九年级数学下册第3章圆3.9弧长及扇形的面积导学案新版北师大版
九年级数学下册 第三章 圆 3.9 弧长及扇形的面积教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年
9 弧长及扇形的面积【教学目标】知识技能目标:让学生通过自主探索来认识扇形,掌握弧长和扇形面积的计算公式,并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.过程性目标:让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程,培养学生自主探索的能力;在利用弧长和扇形面积公式解题中,培养学生应用知识的能力,空间想象能力和动手画图能力.情感态度目标:通过对弧长和扇形面积公式的自主探究,让学生获得亲自参与研究探索的情感体验.【重点难点】重点:探索n°的圆心角所对的弧长l=,扇形面积S=和S=l R的计算公式.难点:应用公式解决相关问题【教学过程】一、创设情境在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的一端拴着一只狗.(1)这只狗的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少?(2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角,那么它的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少?二、探究归纳探索弧长公式提出以下3个问题:如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?探索扇形面积公式(1)观察与思考:怎样的图形是扇形?(2)扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢?(3)讨论如何求扇形的面积?圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少?圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少?例题学习例:制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果用含π的式子表示).问题:比较扇形面积与弧长公式,你能用弧长表示扇形面积吗?三、交流反思师生以谈话交流的形式,围绕如何推导弧长和扇形面积公式这两个问题,共同总结本节课的学习收获.另外也可以从知识、方法、情感三方面加以小结,特别是适当的鼓励和评价,体现教师与学生的情感交流.四、检测反馈1.已知扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120°,则此扇形的弧长为________cm.2.已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB为120°,弓形的弦AB长为12,则这个弓形的面积为________.3.已知,如图,AC是☉O的直径,AB,BD是弦,AC⊥BD于F,∠A=30°,OF=cm,求图中阴影部分的面积.五、布置作业课本P102 习题3.11 1,2,3六、板书设计9 弧长及扇形的面积1.问题探究:2.归纳公式:3.应用练习:例题七、教学反思本课是一节新授课,在教学中不能把知识的结果强加于学生,虽然应用直观形象的手段,让学生经历了知识的生成过程,但因学生水平的差异,在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法.在结论的应用上,设计了例题和练习.练习仅仅是两个扇形面积公式的简单应用,例题对扇形面积公式的应用加深了一点难度,但经过教师的指导,学生的分组讨论,都得到了圆满的解决.另外还需注意引导学生把实际问题抽象成数学问题,渗透数学建模思想;解题时,不能写出完整的解题过程,不会用几何语言进行描述.在以后的教学中要有意的进行培养和加强练习.。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.9弧长和扇形的面积 精品导学案(附答案)
九年级数学下册第三章3.9弧长和扇形的面积导学案班级：_____________姓名：_____________家长签字：_____________一、学习目标1．认识扇形，理解弧长和扇形面积公式，会准确计算弧长和扇形的面积。
2．通过弧长和扇形面积公式的发现与推导，培养探究新知的能力。
3、运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积二、温故知新1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做__________ 下图中扇形有几个？__________三、自主探究：阅读课本p100—101探究（一）弧长公式1、在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？2、在半径为R的圆中，圆周长C=______,圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
……n°的圆心角所对的弧长是_______。
归纳：在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:_____________.探究（二）扇形面积公式在半径为R的圆中，圆面积S=___________,圆的面积可以看作______度圆心角所对的扇形的面积；1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
归纳：在半径为R的圆中, 圆心角为n°的扇形面积的计算公式为:_____________比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?归纳：用弧长l 与半径R 表示扇形的面积S=___________例1. 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的周长和面积四、随堂练习1.已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
北师大版初中数学九年级下册3.9弧长及扇形的面积导学案
16题图课题9弧长及扇形的面积基础知识1. 弧长公式 圆心角为半径为R 的弧长为： .1. 扇形定义：由组成圆心角的和圆心角所对的 所围成的图形叫做扇形.3.扇形面积公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：= .基础训练1.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则的长为 ．2.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留）3.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是_____4.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．5.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB 的面积为．6.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．7.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．8.如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，弧AB的度数与弧CD 的度数和是180°，那么图中阴影部分的总面积是多少？AB9.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A =2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D .（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A =60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）10.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为多少？A.6B.7C.8D.9第22题图。
北师大版九年级下册数学3.9《弧长及扇形的面积》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用软尺和圆规测量并计算一个给定圆心角的弧长。
举例：
难点1：当给出一个圆和其上的一个圆心角时，学生需要理解如何计算这个圆心角所对的弧长。
难点2：在计算扇形面积时，学生需要理解如何的计算公式。
难点3：在解决实际问题，如计算一段河流的弯曲长度或计算不规则图形的面积时，学生需要学会如何将问题简化为弧长或扇形面积的求解问题，并正确运用相关公式。
其次，在讲授弧长和扇形面积的计算公式时，我尽量用简洁明了的语言进行解释，并通过举例来帮助学生理解。但实践证明，仍有部分学生在运用这些公式时出现错误。我意识到，除了讲解公式推导过程外，还需要加强学生的实际操作练习，让他们在实际问题中反复运用这些公式，从而提高他们的计算准确性和解题能力。
此外，在课堂讨论环节，我发现学生们对于弧长和扇形面积在实际生活中的应用表现出浓厚的兴趣。他们积极思考，提出了很多有创意的想法。这说明学生们对于数学知识的应用有着很高的热情。在今后的教学中，我应多设置一些与实际生活紧密相关的题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.9《弧长及扇形面积》是本节课的主要内容。
教材从学生已有的知识出发，通过引入实际问题，引导学生探究弧长和扇形面积的计算方法。
本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，不仅为学生学习圆的周长和面积打下基础，而且对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析和动手操作来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.难点：理解弧长和扇形面积的计算原理，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关实例和图形。
2.练习题：准备一些有关弧长和扇形面积的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：圆规、直尺等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与圆相关的实际问题，如自行车轮子的周长、篮球场的半径等，引导学生思考这些问题与弧长和扇形面积的关系。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍弧长和扇形面积的计算方法。
引导学生观察和分析弧长和扇形面积的计算过程，让学生动手操作，加深对知识的理解。
北师大版九年级数学下册精品教案 3.9 弧长及扇形的面积
3.9弧长及扇形的面积1．了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180和扇形面积S 扇＝n πR 2360的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)一、情境导入如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3.14)?我们容易看出这段铁轨是圆周长的14，所以铁轨的长度l ≈2×3.14×1004＝157(米).如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？二、合作探究探究点一：弧长公式【类型一】求弧长如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为()A.π4cmB.7π4cmC.7π2cm D ．7πcm 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R ＝72cm ，则“蘑菇罐头”字样的长＝90π×72180＝7π4(cm)．故选B.方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用弧长公式求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________；(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2；(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题【类型三】圆的切线与弧长公式的综合如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)当BC ＝4，AB ＝8时，求劣弧AC 的长．解析：(1)连接BC ，由AB 是⊙O 的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB ＝90°，又由∠EAC ＝∠D ，则可得AE 是⊙O 的切线；(2)首先连接OC ，易得∠ABC ＝60°，则可得∠AOC ＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC 的长．(1)证明：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.又∵∠EAC ＝∠D ，∠B ＝∠D ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线；(2)解：如图，连接OC ，∵△ABC 是直角三角形，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝48＝12，∴∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝120°.∴劣弧AC 的长＝120·π×4180＝8π3.方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．探究点二：扇形的面积公式【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.故答案为3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】求阴影部分的面积如图，扇形AOB 中，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分的面积是()A.4π3－23B ．2π－23C.4π3－3D.2π3－3解析：连接OC ，过O 作OM ⊥AC 于M ，∵∠AOB ＝120°，C 为AB ︵中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ＝2，∴△AOC 、△BOC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝OA ＝2，AM ＝1，∴△AOC 的边AC 上的高OM ＝22－12＝3，△BOC 边BC 上的高为3，∴阴影部分的面积是(60π×22360－12×2×3)×2＝4π3－2 3.故选A.方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】求不规则图形的面积如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为()A ．4π－2B ．2π－2C ．4π－4D ．2π－4解析：连接AB ，由题意得阴影部分面积＝2(S 扇形AOB －S △AOB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.故选D.方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题三、板书设计弧长及扇形的面积1．弧长公式：l ＝n πR 1802．扇形的面积公式：S 扇形＝n πR 2360＝21lR本节课的授课思路是：复习圆周长公式，推出弧长公式，由圆面积公式类比导出扇形面积公式．使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的主动发展.。
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教案1
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教案1一. 教材分析《弧长及扇形面积》是北师大版九年级数学下册第3.9节的内容。
本节主要让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，理解弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
这一内容在数学中占有重要地位，对于学生理解圆的相关概念和解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的相关概念有一定的了解。
但是在计算弧长和扇形面积方面，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对不同程度的学生进行引导和帮助。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的计算方法。
2.掌握弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
3.能够运用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的计算方法。
2.理解弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备课件和教学素材。
3.准备练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些与圆相关的实际问题，引导学生思考弧长和扇形面积的概念及计算方法。
2.呈现（10分钟）讲解弧长和扇形面积的计算方法，引导学生理解弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析案例，运用弧长和扇形面积的计算方法解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对弧长和扇形面积计算方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考弧长和扇形面积在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案1 (新版)北师大版
课题：3.9.弧长及扇形的面积教学目标：1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.培养学生的探索能力.2．理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．训练学生的数学应用能力.3.使学生了解计算公式的同时，体会公式的变式，使学生养成独立思考、合作交流的良好学习习惯,形成良好的数学品质.教学重点和难点：重点：会利用弧长及扇形面积公式解决问题．难点：探索弧长及扇形面积计算公式；利用公式解决问题．教具准备：老师制作多媒体课件．教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1：同学们，春天到了，春季运动会也将在近期举行．很多同学是不是跃跃欲试呢．在运动会中你认为最精彩，最让人兴奋的项目是什么？（赛跑、掷铅球、跳高等）问题2：在田径200米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？（学生疑惑不解）带着这样的疑问，让我们一起走进今天的学习．（教师板书课题:3.9弧长及扇形面积）设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会到生活处处有数学，数学来源于生活这一事实．这也为新课的学习做好铺垫．二、探究学习，感悟新知复习回顾：（多媒体出示问题）1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？2.什么叫圆心角？圆的圆心角多少度？学生思考后回答：1.若圆的半径为R，则周长l＝2πR，面积S＝πR2;2.圆的圆心角是360°．我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算呢?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积公式，并应用它们来解决一下简单的实际问题.探究活动1：弧长的计算公式（多媒体出示问题）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．(2) 因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的1360.所以，传送带上的物品A 被传送2036018ππ=cm ． (3) 转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送转l°时传送距离的n 倍．所以， 传送带上的物品A 被传送n ×2036018n ππ=cm ． 根据上面的计算，你能探讨出在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．学生讨论交流,各抒己见.然后总结得出：360°的圆心角对应圆周长为2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为2360180R R ππ=，n °的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即n ×180180Rn R ππ=．也就是，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式我们发现，弧长公式与半径R 、圆心角n 有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流,然后尝试回答).因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.这样我们将“200米弯道跑”的问题就转化长为“弧长”的问题了，请同学们认真体会这种转化思想的应用.处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时予以引导，让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系．下面我们来看弧长计算公式的运用（多媒体出示例1）．例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果精确到0．1 mm)．分析：要求管道的展直长度．可以将实际问题转化成数学问题.管道的展直长度即弧AB 的长，已知R ＝40mm ，n =110°，因此根据弧长公式l ＝180n R π，可求得弧AB 的长．（ 学生板书计算过程）解：∵R ＝40mm ，n =110°．∴弧AB 的长l =180n πR =110180×40π≈76．8 mm ． 因此，管道的展直长度约为76．8 mm ．巩固训练一：1.在直径为24cm 的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）A.24πcmB.12πcmC.10πcmD.5πcm2.若圆的半径为6cm ，长为8π的弧长所对的圆心角为_______度.3.长为6.28cm 的弧所对的圆心角是60°，则该弧所在圆的半径为_______.（π取3.14） 设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用．实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．探究活动2：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π.(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应圆面积的1360，即1360×9π=40π，n °的圆心角对应的圆面积为n ×40π=40n π． 由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？学生讨论交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，1°的圆心角对应的扇形面积为2360R π，n °的圆心角对应的扇形面积为n ·2360R π=2360n R π．R 为扇形的半径，n 为圆心角． 下面我们就来利用扇形的面积计算公式解决一些简单的问题. （多媒体出示例2） 例2 扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演.学生完成后，老师予以讲评. 解：弧AB 的长l =120180π×12=8π≈25.1cm ： S 扇形=120360π×122=48π≈150.7 cm 2． 因此，弧AB 的长约为25.1 cm ，扇形AOB 的面积约为150.7 cm 2．巩固训练二：1．已知扇形的圆心角为120°且半径为3，则弧长=_____，扇形面积=_______.2．如图，纸扇的最大张角为120°，尺寸如图所示，制作这样的纸扇至少要多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果用π表示）3．如图，正三角形ABC 的边长为2，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，以A 、B 、C 三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是_______.(2)题图4．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π处理方式：让学生先根据多媒体展示的例2解题过程，理解弧长及扇形面积计算公式.然后让四名同学板演巩固训练的题目，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时强调，如：第2题纸扇有两面算时忘了乘以2了；弧长及扇形面积计算公式中n 不带单位“度”了等．设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式．通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程．第4题第3题 第2题探究活动3：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n 和半径R ，因此，l 和S 之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．（学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流）解∵l =180n πR ，S 扇形=360n πR 2， ∴360n πR 2=12R ·180n πR ．由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积的计算公式吗？（能）若已知圆心角和半径，选择S 扇形＝360n πR 2，若知道弧长和半径，选择S 扇形=12lR ． 在例2中，计算出弧AB 的长后，我们还可以选择S 扇形=12lR 计算扇形AOB 的面积, 即S 扇形=12lR =12×8π×12≈150.7 cm 2． 巩固训练3：(1)已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为 ．(2)已知扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为_______.处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积的计算公式加以记忆.对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调．设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请迅速完成本节课的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1．已知扇形的圆心角为60°，且半径为5，则扇形的弧长为（ ）A ．5πB ．53πC ．πD ．56π 2．如果一个扇形的半径是2，弧长等π，那么此扇形的圆心角的大小是（ ）A ． 45°B ． 60°C ．90°D ．120°3．已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为 ．4.如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）4题图4题图 5题图5．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠AC B=90°，AB=2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 . B 组：6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2.将△ABC 绕顶点A顺时针方向旋转至△AB ′C ′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为 .6题图 7．如图所示，AC 与O ⊙相切于点C ，线段AO 交O ⊙于点B ．过点B 作BD AC∥7题图 D C E O交O ⊙于点D ，连接CD OC 、，且OC 交DB 于点E ．若30CDB DB ∠=︒=，．（1）求O ⊙的半径长；（2）求由弦CD BD 、与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本第102页，习题3.11 第1题 第2题 第3题 第4题．选做题：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．【分析】先作出辅助线，即连接OD ．然后根据题意利用等积转化将△OD F 的面积转化为△BCD 的面积，将弓形DE 的面积转化为弓形BC 的面积，从而将阴影部分的面积转化为扇形BOD 面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．解：连接OD ，根据题意可知S △OD F=S △BCD, S 弓形DE=,S 弓形BC,∴S 阴影=S 扇形BOD =π．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是利用等积转化将阴影部分的面积转化为扇形BOD 面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．题目比较好，难度适中．设计意图：必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式；选做题供学有余力的学生完成，训练学生灵活运用公式解决实际问题的能力，拓宽学生的知识面．板书设计：。
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3.9 弧长及扇形的面积
预习案
一、预习目标及范围：
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.
2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力.
预习范围：P99-101
二、预习要点
1.在半径为R 的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为__________________________
2.比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？S 扇形= ___
3.因此扇形面积的计算公式为S 扇形= 或S 扇形= ___
三、预习检测
1.半径为10厘米的圆,60°的圆心角所对的弧长是_________.
2.如图，同心圆中，大圆半径OA ，OB 交小圆于C ，D ，
且OC ∶OA=1∶2，则弧CD 与弧AB 长度之比为（ ）
A.1∶1
B.1∶2
C.2∶1
D.1∶4
3.一个扇形的圆心角为90o ，半径为2，则弧长=_____，扇形面积=_______.
4.一个扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm 2，则该扇形的圆心角为_______.
5.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长
是（ ）
A. 3π
B.4π
C.5π
D.6π
6.如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿
,
路线爬行，乙虫沿 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A.甲先到B 点
B.乙先到B 点
C.甲、乙同时到B点
D.无法确定
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：我们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m.这个圆的周长与面积是多少呢？（结果精确到0.01）
答案：周长约是6.71m，面积约是3.58㎡
（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是
多少？ 1°的圆心角所对的弧长是（）。
（2）n°的圆心角所对的弧长是多少？
答案：（1）；（2）n°的圆心角所对的弧长是
探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？。