高中数学必修五《余弦定理应用》教案

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sxgdja0009.doc [科目] 数学[年级] 高中[章节]

[关键词] 余弦定理/应用[标题] 余弦定理[内容]

北京二十二中 田名凤教学目的

1.使学生掌握余弦定理及其证明方法.

2.使学生初步掌握余弦定理的应用.教学重点与难点

教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理.教学过程设计一、复习

师：直角△ABC 中有如下的边角关系)(设∠C=90°)：(1)角的关系 A+B+C=180°

A+B=90°(2)边的关系 c2=a2+b2.

(3)边角关系 sinA=

=cosB.c a

cosA==sinB.

c b

tanA= =cotB.

b a

cotA= =tanB.

a

b

二、引入

师：在△ABC 中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2.若a,b 边的长短不变，变换∠C 的大小时，c 2与a 2+b 2有什么关系呢?请同学们思考.

如图1，若∠C＜90°时，由于AC 与BC 的长度不变，所以AB 的长度变短，即c 2＜a 2+b 2.

如图2，若∠C＞90°时，由于AC 与BC 的长度不变，所以AB 的长度变长，即c 2＞a 2+b 2.

经过议论学生已得到当∠C＞90°时,c2≠a2+b2,那么c2与a2+b2到底相差多少呢?请同学们继续思考.

如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：

在Rt△ABD中，

AB2=AD2+BD2

在Rt△BDC中，

BD=BD·sinC=asinC，

DC=BD·cosC=acosC.

所以，AB2=AD2+BD2化为

c2=(b-acos C)2+(asin C)2,

c2=b2-2abcos C+a2cos2C+a2sin2C

c2=a2+b2

-2abcosC.

我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a,b,c具有c2=a2+b2-2abcosC的关系.

从以上分析过程，我们对∠C为锐角c2=a2+b2-2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的.这种未知向已知的转化在数学中经常碰到.

下面请同学们自己动手推导结论.

D.

如图4,当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于

△ACB 是两个直角三角形之差.在Rt△ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2在Rt△BCD 中,∠BCD=π-C.

BD=BC·sin(π-C),CD=BC·cos(π-C)所以AB 2=AD 2+BD 2化为

c 2=(AC+CD)2+BD 2

=［b+acos(π-C)］2+［asin(π-C)］2

=b 2+2abcos(π-C)+a 2cos 2((π-C)+a 2sin 2(π-C) =b 2+2abcos(π-C)+a 2

因为cos(π-C)=-cosC.所以c 2=b 2+a 2-2abcosC.

这里∠C 为钝角,cosC 为负值,-2abcosC 为正值,所以b 2+a 2-2abcosC ＞a 2+b 2,即a 2＞a 2+b 2.

从以上我们可以看出，无论∠C 是锐角还是钝角，△ABC 的三边都满足

c 2=a 2+b 2-2abcos C.

这就是余弦定理，我们轮换∠A，∠B，∠C 的位置可以得到

a 2=

b 2+

c 2-2bccos A. b 2=c 2+a 2-2accos B.三、证明余弦定理

师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的.这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦.现在我们已学完了三角函数，无论∠a 是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论.

我们仍就以∠C 为主进行证明.

如图5，我们把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b,CB=a,AB=c ，则A ，B ，C 点的坐分别为A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).

请同们分析B 点坐标是怎样得来的.

生：∠ACB=∠C,CB 为∠ACB 的终边，B 为CB 上一点，设B 的坐标为(x,y),则sinC=

=,cos C==所以B 点坐标x=acosC,y=asinC.BC y a

y BC x a x 师：回答很准确，A ，B 两点间的距离如何求?

生：｜AB ｜2=(acosC-b)2+(asinC-0)2 =a 2cos 2C-2abcosC+b 2-a 2sin 2C

=a 2+b 2-2abcos C,即c 2=a 2+b 2-2abcos C.

师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法.这种方法以后还要详细学习.

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍，即：

a 2=

b 2+

c 2-2bccos A. c 2=a 2+b 2-2abcos C. b 2=a 2+c 2-2accos B.若用三边表示角，余弦定理可以写为

cos A=

bc

a c

b 22

22-+cos B=

ac

a c

b 22

22-+ cos C=

ab

a c

b 22

22-+四、余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

例如：已知△ABC 的三边之比为：2：1，求最大的内角.7解 设三角形的三边为a,b,c 且a:b:c=:2:1.7由三角形中大边对大角可知：∠A 为最大的角.由余弦定理

cos A==-122)7(21222⨯⨯-+2

1所以∠A=120°.

再如△ABC 中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC 之长.解 由余弦定理可知

BC 2=AB 2+AC 2-2AB×AC·cos A =4+9-2×2×3×

=7，2

1

所以BC=7.

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.

五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC 中，c 2=a 2+b 2-2abcos C 若∠C=90°,则cos C=0,于是 c 2=a 2+b 2-2ab·0=a 2+b 2

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.