数学建模作业

数学建模与实践
我们选择的题号是（1题/2题/3题/4题）： 4
小组队员：
1. 学院城市专业班级电信1212 姓名卢敏签名
2. 学院城市专业班级测绘1211 姓名何帅帅签名
3. 学院城市专业班级测绘1211 姓名章婷婷签名
牛奶制品的生产最优化模型
作者：卢敏何帅帅章婷婷
摘要
随着社会的发展，人们的生活水平逐渐提高，对奶制品的要求也不断提高本文以牛奶制品加工厂的生产实际为背景, 经过简化提出了安排奶制品生产计划中的一些问题, 利用优化方法建立数学模型, 并根据模型求解结果给出了奶制品加工计划的设计方案
目的就是合理分配资源，让企业获取最大利润。

根据本题的基本信息，提出奶制品的生产模型，这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2,但存在着几个问题的制约，按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到模型最优解，解决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。

关键词
生产计划最优解线性规划
MATLAB软件 Novoasoft ScienceWord 5.0软件
问题再现
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成5公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2全部能售出，且每公斤A1获利30元，每公斤A2获利15元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。

（2）35元可买到1桶牛奶，买吗？
问题分析
问题一 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力．
模型假设
许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划(特别是在像生产计划这样的经济管理领域)，这不是偶然的．让我们分析一下线性规划具有哪些特征，或者说：实际问题具有什么性质，其模型才是线性规划．
比例性:每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。

可加性:各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其它决策变量的取值无关．
连续性:每个决策变量的取值是连续的．
比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则允许得到决策变量的实数最优解．
对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设： 1) 1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；
2) 1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3)加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数．
这3条假设恰好保证了上面的3条性质．当然，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，1A ，2A 的产量很大时，自然会使它们每公斤的获利有所减少．
由于这些假设对于书中给出的、经过简化的实际问题是如此明显地成立，本章下面的例题就不再一一列出类似的假设了．不过，读者在打算用线性规划模型解决现实生活中实际问题时，应该考虑上面3条性质是否近似地满足．
模型建立
由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：
设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2；每天获利为z 元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利30*3x1，x2桶牛奶可生产5x2公斤A2，获利15*5x2，z=90x1+75x2；
我们的目标是求出当x1,x2满足下列约束条件时z 的最大值，及相应的x1,x2的取值。

约束条件为：
1.原料供应：生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2≤480小时；
2.劳动时间：生产A1，A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即x1+x2≤50桶；
3.设备能力：A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x ≤100；
4.非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1>=0，x2>=0.
由此得基本模型：
Max z=90x1+75x2
S ．t ．x1+x2≤50
12x1+8x2≤480
3x1≤100
x1≥0,x2≥0.
符号说明
模型求解与检验
图解法：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号，可知它们是1Ox ，2x 平面上的5条直线，依次记为1L ～5L ，如图1．其中4L ，5L 分别是工2x 轴和1x 轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，
30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．
制作此图利用的是 Novoasoft ScienceWord 5.0软件
当目标函数Z 过点(20，30)取得最优解，即为最优解：1x =20，
2x =30．Z=4050 我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n 维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的．
一般法：根据约束条件，用MATLAB软件进行求解，编写M-脚本文件代码输入MATLAB中即可得到最优解。

编写M-脚本文件如下：
f=[-90 -75];
A=[1 1;12 8;3 0];B=[50;480;100];
C=[]; D=[];
xm=[0;0]; xM=[inf;inf;1;inf]; x0=[];
x=linprog(f,A,B,C,D,xm,xM,x0)
根据多项式的曲线拟合原理，其本身就体现了最小二乘法，在拟合多项式最高次数的选择上，我们更是多次试验，择优而选择，使其更加逼近以前的数据。

所以说，从最小二乘法原理方面检验，它的误差是在ɑ=0.05之内的，模型可行。

问题二：35元可买到1桶牛奶，买吗?
增加以单位的原料产生的利润大于35，所以买
结论及应用
本模型的优点:
1.在数据处理上，采用简单的数据处理，解决了实际的奶制品的生产与销售模型。

2.在此题求解过程中，假设多个变量，考虑到多个因素的存在，运用了多种可能的模型，，使得问题的求解的合理性大为提高。

本模型的不足点:
本模型采用多项式进行曲线拟合,但并没有论证它的优越性,而且也有可能出现多种最优解，也没有考虑是否有更好的拟合函数
模型推广：企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。

从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

参考文献
[1] 韩中庚, 姜启源. 奶制品加工计划的设计模型[J] . 信息工程大学学报, 2002
[2]姜启源等，数学模型，第三版，北京：高等教育出版社
[3]刘卫国等，Matlab程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社
[4]萧树铁. 数学实验[M] . 北京: 高等教育出版社, 19991
[5]薛定宇，基于MATLAB/ Simlink的系统仿真技术与应用（第二版），北京，清华大学出版社，2011
附录：
用MATLAB软件求解问题：加工奶制品的生产计划的程序如下
编写M-脚本文件如下：
f=[-90 -75];
A=[1 1;12 8;3 0];B=[50;480;100];
C=[]; D=[];
xm=[0;0]; xM=[inf;inf;1;inf]; x0=[];
x=linprog(f,A,B,C,D,xm,xM,x0)。