第5章约束优化
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管理会计应用指引第504号——约束资源优化
附件4：管理会计应用指引第504号——约束资源优化第一章总则第一条约束资源优化，是指企业通过识别制约其实现生产经营目标的瓶颈资源，并对相关资源进行改善和调整，以优化企业资源配置、提高企业资源使用效率的方法。
约束资源，是指企业拥有的实际资源能力小于需要的资源能力的资源，即制约企业实现生产经营目标的瓶颈资源，如流动资金、原材料、劳动力、生产设备、技术等要素及要素投入的时间安排等。
第二条约束资源优化一般适用于企业的投融资管理和营运管理等领域。
第二章应用环境第三条企业应用约束资源优化工具方法，约束资源的缺口一般应相对稳定。
第四条企业应用约束资源优化工具方法，相关数据一般应完整并可获取，必要时提供信息技术的支持。
第三章应用程序第五条企业应用约束资源优化工具方法，一般按照识别约束资源、寻找突破方法、协同非约束资源、评价实施效果等程序进行。
第六条企业应用约束资源优化工具方法，应识别出管理过程中制约既定目标实现的约束资源，并对约束资源进行定量分析。
在约束资源难以进行定量分析时，可以通过内部评审法、专家评价法等，识别出管理过程中的约束资源。
内部评审法，是指企业通过内部组织开展评议、审查识别约束资源的方法。
企业通常应组建满足约束资源识别所需的，由财务部门、生产部门和其他相关部门人员组成的内部评审小组或类似评审组织，通过集中研讨等方式，识别出管理过程中的约束资源。
专家评价法，是指利用专家的经验、知识等识别约束资源的方法。
对于企业既定目标的实现形成重大制约影响的约束资源，企业通常采用此方法进行综合评判。
第七条在识别约束资源的基础上，企业应比较约束资源的资源能力差距，搜集约束资源的相关数据等信息，系统分析约束资源形成的原因和涉及的实施责任主体，制定约束资源优化的实施方案，建立实现约束资源优化的长效机制，促进约束资源的资源能力提升。
（一）当约束资源是流动资金时，通常采取企业资金内部调剂、缩短应收账款回收周期、加快存货周转、延长付款周期等方法消除流动资金缺口，也可以通过外部融资扩大企业的资金来源，如债务融资、权益融资等。
约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
机械优化设计第5章 约束优化方法
是
X*=XL ,F*=F(XL)
否
XC 1 K Xj, j H K 1 j 1
结 束
是
X R X C ( X C X H ), FR F ( X R )
FR<F(XH)
是 否
XR∈D
否
否
α =0.5α
是
找出次坏点XSH ，XH=XSH
轧机
§5-5 可行方向法
研究室
轧机
CAD/CAM/CAE
直接法搜索路线
间接法框图
研究室
间接法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方 法。
轧机
CAD/CAM/CAE
研究室
§5-2 约束坐标轮换法
一.基本思路
1.依次沿各坐标轴方向---e1,e2,…,en方向搜索; 2.将迭代点限制在可行域内. •①可取定步长、加速步长和收缩步长,但不能取 最优步长; ②对每一迭代点均需进行可行性和下降性检查.
若仍不可行, 则重 复此步骤, 直至进入 可行域为止.
X
X
( q 1)
轧机
CAD/CAM/CAE
研究室
三. 终止判别条件
各顶点与好点函数值之差的均方根应不大于误差限
1 { [ F ( X ( j ) ) F ( X L )] } k j 1
k
1 2 2
不是十分可靠, 可改变 重作, 看结果是否相同.
给定内点X 0 , 0 , m,
α =α 0, F0=F(X0)
K=0, j=0
研究室
0 初始步长；
m 在一迭代点处允许产生 的方向数；
终止误差限(步长)
产生随机方向
工程设计中的优化方法
箱形梁优化设计的数学模型
min f (X), X∈R4 s.t. gj(X)≤0, j=1, 2, ···, 6 属约束非线性规划问题。选用可行方向法求解。
优化结果：取出三种跨度的优化结果见表5-1。
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大
值，即
min f (X) 或 max f (X)。
• 用效果函数(如性能指标、利润等)作目标函数，则是求极大值； • 用费用函数(如能源、材料、经费等)作目标函数，则求极小值。
单目标和多目标优化问题
• 单目标优化问题：只包含一个优化目标的问题 • 多目标优化问题：存在两个或两个以上优化目
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
x1
x2
x3
x4
790 310 5
8
870 380 6
6
1020 370 6
8
减轻自 重
（%）
19.8 18.8 13.7
3. 优化设计的计算方法
• 可行域 域内设计点（设计 方案）满足所有约束条件。
gu(X)=0
可行域
可行域内的设计点称为可行点。 不可行域
• 不可行域 域内的设计点
设计空间
不满足或不全满足约束条件。不可行域内的设计点
称为不可行点，一般是工程实际不能接受的方案。
约束优化设计中，最优点一般是约束区域的边界点， 即设计点位于某个约束面上： gu(X)=0 (1≤u≤p)
约束问题的优化方法
XR
变形的复合形
可行的新点，用新点代替最坏点， 构成新的复合形，复合形的形状 每改变一次，就向最优点移动一
XC
XL
初始复合形
步，直至逼近最优点。从复合形
法工作原理可看出，实现复合形 法最关键的是:构造复合形和复 合形变换等问题。
XH
0
x1
图4-4复合形法的算法原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.3.2 方法实现的关键技术
初始点更优的新点，至此完成一
轮迭代。然后，以新点为新的初
始点，即令 X 0 X 。重复以
0
上过程，经过若干次迭代计算后，
最终取得约束最优解。
X X
X1 X0
x1 图4-1 随机方向法的原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.2.2 方法实现的关键技术
实现随机方向法的关键包括初始点的选择，可行搜方 向的产生和搜索步长的选择等问题。 (1)初始点形成 随机方向法的初始点 X 0必须是一个可行点，即满足全 部不等式约束条件：g j (X 0 ) 0 ( j 1, 2, , m)。当约束条件 较为复杂，用人工不易选择可行初始点时，可用随机 选择的方法来产生。计算随机点的步骤如下： 1）输入设计变量的下限值和上限值，即
式计算随机单位向量 e j
ej
1
rr12jj
1
n
i 1
rij
22
rnj
( j 1, 2, , k)
（4-3）
《车辆优化设计与实践》教学课件
2）取一X 试j 验X步0 长0e0，j 按（4下-4式）计算K个随机点 显然，K个随机点分布在以初始点X 0为中心，以试验 步长 0为半径的超球面上。 3）检验K个随机点X j( j 1, 2, , k)是否为可行点，除 去非可行点，计算余下的可行随机点的目标函数值， 比较其大小，选出目标函数值最小的点 X L。 4）比较X L 和 X 0两点的目标函数值，若 f (X L ) f (X 0 )，则 取X L 和X 0的连线方向 f ( X L ) f ( X 0 ) 作为可行搜索方向 为止。如果缩小到很小（例如 0 106），仍然找不到 一个X L 使 f (X L ) f (X 0 )则说明 X 0 是一个局部极小点，此 时可更换初始点，转步骤1）。
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
Ch5_综合的约束与优化
`第五章综合的约束与优化综合的一个很重要的概念就是：单纯的映射是远远不够的，更重要的是设计的整体优化。
一方面设计工程师为综合规定必要的约束，例如对面积、速度、功耗的要求等，从而使优化有所依据；另一方面选择合适的综合器是优化程度的决定性因素。
同一个设计使用不同的综合器所得到的优化结果可以相差3～5倍。
第一节综合约束5-1-1 概述综合约束是对可测量的电路特性所定义的设计目标，比如面积、速度和电容等。
如果没有这些约束，Design Compiler工具将不能有效地对你的设计进行最优化。
在对设计进行优化时，Design Compiler支持两种类型的约束：●设计规则约束（Design rule constraints）●最优化约束（Optimization constraints）设计规则约束是固有的，在工艺库里定义；这些约束条件是为了保证设计的功能正确性，适用于使用工艺库的每一个设计；可以使这些约束比最优化约束更为严格。
最优化约束是外在的，由设计者自己定义；最优化约束描述设计指标，在整个dc_shell 工作期间应用于当前设计；它们必须接近于现实情况。
D esign Compiler试图同时满足设计规则约束和最优化约束，但设计规则约束必须首先被满足。
设计者可以以命令行形式交互式的指定约束或者在一个约束文件里指令约束。
图5.1显示了主要的设计规则约束和最优化约束，以及如何用dc_shell界面命令来设置这些约束。
图5.1 Major Design Compiler Constraints第二节设置设计规则约束这一节将讨论最常用的设计规则约束：•转换时间（Transition time）•扇出负载（Fanout load）•电容（Capacitance）Design Compiler给设计对象赋予属性来表示这些设计规则约束。
表5.1列出了每一个设计规则约束对应的属性名。
表5.1 设计规则属性Design Rule Constraint Attribute NameTransition time max_transitionFanout load max_fanoutCapacitance max_capacitancemin_capacitanceCell degradation cell_degradationConnection class connection_class 设计规则约束是工艺库里指定属性，你也可以明确地、随意地指定这些约束。
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
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§5-1 约束最优解及其必要条件
推广到n维设计空间的具有m个不等式约束的问题，
即为检验约束优化问题局部最优点的著名的K-T条件：
f ( x
(k )
) u g u ( x ( k ) )
u 1
J
u 0
或：
u 1,2,, J
J g u ( x ( k ) ) f ( x ( k ) ) u xi xi u 1
约束优化方法
第五章
约束优化方法
5-1 约束最优解及其一阶必要条件
5-2 随机方向法
5-3 复合形法
5-4-1 内惩罚函数法
5-4-2 外惩罚函数法 5-4-3 混合惩罚函数法
§5-1 约束最优解及其必要条件
约束最优解（a）
§5-1 约束最优解及其必要条件
约束最优解（b）
§5-1 约束最优解及其必要条件
随机方向法的计算步骤：
5)从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭
代计算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标 函数值不再下降的新点x。
6)若收敛条件
满足，迭代终止。约束最优解为x*＝x，否则，x0=x， 转到步骤2。
例：用随机方向法求解下面问题的约束最优解：
min s.t.
2 f ( x1 , x2 ) ( x1 3) 2 x2
答案：乘子无解，故非最优点。
§5-1 约束最优解及其必要条件
对于仅有等式约束的优化设计问题，以一个
等式约束为例：
h( x ) 0
可以写成：
h ( x) 0 h( x ) 0
从而得出等式约束问题的K-T条件：
f ( x ) h( x ) h( x )
0
验证其可行性和适用性：不可行性
8）产生k个随机方向（k=3）计算各随机点：
e1 e2 0.8 0.99 2 2 0.1 (0.8) 0.1 0.12 1 0.2 0.32 2 2 0.6 (0.6) 0.2 0.95 1
2 f ( x1 , x 2 ) ( x1 2) 2 x 2
g1 ( x1 , x 2 ) x1 0 g 2 ( x1 , x 2 ) x 2 0 g 3 ( x1 , x 2 ) 1 x12 x 2 0
§5-1 约束最优解及其必要条件
min s.t.
g1 ( x1 , x2 ) x1 1 0 g 2 ( x1 , x2 ) x2 0 g 3 ( x1 , x2 ) 4 x12 x2 0
解：1）确定初始点：
1
x(0) [0
0]T
f ( x ( 0) ) 9
2）产生k个随机方向（k=3）：
e1 0.3 0.6 2 2 0. 4 0. 8 (0.3) 0.4 0.7 0.76 2 2 0.6 0.65 (0.6) 0.7 1
同样方法计算出k个随机单位向量（k≥n） 2)取一试验步长，按下式计算k个随机点:
x j x0 e j
( j 1,2,, k )
§5-2 随机方向法
3)检验k个随机点的可行性，比较其大小，选 出目标函数值最小的点xL。 4)比较两点xL和x0的目标函数值(适用性)： 若 则 若
f ( x L ) f ( x ( 0) )
§5-1 约束最优解及其必要条件
约束优化设计问题数学模型为:
min f ( x ), x R s.t. g j ( x ) 0 j 1,2,, m hk ( x ) 0 k 1,2,, l
n
§5-1 约束最优解及其必要条件
g ( x (k ) )
x(k)不是约束最优点
即： f ( x ) h( x )
§5-1 约束最优解及其必要条件
从而得出多个等式约束问题
hv ( x ) 0 v 1, , p
K-T条件：
f ( x ) vhv ( x )
v 1 p
§5-1 约束最优解及其必要条件
因此，容易得出对于具有等式约束和不
1 0,
2 0
它的几何意义：如果x*是一个局部极小点，则该点 的目标函数梯度应落在该点起作用约束的梯度所组成 的锥角之内。
§5-1 约束最优解及其必要条件
几何意义：如果x(k)是一个局部极小点，则该点的目 标函数梯度应落在该点起作用约束的梯度所组成的锥 角之内。
x(k)不是约束最优点
x(k)是约束最优点
0 g 2 ( x ) 1
(k )
2 0 2 0 2 1 3 1
解得：
g 3 ( x
(k )
2 x1 2 ) 1 x ( k ) 1
2 1,
3 1
因此判断该点是约束最优点。
f ( x (k ) )
g 2 ( x (k ) )
f ( x (k ) )
x(k)是约束最优点
x(k)不是约束最优点
两个起作用约束条件极小点的必要条件
§5-1 约束最优解及其必要条件
若x(k)为约束最优点x*，约束条件极小点的必要条件 可以表示成：
f ( x () ) 1g1 ( x () ) 2 g 2 ( x () )
解：1）判断该点起作用约束：
g1 ( x1 , x2 ) 1 0 g 2 ( x1 , x2 ) 0
g 3 ( x1 , x2 ) 0
0 g 2 ( x ) 1
(k )
g 3 ( x
(k )
2 x1 2 ) 1 x ( k ) 1
约束最优解（c）
§5-1 约束最优解及其必要条件
约束优化问题的最优性条件：在满足等式和不等式约束 条件下，其目标函数值最小的点所必需满足的条件。
（局部最优解）
最优点可能出现的情况：
1）在可行域内部
2）在约束边界上
约束最优解
§5-1 约束最优解及其必要条件
约束最优解的搜索路线
约束优化问题的最优性条件：在满足等式和不等式约束 条件下，其目标函数值最小的点所必需满足的条件。
§5-1 约束最优解及其必要条件
min s.t. f ( x1 , x2 ) ( x1 2) 2 x22 g1 ( x1 , x2 ) x1 0 g 2 ( x1 , x2 ) x2 0 g3 ( x1 , x2 ) 1 x12 x2 0
§5-1 约束最优解及其必要条件
随机方向法基本原理
1 初始点的选择
1) 人为确定； 2) 随机选择：
(1)输入设计变量的下限值和上限值，即
ai≤xi≤bi (i=1,2,…,n) (2)产生n个随机数qi. （ 0≤ qi ≤ 1） xi=ai+qi(bi-ai) (3)计算随机点x的各分量：
(4)判别随机点x是否可行，若随机点x为可行点，则取初始
d xL x
0
f ( xL ) f ( x )
( 0)
则将步长缩小，转步骤2)重新计算
随机方向法的计算步骤：
1)选择一个可行的初始点x0。 2)产生k个n维随机单位向量。 3)取试验步长，计算出k个随机点。
4)在k个随机点中，根据可行性和适用性，找出可行
搜索方向。 5)从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭 代计算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标 函数值不再下降的新点x。
0]T
1 1 2 x x 0 d x 3 d 0 0 0
验证其可行性和适用性： f ( x) (2 3)2 02 1
f ( x) f 3
7）从可行点沿着可行方向前进：
2 1 3 x x d x d 0 0 0
2 f ( x1 , x2 ) ( x1 2) 2 x2
g1 ( x1 , x2 ) x1 0 g 2 ( x1 , x2 ) x2 0 g 3 ( x1 , x2 ) 1 x12 x2 0
2）计算目标函数及起作用 约束在该点梯度： 2( x1 2) 2 (k ) f ( x ) 2 x2 x( k ) 0
u 0
u 1,2,, J
即只有当λ u为非负乘子时， x(k)才是约束最优点x*。
§5-1 约束最优解及其必要条件
K-T条件对于约束问题的重要性在于： 1）检验某点是否为约束最优点； 2）检验一种搜索方法是否可行。
例1：判断x(k)=[1 0]T是否为下列约束优化问题最优点：
min s.t.
1 e 0
3
4）判断k个随机点的可行性：
x1 x 3
5）判断可行搜索方向：
f 1 (0.6 3) 2 0.82 13.6 f 3 (1 3)2 02 4
f 3 f ( x ( 0) )
d x3 x (0) [1
6）从可行点沿着可行方向前进：
条件,以用来作为约束极值的判断条件。
对于目标函数和约束函数都是凸函数的情 况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种
情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分 必要条件。
约束优化设计问题求解方式:
（1）直接法 直接法是在满足不等式约束的可行设计区域内直 接搜索问题的最优解x*和f(x*)。 （2）间接法 间接法是将优化问题转化为一系列无约束优化问 题来求解。
x(k)是约束最优点
单起作用约束条件极小点的必要条件
§5-1 约束最优解及其必要条件
因而得出单约束条件极小点的必要条件可以 表示成：