衡水中学高考数学专题分类汇编：专题13 选讲部分(原卷版与解析卷合集)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题13 选讲部分一、解答题1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离.2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围．3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22(1)1x y -+=，直线1l ：3y x =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为23π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程； （2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】 已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集； （2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围； （2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.6. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当的取值范围．8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为(t 为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.(1)当时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定的取值范围．9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】 在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】 已知.（1）当时，解不等式. （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos cos C ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为122{32x ty =-=（t 为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值. 14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知,a b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b++≥+；（2）求函数()()()4224332162221f x x a a b bx a b ab=-+--+-+-的最小值.15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】 已知函数.（1）求函数的值域； （2）若，试比较，，的大小.19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】 已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】 已知()11f x x =-+， ()(),3{ 123,3f x x F x x x ≤=->.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求. 22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若点的极坐标为，，求的值.24. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.25. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】在极坐标系中，已知三点，，.（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.26. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知函数.（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题13 选讲部分一、解答题1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离. 【答案】（1）2240x y y +-=，40x -=；（2）1 【解析】（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=， 曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=； （2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π, 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为1.2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅱ）[)5,-+∞ 【解析】试题分析:(1)零点分区间去掉绝对值，分段求解；（2）原题等价于()f x 的值域包含()g x -的值域，()(],f x a ∈-∞，()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-.详解：（Ⅰ）由21246x x -++<，①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+--<，得56<，即122x -<<；③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上：不等式()6g x <的解集是93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=成立，即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+知，()(],f x a ∈-∞， 由()()()212421245g x x x x x =-++≥--+=，且等号能成立， 所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞.3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22(1)1x y -+=，直线1l ：y =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为23π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程； （2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值.【答案】（1）122{1x ty =-=-+（2）1【解析】（1）联立方程()2211x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 220x x ⇒-=， 解得10x =，212x =.所以当10x =时，10y =； 当212x =时，2y = 所以交点的直角坐标分别为()0,0，12⎛ ⎝⎭，则对应的极坐标为()0,0，1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由题得，直线2l的参数方程为12212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（2）将2l的参数方程12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入圆的方程()2211x y -+=中，得22121112t ⎛⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理，得(2110t t -++=，且0∆>， 设点E ，F 分别对应参数1t ，2t ， 所以121t t =，又由1t ，2t 的几何意义可知，121PE PF t t ⋅==. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集； （2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,1][3,)-∞-+∞ 【解析】（1）当2a =时，()4,12123,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩，作出的函数图象如下：从图中可知，不等式()6f x ≥的解集为][(),102,-∞-⋃+∞. （2）因为[]1,1x ∈-，所以()2122f x x x a x x a =+--=+--， 所以()2f x ≤转化为222x x a +--≤， 即得2x a x -≥对[]1,1x ∈-恒成立，即2x a x -≥或2x a x -≤-，也就是a x ≤-或3a x ≥对[]1,1x ∈-恒成立， 所以1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围为][(),13,-∞-⋃+∞.5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围； （2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】（1）由， 得，即，故直线的直角坐标方程为.由 得所以圆的普通方程为.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为.（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故.6.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，得由，得或或解得.即不等式的解集为.（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为.7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，，可得的解集为（2）当时，,因为，所以.所以，所以.所以a的取值范围是[-3，-1]8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】（1）当时，直线的参数方程为.消去参数t得.由曲线C的极坐标方程为.得，将，及代入得，即（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，将代入中并整理得，设A，B两点对应的参数分别为，则所以因为，所以，所以所以的取值范围为.9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.【答案】(1) (2)【解析】（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.曲线：，∴，故的普通方程为.（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.当时，有最小值，所以的最小值为.10.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知.（1）当时，解不等式.（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）当时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设，则，则在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取最小值且最小值为，∴，解得，∴实数的取值范围为.11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）不等式，即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为，当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2）即.作出函数的图象如图所示，当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以. 所以实数的取值范围是.13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos cos C ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122{x ty =-=（t 为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值. 【答案】（1）()2211x y -+=,24y x =（2）113【解析】解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=， sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；由()cos 4cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（Ⅱ）如图，四点在直线l 上的排列顺序从下到上依次为H ， I ， J ， K ，它们对应的参数分别为1t ，2t ， 3t ， 4t .连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以1IJ =.HI JK HI IK IJ -=-+= ()141411t t t t -+=-++，将122{x ty =-=代入24y x =，得： 23824t t =-, 即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以113HI JK -=.14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知,a b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b++≥+；（2）求函数()()()4224332162221f x x a a b bx a b ab=-+--+-+-的最小值.【答案】（1）见解析（2）1 【解析】（1）()42242264a a b b ab a b++-+= ()()222222244ab ab a b a b +-++⋅= ()2222a b ab +-()4a b =-，因为()40a b -≥，所以()42242264a a b b ab a b++≥+.（2）()()4224216f x x a a b b=-+-- ()332221x a b ab +-+-= ()4224216x a a b b -+--+()3322221x a b ab -+-≥()33|22221x a b ab ⎡⎤-+--⎣⎦()4224216|x a a b b ⎡⎤-+--=⎣⎦()411a b -+≥.即()max 1f x =.15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，消去参数得，∴圆心的坐标为．∵曲线上存在两点关于点成中心对称，∴，又，∴直线的斜率．（2）由(为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，∴圆心的坐标为，半径为．又直线的极坐标方程可化为，故其直角坐标方程为，又，∴，解得．∴实数的值为．16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为，等价于或或，解得或或，综上可得．∴原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立．17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】 已知()11f x x =-+， ()(),3{ 123,3f x x F x x x ≤=->.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）()1,3. 【解析】（1）不等式()23f x x ≤+即为1123x x -+≤+. 当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-， 此时不等式的解集为1x ≥.当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()11,3{123,3x x F x x x -+≤=->，即()2,1{,13 123,3x x F x x x x x -<=≤≤->. 作出函数()F x 的图像如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图像有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<. 所以实数a 的取值范围是()1,3.21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】 （1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得.因为直线与曲线交于，两点。