清华 抽象代数学I(2010秋)_809906713_50650715
抽象代数基础丘维声答案
抽象代数基础丘维声答案【篇一：index】t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律[文章摘要]通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。
使我们得以迅速求解其子环和理想。
[关键字]模n剩余类环循环群子环主理想[正文]模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。
一，定义：在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，arb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。
这显然是一个等价关系。
这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用a?b(n)来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了a的一个分类。
这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。
我们用[a]来表示a所在的剩余类。
规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。
叫做模n剩余类加群。
这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。
叫做模n剩余类环。
四，关于理想的定义：环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：(i) a,b?a?a-b?a；(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。
思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。
抽象代数一习题答案
抽象代数一习题答案在抽象代数中，习题通常涉及群、环、域等代数结构的定义、性质和例子。
以下是一些抽象代数习题的答案示例。
习题1：证明如果一个群G是阿贝尔群，那么它的每个子群也是阿贝尔群。
答案：设H是群G的一个子群。
由于G是阿贝尔群，对于任意的a, b属于G，我们有ab = ba。
现在考虑任意的h1, h2属于H。
由于H是G的子群，h1和h2也属于G。
因此，我们有h1h2 = h2h1（因为h1h2和h2h1都是G中的元素，并且G是阿贝尔的）。
这表明H中的元素满足交换律，所以H也是阿贝尔群。
习题2：证明如果一个环R有单位元，那么它的每个理想都是主理想。
答案：设I是环R的一个理想，我们需要证明I是一个主理想，即存在一个元素r∈R使得I = (r)，其中(r)表示由r生成的理想。
由于R有单位元1，考虑元素1 - r。
由于I是理想，1 - r也属于I。
因此，我们有1 - r = a(r) + b，其中a, b属于R。
将等式两边乘以r，我们得到1 = ar + rb。
这意味着r(1 - ar) = rb。
由于1 - ar属于I（因为I是理想），我们有r属于I。
现在，对于I中的任意元素x，我们可以写x = (1 - ar)x + arx。
由于ar属于I，(1 - ar)x也属于I。
因此，x = r(1 - ar)x，表明x可以由r生成。
所以I = (r)，证明完成。
习题3：证明如果一个域F的元素a不是单位元，那么a的阶是有限数。
答案：设a是域F中的一个非单位元。
我们需要证明存在一个正整数n使得a^n = 1。
考虑集合{1, a, a^2, a^3, ...}。
由于F是域，它没有零除数，因此a^n ≠ 1对于所有n。
这意味着集合中的元素都是不同的。
然而，域F是有限的，因此不可能有无限多不同的元素。
因此，必须存在最小的正整数n > 1，使得a^n = a^1。
这意味着a^(n-1) = 1，所以a的阶是有限的。
抽象代数名词解释
1，抽象1-1映上的映射（30 ）当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或 f 是1-1 映上的。
2，二元运算（50）设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。
3，二元多项式（329）设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。
4，子环（222）设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。
5，子域（334）设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。
如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。
6，子集合（3）设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。
7，子集族（6）设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j⊆S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。
8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，℘为G的所有包含S的子群的族，则称子群℘∈HH为S在G中生成的子群，记为〈S〉。
9，子集生成的理想（236）设R是个环，T⊆R，ΦΦT非空，作R的理想族B={I是R的理想，T ⊆I}得到的理想BII∈称之为R的由子集T生（T）。
10.子群（75）设（G，·）是个群，如果G的子集H对于·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。
10.么元（59）单位元，恒等元，中性元设·是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a*e=e*a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元或恒等元，或么元、中性元。
清华高等代数讲义(上)
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设 f (x) = a0 xn + a1xn−1 +L + an ， 其 中 ai ∈ K , a0 ≠ 0 。 设 f (x) = 0 的 复 根 为 α1,α2 ,L,αn （可能有重复），则
C 内必有一个根。
命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式
f (x) = a0 + a1x + ...... + an x n (an ≠ 0) ， g(x) = b0 + b1 x + ...... + bm x m (bm ≠ 0) ， 如果存在整整数 l , l ≥ m, l ≥ n ,及 l + 1个不同的复数 β1 , β 2 ,......, β l , β l+1 ，使得
数 a1, a2 ,......, an ，使
f (x) = a0 (x − α1 )(x − α 2 )......(x − α n )
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an−1 x + an = 0
第一学期第一次课
1.1.1 代数系统的概念
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
清华大学高等代数经典课件01
张贤科，许甫华 编著， 清华大学出版社(主教材)
2.《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编著， 清华大学出版社(辅导教材) 3.《Theory and Problems of Linear Algebra》， S. Lipschutz著， McGraw-Hill出版. 4.《Linear Algebra》，S.Berberian著， Oxford Univ. 出版 5. 《Advanced Linear Algebra》， S. Roman著， Springer出版社。 (以上3本为参考书)
8.1 二次型与对称方阵 (第12大节上课)
8.2 对称方阵的相合
8.3 正定实对称方阵
(第13大节上课)
(第14大节上课) (第15大节上课)
8.4 交错方阵的相合及例题
8.5 线性函数与对偶空间
8.6 双线性函数 8.7 对称双线性型与二次型
(第16大节上课)
(第18大节上课) (讨论课 3次)
第11章 Hilbert空间
11.1 内积与度量空间 11.2 内积空间与完备 11.3 逼近与正交直和 11.4 Fourier展开
11.5 等距同构于
11.6 有界函数与Riesz表示
习题11
18
第12章 张量积与外积
12.1 引言与概述 12.2 张量积 12.3 线性变换及对偶 12.4 张量及其分量 12.5 外积 12.6 交错张量 习题12
8
(第14大节上课)
第4章 矩阵的运算与相抵
4.1 矩阵的运算 4.2 矩阵的分块运算 4.3 矩阵的相抵 (第16大节上课) (第15大节上课)
4.4 矩阵运算举例
4.5 矩阵与映射 *4.6 矩阵的广义逆 *4.7 最小二乘法
抽象代数复习题
抽象代数复习题 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”, 错的打“×”；每小题2分, 共20分）1.一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）2.有限群 中每个元素 的阶都整除群 的阶。
（ ）3.如果循环群 中生成元 的阶是无穷大, 则 与整数加群同构。
（ ）4.循环群的子群也是循环群。
（ ）5.群 的子群 是正规子群的充要条件为 。
（ ）6.若环 有单位元, 则其子环也一定有单位元。
（ ）7、除环中的每一个元都有乘法逆元。
（ ）8、)(x F 中满足条件()0f α=的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（） 9、主理想整环一定是唯一分解整环。
（ ）10.域是交换的除环。
（ ）二、填空题(本大题共5小题, 每小题4分, 共20分)1.设 模8的剩余类环, 则 中的零因子是______。
2.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________。
3.高斯整数环[]Z i 的单位是_______。
4.模6的剩余类加群6Z 有________个生成元。
5.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是____________。
三. 计算与证明题（共60分）1(10分).在5次对称群 中, 令, , 计算 。
2（10分）.求出9Z 中所有可逆元并求其逆元3（20分）.设 是群 到 的同态, 是 的子群, 证明 是 的子群。
4（20分）.设.是环.到.的满同态, 是的理想, 证明.是.的理想。
抽象代数-
抽象代数抽象代数是一种研究代数结构的数学分支。
它主要研究抽象结构的性质和关系，这些结构在代数学中经常出现。
代数结构通常由一组对象以及代数运算所组成。
例如，向量空间就是一个代数结构，由向量组成，并在其上定义了称为加法和数乘的运算。
另一个例子是环，由一组元素和两个二元运算组成，称为加法和乘法。
抽象代数中的基本概念是群、环和域等代数结构。
一个群就是一个集合，其中包含一些元素以及定义在这些元素上的二元运算。
这个运算必须满足一些条件，例如结合律和单位元素的存在性。
另一个重要的性质是每个元素都有一个逆元素。
群的一些典型例子包括对称群和整数群。
环是一种代数结构，其中包含一个集合，以及定义在这个集合上的两个二元运算（加法和乘法）。
这些运算必须满足一些条件，例如分配律和乘法单位元素的存在性。
整数环和矩阵环都是一些典型例子。
域是一种代数结构，它包含一个集合，以及定义在这个集合上的加法、乘法和求逆元素运算。
域的一个重要性质是它的乘法和加法都满足分配律。
实数域和复数域都是典型的域。
在抽象代数中，还有一些与上述代数结构相关的概念，例如同态和同构。
同态是指两个代数结构之间的一种映射，它保留了结构中的一些性质。
同构是指一种同态，其中映射还是一一映射。
抽象代数中的一个重要原理是结构定理，它给出了任何有限生成的交换群的结构。
换言之，任何有限生成的交换群都可以写成一些有限阶循环群的直和形式。
这个原理是代数几何和代数数论中的许多结论的基础。
总的来说，抽象代数是研究代数结构的重要分支，它涵盖了群、环、域等许多概念，并具有广泛的应用，包括密码学、编码理论、代数几何和代数数论等。
抽象代数——精选推荐
抽象代数⼀、课程⽬的与教学基本要求本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上，进⼀步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。
要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。
对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。
⼆、课程内容第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。
1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建⽴抽象概念，掌握群同态定理及其应⽤；了解有限阿贝尔群的结构。
1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)3、⼦群(Subgroups)4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲）11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例⼦。
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学时(或周次)
教学内容（包括课堂讲授、实验、讨论、考试等）
备注
第一章群论
第一周：群，子群，陪集；正规子群，商群
第二周：同态，同态基本定理；循环群
第三周：置换群，
第四周：国庆假
第五周:群作用,,Sylow定理
第六周：群构造
第七周：有限生成abel群的结构
第八周:复习（其中测验）
第二章环论
第九周:环的基本概念，子环，理想与商环
第十周：环同态，分式域
第十一周：唯一分解环，主理想环，欧氏环
第十二周：多项式环
第三章：域论
第十三周：域的扩张
第十四周：分裂域，可分，正规扩张
第十五周Galois对应
第十六周根式求解
第十七---十八周，期末考试
（1）群论.作为描述与研究几何对象的对称性的概念---群由Galois第一次引入，并由此开创了现代代数学的研究。我们将系统介绍群及其基本性质等，及其相关的概念如:子群，商群,同态,同态基本定理;初步介绍群的结构方面的一些基本知识:直积;正规群，可解群等，最后介绍有限生成abel群的结构.
（2）环论:介绍环及其子环，商环，同态等基本概念，介绍一些特殊环：唯一分解环，主理想整环等
五、教材或讲义
姚慕生编著抽象代数学，复旦大学出版社
六、参考书目
刘绍学：近世代数基础，高等教育出版社.
石生明：近世代数初步，高等教育出版社.
N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company,YaleUniversity, 1976.
M.Artin, Algebra,机械工业出版社
中文
英文课程名称
Abstract Algebra I
任课教师1
朱彬
职称
教授
工作证号
E-mail：
bzhu@
联系电话
62772862
任课教师2
职称
工作证号
E-mail：
联系电话
4
考核方式
闭卷考试
二、课程内容简介
（300~600字）
作为数学系本科基础课程，本课程面向数学系的全体本科学生以及选修数学二学位的外系部分高年级本科生.主要目的是为学习数学的学生奠定坚实的现代代数学基础，使之熟练掌握代数学思想和方法。我们这学期的主要内容将分如下几个部分：
联系电话讲课64讨论习题课学分数考核方式闭卷考试二课程内容简介300600作为数学系本科基础课程本课程面向数学系的全体本科学生以及选修数学二学位的外系部分高年级本科生
清华大学数学系本科课程教学大纲
——抽象代数学（I）
一、基本情况
课程编号
开课（院）系
数学系
开课学期
秋季学期
中文课程名称
抽象代数（I）
授课语言
（3）域论:重点介绍域的有限扩张，正规扩张和Galois理论.
三、预备知识或先修课程要求
1.线性空间,线性变换,矩阵等基本概念及性质,
2．多项式理论
四、教学目的与要求
（300~500字）
以下概念的定义,含义,主要性质,若干重要实例和应用:群,子群，正规子群，商群，群同态，Sylow定理；环,子环，理想，商环，交换环，唯一分解整环，主理想整环；域，子域,扩域,域的复合,单代数扩张,单超越扩张.域的特征,素域，分裂。