弧长和扇形面积导学案2
九年级数学上册 24.4 弧长和扇形的面积 精品导学案2 新人教版
弧长和扇形的面积课题： 24.4 弧长和扇形的面积（2）序号:学习目标：1、知识与技能（1）了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．（2）通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．2、过程与方法复习弧长和扇形面积的计算公式，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识3、情感.态度与价值观：学生在应用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。
学习重点：利用弧长和扇形面积公式计算圆锥的侧面展开图学习难点：利用弧长和扇形面积公式计算圆锥的侧面展开图导学过程一.课前预习：阅读课本P112---114页的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
. 二.课堂导学：1．情境导入.阅读《导学案》102页的问题导学2. 出示任务自主学习阅读112-114页内容解决下列问题（1）什么是圆锥的母线？（2）圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面积可表示为，圆锥的全面积为。
（3）圆柱的侧面展开图是什么图形？若圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积可表示为，全面积可表示为。
3. 合作探究《导学》难点探究和展题设计三、展示与反馈:检查预习情况，解决学生疑惑四、课堂小结:1. 什么是圆锥的母线？2. 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？五、达标检测：1.教材114页3练习1-2题2. 完成102页《导学案》.自主测评1—4题课后作业:1.必做题：教材114页；2.习题24.4 第5-10题板书设计：24.4弧长和扇形的面积（2）1.什么是圆锥的母线？2. 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？课后反思：通过本节课的学习，在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
数学九年级上册《弧长和扇形面积》导学案
数学九年级上册《弧长和扇形面积》导学案设计人：审核人：【学习目标】1、学会扇形的概念会应用n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式。
2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
3、通过对弧长和扇形的面积的运用，培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法，树立学习数学的自信心。
【学习重点】熟练应用n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式.【学习难点】灵活应用弧长和扇形面积的计算公式。
【学习方法】自学中总结出弧长和扇形面积的计算公式，研学中发现易错点并总结解决问题的规律和方法。
自学阅读课本111页至113页内容，独立完成下列问题。
1、什么叫弧长？。
弧长的计算公式为。
2、试计算教材图中管道的展直长度，即弧AB的长3、什么叫扇形？。
扇形面积的计算公式为。
4、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？5、新知应用：已知扇形的半径为50厘米，圆心角为60°，求此扇形的面积。
我的疑惑：研学1、2人对学：对子间交流自学成果，把疑惑的问题记录下来。
2、6人群学：由小组长负责，先确定要讨论的问题，再确立讨论顺序和规则，并安排记录讨论成果和疑问。
3、全班互动：由大组长主持，进行组间质疑，解决各小组的疑问。
中考聚焦如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为。
示学展示一：自学2 展示二：自学5检学基础题1、课本习题1、22、扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．提高题如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积是______cm2课时作业1、扇形的弧长12∏㎝，半径为2㎝，扇形的面积______cm2。
2、已知已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm2,扇形的圆心角为______3、如图已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧AB的长为( )A．2π B．3π C．6π D．12π4、如图AB切⊙O于点B，OA＝2 3，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为( )A.33π B.32π C．π D.32π5、挂钟分针的长是10 cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是( )A.15π2cm B．15π cmC.75π2cm D．75π cm6、如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P 为切点，且AB＝4，OP＝2，连接OA交小圆于点E，则PE的长为( )A.π4B.π3C.π2D.π87、已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是__________cm，面积是________cm(结果保留π)．。
24.4 弧长和扇形面积 导学案(含答案)
24.4 弧长和扇形面积 导学案第1课时 弧长和扇形面积1、教学目标1．了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式．2．探索n°的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180、扇形面积S ＝n πR 2360和S ＝12lR 的计算公式，并应用这些公式解决相关问题．2、预习反馈阅读教材P 111～113，完成下列知识探究． 1．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是πR 180，n°的圆心角所对的弧长是n πR180． 2．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是πR 2360，n°的圆心角所对的扇形面积是n πR 2360． 3．半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝12lR ．3、名校讲坛例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L (结果取整数)．【思路点拨】 先根据弧长公式求出100°所对的弧长，再加上两边的长度． 【解答】 由弧长公式，得AB ︵的长 l ＝100×900×π180＝500π≈1 570(mm)．因此所要求的展直长度L ＝2×700＋1 570＝2 970(mm)．【跟踪训练1】 如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm【点拨】 重物上升的高度就是108°所对的弧长．【跟踪训练2】 如图，点A ，B ，C 在半径为9的⊙O 上，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是20°．【点拨】 先根据弧长公式求出AB ︵所对的圆心角，再根据圆周角定理求出∠ACB 即可．例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高0.3 m ．求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．【思路点拨】 有水的部分实际上是一个弓形，弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得．【解答】 如图，连接OA ，OB ，作弦AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AB ︵于点C ，连接AC .∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴OD＝OC－DC＝0.3 m．∴OD＝DC.又∵AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线．∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝120π360×0.62－12AB·OD＝0.12π－12×0.63×0.3≈0.22(m2)．【跟踪训练3】已知：如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC ＝8 cm，∠ABD＝45°.(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∠BDA＝90°.∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴AB＝10 cm.∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴BD＝AD＝22AB＝5 2 cm.(2)连接DO，∵∠ABD＝45°，∠BDA＝90°，∴∠BAD ＝45°. ∴∠BOD ＝90°. ∵AB ＝10 cm ， ∴OB ＝OD ＝5 cm.∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △OBD ＝90π×52360－12×52＝(25π4－252)cm 2.4、巩固训练1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S 扇＝43π；已知扇形面积为43π，圆心角为120°，则这个扇形的半径R ＝2． 2．已知扇形的半径为5 cm ，面积为20 cm 2，则扇形弧长为8cm .3．如图，已知C ，D 是以AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径OA ＝2，∠COD ＝120°，则图中阴影部分的面积等于23π．4．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 cm ，其中水面高0.9 cm ，则截面上有水部分的面积为0.91__cm 2．(结果保留小数点后两位)5．如图，已知P ，Q 分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，AB 是直径，则阴影部分的面积为π6．【点拨】 连接OP ，OQ ，利用同底等高将△BPQ 的面积转化成△OPQ 的面积．6．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＝∠BOD. 又∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS )． ∴AC ＝BD.(2)根据题意，得S 阴影＝90π×22360－90π·OC 2360＝34π，解得OC ＝1. ∴OC 的长为1 cm .5、课堂小结1．n°的圆心角所对的弧长公式l ＝n πR180.2．n°的圆心角所对的扇形面积公式S ＝n πR 2360.3．阴影部分面积的求法．第2课时圆锥的侧面积和全面积1、教学目标1．理解圆锥的相关概念，会计算圆锥的侧面积和全面积．2．进一步培养学生综合运用相关知识解决问题的能力．4、预习反馈阅读教材P113～114，完成下列知识探究．1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．2．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长．3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：l2＝h2＋r2，圆锥的侧面积S＝πrl；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝πr2＋πrl．3、名校讲坛例蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)?【解答】如图是一个蒙古包的示意图．根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2，高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．圆柱的底面圆的半径r＝12π≈1.954(m)，侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m 2)． 圆锥的母线长l ＝ 1.9542＋1.42≈2.404(m)， 侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m)， 圆锥的侧面积为12×2.404×12.28≈14.76(m 2)．因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m 2)．【跟踪训练1】 如图，用一个半径为30 cm ，面积为300 π cm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r 为(B )A ．5 cmB ．10 cmC ．20 cmD ．5π cm【跟踪训练2】 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少？(结果保留π)解：圆锥的母线长是：32＋42＝5. 圆锥的侧面积是：12×8π×5＝20π.圆柱的侧面积是：8π×4＝32π. 几何体的下底面面积是：π×42＝16π. 所以该几何体的全面积(即表面积)为： 20π＋32π＋16π＝68π.6、巩固训练1．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为(C) A．2.5 B．5 C．10 D．152．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是(C)A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．18 cm 3．已知圆锥的底面半径长为3，母线长为4，则它的侧面积是(B)A．24πB．12πC．6πD．124．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π5．如图，一个圆锥的高为3 3 cm，侧面展开图是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)求圆锥的底面圆的半径．解：(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l.∵2πr＝πl，∴lr＝2.(2)由图可知l2＝h2＋r2，h＝3 3 cm，∴(2r)2＝(33)2＋r2，即4r2＝27＋r2.解得r＝3.∴r＝3 cm.5、课堂小结1．圆锥的母线长等于扇形的半径；扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．2．圆锥侧面展开图的有关计算．。
数学人教九年级上册(2014年新编)24-4 弧长与扇形面积(第二课时)(导学案)
24.4 弧长与扇形面积（第二课时）学习目标：1.掌握圆锥侧面积计算公式。
2.灵活运用圆锥侧面积计算公式解决实际问题。
学习重点： 掌握圆锥侧面积计算公式。
学习难点： 灵活运用圆锥侧面积计算公式解决实际问题。
学习过程1）知识点回顾 弧长计算公式：1803602R n R n l ππ=⨯=R n 180•=Π扇形面积公式：36036022R n R n S ππ=•=扇形lR 21=2）课堂探究一、圆锥及其侧面展开图的相关计算【基础概念】圆锥概念：由一个底面和一个侧面围成的几何体。
它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
母线概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥高的概念：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
【问题一】圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系:222r h l +=【问题二】将圆锥展开后得到什么图形呢？【问题三】展开的扇形弧长和底面圆之间有什么关系呢？扇形的弧长=底面圆的周长【问题四】圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？母线【问题五】如何计算圆锥的侧面积：(r 表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )二、圆锥全面积的相关计算圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积)。
S 全=S 侧+S 底=πrl+πr 2(r 表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )。
【练一练】1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）A ．224cm πB ．248cm πC ．296cm πD ．236cm π 【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，其底面直径为6cm ，母线长为8cm ，所以其侧面积为：168=242cm 2， 故选：A ．2．如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm 2，AB 是斗笠的母线，长为25cm ，AO 为斗笠的高，BC 为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC 的值为（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25 【详解】解：∵侧面积为550π cm 2，母线长为25cm ，∴12×l ×25=550π解得l =44π， ∵2πr =44π，∴OC =r =22，故选：A ．3．已知圆锥的底面半径为3cm ，高线长为4cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ）A ．29πcmB ．212πcmC ．215πcmD ．224πcm4．将圆心角为90°且面积为4π的扇形围成一个圆锥，则所围成圆锥的底面半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2904360R ππ=解得4R =，设圆锥的底面半径为根据题意得5．如图，正六边形ABCDEF 的边长为A 为圆心，AB 的长为半径画弧，则由图中阴影图形围成的圆锥的高为（ ）AB ．C D6．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120︒的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．把一个圆柱体橡皮泥揉成一个与它等底的圆锥体，高将（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．扩大6倍D．缩小6倍8．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径CD=，求出这个陀螺的表面积（结果保留π）．8cmAB=，圆柱体部分的高6cmBC，圆锥体部分的高3cmRt EDC中，=∴所求表面积π)2cm．9．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD＝10，AB＝15，AB⊥BC，CD⊥BC．把四边形ABCD绕直线CD旋转一周．求所得几何体的表面积．【学后反思】通过本节课的学习你，你收获了什么？。
九年级数学弧长及扇形的面积导学案
3.9弧长及扇形的面积导学案小组名称：姓名：得分：学习目标：1、理解扇形的概念，探索弧长及扇形面积计算公式并会应用n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式解决问题；2、经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，锻炼自己的合作、交流能力；3．应用弧长和扇形面积计算公式解决实际问题，体验数学与生活的密切联系.学习流程：一、课前预习：2．圆的面积公式是3. 概念：如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
二、探究学习：任务一：小组合作探索弧长公式问题探索：圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．如果圆的半径为R，那么，①圆心角是1°，它所对的弧长________；②圆心角是2°，它所对的弧长_________；③圆心角是3°，它所对的弧长________；④圆心角是n°，它所对的弧长________；如果弧长为L,那么弧长的计算公式为： L=__________________________任务二：自主探究扇形面积的计算公式（1）圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；（2）如果圆的半径为R，那么，圆心角1°的扇形面积等于；圆心角2°的扇形面积等于；圆心角3°的扇形面积等于；圆心角n°的扇形面积等于；总结：如果扇形圆心角度数为n,半径为R，那么扇形面积的计算公式为：S=__________________________任务三：你能结合弧长公式把扇形面积公式进行简化，用含L的式子表示扇形面积吗？（小组内展示交流）因此扇形面积的计算公式为：S=______________三、课后自我反思本节课的收获是什么？达标检测1.在半径为12的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于2.已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为3.半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的面积为4.扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm面积为c ㎡5.如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 均相离，且半径均为1，则三个扇形的的面积之和为 ；家庭作业：1.弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ） 2．正三角形ABC 内接于半径为2cm 的圆，则AB 所对弧的长为（ ）3.已知圆弧的半径为50，圆心角为60○，则此弧的弧长为 ；4. 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（ ）5.已知圆的周长是6π，那么60°的圆心角所对的弧长是（ ）6.如右图，已知AB 为⊙O 的直径，BC 为弦，若∠A=30°，BC=2，则弧BC 的长为 ，扇形COB 的面积为7、一个扇形的弧长为20πcm ，面积是240πc ㎡，则该扇形的圆心角为 .。
九年级数学导学案
九年级数学学科导学案学案编号： 51 编写人：李琳、吴晓梅 审核人 ： 王安民 授课人：李琳、吴晓梅 班级 ：九（1、2、3）班 课题：弧长和扇形面积（2） 一、学习目标：1．了解圆锥的基本概念，理解圆锥各要素与其侧面展开图之间的对应关系； 2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，会计算圆锥的侧面积。
二、学习重、难点重 点：圆锥侧面积和全面积的计算公式． 难 点：探索两个公式的由来． 三、学习过程 （一）、知识网络弧长l= 圆锥的侧面积S 侧= 扇形面积S= =（二）、自学指导在现实生活中你见过哪些锥形物体？你想了解圆锥更多的知识吗？请同学们通过阅读课本第112页，去了解圆锥的基本知识吧！试一试，完成下面的填空。
（1）．如图1，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，其底面是一个 。
我们把连接圆锥 和底面 的线段叫做圆锥的母线，图中的 就是圆锥的母线。
圆锥的母线有 条，它们都 。
连接圆锥顶点与底面 的线段叫圆锥的高，如图中的 就是圆锥的高。
（2）．如图2，沿圆锥的一条母线将它剪开并展平，可以看到，圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径是圆锥的 ，扇形的弧长是圆锥底面圆的 。
若设圆锥底面圆的半径是r ，圆锥母线长是l ，则扇形的半径是 ，扇形的弧长是 ，所以扇形的面积= = ，即圆锥的侧面积= ，所以圆锥的全面积= 。
（利用你手中的扇形纸片体会一下吧。
）（三）、当堂训练1．如图2，圆锥的底面周长为32米，母线长7米，则圆锥的侧面积为 平方米。
2．若圆锥底面半径为3cm ，母线长5，则它的侧面展开图面积是 cm 2。
3．用一个圆心角为1200，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 。
4．圆锥的母线长为13 cm ，底面半径为5 cm ，则此圆锥的高是（ ） A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 5．圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。
弧长和扇形的面积导学案
BOPAB 'B''CA B九年级数学学科新授课学案课题 弧长和扇形面积学习 目标1. 1.认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2.通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
3.通过对弧长和扇形的面积的运用，培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法，树立学习数学的自信心。
重点 弧长和扇形面积的发现与推导． 难点 弧长和扇形的面积的运用． 预 习 导 引 1、圆周长的计算公式、圆面积计算公式2、弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？ 学生：疑惑的问题问 题 导 学活动一 探索弧长计算公式 圆弧形状的铁轨，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗? 请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、45︒、1︒、所对的弧长。
若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？ 因此弧长的计算公式为 l =__________________________ 练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
活动二 探索扇形的面积公式如图，_________________________所围成的图形叫做扇形 学 生 备 用 栏 教 师 复 备 栏交流拓展问：怎样求扇形面积同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是圆面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积。
如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = __ . 因此扇形面积的计算公式为S =________ 或 S =_________活动三练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；2、扇形的面积是它所在圆的面积的32，这个扇形的圆心角的度数是_________°.3、扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________4、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，求阴影部分周长和面积。
《24.4 弧长和扇形面积》教案、导学案
《24．4 弧长和扇形面积》教案【教学目标】1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．【教学过程】一、情境导入在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？二、合作探究探究点一：弧长【类型一】求弧长在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.解析：根据弧长公式l＝nπr180，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l＝120·π·1180＝23π.方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝nπR180，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵的长为________cm.解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60°＝60°.∴BC ︵的长为60×π×6180＝2π.方法总结：根据弧长公式l ＝n πR 180，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆心角n 的大小．【类型二】利用弧长求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2.(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 【类型三】求动点运行的弧形轨迹如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l ＝3×120π×2180＋2×90π×3180＝4π＋3π.故填(4＋3)π.方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．【类型二】求运动形成的扇形面积如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )A ．π B. 3 C.3π4＋32 D.11π12＋34解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝90·π·12360＝π4，S 扇形ACA 1＝90·π·（3）2360＝3π4，∴S 总＝π4＋3π4＝π.故选A.【类型三】求阴影部分的面积如图，半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．πcm 2 B.23πcm 2C.12cm 2D.23cm 2 解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB ，根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积，又OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为12cm 2，故选C.方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.《24.4 弧长和扇形面积(第1课时)》教案【教学内容】1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目． 【教学目标】了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．【重难点、关键】1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 【教具、学具准备】小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 【教学过程】 一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？老师点评：（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2（3）弧长就是圆的一部分． 二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……5．n °的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为360n Rπ 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ）分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110 ∴AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR2的公式，独立完成下题：1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．老师检察学生练习情况并点评1．360 2．S扇形=1360πR2 3．S扇形=2360πR2 4．S扇形=25360Rπ5．S扇形=2360n Rπ因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．解：AB 的长=60180π×10=103π≈10.5 S 扇形=60360π×102=1006π≈52.3 因此，AB 的长为25.1cm ，扇形AOB 的面积为150.7cm 2． 三、巩固练习 课本P122练习． 四、应用拓展例3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．（2）尝试与思考：如图a 、b 所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．(a) (b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长ECB O为a 的正n 边形的中心O 点处，若将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ，这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD•分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ．∵四边形ABCD 是正方形∴OA=OD ，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO ， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M 与点A （点B ）重合时，点N 必与点D （点A ）重合，此时AM+AN 仍为定值a ．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ． （2）120°；70° （3）360n ︒；正n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是Sn． 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念．3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π4．运用以上内容，解决具体问题． 六、布置作业1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、 选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ）A ．1B ．πCD π(1) (2) (3)3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A ．12πmB ．18πmC ．20πmD ．24πm 二、填空题 1．如果一条弧长等于4πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，• 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 三、综合提高题1．已知如图所示，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为3πR ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．2．如图，若⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O•内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD ，AB=1，AD=3，将画刷以B 为中心，按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置（A ′点转在对角线BD 上），求屏幕被着色的面积．答案:一、1．B 2．D 3．D 二、1．45°16πR 2．3 三、1．连结OD 、O ′C ，则O ′在OD 上 由AB l =3πR ，解得：∠AOB=60°， 由Rt △OO ′C•解得⊙O ′的半径r=13R ，所以⊙O ′的周长为2πr=23πR ．2．⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ，4πcm ，4πcm ， 可求出它的半径分别为10cm 、•2cm 、2cm ， 所以OA=8cm ，OB=12cm ，因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离， 所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4， 而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6． 因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S ，则S=S △ABD +S 扇形BDD`+S △BC`D`=S 矩形ABCD +S 扇形BDD`， 连结BD ′，在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，∴S=16π·22+1+23π．《24.4.1 弧长和扇形面积》教案R.布置作业：A组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7．B组：P122页练习：1，2，P 124页习题24.4：2，3，5，6．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B组补充作业：已知：如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作14圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．让学生逐渐的学会总结。
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B O A 弧长和扇形面积导学案2
主编人： 主审人：
学习目标：
【知识与技能】
通过实验使学生知道圆锥侧面展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥侧面积和全面积
【过程与方法】
通过做圆锥和展开圆锥，观察分析圆锥的侧面展开图——扇形，再通过由扇形做成圆锥，理解圆锥与
扇形及圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力。
【情感、态度与价值观】
通过做圆锥和把圆锥展开，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣。
【重点】
圆锥的侧面积和全面积的计算方法
【难点】
圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积
学习过程:
一、自主学习
（一）复习巩固
1、一段长为2的弧所在的圆半径是3 ，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积
为_________ 。
2、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，求阴影部分周长和面积
（二）自主探究 1、看右图圆锥的侧面展开图的形状
2、圆锥的侧面展开图是一个 ，
设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么
这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径
即为 ，
扇形的弧长即为底面圆的
根据扇形面积公式可知S ＝ 因此圆锥的侧面积为S 侧＝
圆锥的侧面积与底面积之和称为
表示为S 全=
（三）、归纳总结：
1、 叫圆锥的母线。
2、 叫圆锥的高
3、圆锥的侧面积计算公式是 ， 叫圆锥的全
面积。
圆锥的全面积计算公式是 。
（四）自我尝试：
如果该圆锥形的冰淇淋纸筒的母线长为8cm ，底面圆的半径为5cm,你能算出扇形的圆心角
的度数吗？
二、教师点拔
1、圆锥的侧面展开图是一个
2、圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的
3、圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的
4、圆锥的侧面积公式
5、圆锥的全面积(或表面积)
三、课堂检测
1、将直径为64cm 的圆形铁皮，做成四个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材
料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ） A.815cm B.178 cm C.316 cm D.16 cm
2、现有一圆心角为90°，半径为8 cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略
不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A.4 cm B .3cm C.2 cm D.1 cm
3、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面半径长的比是＿ .
4、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一直小蚂蚁从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，
它爬行的最短路线长是多少？
5、将半径为30厘米的薄鉄圆板沿三条半径截成全等的三个扇形，做成三个圆锥筒（无底），求圆锥筒的高（不计接头）。
四、课外训练
1．圆锥母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么它的侧面展形图的圆心角是…( )
A．180° B．200° C. 225° D．216°
2．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )
A．180° B. 90°
C．120° D．135°
3．在半径为50 cm的图形铁片上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制做成一个底面直径为80 cm，母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角的度数为( )
A．288° B．144° C．72° D．36°
4．用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
5.已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面半径为（）
（A）12.5厘米（B）25厘米（C）50厘米（D）75厘米
6.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）
(A）60°（B）90°（C）120°（D）180°
7.若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是________
8.若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是度.
9.已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2。
(1）扇形的弧长= ；
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是
10.圆锥的母线为13cm，侧面展开图的面积为65πcm 2
，则这个圆锥的高为 .
11.△BAC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，以AC所在的直线为轴将△ABC旋转一周得一个几何体，
这个几何体的表面积是多少？。