中考三角形专题复习解析

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2023年中考数学二轮复习之三角形(含解析)

2023年中考数学二轮复习之三角形一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（）A．2B．3C．4D．53．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（）A．55°B．50°C．80°D．20°5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（）A．12°B．14°C．16°D．24°6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL 证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE 7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG二．填空题（共8小题）9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为．10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为．11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为．12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有：（将正确结论的序号填在横线上）．13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是．14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为．15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC 的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有．（填写正确结论的序号）16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于．三．解答题（共4小题）17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．（1）直接写出∠APB＝ °；（2）求证PD＝PF；（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数．（不需要写出求解过程）变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．2023年中考数学二轮复习之三角形参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】由∠A＝∠ACD﹣∠B，直接可得答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（）A．2B．3C．4D．5【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝2，进一步可得BC的长．【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，∴BE＝AE，∵AE＝2，∴BE＝2，∵EC＝1，∴BC＝BE+EC＝3．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝BE＝8 cm，从而可得解．【解答】解：∵DE是AB垂直平分线，∴AE＝BE＝8（cm），∴EC＝AC﹣AE＝14﹣8＝6（cm），故答案为：B．【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（）A．55°B．50°C．80°D．20°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．【解答】解：当∠A为顶角，；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（）A．12°B．14°C．16°D．24°【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的外角性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠CDE，再根据题设条件得到2∠CDE＝∠BAD即可求解．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∵∠AED是△CDE的一个外角，∴∠AED＝∠C+∠CDE，∵∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠C+∠BAD＝∠C+∠CDE+∠CDE，∴2∠CDE＝∠BAD＝24°，∴．故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质、角的运算，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL 证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【考点】全等三角形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴，整理得，α＝2β．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【考点】等边三角形的性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】先根据勾股定理得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，则四边形CEPG 是平行四边形，再由S四边形ECGP＝S△DFP，可以得到．【解答】解：由题意得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，∴四边形CEPG是平行四边形，∴，∵S△ABC＝S△AFG+S四边形BFPE+S四边形ECGP，∴S四边形ECGP＝S△DFP，∴．故选：C．【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质及以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够正确理解题意．二．填空题（共8小题）9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】根据勾股定理可求出AB＝10，由线段垂直平分线的性质可得∠ADE＝90°，AD ＝BD，再证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴由勾股定理得，∵DE垂直平分线段AB，∴∠ADE＝90°，AD＝BD＝5，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为　24　．【考点】角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质可得AD＝DE，根据△DBC的面积＝即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE＝4，∴＝＝24．故答案为：24．【点评】本题主要考查角平分线的性质，正确作出辅助线，再借助角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为　2π　．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．【解答】解：由题意，得，，∵AC2+BC2＝AB2，∴，故答案为：2π．【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有：　②④⑤　（将正确结论的序号填在横线上）．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；非负数的性质：偶次方；科学记数法—表示较小的数；零指数幂．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，即可一一判定．【解答】解：①有两条边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，故该说法错误；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故该说法正确；③a0＝1（a≠0），故该说法错误；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5，故该说法正确；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a＝（2a+1）2的值都一定为非负数，故该说法正确，故其中正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，熟练掌握和运用各运算的法则及各图形的性质是解决本题的关键．13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是　60°或23.79°　．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】分AB＝AC，AC＝BC两种情况，利用等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数的定义进行分析求解．【解答】解：如图，当AB＝AC时，∵O为BC的中点，∴AO⊥BC，∵OD∥AC，∠C＝30°，∴∠DOB＝∠C＝∠B＝30°，∴∠AOD＝∠OAC＝60°；如图，当AC＝BC时，过B作BE⊥OD，OF⊥BD，设OB＝a，∴BC＝AC＝2a，∵O是BC的中点，OD∥AC，∴D为AB的中点，∠DOB＝∠C＝30°，∴，∵OF⊥AB，∴，∵∠DOB＝30°，BE⊥OB，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴∠OAF≈51.21°，∴∠AOD＝90°﹣∠OAF﹣∠DOF≈23.79°，故答案为：60°或23.79°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想求解是解答本题的关键．14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为　10　．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出△AEH≅△CEB，然后求解即可．【解答】解：∵AC＝AB，AD⊥BC，∴BD＝CD＝5，BC＝10，∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴AE＝EC，∵∠BAD+∠B＝90°，∠BAD+∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠B在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≅△CEB（AAS），∴AH＝BC＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明△AEH≅△CEB（AAS）是解题的关键．15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC 的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有　①②③　．（填写正确结论的序号）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】①证明∠AEB＝∠AFE，即可得到AE＝AF；②先根据ASA证明△ABM≌△NBM，则可得AM＝MN．然后在Rt△ADN中，根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”即可得到AM＝DM；③根据ASA证明△BDF≌△ADN，则可得DF＝DN；④根据已知条件可判断AF≠EC．【解答】解：①∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠AEB＝∠BFD，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF，∴①正确．②∵AE＝AF，M为EF的中点，∴AN⊥BE，∴∠BMA＝∠BMN＝90°，又∵BM＝BM，∠ABM＝∠NBM，∴△ABM≌△NBM（ASA），∴AM＝MN，∴M是AN中点，在Rt△ADN中DM是斜边AN的中线，∴，∴AM＝DM，∴②正确．③∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADN＝90°，∵△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，∴，∴∠ABC＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠DBF+∠BNM＝90°，∠DAN+∠BNM＝90°，∴∠DBF＝∠DAN，在△BDF和△ADN中，，∴△BDF≌△ADN（ASA），∴DF＝DN，∴③正确．④BE平分∠ABC，但AE≠EC，∵AF＝AE，∴④不正确．综上，正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题难度较大主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于　4　．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知，BC2+AC2＝40，BC⋅AC＝14，然后运用完全平方公式（a±b）2＝a2+b2±2ab求解即可．【解答】解：根据题意，，，，∴，在Rt△ABC中，根据勾股定理，BC2+AC2＝AB2，∴BC2+AC2＝40，∵S Rt△ABC＝7，∴•BC•AC＝7，∴BC•AC＝14，∴BC+AC＝＝＝＝2，BC﹣AC＝＝＝2，∴，即，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．三．解答题（共4小题）17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：添加∠A＝∠D，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形内角和定理求得∠ACB+∠B，再由∠ACB＝3∠B，求得∠ACB，根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，∴∠ACB+∠B＝120°，∵∠ACB＝3∠B，∴∠B＝30°，∠ACB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝60°，∴∠DAE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数．19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．（1）直接写出∠APB＝　120　°；（2）求证PD＝PF；（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．【考点】等腰三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理计算即可；（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质得到PE＝PG，PE＝PH，可得PH＝PG，再证明△PDG≌△PFH（AAS），即可证明结论；（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，则，先分别求出∠CAB，∠CBD，∠ABD，∠CAF，∠BDC，∠CBN，∠DBN，∠ANB的度数，得到AD＝BD，∠ANB＝∠BDC＝80°，BD＝BN，再根据AAS证明△APD≌△CBN即可证明结论．【解答】（1）解：∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴，，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝＝＝120°．故答案为：120；（2）证明：过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴PE＝PG，PE＝PH，∴PH＝PG，∵PH⊥BC，PG⊥AC，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴∠GPH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠GPH＝∠APB＝120°＝∠DPF，∴∠DPG＝∠FPH，在△PDG和△PFH中，，∴△PDG≌△PFH（AAS），∴PD＝PF；（3）证明：如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则，∵∠ABC＝80°，∠C＝60°，∴∠CAB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，，∴，∠CAB＝∠ABD＝40°，∴AD＝BD，∠BDC＝∠CAB+∠ABD＝80°，∴，∴∠ANB＝∠C+∠CBN＝60°+20°＝80°，∴∠ANB＝∠BDC＝80°，∴BD＝BN，∴AD＝BN，在△APD和△BCN中，，∴△APD≌△CBN（AAS），∴AP＝BC．．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数　30°　．（不需要写出求解过程）变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，利用SAS即可证明△ABC≌△ADE；（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，易知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由F是BC边的中点，可得BF＝FC，可证△BDF≌△CGF，可得BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，可知∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC ＝∠AED+∠CEF＝60°+α，由平角可得∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF），根据∠ADB ＝∠AEC，可得α＝30°，进而可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD；（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，易知△PMD≌△DNP，进而可得由（2）易证△ABD≌△ACE，，则AD＝CE＝BD＝AP，则，如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，可证△PMO为等边三角形，即可得∠A ＝30°，即得∠PAD＝30°，（另外一种方法：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ，可证△APQ是等边三角形，即可得∠PAM＝30°即得∠PAD＝30°）；变式：由等腰三角形的性质可知∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，由平角可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠CAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，∵F是BC边的中点，∴BF＝FC，在△BDF和△CGF中，∵BF＝FC，∠BFD＝∠CFG，DF＝FG∴△BDF≌△CGF（SAS），∴BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，∴∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC＝∠AED+∠CEF＝60°+α，∵E、D、F在一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α，∵∠ADB＝∠AEC，∴120°﹣α＝60°+α，∴α＝30°，∴∠ADB＝120°﹣α＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD；（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，∴△PMD≌△DNP，∴PM＝DN，∵PB＝PD，∴，∵由（2）易证，△ABD≌△ACE，则AD＝CE＝BD＝AP，∴，方法1：如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，∴MO＝PO，∵∠PMA＝90°，∴∠P+∠A＝∠PMO+∠AMO＝90°，∴∠A＝∠AMO，∴，∴△PMO为等边三角形，∴∠P＝60°，∴∠A＝30°，方法2：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ．∵AM⊥PQPM＝MQ，∴△APO是等腰三角形，∴AP＝AQ，又∵，∴AP＝2PM＝AQ＝PQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝60°，∴∠PAM＝30°，故答案为：∠PAD＝30°；变式：证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴AD＝AE，即∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，∴∠ADB＝∠AEC＝∠AED+∠CEF，∠G＝∠CEF＝∠BDF，∴∠ADB＝∠AED+∠CEF＝∠ADE+∠BDF，又∵∠ADB+∠ADE+∠BDF＝180°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x 的规律 x 的取值范围表示方法a 的取值n 的取值|x |≥10a ×10n 整数的位数﹣1|x |＜1a ×10﹣n 1≤|a |＜10第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）3．零指数幂零指数幂：a 0＝1（a ≠0）由a m ÷a m ＝1，a m ÷a m ＝a m ﹣m ＝a 0可推出a 0＝1（a ≠0）注意：00≠1．4．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．5．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．6．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．7．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．8．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．10．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE11．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．12．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．13．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．14．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖。

中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析附答案解析

中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析附答案解析一、直角三角形的边角关系1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．4．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG ⊥AC ， ∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．（1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCDS 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OB BC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0， ∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-．当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<Q ∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503．综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12，解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7．综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.9．关于三角函数有如下的公式： sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan （α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan （45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α=60°，底端C 点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42m ，求建筑物CD 的高．【答案】建筑物CD 的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.10．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，∴△ABF ∽△ACE ．（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，∴BE ＝EB ，∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，∴HC ＝EH ，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC 2，∵BC 2+1，∴x+x 2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝ 1．（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝2， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝22+ •（2﹣1）＝2， ∴HM ＝OH+OM ＝222+，在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．11．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km ）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o =8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ， ∴AE BD AF BF， ∴AE=6km ，在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）【答案】AB=（3）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴DE=B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=383BE x DE x ==+ ，解得x=4+43 ， ∴AB=BE+4=（8+43 ）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。

专题18 三角形(解析版)

专题18三角形【考查题型】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的表示：用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

三角形三边的关系：1）三角形的任意两边之和大于第三边。

2）三角形的任意两边之差小于第三边。

几何描述：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

3）判断三条线段能否组成三角形，只需判断上述两个条件满足其一即可。

【解题技巧】已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

【注意事项】1）三角形具有稳定性;2）四边形及多边形不具有稳定性;3）要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型一三角形的稳定性题型1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D ．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．题型1-1．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（）A ．平行四边形B ．三角形C ．长方形D ．正方形考查题型二三角形的三边关系题型2．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，3，6B ．3，5，10C ．4，6，9D ．4，5，9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】A.∵336+=，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B.∵3510+<，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C.∵469+>，649-<，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D.∵459+=，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．题型2-1．（2022·浙江衢州·中考真题）线段a b c ，，首尾顺次相接组成三角形，若13a b ==，，则c 的长度可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6题型2-2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a ．则底边长为6﹣2a ．题型2-3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A ．1B ．2C ．7D ．8在ABC 中，5115a -<<+，即46a <<，在CDE 中，1111b -<<+，即02b <<，所以48a b <+<，26a b <-<，在ACE △中，a b d a b -<<+，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．题型2-4．（2022·青海西宁·中考真题）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2B．5C．10D．11【答案】B【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4，即2<a<10，即符合的整数a的值是5，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．题型2-5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．知识点二与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)

特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证；（2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。

中考数学复习专题24全等三角形试题(A卷,含解析)

全等三角形一、选择题 1. (新疆建设兵团，4，5分）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠DEF ，AB =DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（）A ．∠A =∠DB ．BC =EF C ．∠ACB =∠FD ．AC =DF【答案】D【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形常见判定方法．注意到题目中给出一组角相等，一组边相等，分别结合四个选项，找到不符号常见判定方法的那个选项．【详细解答】解：选项A 可采用“ASA ”来判定三角形全等，选项B 可采用“SAS ”来判定三角形全等，选项C 可采用“AAS ”来判定三角形全等，选项D 为两边和其中一边的对角不能判定三角形全等，故选择D . 【解后反思】此类问题容易出错的地方是由SSA 就判定三角形全等，从而错选D 选项.三角形全等的判定方法有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL (直角三角形)．【关键词】三角形全等的判定；(浙江金华，6，3分)如图，已知=ABC BAD ∠∠，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( )A. AC=BDB.∠CAB ＝∠DBAC.∠C ＝∠DD.BC=AD 【答案】A【逐步提示】将题目中的条件表示到图形中，再结合图形条件判断已有哪些条件，然后根据三角形全等的判定方法确定正确的选项．【解析】题目中已给出一角相等，图形中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，再需要一边或一角相等即可，A 选项与两已知条件构成SSA 不能确定两个三角形全等；B 选项与两已知条件构成ASA 能确定两个三角形全等；C 选项与两已知条件构成AAS 能确定两个三角形全等；D 选项与两已知条件构成SAS 能确定两个三角形全等，故选择A.【解后反思】对于添加条件从而判断两个全等三角形全等类问题的解题策略：首先理解题目中已存在的条件(包括已知条件及图形条件)，再根据三角形全等的五种判定方法[(1)三边对应相等的两个三角形全等SSS ；(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS ；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA ；(4)两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS ；(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL]进行综合评判，从而确定需要添加的条件．【关键词】三角形全等的识别 2.3. （四川省广安市，8，3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内；AB（第6题图）DC②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误．【详细解答】解：只有③正确，故选择A.【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：判断下列说法是否正确：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.所以DE＝AC＝AB，∠AED＝∠C＝∠B.即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE 和BD不平行也不相等）.（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.【关键词】中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定二、填空题1. （山东省枣庄市，17，4分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC 2ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△A ´B ´C ´的位置，连接C ´B ，则C ´B ＝．31【逐步提示】本题考查了旋转、全等三角形、解直角三角形，解题的关键是通过旋转的性质及角度得出△ABB ´为等边三角形．连接BB ´，延长BC ´交AB ´于点H ，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知△ABB ´为等边三角形，然后再证明△ABC ´≌△B ´BC ´，再利用等腰三角形三线合一，证明BH ⊥AB ´，然后分别求HC ´与BH 即可求C ´B ．【详细解答】解：连接BB ´，延长BC ´交AB ´于点H ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC 2，∴AB 22AC BC +2，由题意可知：AB ´＝AB ＝2，且∠BAB ´＝60°，∴△ABB ´为等边三角形，∴BB ´＝AB ，∠ABB ´＝60°，又∵BC ´＝BC ´，B´C ´＝AC ´，∴△ABC ´≌△B ´B C ´，∴∠ABC ´＝∠B ´ BC ´＝30°，∴BH ⊥AB ´，且AH ＝12AB ´＝1，∴BH 22AB AH -3AC ´B ´＝90°，AH ＝B ´H ，∴C ´H ＝12AB ´＝1，∴ C ´B ＝BH －C ´H 31 ，故答案为31 .【解后反思】本题考查了旋转的知识，解这类题通常抓住变换前后的全等图形中对应边、对应角相等．当旋转角为60°时，可以得到等边三角形；当旋转角为45°时，可以得到等腰直角三角形．【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；C ´ABHCB ´ABCB ´C ´2. （四川省成都市，12，4分）如图，△ABC ≌△A ´B ´C ´，其中∠A ＝36°，∠C ´＝24°，∠B ＝．【答案】120°．【逐步提示】本题考查了三角形全等的性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握有关的性质．先根据全等三角形对应角相等求出∠C ，再利用三角形内角和定理可求出∠B ．【详细解答】解：∵△ABC ≌△A ´B ´C ´，∴∠C ＝∠C ´＝24°，∴ ∠B ＝180°―∠A ―∠C ＝180°―36°―24°＝120° ，故答案为 120° .【解后反思】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．【关键词】三角形的内角和；全等三角形的性质三、解答题1. （山东省枣庄市，24，10分）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，EP ＝FP ＝6，EF ＝3，∠BAD ＝60°，AB ＞63⑴求∠EPF 的大小；⑵若AP ＝10，求AE ＋AF ；⑶若△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．【逐步提示】本题考查了菱形的性质、等腰三角形三线合一性及全等三角形等知识，解题的关键是熟练掌握图形的性质和判定，善于转化．⑴过点P 作PG ⊥EF 于G ．根据等腰三角形三线合一性，得∠EPF ＝2∠FPG ，再解Rt △PFG ，利用特殊角三角函数值求∠FPG 的大小，即可得∠EPF ；⑵作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ．根据菱形的对角线平分对角的性质，可证明△PME ≌ △PNF ，得ME ＝NF ，再利用三角函数求出AM ＝AN ，通过线段和差得到AE ＋AF 与AM 、AN 的关系，即可求值；⑶当E 、F 分别与A 、B 重合时，AP 取最小值，当EF ⊥AC 时，AP 取最大值．【详细解答】解：⑴如图，过点P 作PG ⊥EF 于G ． ∵PE ＝PF ＝6，PG ⊥EF ，∴FG ＝EG ＝12 EF ＝33FPG ＝∠EPG ＝12∠EPF ．在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF333．∴∠FPG ＝60°，∴∠EPF ＝2∠FPG ＝120°．AC BCA ´B ´ABDCFPE⑵作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ．∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN ．在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ， ∴Rt △PME ≌Rt △PNF ．∴ME ＝NF ．又AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP ·cos30°＝10×3＝53． ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝103．⑶如图，当△EFP 的三个顶E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动时，点P 在P 1，P 2之间运动，易知P 1O ＝P 2O ＝3，AO ＝9，∴AP 的最大值为12，AP 的最小值为6．【解后反思】运动型问题一般是图形在运动中产生函数关系问题或探究几何图形的变化规律问题，这类问题可细分为点动型、线动型、形动型．解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径．【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别；等腰三角形的性质；特殊角三角函数值的运用；动点题型2. (重庆A ，19，7分)如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE //DF ，EC =BD ，AC =FD . 求证：AE =FB .【逐步提示】由CE //DF ，可知∠ACE =∠D . 利用“SAS ”可以判定△ACE ≌△FDB ，即可判定AE =FB . 【详细解答】证明：∵CE //DF ，∴∠ACE =∠D . 在△ACE 和△FDB 中，OABDCFP 1EP 2M ABDCFPE N G∵EC=BD，∠ACE=∠D，AC=FD，∴△ACE≌△FDB(SAS).∴AE=FB.【解后反思】利用三角形全等是证明两条线段或两个角相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用.【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质(重庆B，19，7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【逐步提示】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC≌△CED，然后根据全等三角形对应角相等即可证明∠B=∠E．【详细解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，,,,AB CEBAC ECDAC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△CED(SAS)，∴∠B=∠E．【解后反思】利用三角形全等是证明两个角或两条线段相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用.【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质3.(重庆B，25，12分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=12BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M 是AE的中点.(1)如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；(2)如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证MN⊥AE；(3)如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索MNAC 的值并直接写出结果.EMCBA图1D图2NMEDCBAENMCBA图3D【逐步提示】(1)先证明△ACE是直角三角形，根据CM=12AE，求出AE即可解决问题．(2)如图，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.先证明△NBF≌△NDE，可得BF=DE=CE，∠FBN=∠NDE.根据题意可得∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB=90°-∠DCB，只要证出∠ABF=90°-∠DCB.即可证明∠ACE=∠ABF，又AB=AC，利用“SAS”可证出△ABF≌△ACE，进而可得∠FAB=∠EAC，所以有∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=90°，又MN是△EAF的中位线.根据三角形的中位线的性质可得MN∥AF，从而∠NME=∠FAE=90°，可证MN⊥AF.(3)如图5，连接DM并延长到点G，使MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．可得△AMG≌△EMD，∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，∴AG∥DE，∴∠F=∠DEC=90°，∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∴∠FAC=∠BCD=30°∴∠BAG=∠ACE=120°，在△ABG和△CAE中，,,,AB ACBAG ACEAG EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG≌△CAE，∴BG=AE，∵BN=ND，DM=MG，∴MN是△DBG的中位线，∴BG=AE=2MN，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=22a，AC=2a，CF=22a，AF=62a，EF=2a，∴AE=22142AF EF+=a，∴MN=144a，∴147442aMNAC a==.【详细解答】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=4，∴AC=AB=4，BC=42，∠ACB=∠ABC=45°.∵CD=12BC，∴CD=22∵DE⊥CE，DE=CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴CE=CD·sin45°=2.∵∠ACE=∠DCE+∠ACB=45°+45°=90°，∴在Rt△ACE中，AE2225AC CE+=∵点M是AE中点，∴CM=12AE5(2)证明：如图4，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.∵点N是BD的中点，∴BN=DN.∵∠BNF=∠DNE，∴△NBF≌△NDE.∴BF=DE，∠FBN=∠NDE，∵DE=CE，∴BF=CE.∵∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB，∴∠ACE=45°+45°-∠DCB=90°-∠DCB.在△BCD中，∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠BDC=∠NDE+∠CDE，又∵∠CDE=45°，∴∠DBC+∠NDE=135°-∠DCB.∵∠ABF=∠DBC+∠FBN-∠ABC，∠FBN=∠NDE，∴∠ABF=∠DBC+∠NDE-∠ABC=135°-∠DCB-45°=90°-∠DCB.∴∠ABF=∠ACE.∵AB=AC，∴△ABF≌△ACE.∴∠FAB=∠EAC∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，即∠FAE=90°.∵点M是AE中点，NF=NE，∴MN是△EAF的中位线.∴MN∥AF.∴∠NME=∠FAE=90°.∴MN⊥AF.(3)解：7 MNAC.【解后反思】本题综合考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形.在几何问题的求解或证明中，全等三角形起着很重要的作用，应该充分利用已知条件和图形找出图中的全等三角形，根据全等三角形对应边、对应角分别相等的性质可实现等边、等角的代换，而当要证明的两线段之间或两角之间没有直接联系时，往往需要通过等量代换适当转换来求解.．【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理4.5.（四川泸州，18，6分）如图，C是线段AB的中点，CD=BE， CD∥BE.求证：∠D=∠E.【逐步提示】要证明两个不同三角形中的两个角相等，可以证明这两个角所在的两个三角形全等，从而选择合适的判定方法证明两个三角形全等.【详细解答】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=CB ，∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE, ∴∠D=∠E.【解后反思】证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：（1）已知两边.⎧⎨⎩找第三边；找两边的夹角；（2）已知两角⎧⎨⎩找其中任意一角的对边找两角的夹边；（3）已知一边及其邻角⎧⎨⎩找任意一角找夹该已知角的边；（4）已知一边及其对角，找余下的任一角. 【关键词】三角形全等的判定方法5. （四川南充，19，8分）已知ΔABN 和ΔACM 位置如图所示，AB =AC ，AD =AE ，∠1=∠2. (1)求证：BD =CE ； (2)求证：∠M =∠N .21O ED MAN【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是证明三角形全等．（1）由SAS 证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS 证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【详细解答】解：（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD≌△ACE（SAS ）， ∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C，在△ACM 和△ABN 中，C BAC ABCAM BAN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或一角对边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及其邻边角的另一边或边的另一邻角或边的对角SA S或ASA或AAS 两边夹角或另一边或直角SAS或SSS或HL 【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别6（四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC.求证：BC=AD【逐步提示】已知∠CAB=∠DBA，可得AO=BO,因而可证明△BOC≌△AOD,结论成立. 【详细解答】证明：∠CAB=∠DBA，所以AO=BO在△BOC和△AOD 中∠CBD=∠DAC（已知）OB=OA(已证)∠CBD=∠DAC（已证）△BOC≌△AOD（ASA）所以BC=AD【解后反思】除了上面的证明方法外，也可以证明△BAC≌△ABD(ASA)【关键词】全等三角形的性质与判定；等腰三角形的性质与判定。

决战中考之三角形专项突破专题01 三角形的基本概念和性质(老师版)

专题01 三角形的基本概念和性质知识对接考点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级其他模拟）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意； D 、拿掉AD ，AG ，GD 后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．2．（2021·黑龙江九年级三模）有长度分别为1,2,3cm cm cm 的小木棒若干，从中任取三根首尾顺次相接组成三角形，则能组成形状不同的三角形（） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分类讨论即可．【详解】解：∵1+2=3，∵三边长只能组成等边三角形或者等腰三角形，∵长度分别为1,1,1cm cm cm ，2,2,2cm cm cm ，3,3,3m cm cm 组成等边三角形，边长不等，但形状相同，则为一种；∵当两边长相等时有：2,2,1cm cm cm ，3,3,1cm cm cm ，2,2,3cm cm cm ，3,3,2cm cm cm ，4种形状不同的三角形；因此共有5种，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键在于根据任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分析．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级其他模拟）锐角∵ABC中，∵B＝45°，BC则AC的长可以是（）A．1B C D【答案】D【分析】作CD∵AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD∵AB于D，如图所示：∵∵B＝45°，∵∵BCD是等腰直角三角形，∵BD＝CD＝sin=1BC B，∵BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，∵ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC1AD CD==，则∵ACD是等腰直角三角形，∵ACD＝45°，∵∵ACB＝90°，∵ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC AC＜CD，∵∵ACD＞∵A，则∵ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC时，12AD CD ==<∵∵ACD＜∵A，则∵ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在Rt ABC 中，∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∵A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点，连接PM ，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．2C ．3D．【答案】C 【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接PC ， ∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°， ∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==， ∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==，∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线，故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·福建省同安第一中学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．3，4，8 B ．5，6，11C ．4，4，8D ．8，8，8【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A 、3+4＜8，不能构成三角形； B 、5+6=11，不能构成三角形； C 、4+4=8，不能构成三角形； D 、8+8＞8，能构成三角形．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．6．（2021·福建九年级其他模拟）若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（） A ．4 B ．5C ．14D ．15【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可得．【详解】设该三角形第三边的长为a ，由三角形的三边关系得：9559a -<<+，即414a <<，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．本号资料皆来源于微信公众号：数学第六*感7．（2021·辽宁）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则S ∵ABC 的面积为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C 【分析】利用割补法求∵ABC 面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．【详解】解：在网格中添加字母如图， S ∵AEB =1112122AE BE ⋅=⨯⨯=， S ∵AFC =1123322AF FC ⋅=⨯⨯=， S ∵BGC =11313222BG GC ⋅=⨯⨯=，S 正方形=9EF FC ⋅=，∵S ∵ABC = S 正方形- S ∵AEB - S ∵AFC - S ∵BGC =9-1-3-3722=．故选择C ．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键． 8．（2021·福建宁德市·）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，2，4D ．2，2，5【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+2＞4，能够组成三角形；符合题意 B 中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意 C 中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意 D 中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．9．（2021·陕西咸阳市·九年级一模）如图，CM 是ABC ∆的中线，BCM 的周长比ACM ∆的周长大3cm ，8cm BC =，则 AC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【详解】解：∵CM 为∵ABC 的AB 边上的中线， ∵AM =BM ，∵∵BCM 的周长比∵ACM 的周长大3cm ， ∵（BC +BM +CM ）-（AC +AM +CM ）=3cm ， ∵BC -AC =3cm ， ∵BC =8cm ， ∵AC =5cm ，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．本号资*料皆来源于微信公众号：数学第六感10．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）如图，在ABC 中，BC 边上的高是（）A ．CDB ．AEC ．AFD ．AH【答案】C 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论．【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AF ，则ABC 中，BC 边上的高是AF ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键．二、填空题11．（2021·内蒙古包头市·）在ABC 中，,A B ∠∠都是锐角，且满足2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则三角形的形状是__．【答案】钝角三角形【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,A B ∠∠,再根据三角形内角和定理求得C ∠,判断三角形的形状即可．【详解】2sin 0cos 0A B ⎫≥≥⎪⎪⎝⎭∴sin0A=cos0B=45,30A B∴∠=︒∠=︒1804530105C∴∠=︒-︒-︒=︒∴ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．12．（2021·浙江九年级专题练习）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．【答案】2 5【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能组成三角形的有：∵3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；∵5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；∵5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；∵8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，故能构成三角形的概率是P=410=25，故答案为：2 5 .【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.13．（2021·扬州市梅岭中学）判断命题“若ABC的边a、b、c满足22a b ac bc-=-，则ABC 是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）【答案】真命题【分析】根据22a b ac bc-=-变形即可求得,,a b c的关系，再进行判断即可【详解】22a b ac bc-=-()()()a b a b c a b∴+-=-a b c+≠a b∴-=a b∴=∴ABC是等腰三角形故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题，因式分解，三角形三边关系，等腰三角形的定义，因式分解后根据三角形三边关系判断是解题的关键．14．（2021·内蒙古包头市·）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F 在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G ，则AGF的面积是________．【答案】5611．【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH∵CD，交AB于N，先证明∵ABE∵∵MCE，由CF=3DF，可求DF =1，CF =3，再证∵ABG ∵∵MFG ，则利用相似比可计算出GN ，再利用两三角形面积差计算S ∵DEG 即可．【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M ，过G 作GH ∵CD ，交AB 于N ，如图， ∵点E 为BC 中点， ∵BE =CE ，在∵ABE 和∵MCE 中， ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABE ∵∵MCE （ASA ）， ∵AB =MC =4，∵CF =3DF ，CF +DF =4，∵DF =1，CF =3，FM =FC +CM =3+4=7， ∵AB∥MF ，∵∵ABG =∵MFG ，∵AGB =∵MGF ， ∵∵ABG ∵∵MFG ， ∵47AB GN MF GH ==， ∵4GN GH +=， ∵1628,1111GN GH ==， S ∵AFG =S ∵AFB -S ∵AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=，故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）如图，在Rt∵ABC中，AB＝AC，D、E 是斜边BC上两点，且∵DAE＝45°，将∵ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到∵AFB，连接EF，下列结论：∵∵AED∵∵AEF；∵AE ADBE CD=；∵∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵BE2+DC2＝DE2；∵BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】∵∵∵【分析】∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF，因为∵BAC=90°，∵DAE=45°，所以∵CAD+∵BAE=45°，可得∵EAF=45°=∵DAE，由此即可证明∵AEF∵∵AED；∵当∵ABE∵∵ACD时，该比例式成立；∵根据旋转的性质，∵ADC∵∵ABF，进而得出∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵据∵知BF=CD，EF=DE，∵FBE=90°，根据勾股定理判断．∵根据∵知道∵AEF∵∵AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF．本号资料皆来源于微@信公众号：数学第*六感∵∵BAC=90°，∵DAE=45°，∵∵CAD+∵BAE=45°，∵∵EAF=45°，∵∵AED∵∵AEF；故本选项正确；∵∵AB=AC，∵∵ABE=∵ACD；∵当∵BAE=∵CAD时，∵ABE∵∵ACD，∵AE AD BE CD=；当∵BAE≠∵CAD时，∵ABE与∵ACD不相似，即AE AD BE CD≠；∵此比例式不一定成立，故本选项错误； ∵根据旋转的性质知∵ADC ∵∵AFB ，∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；∵∵∵FBE =45°+45°=90°， ∵BE 2+BF 2=EF 2．∵∵ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∵AFB ， ∵∵AFB ∵∵ADC ， ∵BF =CD ．又∵EF =DE ，∵BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；∵根据∵知道∵AEF ∵∵AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∵BE +DC =BE +BF ＞DE =EF ，即BE +DC ＞FE ，故本选项错误．综上所述：正确的说法是∵∵∵．本@号资料皆来源于微信公众号：数学@第六#感故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系．三、解答题16．（2021·浙江）如图，在84⨯的正方形网格中，按ABC 的形状要求，分别找出格点C ，且使5BC =，并且直接写出对应三角形的面积．【答案】见解析；10S =；252S =；12S =【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可【详解】解：钝角三角形时，如图，∵BC∵BD，BC=5，∵∵ABC是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,∵11=45=10 22S BC BD=⨯⨯⨯；直角三角形时，如图，取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC，∵AE=BF=4，EB=FC=3，∵AEB=∵BFC=90°，∵∵AEB∵∵BFC，∵∵EAB=∵FBC，∵∵EAB+∵EBA=90°，∵∵FBC+∵EBA=90°，∵∵ABC =90°，∵∵ABC是直角三角形，根据勾股定理，得AB，∵11=5522S BA BC=⨯⨯⨯252=；锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，根据勾股定理，得BC，根据直角三角形时的作图，知道∵ABN=90°，本号资料皆来源于微信公众号：#数学第六感∵∵ABC＜∵ABN，∵∵ABC＜90°∵AB=BC，∵∵ABC是等腰三角形，∵∵A=∵C＜90°，∵∵ABC是锐角三角形，∵1462S=⨯⨯=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．17．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF CE=；（2）若ACE的面积为4，CED的面积为3，求∵ABF的面积．本号资料#皆#来源于微信公众号：数学第*六感【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据垂直，中线的性质，证明∵CDE∵∵BDF即可；（2）根据三角形全等，确定∵BDF和∵CDE的面积相等，根据中线的性质，得∵ABD和∵ACD 的面积相等，计算即可．【详解】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∵CE ∵AF ，BF ∵AF ， ∵∵CED =∵F =90°， ∵∵CDE =∵BDF , ∵CED F CDE BDF DC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵CDE ∵∵BDF , ∵CE =BF ；（2）解：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∴ΔΔABD ACD S S =，Δ4ACE S =，3CEDS=∴ΔΔACD ACE CEDS S S =+43=+7=∴7ABDS=由（1）已证：∵CDE ∵∵BDF ,∴ΔΔ3BDF CDE S S == ∴ΔΔΔABF ABD BDF S S S =+73=+10=．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法，灵活运用三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键．18．（2021·吉林九年级其他模拟）图∵、图∵、图∵均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图∵中画一个钝角三角形，在图∵中画一个直角三角形，在图∵中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图∵面积为12；图∵面积为1；图∵面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．19．（2021·江苏九年级月考）如图，在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，点D 是AB 的中点，AC ＜BC ． (1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分ABC 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE 分Rt ∵ABC 面积为1﹕2两部分，请探究AC 与BC 的数量关系．【答案】(1)作图见解析；(2)BC=3AC 【分析】（1）在BC 上用圆规截取BF=AC ，然后再作FC 的垂直平分线，其与BC 的交点即为E 点，最后连接DE 即可．（2）连接DC ，由点D 是AB 的中点，则S ∵ADC =S ∵BCD ;设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ，则有（x+y ）：（x -y ）=2:1，解得x=3y ，即E 为BC 的三等分点，即可说明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC ．【详解】解：（１）如图：DE 即为所求；（2）连接DC ∵点D 是AB 的中点 ∵S ∵ADC =S ∵BCD设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ， ∵S ∵BDC :S 四边形CADE =1:2∵(S ∵BDC -S ∵DCE ):( S ∵ADC +S ∵DCE )=1:2, ∵2（x -y ）=x+y ，即x=3y∵点E 为BC 的三等分点, 即BC=3EC ∵EC=EF=BF=AC ∵BC=3AC ．【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中线的性质、三角形n 等分点的性质等知识点，其中根据题意完成（1）是解答本题的关键．20．（2021·广东）若a,b,c 为∵ABC 的三边长（1）化简：-+2+-||a b c a b c b a c -+---（2）若a,b ()220b -=，且c 是整数，求c 的值. 【答案】（1）2a ；（2）1<c<5．【分析】（1）由a ，b ，c 为三角形ABC 的三边，利用三角形的两边之和大于第三边列出关系式，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．（2）根据非负数的性质列式求出a 、b ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．【详解】（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵a+b>c ，即−a−b+c<0，a+c>b ，即a−b+c>0，b−a−c<0，则|−a−b+c|+2|a−b+c|−|b−a−c|=a+b−c+2(a−b+c)+b−a−c=a+b−c+2a−2b+2c+b−a−c=2a ；（2）由题意得，a−3=0，b−2=0，解得a=3，b=2， ∵3−2=1，3+2=5， ∵1<c<5．【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值，三角形三边关系的应用，解题关键在于利用两边之和大于第三边.21．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级一模）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：∵2222690m mn n n ++-+=∵2222690m mn n n n +++-+=∵22()(3)0m n n ++-= ∵0,30,m n n +=-=∵3, 3.m n =-=问题（1）若∵ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问∵ABC 是什么形状?说明理由.（2）若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．（3）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．【答案】（1）∵ABC 是等边三角形，理由见解析；（2）14；（3）3 【分析】（1）先把a 2+b 2-6a -6b +18+|3-c |=0，配方得到（a -3）2+|3-c |=0，根据非负数的性质得到a =b =c =3，得出三角形的形状即可；（2）首先把x 2+4x 2-2xy +12y +12=0，配方得到（x -y ）2+3(y +2)2=0，再根据非负数的性质得到x =-2，代入求得值即可；（3）首先根据a -b =8，ab +c 2-16c +80=0，应用因式分解的方法，判断出（a -4）2+（c -8）2=0，求出A 、B 、C 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a +b +c 的值是多少即可.【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，理由如下：由题意得()()223330a b c -+-+-=∵3a b c ===∵∵ABC 是等边三角形．（2）由题意得()()22320x y y -++=∵2x y ==-． ∵14y x =．（3）∵24,6130a b ab c c -=+-+=，即a =b +4，（b +4)b +c 2 –6c +13=0，∵（b 2+4b +4 ）+（c 2 –6c +9）=0，∵b +2=0，c –3=0，∵b = –2，c =3，a =2，∵a +b +c =3．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于弟三边；任意两边之差小于第三边.22．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC的高AM；（2）在图2中，作ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF∵AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE∵AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC 与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点ABC中AB=AC且垂直，∵以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM∵BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∵过点C 且是4×1格的对角线即为如图所示的CF ，∵CF ∵AB同理AC 是4×3格的对角线，∵过点B 且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∵BE ∵AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∵连接AG 并延长交BC 与点N ，即AN 为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m ×n 格的对角线与n ×m 格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键． 23．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级其他模拟）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∵以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；∵分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ∵作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）23【分析】（1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB 与BC 边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】解：（1）根据步骤（1）得弧线交AB ，BC 于点D ，E ，根据步骤（2）得两弧交点F ，根据步骤（3）得射线BG ，根据作图的步骤与图形结合得BG 平分∵ABC ；如图所示，即为所求．（2）过点G 作GH ∵BC 于H ，GM ∵射线AB 于M ，∵BG 平分∵ABC ，∵GM =GH ，S ∵ABG =118422AB GM GM GM ⋅=⨯⨯=， S ∵BCG =1112622BC GH GH GH ⋅=⨯⨯=， S ∵ABG : S ∵BCG =4:64:62:3GM GH GH GH ==，故答案为：23．【点睛】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角。

2023年中考数学解答题专项复习：三角形(附答案解析)

EDC＝n°．
（1）当 n＝60 时，
①如图 1，当点 D 在 AC 上时，请直接写出 BE 与 AD 的数量关系：
；
②如图 2，当点 D 不在 AC 上时，判断线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由；
（2）当 n＝90 时，
①如图 3，探究线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由；
②当 BE∥AC，AB＝3 ，AD＝1 时，请直接写出 DC 的长．
3．（2021•温州模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点 D， E，且∠BAE＝∠CAD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）设 BD，CE 相交于点 O，∠BOC＝140°，求∠OBC 的度数．
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4．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点 C，且 AC＝BC，EC＝ DC．求证：AE＝BD．
，
∴△ABC≌△EBD（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△EBD， ∴AB＝BE，
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∵BE＝5， ∴AB＝5， ∵BC＝BD，BC＝3， ∴BD＝3， ∴AD＝AB+BD＝8．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△ABC≌△EBD． 2．（2021•新昌县模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°．点 D 为边 AC 上一点，DE ⊥AB 于点 E，点 G 为 BD 上一点．连接 CG 并延长与 AB 相交于点 F，连接 EG．已知∠ 1＝∠2．（1）若 BD 平分∠ABC，求证：△DBC≌△DBE．（2）若 BD＝4，求 CG 的长．（3）若∠EGF＝80°，求∠A 的度数．
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中考数学专题复习卷三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

中考数学备考专题复习全等三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

全等三角形一、单选题（共12题；共24分）1、下图中，全等的图形有（）A、2组B、3组C、4组D、5组2、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条直角边对应相等3、下列说法错误的是（）A、等腰三角形两腰上的中线相等B、等腰三角形两腰上的高线相等C、等腰三角形的中线与高重合D、等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等4、如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配．A、①B、②C、③D、①和②5、长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值X围为（）A、B、C、D、6、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°7、如图，x的值可能为（）A、10B、9C、7D、68、如图，△A BC中，AB=AC ， EB=EC ，则由“SSS”可以判定（）A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACEC、△BDE≌△CDED、以上答案都不对9、如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、小于或等于4cm，且大于或等于2cm10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•某某）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A、AC=BDB、∠CAB=∠DBAC、∠C=∠DD、BC=AD12、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A、24°B、25°C、30°D、36°二、填空题（共5题；共6分）13、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度．14、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．15、如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．16、如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI________全等，如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△A BC 和△GHI________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17、（2016•某某）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4﹣4．三、综合题（共6题；共66分）18、如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F ，连接DF ．(1)试说明AC=EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形.19、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DC E 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由。

中考数学复习考点知识专题讲解10---三角形的综合问题

中考数学复习考点知识专题讲解中考数学复习考点知识专题讲解三角形的综合问题专题10三角形的综合问题】方法指导】【方法指导1.全等三角形解决问题的常见技巧：（1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形）．（2）作辅助线构造全等三角形①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．2.等腰三角形解题技巧：（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3.等边三角形常用方法与思路：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．【题型剖析题型剖析】】【类型1】三角形有关角的综合计算三角形有关角的综合计算【例1】（2019•泉山区模拟）如图，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，若90MON ∠=°，OBA ∠、OAB ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠= °；（2）如图2，若MON n ∠=°，OBA ∠、OAB ∠的平分线交于点C ，求ACB ∠的度数；（3）如图2，若MON n ∠=°，AOB ∆的外角ABN ∠、BAM ∠的平分线交于点D ，求ACB ∠与ADB ∠之间的数量关系，并求出ADB ∠的度数；（4）如图3，若80MON ∠=°，BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点E ．试问：随着点A 、B 的运动，E ∠的大小会变吗？如果不会，求E ∠的度数；如果会，请说明理由．【变式1-1】（2019•沭阳县模拟）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品−−圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=°，则ABX ACX ∠+∠= 40 °；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=°，130DBE ∠=°，求DCE ∠的度数； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G 、2G …、9G ，若140BDC ∠=°，177BG C ∠=°，求A ∠的度数．【变式1-2】（2019春•海安市期末）如图，已知BE 是ABC ∆的角平分线，CP 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线．延长BE ，BA 分别交CP 于点F ，P（1）求证：12BFC BAC ∠=∠；（2）小智同学探究后提出等式：BAC ABC P ∠=∠+∠．请通过推理演算判断“小智发现”是否正确？（3）若2180BEC P ∠−∠=°，求ACB ∠的度数．【变式1-3】（2019春•高淳区校级模拟）ABC ∆中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD OB ⊥，交边AB 于点D ．（1）如图1，①若40ABC ∠=°，则AOC ∠= ，ADO ∠= ；②猜想AOC ∠与ADO ∠的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作ABC ∠外角ABE ∠的平分线交CO 的延长线于点F ．若105AOC ∠=°，32F ∠=°，则AOD ∠= _______°．【类型2】全等三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质【例2】（2019•如皋市一模）如图，A 、B 、C 是直线l 上的三个点，DAB DBE ECB a ∠=∠=∠=，且BD BE =．（1）求证：AC AD CE =+；（2）若120a =°，点F 在直线l 的上方，BEF ∆为等边三角形，补全图形，请判断ACF ∆的形状，并说明理由．【变式2-1】（2019•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=°，CE BD ⊥，垂足为E ，BE DA =．（1）求证：ABD ECB ∆≅∆；（2）若45DBC ∠=°，1BE =，求DE 的长（结果精确到0.01， 1.414≈ 1.732)≈【变式2-2】（2019•灌南县校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，点F 是AB 的中点，点E 是BC 边上的点，DE AD BE =+，DEF ∆的周长为l ．（1）求证：DF 平分ADE ∠；（2）若FD FC =，2AB =，3AD =，求l 的值．【类型3】等腰三角形的有关计算与证明等腰三角形的有关计算与证明【例3】（2018秋•灌云县期末）如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，（1）若BDA BAD ∠=∠，60B ∠=°，求C ∠的大小；（2）若AE 既是ABD ∆的高又是角平分线，54B ∠=°，求C ∠的大小．【变式3-1】（2018秋•泗阳县期末）已知，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD BA =，CE CA =．（1）如图1，若90BAC ∠=°，45B ∠=°，试求DAE ∠的度数；（2）若90BAC ∠=°，60B ∠=°，则DAE ∠的度数为（直接写出结果）；（3）如图2，若90BAC ∠>°，其余条件不变，探究DAE ∠与BAC ∠之间有怎样的数量关系？【变式3-2】（2018秋•秦淮区期末）如图，在ABC ∆中，AB AD =，CB CE =．（1）当90ABC ∠=°时（如图①)，EBD ∠= °；（2）当(90)ABC n n ∠=°≠时（如图②)，求EBD ∠的度数（用含n 的式子表示）．【类型4】等边三角形的有关计算与证明等边三角形的有关计算与证明【例4】（2019春•鼓楼区校级模拟）已知，ABC ∆为等边三角形，点D 为AC 上的一个动点，点E 为BC 延长线上一点，且BD DE =．（1）如图1，若点D 在边AC 上，猜想线段AD 与CE 之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D 在AC 的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式4-1】（2018秋•泰兴市月考）如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至点E ，使CE CD =．取BE 中点F ，连接DF ．（1）求证：BD DE =；（2）延长ED 交边AB 于点G ，试说明：DG DF =．【变式4-2】（2019•淮阴区模拟）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=°，以AC 为边在ABC ∆外作等边三角形ACD ，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，与AB 相交于点E ，连接CE ．（1）说明：AE CE BE ==；（2）若15AB cm =，P 是直线DE 上的一点．则当P 在何处时，PB PC +最小，并求出此时PB PC +的值．【类型5】直角三角形的综合问题直角三角形的综合问题【例5】（2019 •溧水校级模拟）已知ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC =，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【变式5-1】（2018秋•常熟市期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =．点D 是边AC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ．点F 是BD 的中点，连接CF ，EF ．（1）求证：CF EF =；（2）判断CF 与EF 的位置关系，并说明理由；（3）若30DBE ∠=°，连接AF ，求AFE ∠的度数．【变式5-2】（2019•江都区校级模拟）如图所示，已知ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ∠=°，10AB =，D 为ABC ∆外的一点，连结AD 、BD ，过D 作DH AB ⊥，垂足为H ，DH 的延长线交AC 于E ．（1）如图1，若BD AB =，且34HB HD =，求AD 的长；（2）如图2，若ABD ∆是等边三角形，求DE 的长．【达标检测达标检测】】一．选择题选择题（（共4小题小题））1．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，102．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．4．（2018•南通）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（）A．B．C．D．）小题）二．填空题（共4小题填空题（5．（2019•南通）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝度．6．（2019•苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为．7．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是．8．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．）小题）（共8小题三．解答题解答题（9．（2019•南通）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC 并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？10．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．11．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．12.（2018•无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．13．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B 折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．14．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l 2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．请依据上述定义解决如下问题：＝3，则T（BC，AB）＝；（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝6，求T（BC，CD），＝2，T（BC，AB）。

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知识点1 三角形的边、角关系
①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°；
⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；
③三角形的三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3 全等三角形定义、判定、性质知识点4 等腰三角形等腰三角形的识别：
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形；
⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质： ①等边对等角；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。

知识点5 直角三角形直角三角形的识别：
①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

知识点6 相似三角形
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法定义相似三角形,
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
相似比平方
面积比
等于相似比
周长比
对应高的比
对应边的比
相似三角形的性质
知识点7 锐角三角函数与解直角三角形
例题讲解
例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。

（2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。

例2. 已知：如图，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB 边上的一点，求证：（1）⊿ACE≌⊿BCD，（2）AD2＋AE2＝DE2。

例3. 已知△ABC中，∠ACB＝90º，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。

求证：（1）△HEF≌△EHC；
E
D
C
B
A
例4. 两个全等的含30º，60º角的三角板ADE 和ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC 。

试判断△EMC 是什么样的三角形，并说明理由。

1．在下列四个结论中，正确的是（）
（A ）三角形的三个内角中最多有一个锐角（B ）等腰三角形的底角一定大于顶角（C ）钝角三角形最多有一个锐角（D ）三角形的三条内角平分线都在三角形内 2．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于G ，AG 的延长线交BC
于F ，那么图中全等三角形的对数是（）
（A ）4对（B ）5对（C ）6对（D ）7对
4．如图4，∠B ＝60°，∠C ＝40°，∠BDC ＝3∠A ，则∠A 的度数为（）
（A ）80° （B ）30° （C ）50° （D ）无法确定
5.AE 与BF 交于C ，且AB ＝AC ，CE ＝CF ．∠E ＝α．那么，∠A 用α可表示（）
（A ）180°－α （B ）180°－ 4α （C ）2α－180° （D ）4α－180°
１．△ABC 中，∠A ＝2∠B ，∠C ＝∠A ＋∠B ＋12°，则∠A ＝，∠B ＝，∠C ＝；２．如图1，l 1∥l 2， ∠β＝142°，∠γ＝73°，则∠α＝；３．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为；
４．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝；
５．如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠CAD ＝40°，∠CEA ＝70°，
则∠EAB ＝ .
C
E
A
D M
B
┌ ┐ A
B C D
1l 2l α β γ
A
B
C D E
2. （1）已知如图①，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝60º。

求证：①AC ＝BD ，②∠APB ＝60º。

（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝α，则AC 与BD 间的等量关系式为______________；∠APB 的大小为_____________。

（3）如图③，在△AOB 和△COD 中，OA ＝kOB ，OC ＝kOD （k >1），∠AOB ＝∠COD ＝α，则
AC 与BD 间的等量关系式为_________________；∠APB 的大小为_____________。

B
A
C
D O
P ①
A
C B
O
P D
②
A
C
B P
O
D
③
3. 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2
，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计的方案如图（2）。

你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。

（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）
(1) (2)
5. 如图，已知∠MON ＝90º，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线OM 上的一定点，顶点
B 与点O 重合，顶点
C 在∠MON 内部。

（1）当顶点B 在射线ON 上移动到B 1时，连结AB 1为一边的等边三角形AB 1C 1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AB 1与OC 交于点Q ，AC 的延长线与B 1C 1交于点D 。

求证：AQ AB AD AC ⋅=⋅1；（3）连结CC 1，试猜想∠ACC 1为多少度？并证明你的猜想。

6. 如图所示，设A城气象台测得台风中心在A•城正西方向600km的B处，正以每小时200km 的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km•的范围是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？
7. （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，∠CAB＝60°，•CD ＝3，BD＝23，求AC，AB的长．
（2）“实验中学”有一块三角形状的花园ABC，•有人已经测出∠A＝30°，AC＝40米，BC＝25米，你能求出这块花园的面积吗？
（3）某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A＝60°，AB＝200m，CD＝100m，•求AD、BC的长．
8. 高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图所示．
（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC＝2.5米，DF＝7.5米，求大树AB的高度；
（2）现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
①在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n……表示，角度用希腊字母α，β……表示）；
②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示．。