范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-均衡分析(圣才出品)

第21章均衡分析

1．有两个当事人，有着相同的、严格凸的偏好和均等的禀赋。描述经济的核,并把它从埃奇沃思方框图中描绘出来。

There are two agents with identical,strictly convex preferences and equal endowments.Describe the core of this economy and illustrate it in an Edgeworth box.

答：经济的核是指这样一种资源配置的状态，在该经济系统中任意一些消费者都不能通过联合的方式来提高自己的境况。若x属于核，则x必定为帕累托有效。因为若x不是帕累托有效，则包括所有当事人的联合会改进x。在此意义上，核是帕累托有效集的推广。若一个分配属于核，每组当事人都从交易中得到部分收获——没有一组有背叛的激励。

核中的平等对待。假设当事人的偏好是严格凸，严格单调和连续的。则若x是给定经济的r——核中的分配，则同类的任何两个当事人必须接受相同的商品束。

核直接是初始禀赋。如图21-1所示，图中E点既是初始禀赋又是经济的核。

图21-1

2．考虑一个单纯交换经济，所有消费者具有形式为的可微拟线性效

用函数。假定

是严格凹的。证明均衡唯一。

Consider a pure exchange economy in which all consumers have differentiable quasilinear utility functions of the form ()10n u x x x +，…，.Assume that ()1n u x x ，…，is strictly concave.Show that equilibrium must be unique.

证明：均衡的唯一性。假设z 是一个定义于价格单形上的具有连续导函数的总超额需求函数，且当0i p =时，有()0i z p ＞。若()()11K K -?-矩阵()()

Dz p *-在所有均衡有正的行列式，则存在唯一均衡。

考虑仅有两种商品的一个经济。选择商品2的价格作为计价单位，将商品1的超额需求作为其自身价格的函数画出其曲线。瓦尔拉斯法则意味着，对商品1的超额需求为零时，达到均衡。所作的合意性假设意味着，当商品1的相对价格很大时，对商品1的超额需求为负；而当商品1的相对价格较小时，商品1的超额需求为正。

对于拟线性效用函数，其收入效应为零，所以，马歇尔需求函数的导数矩阵与希克斯需求函数的导数矩阵相等。由教材中的讨论可以知道，每个均衡的指数必须是1+，这意味着均衡唯一。

Suppose that the Walrasian auctioneer follows the price adjustment rule ()()1

p Dz p z p -=???? .Show that

()()()V P z P z P =-is a Liaponov function for the dynamical system.证明：有一个十分方便的标准来判断一个动态系统何时是全局稳定的。如果将讨论严格限定在紧的状态空间

S 的情形下，则系统总是停留在一个有界区域里。假设可以找到一个可微函数V S R →:，具有如下两条性质：

（1）v 在x *处达到极小值；（2）对所有

，这样的函

数称为李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫定理:如果能够给一动态系统找到一李雅普诺夫函数，那么唯一的均衡x *是全局稳定的。

将等式()()()V P z P z P =-求导得：

即得证。