用V=sh来计算。 2、三个圆锥体积的和正好等于一个圆锥的体积。
（ √） （×）
1 3、把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的 （2013年 3
立体几何表面积、体积
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ汇报人：
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立体几何的体积
立体几何的表面积
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立体几何的表面积
圆柱体的表面积
圆柱体的表面积包括侧面积和底面积 侧面积的计算公式为：2πrh 底面积的计算公式为：πr^2 圆柱体的表面积计算公式为：2πrh+2πr^2
球体的体积
公式：V=4/3πr^3 推导：通过微积分方法推导得出 应用：计算球体的体积 注意事项：r为球体的半径单位为米
感谢观看
汇报人：
圆锥体的体积
圆锥体的体积公式：V=1/3*π*r^2*h 其中r为圆锥体的底面半径h为圆锥体的高 圆锥体的体积可以通过公式计算得出 圆锥体的体积也可以使用几何方法进行计算例如通过切割、拼接等方法
长方体的体积
长方体的体积公式：V=bc 、b、c分别表示长方体的长、宽、高 长方体的体积可以通过测量长、宽、高得到 长方体的体积也可以通过计算得到例如：V=2b+2bc+2c
圆锥体的表面积
圆锥体的表面积包括侧面 积和底面积
侧面积的计算公式为： πrl
底面积的计算公式为： πr^2
其中r为圆锥体的半径l为 圆锥体的高度
长方体的表面积
长方体的表面积 公式： S=2(b+bc+c)
长方体的表面积 计算方法：将长 方体的六个面分 别计算然后相加
长方体的表面积 应用：计算长方 体的包装面积、 表面涂漆面积等
长方体的表面积 与体积的关系： 表面积越大体积 越大
球体的表面积
球体的表面积公 式：4πr^2
立体图形表面积和体积总复习课件
﹙绕这几方面讨论：
底面
侧面
高
立体图形表面积和体积总复习
3
名称 长方体 正方体
圆柱
圆锥
图形
特征
有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两
个面是正方形，相对的面完全相同。
h 有12条棱，相对的棱长度相等。
a
b 有8个顶点。
a a
a
h
o r
h
o r
6个面是完全相同的正方形。 有12条棱的长度都相等。 有8 个顶点。
1 （ ×）
3
5、圆3柱的体积比和它等底等高的圆锥的体积大 三分之二
()
立体图形表面积和体积总复习
16
解决问题
1、做一个圆柱形的油箱，底面半径3分米，高4 分米。至少需要铁皮多少平方分米？
2、做一个无盖圆柱形的水桶，底面直径6分米， 高4分米。至少需要铁皮多少平方分米？
3、做一节圆柱形的通风管，底面周长18.84分米， 长4分米。至少需要铁皮多少平方分米？
9
正方体是特殊的长方体，
正方体的长和宽和高都
相等。
棱长 ɑ
棱长 ɑ 棱长ɑ
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=ɑ ×ɑ×ɑ
= ɑ3
立体图形表面积和体积总复习
10
怎样求圆柱的体积呢？
高
底面积
立体图形表面积和体积总复习
11
长方体的体积 = 底面积 × 高
圆柱的体积 = 底面积 × 高
立体图形表面积和体积总复习
底面是完全相同的两个圆。 侧面是个曲面，沿高展开一般是个长 方形。（当底面周长和高相等时是正方形。） 有无数条高，它们的长度都相等。
底面是个圆形。 侧面是个曲面，展开是个扇形。 一个顶点，一条高。
立体图形的表面积和体积 课件 小学数学课件
2、判断题
（1）长方体和正方体都有六个面，而且六个面都相等。 … ………………………………………… （ ） （2）圆锥体的高有一条；圆柱体的高有两条。 ×
推导体积计算公式
转化
推导体积计算公式
h h a h b s s a a a 1 3 V= abh V= a V= sh V= 3 sh
V = sh
正方体、长方体和圆柱有什 么相似的地方呢？
a a a
V = a3
h a b h h
V = abh
s
V = sh V=
s
1
V = sh
3
sh
练一练1：
等。 ……………………………………………… （ × ）
3、填空
（1）做一个圆柱形铁皮罐头盒，求需要多 表面积 ），罐头盒周围 少铁皮，是求它的（ 贴商标纸， 求商标纸的面积是求它的 （ 侧面积 ） 。 （2）做一只圆柱形通风管要用多少铁皮， 是求它的（ 侧面积）。 （3）下雨时,给打谷场上的圆锥形谷堆盖上 塑料防雨布,所需防雨布的最小面积是指圆 锥的(侧面积 )。
什么是物体的体积呢？什么是物体 的容积呢？体积单位有哪些？相邻 单位间的进率是多少？
• 体积：物体所占空间的大小。 • 容积：容器所能容纳的物体的大小。 • 立方米1000 立方分米 立方厘米
100积怎样计算？体积的 推导过程是怎样的？它们之间有何联系？
实验、转化
立体图形的表面积和体积
立体图形的表面积和体积表面积：长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高V=abh长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h高=体积÷长÷宽h= V÷a÷b正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升=1000毫升1平方米=100平方分米=10000平方厘米1平方千米=100公顷=1000000平方米练习题：1、小敏房间的地面是长方形。
长5米、宽3米，铺设了2厘米厚的木地板，至少需要木材多少立方米？2、体育场用37.5立方米的煤渣铺在一条长100米、宽7.5米的直跑道上。
煤渣可以铺多厚？3、一个长方体的容器，底面积是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是24立方分米的铁块。
这时的水面高多少？4、一个长方体形状的儿童游泳池，长40米、宽14米，深1.2米。
现在要在四壁和池底贴上面积为16平方分米的正方形瓷砖，需要多少块？5、把64升水倒入一个长8分米、宽2.5分米、高4分米的长方体水箱内，这时水面距箱口多少分米。
立体形的表面积与体积知识点总结
立体形的表面积与体积知识点总结在几何学中，我们研究的不仅仅是平面图形，还包括立体形状。
对于立体形状，我们需要了解表面积与体积的概念和计算方法。
本文将对立体形的表面积与体积的知识点进行总结。
一、立体形的表面积1. 什么是表面积？立体形的表面积是指该立体形所覆盖的总面积。
对于正多面体而言，表面积由各个面的面积之和组成。
2. 立体形的表面积计算方法（1）长方体的表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)（2）正方体的表面积 = 6×(边长×边长)（3）圆柱体的表面积 = 2×圆底面积 + 圆周长×高（4）圆锥体的表面积 = 圆底面积 + 直角三角形的面积（底边为圆周长，斜边为斜高）（5）球体的表面积= 4×π×半径×半径3. 表面积计算的注意事项在计算立体形的表面积时，需要注意单位的一致性。
对于长方体和正方体等边长单位相同的立体形，可以直接进行计算。
对于圆柱体、圆锥体以及球体等弧长、半径的单位应相一致，若不同需要进行转换。
二、立体形的体积1. 什么是体积？立体形的体积是指该立体形所占据的空间大小。
对于规则立体形而言，体积由底面积乘以高度得到。
2. 立体形的体积计算方法（1）长方体的体积 = 长×宽×高（2）正方体的体积 = 边长×边长×边长（3）圆柱体的体积= π×半径×半径×高（4）圆锥体的体积= 1/3×π×半径×半径×高（5）球体的体积= 4/3×π×半径×半径×半径3. 体积计算的注意事项计算立体形的体积时，同样需要注意单位的一致性。
对于立方体等边长单位相同的立体形，可以直接进行计算。
对于圆柱体、圆锥体以及球体等弧长、半径的单位应相一致，若不同需要进行转换。
高中立体几何表面积体积公式
高中立体几何表面积体积公式
高中立体几何涉及到多种多面体的表面积和体积计算，以下是一些常见的立体图形的面积和体积计算公式:
1. 正方体：表面积 S = 6a^2，体积 V = a^3。
2. 长方体：表面积 S = (ab + bc + cd) × 2，体积 V = ab ×bc × cd。
3. 圆柱：表面积 S = 2πrl，体积 V = πr^2h。
其中，r 是圆柱的底面半径，l 是圆柱的底面周长，h 是圆柱的高。
4. 圆锥：表面积 S = 2πrl，体积 V = πr^2h/3。
其中，r 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的底面周长，h 是圆锥的高。
5. 球：表面积 S = 4πr^2，体积 V = πr^3。
其中，r 是球的半径。
6. 棱锥：表面积 S = (1/2) ×π× (rs + th)^2，体积 V = (1/3) ×π× (rs + th)^3。
其中，rs 是棱锥的底面半径，th 是棱锥的高。
7. 棱柱：表面积 S = 2 ×π× (rs + th),体积 V = π×(rs + th)^2。
其中，rs 是棱柱的底面半径，th 是棱柱的高。
这些公式是高中立体几何中非常重要的基础知识，对于解决立体几何问题有着重要的作用。
立体图形的表面积和体积【优质PPT】
V 1 C )2 h
3 2
列式计算， 单位:厘米
1 3 22
3
3
22Βιβλιοθήκη 表 (3×2+3 面 ×1+2×
积 1)×2
2×2×6
2×3.14×2 ×3+3.14×
22×2
体 积
3×2×1
2 ×2 ×2
3.14×22×3
1
3
×
3.14×
22 ×3
测测你的判断力
执教： 白马小学秦建
认识我吗？
说说左图中有那些 你知道的立体图形！
长方体 正方体 圆柱 圆锥 球
立体图形的表面积 和体积
教学目标
1、加深理解长方体、正方体和圆柱 体表面积的计算方法，能根据已知条件 计算这些立体图形的表面积。
2、加深理解和掌握已经学过的体积 计算公式，进一步了解体积计算公式的 推导过程以及相互之间的联系，能正确 地进行体积计算。
（1）体积单位比面积单位大。（ X ） （2）把一个圆柱削成一个最大的圆锥 体，削去部分的体积与圆锥的体积的比 是2：1。 （√ ） （3）把一个长方体铁块熔铸成一个圆 柱体，形状虽然变了，但它们所占空间 的大小没有变。（ √ ） （4）一个圆柱的底面直径是4厘米，高 是4 厘米，将这个圆柱的侧面展开后一 定是一个正方形。 （ ×）
不 硬 套 ，
想 生 活 ，
表 面 积 ，
圆 公 式 ，
加 两 底 ，
周 乘 高 ，
圆 柱 体 ，
正 方 体 ，
特 殊 下 ，
长 方 体 ，
等 积 面 ，
表 面 积 公
222 42 6
是 良
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立体图形的表面积与体积
姓名： 学校：
一、经典例题讲解
1、如图是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的表面积？
2、将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体.这个物体的表
面积是多少平方米?
3、（2013实验中学入学卷）一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米。
那么，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米？
4、如下图，在一个底面积为324cm 2的正方体铸铁中，以相对换两面为底，挖出一个最大的圆柱，
然后在剩下的铸铁表面涂上漆。
求涂油漆的面积是多少？
5、一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加75平方厘米，求原圆柱体的表面积？
6、在一个长方体水箱中,如果把一段底面半径为5cm 的圆柱形钢材淹没在水箱中,
则水面高度就上升
7cm(无溢出情况),如果把钢材露出水面15cm,长方体水箱中的水面就下降3cm.求这段圆柱形钢材的体积？
二、课堂小测（10分钟）
1、如果一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的高是圆柱底面半径的（ ）倍。
2、一个圆柱和一个圆锥，底面半径比为2:3，体积比为3:5，他们的高之比是（）。
3、把一个正方体削成一个体积最大的圆柱体，如果圆柱的侧面积是314平方厘米。
正方体的表面积是（）。
4、一个圆柱的侧面积为100.48cm2，高恰好与底面半径相等。
求这个圆柱的表面积与体积？
5、用直径为20cm的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30cm、20cm、5cm的长方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1cm）
三、课外作业
1、一个圆柱体的高是5厘米，若高增加3厘米，圆柱的表面积就增加37.68，原来圆柱体的体积是（）立方厘米。
2、一根长2米的圆木，截成4段同样大小的圆柱后，表面积增加48平方厘米，这根圆木原来的体积是( )。
3、一个长方形硬纸板长4厘米，宽2厘米，以纸板的一边为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大是（）。
4、将一个底面周长为12.56厘米的圆柱体沿底面半径切成若干等份，拼成一个近似长方体，表面积比原来增加了20平方厘米，原来圆柱体的体积是（）多少立方厘米。
5、（实验中学考题）求下面组合图形的体积。
（单位：厘米）
6、如图在一个圆柱中挖了一个边长为2cm的正方形孔。
现在这个物体的表面积是多少平方厘
米？。