第1章-有理数专题培优(精品文档)
第一章《有理数》专题培优
一、有关概念和性质
（一）有理数概念和分类
1.有理数按定义分为_______和_______两类；
2.有理数按性质分为__________、_____、_________三类.
3.______小数和_________小数都可以化成分数，它们是有理数；_________小数不能化成分数，不是有理数.
（二）数轴（数形结合思想）
1.数轴的三要素：_______、________、_________.
2.一切有理数都可用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.
3.在数轴上表示数，它们从左向右的顺序，就是从____到_____的顺序.
练习与思考：
（1）数轴上表示整数的点称为整点. 某数轴的单位长度是1 cm，若在这条数轴上随意画出一条长为2015 cm的线段，则这条线段能盖住的整点的个数为_______________个.
（2）在数轴上任取一条长度为
1
2015
9
的线段，则此线段在这条数轴上最多
能盖住的整数点的个数是__________个.
（三）相反数，倒数
例1. 填空：
（1）a的相反数是_____，a b
+的相反数是______，a b
-的相反数是______.
（2）相反数等于本身的数是______，倒数等于本身的数是_______.
（3）若0
a b
+=，0
ab≠，则a
b
=_______.
例2. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求代数式220162017
()()()
x a b cd x a b cd
-+++++-的值. （四）绝对值，非负数
1.绝对值的概念和性质：
（1）绝对值的几何意义：从数轴上看，a就是_____________到_____的距离. （2）绝对值的代数意义：正数的绝对值等于_______________，负数的绝对值等于_______________，0的绝对值等于________.
用符号表示即：
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
?
?
= =
?
?- <
?
【化去绝对值符号的依据】（3）绝对值的性质：
①0
a≥（非负性）；②ab a b
=；③
a
a
b b
=（0
b≠）；
④222
a a a
==；⑤a b a b
±≤+.
（4）非负数的性质：①几个非负数的和仍为非负数；②非负数的最小值为0；
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
2.典型应用例题
（1）绝对值概念的运用
例1. 已知8
a=，2
b=，且a b b a
-=-，求a b ab
+-的值.
例2. 已知4
a=，5
b=，6
c=，且a b c
>>，求23
a b c
+-的值.
例3. 已知35
x+=，2
(2)9
y-=，且x y
<，求2x y
-的值.
（2）绝对值的非负性（非负数性质）
例1.已知231(5)0x y z ++++-=，求代数式x y z --的值.
例2.已知2
(2)ab -与1b -互为相反数，求代数式的值：
1111
(1)(1)(2)(2)(2015)(2015)
ab a b a b a b ++++
++++++.
例3*. 已知a ，b ，c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，求代数式的值： ||||||c a a b b c -+-+-.
思考：已知b 为正整数，且251a b -+=，则a =______，b =_______.
（3）绝对值的化简
例1. 填空：（1）如果a a =，那么a ______0；如果a a =-，那么a ______0. （2）已知2x <-，化简11x -+=__________.
（3）已知33x x -=-，则x 的取值范围是_____________. （4）如果a a =-，化简12a a ---=__________.
例2.已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：a a b c a b c +++---.
例3.（1）已知2x x =+，求代数式9919327x x ++的值.
（2）已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，求代数式21ab -的值.
例4.化简：13x x -++. 【零点分段法+分类讨论思想】
例5.已知有理数a ，b ，c 满足0abc ≠，求代数式||||||
a b
c a b c
++
的值.
变式练习：
1.有理数a ，b ，c 满足0abc <，0a b c ++>，则
a b c abc
a b c abc
+++=______. 2.如果a ，b ，c 是非零有理数，且0a b c ++=，那么
a b c abc a b c abc
+++的所有可能的值为________________.
3.已知有理数a ，b ，c 均不为0，且0a b c ++=,设a b c x b c
c a
a b
=
+
+
+++，
则代数式19992015x x -+的值为____________.
例6. 如果527x x ++-=，求x 的取值范围.
（4）绝对值与数轴上两点距离的表示 例1.填空：
（1）在数轴上，表示4-和3的两个点的距离是_______，表示8-与5-的两个点的距离是________.
（2）一般地，在数轴上表示数a ，b 的两点之间的距离是____________. （3）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为1-，则A 与B 两点间的距离可以表示为____________.
（4）要求等式35x -=中的x 的值，也可以理解为已知数轴上表示数x 和3的两点的距离是5，求这个数x . 因为数轴上到3的距离是5的点有_____和____两个，所以x =_____________.
（5）结合数轴可以求得23x x -++的最小值为______，这时x 的取值范围是______________.
（6）满足143x x +++>的x 的取值范围是_______________. （5）绝对值的最值问题 例1.填空： （1）当x =______时，5x +有最_____值是________.
（2）当x =______时，2(3)x -有最_____值是________.
（3）当x =______时，2x --有最_____值是________. （4）当x =______时，2(8)x -+有最_____值是________. （5）当x =______时，235x +-有最_____值是________. （6）当x =______时，85x -+有最_____值是________. 例2.填空：
（1）当x ______________时，15x x -+-有最小值是_______. （2）当x ______________时，524x x x ++-+-有最小值是_______.
（3）当x ____________时，1234x x x x ++-+-+-有最小值是______. （4）当x _________________时，代数式17x x +--有最大值是______；
而当x _________时，17x x +--有最小值是______.
例3.已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y ++的最大
值和最小值.
（五）科学记数法、近似数
练习：1.近似数1.70所表示的准确数x 的取值范围是_______________.
2.用四舍五入法把4.036精确到0．01的近似值是_________，把3085000精确到万位的近似值是____________.
二、有理数的运算
（一）有理数的加、减、乘、除和乘方运算法则及易错点警示
例.计算：（1）51--=______；（2）03-=_______；（3）4(3)-=________；（4）43-=________；（5）2016(1)-=________；（6）20161-=__________；
（7）2
25??
-= ???__________；（8）2
25??-= ???
_______；（9）225-=________.
（二）有理数的混合运算及简便运算
1.常规混合运算需熟练掌握【易错警示：符号、顺序、乘方意义】
例.计算：（1）201421
1(10.25)[3(3)]3
---?÷--
（2）42311(10.510213????---??----??????
）（）（）
2.加法、乘法运算律的灵活运用（简便运算）
（1）加法：相反数结合；同分母结合；凑整结合；同号结合等. （2）乘法：重点是分配律及其逆用
例.计算：（1）757
4.035127.5351236()9618
-?+?-?-+
（2）48499849?
?-? ??
?
3.乘方概念的深刻理解和灵活运用
例.计算：（1）20152016
3223????
-? ? ?????
（2）19992000(2)(2)-+-
（三）有理数运算中的特殊技巧 1.高斯算法【用公式：（首项+末项）?项数÷2； 或用倒序相加法】 例.计算：（1）12399100+++++ （2）135********+++++
（3）26101420102014++++++
2.正负相消 例.计算：（1）123499100-+-++-
（2）1234567892013201420152016--++--++-+--+
3.倍比相消
例.计算：（1）23100
12222
+++++（2）232016
13333
+++++
4.裂项相消
例.计算：（1）
1111 12233499100 ++++
????
（2）
2222 13355720132015 ++++
????
（3）
5555
144771*********
-----
????
5.整体换元
例.计算：（1－
1
2
－
1
3
－…－
1
2003
）（
1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋…＋
1
2003
＋
1
2004
）－（1－
1
2
－
1
3
－…－
1
2004
）（
1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋…＋
1
2003
）
练习与思考：计算：
（1）
1
2
＋（
1
3
＋
2
3
）＋（
1
4
＋
2
4
＋
3
4
）＋（
1
5
＋
2
5
＋
3
5
＋
4
5
）＋…＋（
1
50
＋
2
50
＋…＋
48
50
＋
49
50
）.
（2）
111111
20072006200520041
232323
-+-+-.
（3）
59173365129
13
248163264
+++++-.
（4）
2222222222
1223341003100410041005
...
1223341003100410041005
+++++
+++++
?????
.
（5）
2222
2222
213141991
213141991
++++
++++
----
.
（6）+
+
+
+
+
+
+
+
+4
3
2
1
1
3
2
1
1
2
1
1
…
100
3
2
1
1
+
+
+
+
+
.
（7）
3333
+++
2+4+6++1042+4+6++1062+4+6++1082+4+6++206
????????????
.
（8）
11
11
32005
24
111111111
1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) (1)
223234232005
++++
+++++++++
.
（9）
111
135357171921
+++
??????
.
（10）
11111
(1)(1)(1)(1)(1)
1324351998200019992001
+++++
?????
（11）2345678910
2222222222
--------+
三、找规律
（一）数式规律
例1.将正奇数按下表排成5列:
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在第_________行________列.
例2.将正偶数按下表排成5列
根据上面的规律，则2006应在行列.
例3.给出下列算式：
4
8
7
9
3
8
5
7
2
8
3
5
1
8
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
?
=
-
?
=
-
?
=
-
?
=
-
观察上面算式的规律，第n个（n为正整数）等式为：__________________.
例4.观察下面数列，用含n的代数式表示出第n个数：
（1）1，2
-，3，4
-，5，…；第n个数可表示为________________；
（2）1
-，2，3
-，4，5
-，…；第n个数可表示为________________；
（3）2，5
-，10，17
-，26，…；第n个数可表示为______________.
归纳：奇负偶正，用________?绝对值；奇正偶负，用________?绝对值.
例5. 计算200120022003
3
72
??所得结果的末位数字是____________.
（二）图形规律
例1.用棋子摆成如图所示的“T”字图案．
（1）摆成第一个“T”字需要
个棋子，第二个图案需要个棋子；
（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要个棋子，一般
地，第n个图案需要____________个棋子．
例2.如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，
第5个“广”字中棋子个数是，第n个“广”字中棋子个数为 _ .
例3.将一些半径相同的小圆按如图所示规律摆放：第1个图形有6个小圆，
第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，
依此规律，第6个图形有_____个小圆；第n个图形有____________个小圆.
例4.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是__________.
例5.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律，写
出第n个小房子用了____________块石子.
四、定义新运算
例.定义一种新运算“*”：
22
ab
a b
a b
*=
+
，求(3)[2(1)]
-**-的值.
第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形
…
……
第1个第2个第3个