曲面法向量应该取正的还是负的
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分曲面的侧•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦cos αcos βcos γ> 0 为前侧< 0 为后侧封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧> 0 为上侧< 0 为下侧外侧内侧侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面表示:Oxyz(),,1x y n z z =--(),z z x y =(),,1x y n z z =-Oxyz(),z z x y =上侧曲面下侧曲面若曲面为则曲面定向可取上侧或下侧,():,,z z x y ∑=当此曲面取上侧时, 法向量为(),,1;x y n z z =--当此曲面取下侧时, 法向量为(),,1;xyn z z =-右侧曲面左侧曲面若曲面为则曲面定向可取右侧或左侧,():,,y y x z ∑=当此曲面取右侧时, 法向量为当此曲面取左侧时, 法向量为(),1,;x z n y y =--(),1,;x z n y y =-Oxyz(),1,x z n y y =--(),y y x z =Oxyz(),1,x z n y y =-(),y y x z =前侧曲面后侧曲面若曲面为则曲面定向可取前侧或后侧,():,,x z y z ∑=当此曲面取前侧时, 法向量为当此曲面取后侧时, 法向量为()1,,;y z n x x =--()1,,;yzn x x =-Oxyz()1,,y z n x x =--(),x x y z =Oxyz()1,,y z n x x =-(),x x y z =设∑是有向曲面. 在∑上取一小块曲面S ∆,把S ∆投影到xOy 面上得一投影区域, 面积记为()xy σ∆S ∆在xOy 面上的投影()xy S ∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos 00cos )(0cos )()(γγσγσxy xy xy S流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v x y z P x y z Q x y z R x y z=给出, (,,)((,,),(,,),(,,))∑是速度场中的一片有向曲面,函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z都在∑上连续,求在单位时间内流向∑指定侧流体的质量,即流量Φ.当()π,2v n θ=<时,||cos A v Av n θ⇒Φ=⋅v n hθ当()π,2v n θ==时, 0Av n Φ=⋅=当()π,2v n θ=>时, 0Av n Φ=⋅<(,,)i i i i S ξηζ∀∈∆nviS ∆∑(,,)(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i i i i i v v P i Q j R kξηζξηζξηζξηζ==++(,,)cos cos cos i i i i i i i n i j k ξηζαβγ=++ 1ni i i i v n S =Φ≈⋅∆∑i i i ni S ∆⋅≈=∑n v 1Φii i i i i i i i i i i i ni S R Q P ∆++==∑]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1γζηξβζηξαζηξ()()()cos ,cos ,cos i i i i i i i i i yz xz xyS S S S S S αβγ⋅∆≈∆⋅∆≈∆⋅∆≈∆]))(,,())(,,())(,,([1xy i i i i zx i i i i yz i i i i ni S R S Q S P ∆+∆+∆≈Φ=∑ζηξζηξζηξ对坐标的曲面积分的概念和性质设∑为光滑的有向曲面, 函数(,,)R x y z 在∑上有界.把∑任意分成n 块小曲面i S ∆(i S ∆也代表第i 小块曲面面积).在xOy 面上的投影为()i xy S ∆， (,,)i i i ξηζ是i S ∆上任意一点. 定义 如果当各小块曲面的直径的最大值0λ→时,xy i i i i ni S R ))(,,(lim 10∆=→∑ζηξλ 总存在,定义 称此极限为函数(,,)R x y z 在有向曲面∑上对坐标,x y 的曲面积分: 记作 (,,)d d R x y z x y ∑⎰⎰01(,,)d d lim (,,)()niiii xyi R x y z x y R S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰其中(,,)R x y z 叫做被积函数,∑叫做积分曲面.定义 类似的有01(,,)d d lim (,,)()ni i i i yzi P x y z y z P S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x Q S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.为P 在曲面∑上对坐标,y z 的曲面积分为Q 在曲面∑上对坐标,z x 的曲面积分对坐标的曲面积分的简记形式(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑∑∑++⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑=++⎰⎰对坐标的曲面积分的物理意义(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑Φ=++⎰⎰对坐标的曲面积分的侧的性质设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的曲面, 则d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y -∑∑++=-++⎰⎰⎰⎰对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面∑由方程(,)z z x y =给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为xy D , 函数(,)z z x y =在xy D 上具有一阶连续偏导数, 被积函数(,,)R x y z 在∑上连续,(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”类似地, 如果∑由(,)x x y z =给出, 则有(,,)d d [(,),,]d d yzD P x y z y z P x y z y z y z ∑=±⎰⎰⎰⎰如果∑由(,)y y x z =给出, 则有(,,)d d [,(,),]d d zxD Q x y z z x Q x y z x z z x ∑=±⎰⎰⎰⎰前正后负 右正左负例 计算曲面积分222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ , 其中∑是长方体Ω的整个表面的外侧,解 把Ω的上下面分别记为1∑和2∑;{(,,)|0,0,0}x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤前后面分别记为3∑和4∑; 左右面分别记为5∑和6∑.xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑解 1:(0,0)z c x a y b ∑=≤≤≤≤的上侧;2:0(0,0)z x a y b ∑=≤≤≤≤的下侧;3:(0,0)x a y b z c ∑=≤≤≤≤的前侧;4:0(0,0)x y b z c ∑=≤≤≤≤的后侧;5:0(0,0)y x a z c ∑=≤≤≤≤的左侧. 6:(0,0)y b x a z c ∑=≤≤≤≤的右侧.xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑解 除3∑、4∑外, 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零,34222d d d d d d x y z x y z x y z ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d d 0d d yzyzD D a y z y z =-⎰⎰⎰⎰2a bc =3:∑=x a 4:0∑=x解 xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑类似地可得22d d y z x b ac ∑=⎰⎰,22d d z x y c ab ∑=⎰⎰,于是所求曲面积分为()a b c abc ++.例 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 1∑: 221y x z --=(0,0)x y ≥≥的上侧,Oyxz1∑2∑xyD 2∑: 221y x z ---=(0,0)x y ≥≥的下侧.Oyxz1∑2∑xyD 例 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 1∑和2∑在xOy 面上的投影区域都是22:1(0,0)xy D x y x y +≤≥≥解12d d d d d d xyz x y xyz x y xyz x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221d d (1)d d xyxyD D xy x y x y xy x y x y=------⎰⎰⎰⎰ 2221d d xyD xy x y x y =--⎰⎰π122202d sin cos 1d θθθ=-⎰⎰r r r r 152=两类曲面积分之间的联系设积分曲面∑由方程(,)=给出,z z x yD,∑在xOy面上的投影区域为xyD上具有一阶连续偏导数,函数(,)=在z z x yxy被积函数(,,)R x y z在∑上连续.如果∑取上侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xy D R x y z x y R x y z x y x y ∑=⎰⎰⎰⎰因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为221cos y x x z z z ++-=α, 221cos y x yz z z ++-=β, 2211cos y x z z ++=γ,(,,)cos d [,,(,)]d d xy D R x y z S R x y z x y x y γ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰如果∑取下侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=-⎰⎰⎰⎰ 但这时2211cos yx z z ++-=γ, 因此仍有 (,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (,,)d d (,,)cos d P x y z y z P x y z S α∑∑=⎰⎰⎰⎰ (,,)d d (,,)cos d Q x y z z x Q x y z S β∑∑=⎰⎰⎰⎰d d d d d d (cos cos cos )d P y z Q z x R x y P Q R S αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰向量形式d d A S A n S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰，d d n A S A S ∑∑⋅=⎰⎰⎰⎰, (,,)A P Q R =, (cos ,cos ,cos )n αβγ=,d d (d d ,d d ,d d )S n S y z z x x y ==n A 为向量A 在向量n 上的投影.例 计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰, 其中∑是曲面)(2122y x z +=介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 解 曲面上向下的法向量为(,,1)x y - 221cos y x x ++=α, 2211cos y x ++-=γ, O yx z222d 1d d S x y x y =++解 d d =cos d ,d d cos d y z S x y S αγ= d d d d =cos ()d d ,cos x y y z x x y αγ=- 22()d d d d [()()]d d z x y z z x y z x x z x y ∑∑+-=+--⎰⎰⎰⎰2[()()]d d ∑+--⎰⎰z x x z x y 2222211()()()d d 42⎧⎫⎡⎤=-++⋅--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰⎰xy D x y x x x y x y 22222211()()d d 42⎧⎫=+-+⎨⎬⎩⎭+⎰⎰xyD x x y x y y x x2221()d d 20⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰⎰xy D x x y x y 2222241[()]d d 2x y x x y x y +≤=++⎰⎰ 2π2222001d (cos )d 2θθ=+⎰⎰r r r r 8π=对坐标的曲面积分1. 理解曲面的侧，对坐标的曲面积分的概念.2. 掌握对坐标（第二类）的曲面积分的计算方法.3. 理解两类曲面积分的联系.。
曲面上点的法向量
曲面上点的法向量
点是几何中重要的概念，而曲面上点的法向量可以为我们揭示几何形状内部复杂的特性。
曲面上点的法向量：
1. 概念：曲面上点的法向量是一种在三维空间中，从曲面点处指向曲
面曲率半径方向的单位向量。
2. 定义：若向量是在曲面上某点P处的法向量，那么其实质向量应满足以下定义：向量与曲面曲率半径相垂直，并且其模 | | 等于1.
3. 特性：曲面上点的法向量的方向指向曲面曲率半径的方向，并且其
模为1，所以可以表达曲面的曲率状态。
4. 应用：曲面上点的法向量可以应用在几何学中，例如求解曲面表面
积分，曲面参数求解等等，也可以用于计算机图形学，比如光照处理，物体表面材质反射分析等。
曲面的方向向量
曲面的方向向量
曲面的方向向量是指曲面上某一点处的法向量，它垂直于曲面，并表示了该点处曲面的局部几何特征。
要计算曲面的方向向量，可以使用曲面的参数方程或者隐式方程来求解。
如果曲面由参数方程表示，例如曲面的参数方程为：
x = f(u, v)
y = g(u, v)
z = h(u, v)
其中u和v分别是曲面的参数，可以是任意实数，函数
f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)描述了曲面上每个点的坐标。
对于给定的参数值(u0, v0)，曲面上该点的方向向量可以通过计算参数u和v相应方向的偏导数得到，即：
Nx = ∂f/∂u
Ny = ∂g/∂u
Nz = ∂h/∂u
Mx = ∂f/∂v
My = ∂g/∂v
Mz = ∂h/∂v
然后通过叉乘运算求得曲面上该点的法向量：
N = (Ny*Mz - Nz*My, Nz*Mx - Nx*Mz, Nx*My - Ny*Mx) 这个法向量就是曲面在该点处的方向向量。
如果曲面由隐式方程表示，例如曲面的隐式方程为：
F(x, y, z) = 0
可以使用偏导数的概念来计算曲面上某一点处的方向向量。
对于给定的点(x0, y0, z0)在曲面上，其法向量可以通过计算隐式方程在该点处的梯度得到：
N = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)
这个法向量也是曲面在该点处的方向向量。
需要注意的是，曲面的方向向量不唯一，因为曲面在每个点都有无数个法向量。
通常情况下，我们会取单位法向量作为曲面在该点处的方向向量，即将得到的法向量进行归一化处理，使其长度为1。
曲面上曲线的法向量
曲面上曲线的法向量
曲面上曲线的法向量可以通过求曲线在某一点处的切线向量的垂直向量得到。
具体的计算方法根据曲线的参数方程有所不同。
以下是求解不同类型曲线法向量的方法：
1. 二元曲线（参数方程为x=f(u), y=g(u)）：在某一点（u,v）处，切线向量为（dx/du, dy/du），法向量可以通过交换x和y
分量的符号得到，即（-dy/du, dx/du）。
2. 三元曲线（参数方程为x=f(u), y=g(u), z=h(u)）：在某一点（u,v）处，可以通过以下步骤求解法向量：
- 计算切线向量：（dx/du, dy/du, dz/du）
- 计算切线的单位向量：先计算切线向量长度，再将切线向
量除以长度得到单位向量。
- 计算单位切线向量的二阶导数：（d^2x/du^2, d^2y/du^2,
d^2z/du^2）
- 计算法向量：法向量等于单位切线向量和二阶导数的向量积，即进行叉乘运算得到（dy/du * d^2z/du^2 - dz/du *
d^2y/du^2, dz/du * d^2x/du^2 - dx/du * d^2z/du^2, dx/du *
d^2y/du^2 - dy/du * d^2x/du^2）
这些方法可以帮助你求解曲面上曲线的法向量。
线性代数@总结----曲线积分和曲面积分
曲线、曲面积分一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （一）第一类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰±=±LLLds y x g k ds y x f k ds y x g k y x f k),(),()],(),([2121；②21,),(),(),(21L L L ds y x f ds y x f ds y x f L L L+=+=⎰⎰⎰设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ),(),(:，则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()](),([),(22其中)(),(t t ψϕ在],[βα上有一阶连续导数且0)()(22≠'+'t t ψϕ注 1：若曲线L 由方程b x a x y ≤≤=),(ϕ确定，则⎰⎰'+=baLdx x x x f ds y x f )(1))(,(),(2ϕϕ注 2：若曲线L 由极坐标方程βθαθ≤≤=),(r r 表示，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=)()()sin ,cos (),(22【例】计算⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线y y x 222-=+【详解】曲线L 可参数化：⎩⎨⎧+-==,sin 1,cos :θθy x L 此时θ的变化范围为：,20πθ≤≤θθθθd d ds =+=22cos sin ，故⎰⎰⎰-=-+=+Ld d ds y x ππθθθθθ20202222sin 12)1(sin cos⎰-=πθθθ202cos 2sin2d ⎰⎰=-+-=πππθθθθθθ2228])2cos 2(sin )2sin 2(cos [2d d （三）计算第一类曲线积分的步骤1、根据积分曲线与被积函数的特征，将积分曲线参数化（有时题目可能会直接给你一个参数方程）2、利用公式dt t z t y t x ds)()()(222'+'+'=求出弧长微分ds 的值3、将参数方程和ds 的值代入积分，进行计算 二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （一）第二类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(②⎰⎰⎰+++=+21),(),(),(),(),(),(L LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ，其中21L L L +=注：第二类曲线积分与曲线的方向有关，若L -表示L 的反方向，则⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(（二）第二类曲线积分的计算设),(),,(y x Q y x P 在有向曲线弧L 上有定义且连续。
空间曲面的法向量与曲率
空间曲面的法向量与曲率空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，我们可以通过法向量和曲率来描述其性质和特点。
本文将探讨空间曲面的法向量与曲率，并介绍它们的计算方法和应用。
一、法向量的定义与计算方法法向量是指与曲面上某一点的切平面垂直的向量。
在空间中，我们可以通过求取曲面的法向量来揭示曲面的几何性质。
对于一般曲面，法向量的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲面的参数方程或隐函数表达式。
2. 然后，以曲面上的一点为基准点，分别计算该点横、纵坐标对参数的偏导数。
3. 最后，将计算得到的偏导数向量归一化，得到该点处的法向量。
以某空间曲面为例，其参数方程为：x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)。
在该参数方程下，求取曲面上某一点处的法向量的具体步骤如下：1. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数u的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial u}$，$\frac{\partial y}{\partial u}$，$\frac{\partial z}{\partial u}$2. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数v的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial v}$，$\frac{\partial y}{\partial v}$，$\frac{\partial z}{\partial v}$3. 计算法向量的横、纵、纵坐标分量：$n_x = \frac{\partialy}{\partial u} \cdot \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partialu}\cdot\frac{\partial y}{\partial v} $，$n_y=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partialu}\cdot\frac{\partial z}{\partial v}$，$n_z=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partialu}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}$4. 归一化法向量：$N = \frac{1}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}(n_x,n_y, n_z)$通过以上步骤，我们可以得到空间曲面上每个点处的法向量。
空间曲面的法向量和法曲率
空间曲面的法向量和法曲率曲面是三维空间中的一类特殊集合，其在数学和物理学中有着广泛的应用。
在研究曲面的性质时，法向量和法曲率是两个重要的概念。
本文将简要介绍空间曲面的法向量和法曲率，并探讨它们的相关性质。
一、空间曲面的法向量对于平面上的曲线而言，其法向量可以直观地表示出曲线的朝向。
而在三维空间中的曲面上，我们同样可以定义法向量。
曲面上的每一点处都有一个唯一的法向量，该向量垂直于曲面上的切平面，指向曲面的外部。
为了求解曲面上某一点的法向量，我们可以利用曲面上的两个参数方程求导并取叉积的方法来计算。
具体而言，设曲面的参数方程为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)为可微函数。
则曲面上某一点处的法向量为：n = (∂h/∂u)(∂f/∂v) - (∂f/∂u)(∂h/∂v), (∂h/∂v)(∂g/∂u) - (∂g/∂v)(∂h/∂u),(∂f/∂u)(∂g/∂v) - (∂g/∂u)(∂f/∂v)其中，(∂f/∂u)表示对f(u, v)关于u求偏导数的结果。
通过类似的方式，我们可以计算出曲面上其他点的法向量。
二、空间曲面的法曲率法曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要概念。
直观上来看，一个曲面在某一点的法曲率越大，表示该点处的曲面弯曲得越剧烈。
对于曲面上的一条曲线，其切线的方向和曲面的法向量之间有一个旋转角度。
我们定义该旋转角度为曲线在该点处的曲率。
而在曲面上的每一点，曲率可以沿着不同方向计算，其中最大的曲率称为主曲率，对应的方向称为主曲率方向。
由于曲面在不同方向上的弯曲程度不同，因此曲率是一个矩阵，称为曲率矩阵。
假设曲面的法向量为n，曲率矩阵为K，主曲率为k1和k2，则曲率矩阵可表示为：K =k1 00 k2其中，k1和k2分别对应主曲率方向上的曲率。
三、法向量和法曲率的关系法向量和法曲率之间存在着紧密的联系。
具体而言，曲面上的法向量和其法曲率之间满足下列公式：n · K · n = k1(n · n) + k2(n · n) = k1 + k2其中，·表示向量的点积。
已知曲面方程求法向量
已知曲面方程求法向量在数学的世界里，有一种神奇的东西叫做曲面，而在这曲面上，有个小家伙我们叫它法向量。
哎，听上去复杂，但其实不难。
你想啊，曲面就像是我们平常生活中看到的球、碗、或者是某种奇特的造型。
法向量呢，简单来说，就是指向曲面的“正面”的那根矢量，像个警报器，时刻告诉你：“嘿，这里是我的正面哦！”当我们需要判断某个点在曲面上是往上走还是往下走时，法向量就像个导航仪，指引我们方向。
说到这里，大家一定在想，怎么找到这个家伙呢？方法简单得很。
你得有曲面的方程。
这就像你得有一张地图才能找到目的地。
比如说，假设你有个球体的方程，像是 ( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 )。
这时候，法向量可就要派上用场了。
怎么做呢？你只需要对这个方程进行微分，得出梯度。
哎，别害怕，梯度听起来很高深，其实就是把方程对每个变量求偏导数。
对于这个球体的例子来说，你分别对 ( x )、( y ) 和 ( z ) 求导，结果会得到一组很简单的表达式，合起来就成了法向量。
想象一下，这就像是调味料，让原本简单的方程变得更加丰富。
咱们要把这些公式拿到实际应用中。
假如你想知道某个点 ( (x_0, y_0, z_0) ) 上的法向量，别担心，只要把这个点的坐标代入你刚刚得出的梯度表达式，噼里啪啦，一下子就能得到法向量。
这时候你可能会感叹：“哇，这玩意儿真不错！”记得要保持一颗好奇心，试试不同的点，看看法向量怎么变化，真是有趣得很。
再来说说曲面上的法向量其实不止一种，有时候同一个曲面在不同的点上法向量的方向和大小都可能不同。
就像我们在生活中，有时候心情好，有时候心情差。
法向量的这种变化，恰恰反映了曲面在不同位置的“脾气”。
想象一下，你走在一个丘陵地带，往左转有个坡，往右转是个平地，法向量就像是在告诉你：“嘿，往左是个下坡，赶紧准备滑下来！”多么有意思的感觉啊。
法向量的长度其实也有讲究。
如果你把法向量的长度调成1，这叫单位法向量。