人教版高中数学推理与证明反证法教案
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
人教版高中数学必修1反证法教案
二简易逻辑（§1.7.3 四种命题）教学时间:第三课时课题: §1.7.3 反证法教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤.教学难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法：讲练结合教学.教具准备：投影片共3张教学过程：（I）复习回顾师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法.（II）讲授新课§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？生：(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。
”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。
请一同学证明。
生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。
所以∠B为锐角。
师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？生：上述证明推理不完整。
因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。
师：分析正确。
由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题：（投影片2） 例3：用反证法证明： 如果a>b>0,那么 。
（由学生回答，教师书写）证明：假设 不大于 ，即 或 。
∵ a>0,b>0∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)(推理利用了不等式的传递性)又由但这些都与已知条件a>b>0矛盾.∴ 成立。
人教版高中数学反证法教案
人教版高中数学反证法教案
教学内容：反证法
教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和原理；
2. 能够熟练运用反证法证明数学命题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：反证法的基本原理和运用。
教学难点：运用反证法证明数学命题。
教学准备：教案、黑板、粉笔、教学课件等。
教学过程：
Step 1：导入新知识（5分钟）
教师简单介绍反证法的基本概念和原理，引起学生对反证法的兴趣。
Step 2：学习反证法（15分钟）
教师通过具体案例，详细讲解反证法的基本原理和运用方法，引导学生理解反证法的逻辑推理过程。
Step 3：练习应用（20分钟）
教师设计一些练习题，要求学生用反证法证明数学命题，让学生在实践中掌握反证法的运用技巧。
Step 4：总结回顾（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结回顾，并再次强调反证法的重要性和实际应用价值。
Step 5：作业布置（5分钟）
布置相关作业，加深学生对反证法的理解和掌握程度。
教学反思：
本节课通过简单易懂的方式，引导学生了解反证法的基本原理和运用方法，培养了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
在后续的教学中，应多加练习，提高学生对反证法的应用能力。
人教版高中数学教案-反证法
2. 2.2反證法課前預習學案一、預習目標：使學生瞭解反證法的基本原理；掌握運用反證法的一般步驟；學會用反證法證明一些典型問題.二、預習內容：提出問題：問題1：桌面上有3枚正面朝上的硬幣，每次用雙手同時翻轉2枚硬幣，那麼無論怎麼翻轉，都不能使硬幣全部反面朝上。
你能解釋這種現象嗎？學生嘗試用直接證明的方法解釋。
採用反證法證明：假設經過若干次翻轉可以使硬幣全部反面向上，由於每枚硬幣從正面朝上變為反面朝上都需要翻轉奇數次，所以 3 枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉 3 個奇數之和次，即要翻轉奇數次．但由於每次用雙手同時翻轉 2 枚硬幣， 3 枚硬幣被翻轉的次數只能是2 的倍數，即偶數次．這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確，即無論怎樣翻轉都不能使3 枚硬幣全部反面朝上．問題2：A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。
則C必定是在撒謊，為什麼？分析:假設C沒有撒謊, 則C真.那麼A假且B假;由A假, 知B真. 這與B假矛盾.那麼假設C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.推進新課在解決某些數學問題時，我們會不自覺地使用反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。
三、提出疑惑疑惑點疑惑內容課內探究學案一、 學習目標（1）使學生瞭解反證法的基本原理； （2）掌握運用反證法的一般步驟； （3）學會用反證法證明一些典型問題.二、學習過程：例1、已知直線,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求證||a α。
解析：讓學生理解反證法的嚴密性和合理性； 證明：因為||a b ,所以經過直線a , b 確定一個平面β。
因為a α⊄，而a β⊂， 所以 α與β是兩個不同的平面． 因為b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下麵用反證法證明直線a 與平面α沒有公共點．假設直線a 與平面α有公共點P ，則P b αβ∈=，即點P 是直線 a 與b 的公共點，這與||a b 矛盾．所以 ||a α.點評：用反證法的基本步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結論； 第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步 斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等利 變式訓練1.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分.例2、求證：2不是有理數例3、設二次函數q px x x f ++=2)(， 求證：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21. 解析：直接證明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21.比較困難，我們應採用反證法證明：假設)3(,)2(,)1(f f f 都小於21，則 .2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案新人教版
§2.2.2 反证法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）。
(二)、探究新知，揭示概念反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
（三）、分析归纳，抽象概括一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.（四）、知识应用，深化理解例1 已知直线a ，b 和平面αβ， ,如果,a b αα⊄⊂ ,且//a b ,求证: //a α。
例2 已知三个正数 ,,a b c .证明：假设=即4a c b ++=，而2b ac =，即b =20∴==.从而a b c ==，与,,a b c .点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”例3. （ 提示：有理数可表示为/m n ）/m n =（m ,n 为互质正整数），从而：2(/)2m n =，222m n =，可见m 是2的倍数.设m =2p （p 是正整数），则 22224n m p ==，可见n 也是2的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =不可能，是无理数.课堂练习：1、课本P91页 练习1、2（五）、归纳小结、布置作业反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.课本P91页 A 组4。
高中数学1-2 第二章 推理与证明 2.2.2反证法【教案】
反证法一、教学目标：1。
知识与技能:(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法;（2）了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题。
2.过程与方法：通过学生动手及简单实例，让学生充分体会反证法的数学思想，并学会简单应用。
3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式，体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
三。
教学难点：正确理解、运用反证法。
四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动。
教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法:综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因.(2)让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？(初中所学)间接证明：不是从正面证明命题的真实性,而是证明命题的反面为假,或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法.二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色,至少有5个球是同色的。
你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】(1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤:a、反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论:由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
反证法教学设计 -【完整版】
选修2-2 反证法教学设计一、教材内容分析:本课是人教B版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。
证明一般包括直接证明与间接证明。
“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。
所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。
二、学生学习情况分析：本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。
所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。
三、设计思想本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
过程与方法：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
反证法高中数学教案
反证法高中数学教案
主题：反证法
教学目标：
1. 理解反证法的基本原理和应用方法；
2. 掌握运用反证法证明数学定理的能力；
3. 提高逻辑推理能力，培养思维严谨的数学思维。
教学内容：
1. 反证法的基本原理；
2. 反证法在证明数学定理中的应用；
3. 经典反证法例题分析。
教学步骤：
1. 引入反证法的概念，解释其基本原理；
2. 通过一个简单的例子，让学生体会反证法的思维过程；
3. 结合具体数学定理，教授学生如何运用反证法进行证明；
4. 给学生分发若干反证法相关的练习题，让他们在课堂上进行实践训练；
5. 教师梳理反证法的应用技巧和注意事项，强化学生的学习效果；
6. 结束课堂，布置反证法相关的家庭作业。
教学评估：
1. 基于课堂练习题，检查学生对反证法的理解和掌握情况；
2. 评判学生在应用反证法进行证明时的逻辑推理是否严谨；
3. 针对学生的反证法运用能力进行评估，给予相应的指导和补充。
教学延伸：
1. 拓展反证法在其他领域的应用，如物理学、哲学等；
2. 鼓励学生自主尝试应用反证法解决数学难题；
3. 组织讨论会，分享学生在反证法中的心得体会。
以上是一份反证法高中数学教案范本，希望能够帮助教师更好地设计和开展相关教学工作。
祝教学顺利！。
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P
l1
l3
l2
新知探究
证明:假设__l_3与__l_2 _不_相__交__.,那么 ___l_3∥__l2___.
假设
因为已知___l_1∥__l2___, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
推理
这与“__经__过__直__线__外_一__点__,_有_且__只__有__一__条_直__线_与_已__知__直的特点
练一练
下面我们用反证法来证明此题.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
求证：l3∥l2 证明：假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P 而l1∥l2,l3 ∥ l1
l1
l2
P
l3
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
进入我们今天学习的内容.
教学目标
【知识与能力】 1. 了解反证法的自身特点，从中体会反证法的思考过程和内涵. 2. 运用反证法解决数学问题.
【过程与方法】 1. 通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中体会反证法的思想. 2. 结合实例，让学生们归纳总结应用反证法解题的情形.
【情感态度与价值观】 培养学生的逆向思维，使思维发散，培养学生观察的能力、归纳总结的能力.
课前导入
王戎的推理方法是:假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了, 这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.
课前导入
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理的例子吗？ 请大家结合《路边苦李》的故事及课本上的思考题，自己总结一下这些推理的共同点.
动动脑
新知探究
这些推理的共同点是： 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考.这种从 “正面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种——反证法.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
求证：l3∥l2
l1
提示
l2
l3 你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？
如果选择反证法，先怎样假设？
假设l3∥l2，即l3与l2相交 下面我们用直接证明法和反证法来分别证明.
练一练
问题解决的四个基本步骤： 理解题意 画出图形，写出已知求证
制定计划 选择证明方法，找出证明思路
执行计划 写出证明过程
练一练
写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
练一练
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
知识要点
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
知识要点
在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交.
练一练
下面我们用直接证明法来证明此题. 已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1， 求证： l3∥l2. 证明：作直线l交直线 l 1 于点P. ∵l 1∥ l 2，l3 ∥l1 （已知） ∴ 直线l必定与直线l2,l3相交
l1
l P1
l2
2
l3
3
练一练
（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交）
人教版高中数学选修1-2
第2章 推理与证明
2.2.2 反证法
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 1-2
讲解人：xx 时间：2020.6.1
课前导入
路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 如果当时你在场，你会怎么办？ 王戎是怎样知道李子是苦的呢?你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法?
课堂小结
1.反证法的概念： 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的一般步骤: (1)提出假设 (2)推理论证(3)得出矛盾 (4)结论成立 3. 反证法的关键： 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或 与定义、公理、定理、事实矛盾等. 4.反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.