曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。
曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量
曲面方程F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为n = { ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z}
法向量n=+-{-fx,-fy,1},其中+表示方向向上，-表示向下！这是因为当曲面方程是显式z=f(x,y)时令F(x,y,z)=f(x,y)-z。
从而Fx=fx,Fy=fy,Fz=-1即n={fx,fy,-1},这是方向向下的情形。
1)首先从简单开始，如果是平面F(x,y)=0
一般形式是Ax+By+C=0
法向量是(A,B)。
因为任意一点(x0,y0)在平面上，A*x0+B*y0+C=0
那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0，即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0
2)对于一般曲面F(x,y,z,……)=0
两边微分(偏导用大写D)，有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0
那么向量(DF/DX , DF/DY , DF/DZ , ……) * (dx , dy , dz, ……)=0
其中向量(dx , dy , dz, ……)必定在平面上(d是微分嘛，曲面的微小变化量)
所以向量(DF/DX , DF/DY , DF/DZ , ……) 是曲面的法向量回答者：eraqi
这就是很好的答案啊。
空间曲面的切平面与法线
若4. 0. V表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量
的方向是向上的，即使得它与Z轴的正向所成的角/是锐角，
则法向量的方向余弦为
_ fx COS 4 J=i+f
cos 0 =
-fy J1 + f + f
fx = fx (xo, y°)
其中
fy = fy , (X0 y°)
1
A/ COS / =
1 + fXX + fy
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
特殊地：空间曲面方程形为z = f（X, y） 令 F （旳 y,z） = f （旳 y） - z, n = {fx （Xo, y°）, fy 3。， y。），T}
曲面在Mo处的切平面方程为
fx（x。，yo）（ x 一 x。）+fy（源自。，y°）（y - y。）=乙一如
曲面在Mo处的法线方程为
x _ xo = y - y0 = z _ zo
则n宜，由于曲线是曲面上通过Mo的任意一条曲线，它们在Mo的 切 线都与同一向量n垂直,故曲面上通过M。的一切曲线在点M。的切 线都
在同一平面上，这个平面称为曲面在点M。的切平面.
切平面方程为
F (x0, y。, Zo)(x - xo) + Fy (x0, % Zo)( y 一 y°)
+ Fz(xo, y。，Zo)( z - Zo) = 0
通过点M0 ( x0, y0, z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x-x
y - yo
z 一 Zo
Fx(xo, y。，%) Fy (xo,y。，Zo) F(xo, y。，Zo)
曲线F(x,y)=0的切线与法线方程
k切
y(0)
1 e
k法
1 y(0)
e
切线方程：
y 1 1 (x 0) y x 1
e
e
法线方程：
y 1 e(x 0)
y ex 1
ey xy e
y ex 1
y x 1 e
曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
F (x, y) 0 dy Fx
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的法线斜率：
k Fy (x0 , y0 ) Fx (x0 , y0 )
法线：
y
y0
Fy (x0 , Fx (x0 ,
y0 ) y0 )
(x
x0 )
即
x x0 y y0
对称式
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
例 求曲线 ey xy e 0 在点 (0,1)处的 切线方程和法线方程。
解 令 F (x, y) ey xy e
则
Fx y Fy ey x
得 y(0) Fx (0,1) 1 Fy (0,1) e
切线斜率 法线斜率
y(
x0
)
Fx Fy
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
（由隐函数的导数公式）
切线方程： 即
y
y0
Fx (x0 , Fy (x0 ,
y0 ) y0 ) x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
空间曲面在某点的法向量
空间曲面在某点的法向量空间曲面是由一个或多个函数方程确定的，在不同点的曲面呈现出不同的形状和特征。
其中，在某一点上，曲面的法向量可以通过求取该点处的偏导数来确定。
本文将介绍如何计算空间曲面在某点的法向量，并且讨论一些应用。
一、计算空间曲面在某点的法向量要计算空间曲面在某点的法向量，首先需要知道曲面的方程，并且确定曲面的参数化表示。
具体步骤如下：1. 确定曲面的方程曲面可以由一个或多个函数方程确定。
根据曲面的特征和给定条件，选择合适的方程表示曲面。
2. 参数化表示根据曲面的方程，将其转化为参数化表示形式。
将曲面的自变量表示为参数，并且确定参数的取值范围。
3. 计算偏导数对参数化表示的曲面方程，分别对每个参数求取偏导数。
求取偏导数的过程中，其他参数视为常数。
4. 构造法向量根据偏导数求取的结果，将其构造为一个向量。
偏导数的系数即是法向量的分量。
5. 归一化对求取得到的法向量进行归一化，使其成为单位向量。
法向量的归一化可以通过将向量除以其长度来实现。
此时，得到的向量即是空间曲面在某点的法向量。
二、应用空间曲面在某点的法向量在计算几何、物理学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用的示例：1. 曲面的切平面曲面的切平面是通过曲面上某一点的切线和法线所确定的平面。
切平面与曲面在该点的法向量垂直。
根据空间曲面在某点的法向量，可以计算出曲面的切平面，进而研究曲面的切变、法向量场等性质。
2. 曲面的法向量场根据空间曲面在每个点的法向量，可以构建曲面的法向量场。
通过研究法向量场的性质，可以得到曲面的特征、形状以及其他相关信息。
3. 表面积和曲面积分根据曲面在某点的法向量，可以计算出曲面在该点的面积。
这对于计算几何体的表面积或者计算曲面积分有重要意义。
4. 几何优化在几何优化问题中，需要求解曲面的极值点或者曲面上某一点的梯度。
空间曲面在某点的法向量可以作为求解这些问题的重要工具。
总结：本文讨论了空间曲面在某点的法向量的计算方法，并且介绍了一些应用。
第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题
第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。
2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。
3．11lim0-+→→xy xy y x = 。
二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。
（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。
（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。
三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。
1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。
在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。
本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。
切平面是指与曲面在该点处相切的平面。
在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。
因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。
为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。
曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。
梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。
对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。
因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。
例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。
法线是指与曲面在该点处垂直的向量。
在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。
因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。
曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。
通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。
例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
8_3空间曲面.
P0 d
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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6.平行平面间的距离 有两个平行平面:
Ax + By + Cz+D1 = 0, Ax + By +Cz+ D2 = 0,
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)Biblioteka y两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第三节 空间曲面
一、空间曲面的方程
二、空间平面 三、几种常见的空间曲面
第八章
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
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曲面方程F(x,y,z)=0的一个法向量可以为n = {∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z}法向量n=+-{-fx,-fy,1},其中+表示方向向上，-表示向下！这是因为当曲面方程是显式z=f(x,y)时令F(x,y,z)=f(x,y)-z。
从而Fx=fx,Fy=fy,Fz=-1即n={fx,fy,-1},这是方向向下的情形。
1)首先从简单开始，如果是平面F(x,y)=0
一般形式是Ax+By+C=0
法向量是(A,B)。
因为任意一点(x0,y0)在平面上，A*x0+B*y0+C=0
那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0，即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0
2)对于一般曲面F(x,y,z,……)=0
两边微分(偏导用大写D)，有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0那么向量(DF/DX , DF/DY, DF/DZ , ……) * (dx , dy , dz,……)=0
其中向量(dx , dy , dz, ……)必定在平面上(d是微分嘛，曲面的微小变化量)
所以向量(DF/DX , DF/DY, DF/DZ, ……)是曲面的法向量回答者：
eraqi
这就是很好的答案啊
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