北大代数结构与组合数学期中试题_计算机基础数学

信息科学技术学院2003-2004学年第二学期
本科生期末考试试卷
一、（每小题3分,共18分）判断以下命题的真假.如果为真在后面括弧内打
√，否则打⨯.
1．A ={x |x ∈N 且(x ,5)=1}，则<A ,+>构成代数系统，+为普通加法 （ ）
2．∀x , y ∈R ，x o y =|x -y |，则0为<R ,o>的单位元 （ ）
3．∀x , y ∈R ，x o y =x +y +xy ，则∀x ∈R ，x -1=-x /(1+x ) （ ）
4．整环的积代数不一定是整环 （ ）
5．格同态具有保序性 （ ）
6．在有补格中，∀a ∈L ，求a 的补是L 的一元运算 （ ）
解答：1. ⨯ 2. ⨯ 3. ⨯. 4. √ 5. √ 6. ⨯
评分标准：每题3分，错一题扣3分。

二、（12分）A ={a ,b ,c }, o 是A 上的二元运算，在V =<A ,o>的运算表中，除了
a o
b =a 以外，其余运算结果都等于b .
1．试给出V =<A ,o>的两个非恒等映射的自同态.
2．给出这两个自同态导出的关于V 的商代数. 解答：1. f ={<a ,b >,<b ,b >,<c ,b >}, g ={<a ,b >,<b ,b >,<c ,c >} 2. f 导出的商代数为<{{a ,b ,c }},*>, 其运算为{a ,b ,c }*{a ,b ,c }={a ,b ,c } g 导出的商代数为<{{a ,b },{c }},*>, ∀x ,y ∈{{a ,b },{c }}, x *y ={a ,b }
评分标准：给对一个自同态得３分，给对一个商代数得３分． 注意结果不惟一，但是自同态满足将ｂ映到ｂ．
三、（10分）设N 是群G 的一个正规子群，且[G :N ]=m ，证明∀a ∈G 都有a m ∈N .
解答与评分标准：
证 根据商群定义 |G /N |=[G :N ]，因此|G /N | = m . （2分）
∀a ∈G , Na ∈G /N ，(Na )m = N （3分）
根据商群运算有, (Na )m =Na m , 从而Na m = N （3分）
由陪集相等条件得 a m ∈N . （2分）
四、（10分）证明有理数域的自同构只有恒等自同构.
装
订
线 内
请 勿 答 题
解答与评分标准：
证 任何有理数表为p /q ，其中p ,q 为整数，q >0，p 与q 互素 （1分）
自同构满足f :Q →Q , 且 f (0)=0, f (1)=1, （2分）
∀x ∈Z +，f (x )=f (1+1+1+…+1)=f (1)+f (1)+…+f (1)=x . （2分）
∀x ∈Z -, 令x =-y ，则f (x )=f (-y )= -f (y )= -y =x （1分）
∀x ∈Q +, x =p /q , f (x )=f (pq -1)=f (p )f (q -1)=p (f (q ))-1=pq -1=p /q =x （2分）
∀x ∈Q -, x =-p /q , f (x )=f (-p )f (q -1)= -f (p )f (q -1)= -p /q =x （2分） f 为恒等映射。

五、（16分）由集合{5⋅a , 1⋅b , 1⋅c , 1⋅d , 1⋅e }中的全体元素构成字母序列，求：
1．没有两个a 相邻的序列个数
2．b , c , d , e 中的任何两个字母都不相邻的序列个数.
解答与评分标准：
1．以a 为格子分界，放b ,c ,d ,e 进入4个格子，方法数为4!=24 （8分）
2．以b ,c ,d ,e 为格子分界，方法数为4!。

将3个a 放入格内分隔b ,c ,d ,e ，
然后将另2个a 插入5个空隙，方法数为方程x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2的非
负整数解个数，为C (6,2)=15
所求方法数为 N =15⋅ 4!=360 （8分）
六、（10分）求和
∑=n
k k n C 0)2,2( 解答与评分标准：
七、（10分）用3种颜色涂色3⨯3的方格棋盘，每个方格一种颜色. 如果允许
棋盘任意旋转或翻转，问有多少种不同的涂色方案？
解答：群G 的置换结构为：
(∙) (∙) (∙) (∙) (∙) (∙) (∙) (∙) (∙) 1个
(∙ ∙ ∙ ∙) (∙ ∙ ∙ ∙) (∙) 2个
(∙∙) (∙∙) (∙∙) (∙∙) (∙) 1个
3分，计算对了得1分。

八、（14分）设n为自然数，求平面上由直线x+2y=n与两个坐标轴所围成的
直角三角形内（包括边上）的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点.
解：整点个数为以下方程非负整数解的个数
x+2y=r , r=0,1,…
,n。