组合数学-排列组合
组合数学中的排列组合与容斥原理
组合数学中的排列组合与容斥原理组合数学是数学中一个重要的分支，它研究的是离散的结构和计数问题。
在组合数学中，排列组合和容斥原理是两个基本的概念和方法。
本文将介绍排列组合和容斥原理的概念、应用以及相关的例子。
一、排列和组合在组合数学中，排列和组合是两个常见的计数方法。
排列指的是从给定的元素集合中选取若干个元素并按一定的顺序排列。
组合则是指从给定的元素集合中选取若干个元素，但不考虑元素的顺序。
1.1 排列排列是指从给定的n个元素中选取m个元素并按一定的顺序排列的方式。
排列的计算公式可以表示为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * ... * 2 * 1。
例如，从{1, 2, 3}中选取2个元素进行排列，可以得到以下6个排列：{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}。
1.2 组合组合是指从给定的n个元素中选取m个元素，但不考虑元素的顺序的方式。
组合的计算公式可以表示为：C(n, m) = n! / ((n - m)! * m!)例如，从{1, 2, 3}中选取2个元素进行组合，可以得到以下3个组合：{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}。
二、容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，用于解决多个集合的计数问题。
容斥原理可以用来计算两个集合的并集、交集以及差集的元素个数。
2.1 两个集合的并集对于两个集合A和B，它们的并集的元素个数可以通过容斥原理进行计算：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|其中|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A ∩ B|表示集合A和B的交集的元素个数。
2.2 两个集合的交集对于两个集合A和B，它们的交集的元素个数可以通过容斥原理进行计算：|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|其中|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A ∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
排列组合基础知识讲解
排列组合基础知识讲解
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算从给定元素中选择若干个元素的不同方式。
以下是排列组合的基础知识讲解：
排列（Permutation）：从给定的元素中选择若干个元素进行排列，且这些元素的顺序是重要的。
例如，从3 个元素a，b，c 中选择2 个元素进行排列，可以得到6 种不同的排列方式：ab，ac，ba，bc，ca，cb。
组合（Combination）：从给定的元素中选择若干个元素进行组合，且这些元素的顺序是不重要的。
例如，从 3 个元素a，b，c 中选择2 个元素进行组合，可以得到3 种不同的组合方式：ab，ac，bc。
排列组合的计算公式如下：
排列的计算公式：$A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$
组合的计算公式：$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\times(n-k)!}$
其中，$n$ 表示元素的总数，$k$ 表示选择的元素个数。
排列组合在实际生活中有广泛的应用，例如在概率统计、组合数学、
计算机科学等领域。
掌握排列组合的基础知识对于理解和解决这些领域中的问题非常重要。
组合数学中的排列组合理论
组合数学中的排列组合理论在组合数学中，排列组合理论是一门重要的数学分支，广泛应用于计算、统计学、概率论等领域。
排列组合理论研究的是选取一定数量的元素，在不同条件下进行排列或组合的方法和规律。
本文将介绍排列和组合的概念、计算方法以及一些常见应用。
一、排列和组合的概念排列是指从一组元素中选取若干元素进行排列的方法。
假设有n个不同元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列数用P(n,r)表示，计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合是指从一组元素中选取若干元素进行组合的方法。
与排列不同的是，组合中选取的元素顺序不重要。
假设有n个不同元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合数用C(n,r)表示，计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)二、排列和组合的计算方法1. 排列的计算方法：（1）全排列：当选取元素的个数与原有元素个数相等时，全排列即为将所有元素进行排列，排列数为n!。
（2）有限制的排列：当选取元素的个数小于原有元素个数时，可以采用递归方法进行计算。
每次选取一个元素作为第一个排列元素，然后从剩下的元素中选取剩余个数-1个元素进行排列。
2. 组合的计算方法：（1）递推法：组合数具有递推性质，即C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)。
采用递推法可以逐步求解组合数。
（2）杨辉三角法：通过构建杨辉三角，可以直观地计算组合数。
每个数是上一行两个相邻数之和。
三、排列组合的常见应用1. 计数问题：排列组合理论可以解决许多计数问题，如从一组元素中选取不同的排列数或组合数。
2. 概率计算：在概率论中，排列和组合理论用于计算事件的发生概率。
通过计算有利事件的排列数或组合数，再除以总的排列数或组合数，可以得到事件发生的概率。
3. 组合优化问题：在组合优化问题中，通过排列和组合理论可以找到最优解或次优解。
排列组合c和p的公式
排列组合c和p的公式
排列组合是组合数学中的重要概念，用于计算从一组对象中选择出一部分进行排列或组合的方式的数量。
排列（Permutation）是指从n个不同元素中选择r个元素进行有序排列的方式的数量。
排列的公式为：
P(n,r) = n! / (n - r)!
其中，n表示总的元素数量，r表示选择的元素数量，!表示阶乘运算。
组合（Combination）是指从n个不同元素中选择r个元素进行无序组合的方式的数量。
组合的公式为：
C(n,r) = n! / (r! * (n - r)!)
其中，n表示总的元素数量，r表示选择的元素数量，!表示阶乘运算。
在公式中，n!表示n的阶乘，即n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过这两个公式，可以计算出从一组对象中选择出一部分进行排列或组合的方式的数量。
c336排列组合公式
c336排列组合公式在数学中，排列和组合是两种常见的概念。
排列是指从一组元素中以一定顺序抽取若干个元素形成的序列，而组合是指从一组元素中无序地抽取若干个元素形成的集合。
排列和组合在概率论、统计学和组合数学等领域都有广泛应用。
在计算排列和组合时使用的公式也是非常重要的。
一、排列公式1. 线性排列公式指从 n 个不同的元素中选出 m 个元素，按照一定的顺序排列成一列的方法数，称为 n 个元素中取 m 个元素的排列数，记作 A(n,m)。
公式：A(n,m) = n! / (n-m)!2. 圆排列公式指把 n 个不同的元素排成一个环，然后选出 m 个元素按照一定的方向排列的方法数，称为 n 个元素中取 m 个元素的圆排列数，记作 P(n,m)。
公式：P(n,m) = (n-1)! / (n-m)!二、组合公式指从 n 个不同的元素中选出 m 个元素，不考虑元素的顺序，称为 n 个元素中取 m 个元素的组合数，记作 C(n,m)。
公式：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)三、排列组合公式1. n 个元素中取 m 个元素进行排列，可以先选出 m 个元素再进行排列，也可以先进行排列再选出 m 个元素。
公式：A(n,m) = m! * C(n,m)2. n 个元素中取 m 个元素进行组合，可以先选出 m 个元素再进行组合，也可以先进行组合再选出 m 个元素。
公式：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)以上就是排列组合公式的介绍，这些公式在实际应用中有着广泛的应用。
其中，线性排列公式和组合公式在概率论和统计学中应用较广，圆排列公式则在组合数学中应用较多。
了解这些公式，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学学习的效率。
排列组合问题
排列组合问题排列组合问题是组合数学中的一个重要分支，涉及到从一组元素中选择若干个元素进行排列或组合的问题。
排列指的是从给定的元素集合中选取一定数量的元素按照一定顺序排列，组合则是从给定的元素集合中选取一定数量的元素，但不考虑顺序。
在实际应用中，排列组合问题有着广泛的应用，例如密码学、概率统计、计算机科学等领域。
在排列问题中，假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，可以有P(n,r)种不同的排列方式。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!，其中n!表示n的阶乘（即n! = n * (n-1) * ... * 1）。
例如，有5个人A、B、C、D、E，要从中选取3个人进行一次比赛，可以有P(5,3)种不同的排列方式，即5 * 4 * 3 = 60种。
在组合问题中，假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，可以有C(n,r)种不同的组合方式。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)。
继续以上述示例来说明，从5个人A、B、C、D、E中选取3个人进行一次比赛，可以有C(5,3)种不同的组合方式，即5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
排列组合问题的解法有很多，一种常见的方法是使用递归。
递归是一种自我调用的算法，通过不断将问题分解成规模更小的子问题，最终得到结果。
在排列组合问题中，递归可以通过不断缩小问题的规模来求解。
例如，要求从1、2、3、4这四个数字中选取3个数字进行排列，可以先选取第一个数字，然后递归地从剩下的数字中选取2个数字进行排列；然后再选取第二个数字，递归地从剩下的数字中选取1个数字进行排列；最后选取第三个数字，此时剩下的1个数字就是最后一个数字，完成一次排列。
通过不断递归，可以得到所有的排列方式。
同样地，对于组合问题，也可以使用递归来求解。
递归的思路类似，只是在每一步选择数字时，不再需要考虑顺序，因此需要对已选择的数字进行标记，以避免重复选择。
排列组合基础知识讲解
排列组合基础知识讲解介绍排列组合是一种数学领域中的基础概念，涉及到集合中元素的不同排列和组合方式。
在许多领域中都有广泛的应用，例如组合数学、概率论、统计学等。
本文将对排列组合的基础知识进行讲解，包括排列和组合的定义、计算公式、性质等内容。
排列的概念排列是从给定元素中按照一定顺序抽取一部分元素，形成一个序列的过程。
在排列中，元素的顺序是重要的。
如果从n个元素中选取r个元素进行排列，记作P(n, r)，表示排列的种类数目。
排列的计算公式为：$$P(n, r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$$其中，n! 表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)…2*1。
例如，从1、2、3三个元素中选取2个元素进行排列，可以得到以下6种排列：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)。
组合的概念组合是从给定元素中选择一部分元素，不考虑元素的顺序，形成一个集合的过程。
在组合中，元素的顺序不重要。
如果从n个元素中选取r个元素进行组合，记作C(n, r)，表示组合的种类数目。
组合的计算公式为：$$C(n, r) = \\frac{n!}{r!(n-r)!}$$例如，从1、2、3三个元素中选取2个元素进行组合，可以得到以下3种组合：{1,2}、{1,3}、{2,3}。
排列组合的性质1.排列和组合的区别：–排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
–排列中的元素不重复，组合中的元素可重复。
2.排列和组合的计算公式：–排列的计算公式中分子为n!，组合的计算公式中分子也为n!。
–排列的计算公式中分母为(n-r)!，组合的计算公式中分母为r!(n-r)!。
3.特殊情况下的排列和组合：–当r=0时，任意元素的组合为1种，排列为0种。
–当r=n时，任意取n个元素的组合为1种，排列为n!种。
应用实例排列组合在实际中有许多应用，下面以几个例子说明其应用：1.密码学：在密码学中，排列和组合可用于生成密码、破解密码等。
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前言组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方。
幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。
贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有《黄帝九章细草》、《算法斅古集》斅(音'笑')(“古算法导引”)都已失传。
杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。
前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍纳(William Geoge Horner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。
书中首次使用了组合论(Combinatorics)一词。
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。
组合分析主要研究内容是计数和枚举。
这与数学分析形成了对照。
第一章排列组合在这一章我们要用加法法则和乘法法则解决最基本的几种组合模型，包括排列、组合的计数问题。
第一节加法法则与乘法法则加法法则设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n 种产生方式。
集合论语言：若|A|=m,|B|=n,A∩B=φ,则|A∪B|=m+n。
/*例某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有18+10=28人。
例北京每天直达上海的客车有5次，客机有3次，则每天由北京直达上海的旅行方式有5+3=8种。
*/乘法法则设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有m·n种产生方式。
集合论语言：若|A|=m ,|B|=n,A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},则|A×B|=m·n。
/*例某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5×3=15个。
例从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有3×2=6条道路。
例某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。
底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有4×2=8种着色方案。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则方案数就不是4×4=16，而只有4×3=12种。
在乘法法则中要注意事件A和事件B的相互独立性。
例1)求小于10000的含1的正整数的个数2)求小于10000的含0的正整数的个数1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外. 故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个另: 全部4位数有104个,不含1的四位数有94个,含1的4位数为两个的差:104－94=3439个2)“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=(95－9)/(9－1)=7380个含0小于10000的正整数有9999－7380=2619个*/第二节排列与组合在本节中我们要用加法法则和乘法法则解决一系列关于排列、组合的计数问题。
我们将从中学数学中已经出现的最简单的排列、组合讲起。
1．从a,b,c 3个字母中取2个做排列，能有几个不同的排列？把它们列举出来。
这些排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb ，一共有6个。
2．从a,b,c 3个字母中取两个做组合，即不考虑它们的顺序，例如ab 与ba 看作是相同的，这样的安排是ab,ac,bc ，一共有3个。
上面的问题都是我们在中学数学中熟悉的。
我们先来温习几个相应的定义。
定义1.2.1从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排成一列，称为从n 个元中取r 个元的（无重）排列。
这些排列的全体组成的集合用P (n,r)表示。
排列的个数用P (n,r)表示。
当r=n 时，称为全排列。
一个排列也可看作一个字符串，r 也称为排列或字符串的长度。
在上述定义中，一个排列的第1位有n 个选择，第2位有(n-1)个选择，第k 位有(n-k+1)个选择，故P (n,r)=n(n-1)…(n-r+1)。
/*从a,b,c 3个字母中取2个做排列，可用一棵树表示： /* 定义0！=1，P (n,n))!(!n n n -=!0!n = = n! 上述（无重）排列的计数相当于将r 个不同的球（将r 个球编为1号到r 号）放入n 个不同的盒子，每盒最多一个球的方案数。
定义1.2.2从n 个不同元素中，取r 个不重复的元素，不考虑其次序，构成一个子集，称为从n 个元中取r 个元的（无重）组合。
这些组合的全体组成的集合用C (n,r)表示，组合的个数用C (n,r)或⎪⎪⎭⎫⎝⎛r n 表示。
用C(n,r)中的一个组合中的元素作全排列，有r!个。
于是 C (n,r)•r! = P (n,r))!(!r n n -= 故C (n,r)!)!(!r r n n -= 从a,b,c 3个字母中取2个做组合，每个组合对应2!个排列：ab:ab,ba ；ac:ac,ca ；bc:bc,cb 。
组合的计数相当于将r 个相同的球放入n 个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案数。
定义1.2.3从n 个不同的元素中，取r 个可重复的元素，按次序排成一列，称为从n 个元中取r 个元的可重排列。
这些排列的全体组成的集合，用r)(n,P 表示。
排列的个数用r)(n,P 表示。
因这样的可重排列的每一位都有n 个选择，共有r 位。
故r)(n,P = n r 。
从a,b,c 3个字母中取2定义1.2.4将r 1个x 1，r 2个x 2，…，r k 个x k 按次序排成一列，称为一个（r 1，r 2，…，r k ）多重排列。
设∑==k i i n r1，这些排列的全体组成的集合，用)r ,,r (n P k 1 ；表示。
这些排列的个数用⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 1r r n ，，表示。
/*2个a ，1个b 做多重排列，若将2个a 看成是不同的（给它们加下标），可有（2+1）！（=6）个排列：a 1a 2b,a 1ba 2,a 2a 1b,a 2ba 1,ba 1a 2,ba 2a 1。
但下标实际上是不存在的：故实际的多重排列的个数为3!1!2=。
*/ 对)r ,,r (n P k 1 ；中的一个多重排列加下标：对r 1个x 1加下标，有r 1! 种方式；对r 2个x 2加下标，有r 2! 种方式；… …；对r k 个x k 加下标，有r k ! 种方式。
都加下标后，n 个字符都不相同了，故!!!!n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 21k 21r r r r r r n，，，，即 !!!!21k r r r n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 21r r r n ，，， r 1个x 1，r 2个x 2，… ，r k 个x k 排列的个数相当于n 个不同的球放入k 个不同的盒子里，其中r 1个球放入盒子x 1中，… ，r k 个球放入盒子x k 中的方案数。
从a,b,c 3个元素中取2个元的组合相当于将2个相同的球放入3个不同的盒子的方案。
组合与球放入盒子的方案的对照：2个a，1个b的多重排列相当于将3个不同的球放a,b 2盒中，a 盒2个球b盒1个球的方案。
多重排列与球放入盒子的方案的对照：(下图仅为示意图)（无重）排列与球放入盒子的方案的对照：(下图仅为示意图)从a,b,c 3个元素中取2个的排列相当于将2个不同的球放入3个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案。
下面我们来讨论多项式系数，也即 (x 1 + x 2 + … + x k ) n 的展开式中任意一项k k r k r r r r x x x C 21121,, 前面的 k r r C ,,1 的值。
（r 1 + r 2 + … + r k = n ）/*我们知道 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 +b 3 ，3a 2b 前面的3是怎么来的？(a + b )3 = (a + b )(a + b )(a + b ) ，若乘法没有交换律，此式展开共有23=8项。
与3a 2b 对应的是2个a ，1个b 的多重排列：aab,aba,baa 。
故 !1!2)!12(3⋅+=。
*/ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=k k k r r r r r n r r r r r r C k ,,,!!!)!(212121,,1 所以∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++==k i i k nr r k r k n k x x r r n x x x 111121,,)(当k=2时，也就是二项式系数。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121r n r r n ，多项式的展开式也就是二项式展开式，即 ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r r n n b a r n b a 0)(根据以上的讨论，我们可以得到下面的公式：∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nr n r n 02 /*在∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r r n n b a r n b a 0)(中，令a=b=1即可。
*/0)1(0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=nr r r n/*=-n )11(0)1(0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n r r r n 。
*/∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==kiinrnkkrrn1,,1/*例有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本不同的中文书。
1)取2本不同文字的书；2)取2本相同文字的书；3)任取两本书解1)5×7+5×10+7×10=155;2)C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76;3)155+76=231=。
例从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解将[1,300]分成3类：A={i|i≡1(mod3)}={1,4,7,…,298},B={i|i≡2(mod3)}={2,5,8,…,299},C={i|i≡3(mod3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)3个数同属于A;2)3个数同属于B;3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100例某车站有6个入口处，每个入口处每次只能进一人，一组9个人进站的方案有多少？解一进站方案表示成：00011001010100 其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是不同元，“1”是相同元。