考研数学线代1行列式的性质及应用
线代第1讲行列式
a1 a1 + b1 a1 L a1
a2
L
an
特点： 特点：
例3.计算 3.计算
1 Dn +1 = 1 L 1
a2 L a2 + b2 L L a2
1 0 0
an an L
L
其余行与第一行比 仅主对角线元素不同
L an + bn
a1 b1 0 a2 L an 0 L 0 0 b2 L
解：
Dn +1
ri − r1 i = 2,3,L , n
返回
a11
2) a 21
L L N L
L L
a1, n −1 a 2, n −1 M 0
0 a 2, n −1 M 0
a1n 0 M 0
a1n 0 M 0
0 = 0 M
L L N
0 a 2, n −1 M a n , n −1
a1n a2 n M a nn
M a n1
0 0
a n1 L
=
M N a n1 L
(1) A = A
T A 与 B 相似，则
A= B
(3) AB = BA = A B ,
A+ B ≠ A + B
(4) A
−1
= A
−1
(当 A 可逆) ( A 是 A 的伴随矩阵)
返回
(5) A = A
*
n −1
*
三、典型例题分析
计算行列式， 计算行列式， 或利用定义求， 或利用定义求， 或利用性质化为上( 或利用性质化为上(下)三角形行列式等已知结果的行列式求， 三角形行列式等已知结果的行列式求， 已知结果的行列式求 或用行(列)展开定理求. 展开定理求. 或用行( 特别二阶或三阶行列式可对角线法求. 特别二阶或三阶行列式可对角线法求.
线代第一章(1)
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
其中
j1 j 2 j n
表示对所有n元排列取和。
注： (1) 当n=1时，一阶行列式 a a 此处 a 不是a的绝对值， 例如行列式 1 1
(2) 定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的 可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些 乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列， 然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一 项的符号。
i 为行标， j 为列标。
注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则(在黑板上演示) 例：
2
0
1
1 4 1 1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8 24 8 4 16 4
二（三）阶行列式
排列与逆序 n 阶行列式的定义
行列式概念的形成（定义）
四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则
行列式的基本性质及计算方法
利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组
一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
行列式与行列式的性质
行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。
本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。
对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。
二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。
这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。
2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。
3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。
这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。
4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。
5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。
三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。
这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。
3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。
行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。
4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列,得112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =)事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑说明：行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论， 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔）或两列（i j c c ↔)，行列式变号.例如123123086351.351086=-推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =。
证明： 互换相同的两行， 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行(列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212nn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论:（1) D 中某一行(列）所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零,则0D =;性质4： 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5： 若行列式某一行(列）的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和。
这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列)的元素与原行列式相同 。
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第一讲：行列式排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。
n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅=（n 的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。
一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解 逆序数为10，是偶排列。
行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的逆序数。
n 阶行列式具有的性质1．性质（1）行列互换，行列式不变。
即111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a=。
2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212n i i in n n nna aa ka ka kaa a a =k 111211212n i i in n n nna a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
即1212121112121222()1212(1)n n nnn j j j j j nj j j j n n nna a a a a a A a a a a a a τ==-∑11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+。
4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。
（两行相同就是说两行对应元素都相同）。
5．性质（5）如果行列式中两行成比例。
那么行列式为零。
即11121111211212121212120n n i i ini i ini i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==。
6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
即111211112111121112212121212121212121112112n n ni k i k in kni i ink k kn k k kn k k kn k kkn n n nnn n nnn n nnn i i i a a a a a a a a a a ca a ca a caa a a ca caca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+=1212n k k kn n n nna a a a a a7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。
即111211112111121121122112212121212121211121n n n i iini k i k in kni k i k in kn k k knk k kn i i in n n nnn n nnn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++==---=11121121212121212n k k knk k kn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =----行列式的计算数字型行列式的计算 1.三角化法例2 计算行列式1122331111111b b b D b b b --=----之值。
解 从第1行开始,依次把每行加至下一行,得1112222333331111111111111111b b b b b b D b b b b b b ====------例3 计算行列式x a aa a x aaD a a xa a a ax=之值。
解 把每行均加至第一行,提出公因式()1x n a +-,再把第一行的a -倍分别加到第二行至第n 行,得[][][]111111111(1)(1)(1)()n n a x aax aD x n a x n a x n a x a a a xa x aa a axx a--=+-=+-=+----2．递推法例4 计算行列式5111111111a a a a D aa a a a---=------之值。
解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式5145411(1)111111a a a D D a a aa a a a+-==--------继续使用这个递推公式，有443D D a =+332D D a =- 而初始值221D a a =-+，所以 234551D a a a a a =-+-+-例5 计算行列式 1231111n n na a x a xD a xa x---=-之值。
解 按第n 行展开，有1111(1)(1)n n n n n n n D xD a xD a +---=+-⋅-=+， 从而递推地得到212121(1)(1)n n n n n n n D xD a xD a ------=+-⋅-=+， 232n n n D xD a ---=+212D a x a =+对这些等式分别用1，x ,2x ,,2n x-相乘，然后相加，得到1231231n n n n n n D a x a x a x a x a ----=+++++ 3．公式法例6 计算行列式 a b c d ba d cA c d a b dc b a--=----之值。
解 由于2222()T AA a b c d E =+++,故用行列式乘法公式，得222224()T T A A A AA a b c d =⋅==+++因A 中，4a 系数是+1，所以22222()A a b c d =+++。
行列式的概念与性质的例题例7 已知2331645615ij a a a a a a 是6阶行列式中的一项，试确定,i j 的值及此项所带的符号。
解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。
因此，行指标2,3,,6,5,1i 应取自1至6的排列，故4i =，同理可知2j =。
直接计算行的逆序数与列的逆序数，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639ττ+=+=。
亦知此项应带负号。
抽象行列式的计算例8 已知123,,,,αααβγ都是4维列向量，且123,,,a αααβ=，321,,,b βγααα+=，则1232,,,γααα=（ ）。
解321,,,βγααα+中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变行，就有321321321,,,,,,,,,βγαααβαααγααα+=+321123321123,,,,,,,,,,,,,βααααααβγαααγααα==-于是1232,,,2()a b γααα=-。
含参数行列式的计算例9 已知3111510113x D x x --=-=--，求x 。
解 将第3行的-1倍加至第1行，有2202101100151(2)151(2)15211311311452(2)(2)(918)14x x D x x x x x x x x x x x x x x ---=-=--=---------=-=--+- 所以2,3,6x x x ===。
关于0A =的证明 解题思路：①设证法A A =-；②反证法：如0A ≠从A 可逆找矛盾；③构造齐次方程组0Ax =，设法证明它有非零解； ④设法证矩阵的秩()r A n <； ⑤证明0是矩阵A 的一个特征值。
例10 设2,A A A E =≠(单位矩阵)，证明：0A =。
证法一：如0A ≠，则A 可逆，那么121A A A A A E --===.与已知条件A E ≠矛盾。
证法二：由2A A =，有()0A A E -=,从而A E -的每一列都是齐次方程组0Ax =的解，又因A E ≠，故0Ax =有非零解，从而0A =。
证法三：证同上，由于A E -的每一列(1,2,,i i n β=都是0Ax =的解，所以12()(,,,)()n r A E r n r A βββ-=≤-，又因A E ≠，()0r A E ->，故()()r A n r A E n ≤--<，所以0A =。
证法四：证同上，设i β是A E -中非零列，则00i i A ββ==,则，0是A 的特征值，故0A =。
特殊行列式的解法 1 范德蒙行列式定义：行列式123222212312311231111nn n n n n na a a a d a a a a a a a a ----=称为n 级的范德蒙行列式。
例11 计算行列式112233222112233111(1)(1)(1)(1)(1)(1)A x x x x x x x x x x x x =------之值。
解 把1改写成(1)i i x x --，第一行成为两数之和，A 可拆成两个行列式之和，即123123112233112233222222112233112233(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=---+---------分别记这两个行列式为B 和C ，则由范德蒙行列式得，1231232221122333123123113222123111111111()i i j i j i B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =≤<≤=------==⋅-∏∏3113(1)()i i j i j i C x x x =≤<≤=--⋅-∏∏故331311()(1)i j i i j i i i A x x x x ≤<≤===-[--]∏∏∏。