数学家庞加莱
庞加莱猜想中文版证明过程
庞加莱猜想中文版证明过程庞加莱猜想，听起来就像是某个神秘的魔法咒语，其实它是数学界的一块大石头。
说到庞加莱猜想，很多人可能会觉得无从下手，脑袋里一团糟。
但是，嘿，别担心，我来给你捋一捋。
想象一下，有个聪明的家伙，名叫亨利·庞加莱，他在上个世纪初就提出了这个猜想。
这个猜想的意思是，三维空间中的任何封闭、无孔的形状，最终都可以被看作是一个球体。
哇，这话听上去有点像魔法，对吧？其实就是想告诉我们，复杂的东西，归根结底都是简单的。
在接下来的岁月里，数学家们就像追逐风筝的小孩一样，拼命想要捉住这个猜想的尾巴。
他们在纸上涂涂画画，写写公式，真是费尽心思。
有的人甚至花了大半辈子在这上面，像是找到了一条探险之路。
可惜的是，很多人都是无功而返，最终还是和庞加莱的猜想失之交臂。
可不是说这些数学家们不聪明，反而是因为这个猜想实在太复杂，像是走进了一个无尽的迷宫，想找出口简直比登天还难。
转折点出现在2003年，一个名叫佩雷尔曼的俄罗斯数学家登场了。
这哥们儿简直是个天才，像是从天而降的超级英雄。
他对庞加莱猜想的证明，简直就是给数学界打了一剂强心针。
佩雷尔曼用了一种叫“里奇流”的方法，这可不是随便说说的。
他把一些复杂的几何问题简化成了更易处理的形态，像是把难吃的菜变成了美味佳肴。
嘿，这真是令人叹为观止。
佩雷尔曼的工作得到了数学界的高度认可，大家纷纷围绕着他，想要深入探讨。
但是这位天才却选择了隐退，像是个隐士，悄无声息地离开了舞台。
人们的赞美声仍在耳边回荡，但他却不以为然，拒绝了大笔奖金和荣誉，选择了过自己的生活。
真是个不拘一格的家伙！有人说他是“神经病”，也有人说他是“真正的数学家”。
无论如何，佩雷尔曼的证明让庞加莱猜想从此不再是个遥不可及的梦，而是化为现实，成为了数学历史上的一座里程碑。
这事儿告诉我们，追逐梦想的路上总是充满了荆棘。
像庞加莱那样勇敢提出问题的数学家，就算在无数次失败后，也依然坚信自己的猜想会有答案。
庞加莱回归定理
庞加莱回归定理庞加莱回归定理是一种数学理论，由法国数学家兼经济学家庞加莱于1815年提出的，也被称为庞加莱线性多项式拟合。
庞加莱最初的研究是与天文学有关的，他把他的研究成果发表在法国自然科学院1822年的一篇论文《关于惯性学和椭圆运动的最近研究成果》中。
这篇论文提出了庞加莱最著名的线性拟合方法，即“庞加莱回归”，它是研究数据点之间的线性关系的最有效的方法之一。
庞加莱回归定理的基本思想是通过考察一组数据，观察这些数据之间的线性关系，用最小二乘法来构建出一条最佳的拟合直线。
这条拟合直线将数据点“最佳拟合”，并提供出有关数据点之间线性关系的基本信息。
然而，由于庞加莱回归法仅涉及对数据点之间线性关系的拟合，因此，当此类数据之间不存在线性关系时，庞加莱回归定理将无法有效表示这类数据。
庞加莱回归定理的表达形式为：设有样本集D={(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)}，D中有n个样本点。
假定y与x的关系是线性形式的，那么最佳拟合的直线为：y=a+bx其中a, b是最佳拟合直线的系数，可以通过最小二乘法得到。
庞加莱回归定理在统计学中和统计图表上都有着广泛的应用，最常见的应用就是用它来拟合数据点之间的线性关系，如年龄与收入的关系，学习成绩与学习时间的关系，等等。
此外，庞加莱回归定理的概念也可以用来评估和预测几个因变量之间的关系，如体脂率与步行距离之间的关系，汽车年龄与汽车价格之间的关系，等等。
另外，庞加莱回归定理的概念也可以用于诊断和检测数据中的异常值和失真。
于一组数据可能存在异常数据点，所以在绘制其最佳拟合直线之前，需要先确定和排除数据集中的异常数据点，以免造成拟合直线的失真。
样，庞加莱回归定理还可以用来研究两个自变量之间的关系，这是最佳拟合直线的变形，可以用置信椭圆面积来表示它们之间的置信度。
总之，庞加莱回归定理是一个用来拟合和分析数据表中的线性相关的有效的方法。
它的灵活性和易用性使它在各种统计分析中得到广泛的应用，并且可以用来检测数据中的异常值，以及评估两个自变量之间的置信度。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述庞加莱猜想的重要性在于其对拓扑学、几何学和数学基础理论的影响。
如果能够证明庞加莱猜想，将对数学领域的发展产生巨大的影响，同时也有可能为其他领域的发展提供新的理论基础。
在本文中，将通过对庞加莱猜想的历史背景、相关研究成果和方法进行概述，并尝试从不同的角度来探讨这一令人困扰的数学难题。
我们将引用多位数学家的研究成果和观点，深入分析庞加莱猜想的本质及其解决的可能途径，希望能够对这一问题有更深入的认识和理解。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想最早由法国数学家亨利·庞加莱提出，他在1904年的一篇论文中首次提出了这一问题。
在这篇论文中，庞加莱指出，对于一个简单连通的三维流形，是否存在一个等价于球的和的空间是一个未解决的问题。
庞加莱还提出了一种可能的证明方法，但他自己也承认这个证明并不完全可靠。
自庞加莱提出这一问题以来，数学家们一直在尝试寻找一个确凿的证明。
在过去的一个多世纪里，庞加莱猜想一直是数学界的焦点问题之一，吸引了众多数学家的关注和努力。
二、庞加莱猜想的相关研究成果在寻找庞加莱猜想的证明过程中，数学家们提出了许多猜想和定理。
其中最为著名的是格里戈里·佩雷尔曼于2003年提出的庞加莱猜想证明，他通过引入了里奇流流形和流形上的梯度流方法，最终证明了庞加莱猜想的正确性。
佩雷尔曼的证明方法被认为是对现有数学知识的一次革命性突破，为解决庞加莱猜想提供了一个新的思路和方法。
除了佩雷尔曼的证明方法外，还有其他数学家提出了不同的证明思路和方法。
例如，唐纳德·兰恩在20世纪80年代提出了一种基于代数拓扑的证明方法，虽然并未完全证明庞加莱猜想，但为数学家们提供了一个新的研究方向。
这些研究成果虽然并未完全解决庞加莱猜想，但为研究庞加莱猜想提供了不同的视角和思路，促进了数学领域的发展与进步。
三、庞加莱猜想的证明方法和思路对于庞加莱猜想的证明，数学家们提出了多种不同的方法和思路。
poincare不等式 反证法
poincare不等式反证法庞加莱不等式，又称为庞加莱-伯瓦伊不等式，是法国数学家亨利·庞加莱于1883年提出的一种重要的数学不等式，它在解析几何、微积分、泛函分析等领域有广泛的应用。
庞加莱不等式是用于描述空间中的曲线线长和曲率之间的关系，是微分几何中非常重要的不等式之一。
庞加莱不等式可以用反证法来证明。
这种证明方法在数学中很常见，它通过假设所要证明的结论是错误的，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原始假设是错误的。
下面我们以庞加莱不等式为例，详细阐述一下反证法证明的过程。
首先，让我们回顾一下庞加莱不等式的表述：在平面上任意一条不可缩的简单闭曲线上，其长度L和曲率K满足如下不等式：L^2 ≥ 4π/∫(K^2)dS其中，L表示曲线的长度，K表示曲线上某个点处的曲率，dS表示曲线上的微元弧长，∫(K^2)dS表示对整条曲线上的曲率平方进行积分。
现在我们来假设庞加莱不等式是错误的，也就是说存在这样一条不可缩的简单闭曲线，使得其长度L和曲率K不满足上述不等式。
接下来，我们可以考虑将这条曲线进行缩放，即按照一定的比例将曲线的长度进行缩小，同时保持曲线上的曲率不变。
这样做的目的是为了使得曲线的长度L满足庞加莱不等式。
假设我们缩放后得到了一条长度为L'的曲线。
根据缩放的方式，我们可以得到以下关系：L' = λL其中，λ表示缩放的比例因子。
由于我们对曲线的长度进行了缩放，所以缩放后的曲线的长度L'不会小于原始曲线的长度L：L' ≥ L然后，我们可以考虑曲线上的曲率。
由于我们保持了曲线上的曲率不变，所以缩放后的曲线上的曲率K'与原始曲线上的曲率K相等：K' = K现在，我们可以计算缩放后的曲线上的曲率平方之和∫(K'^2)dS'，其中dS'表示缩放后曲线上的微元弧长。
根据曲线的缩放，我们可以得到以下关系：dS' = λdS对于整条曲线上的曲率平方之和的积分∫(K'^2)dS'，我们可以得到：∫(K'^2)dS' = ∫(K^2)dS根据庞加莱不等式，我们知道∫(K^2)dS > 4π/L。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述在庞加莱猜想提出后，很多数学家对其展开了探索和研究，但一直没有找到一个确凿的证明或反例。
直到2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论等一系列数学方法，证明了庞加莱猜想。
这篇文章将介绍庞加莱猜想的历史背景和相关概念，然后详细描述佩雷尔曼的证明过程和相关数学原理，最后分析庞加莱猜想对数学和科学领域的重要意义。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想的提出可以追溯到19世纪末的数学发展。
当时，数学家们已经开始探讨对多维几何空间的研究，如三维流形的性质和拓扑结构等。
此时，亨利·庞加莱成为了这一领域的先驱者，他提出了著名的庞加莱猜想，引发了数学界对于三维空间性质的深入思考和研究。
庞加莱猜想的提出也在一定程度上推动了数学领域的发展，为拓扑学和几何学等领域的研究提供了新的动力和方向。
然而，长期以来，庞加莱猜想一直未能找到确凿的证明，成为数学界的一个难题。
二、庞加莱猜想的相关概念1. 流形：在数学领域，流形是指一个局部与欧氏空间同胚的空间。
在庞加莱猜想中，主要讨论的是三维紧致的无边界的连通流形。
2. 欧氏空间：欧氏空间指的是平凡的三维空间，即我们所生活的空间。
在庞加莱猜想中，研究的对象是三维欧氏空间中的环流变形问题。
3. 拓扑结构：拓扑结构是指一个空间的结构，它并不依赖于空间的具体度量，而仅仅与空间的连通性和邻域关系有关。
在庞加莱猜想中，研究的就是流形的拓扑结构和性质。
三、佩雷尔曼的证明过程2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论，证明了庞加莱猜想。
他的证明过程可以概括为以下几个步骤：1. 利用几何流的理论，建立了三维流形的梯度不等式，从而引入了里奇流的概念。
2. 利用里奇流的理论，证明了当流形上的里奇曲率为正时，流形是球面的概率。
3. 利用梯度流的理论，证明了当流形上的梯度不等式成立时，流形是球面的概率。
庞加莱群论
庞加莱群论
庞加莱群，是由法国数学家亨利·庞加莱发明的一个群论。
该群论是研究时空的对称性的一种独特方法。
该理论最早应用于相对论，随后也被应用于粒子物理学、凝聚态物理学、量子计算等领域。
庞加莱群理论已成为理论物理学重要的组成部分之一，并且对数学和物理学领域的发展产生了深远影响。
庞加莱群理论的基本思想是描述空间和时间的对称性。
相对论的基本原理表明，所有物理规律和相对时间和空间标准都是相同的，从而得出庞加莱群理论的一些基本假设：物理规律在任何参考系下都是不变的，时间和空间的标准在不同参考系下也是不变的。
庞加莱群包括三个部分：庞加莱平移群、获得角动量的群、以及对称群。
庞加莱平移群描述的是空间和时间的平移对称性，这里的平移指的是在空间和时间中的任意一种移动方式。
获得角动量的群描述的是物理规律在不同参考系下具有相同的自旋和轨道角动量，这里的自旋和轨道角动量是用来描述粒子旋转的。
对称群描述了物理规律在不同参考系下具有相同的对称性。
庞加莱群理论在量子场论中得到广泛应用，特别是夸克和基本粒子的探究。
它也在研究晶格的对称性和磁学中有着重要的应用。
庞加莱群的研究不仅在物理学中，也在数学领域中发挥了重要作用，对于对称性的研究具有重大的贡献，此外，它也是超对称度量理论的基础，以及量子混沌理论中的重要工具。
总之，庞加莱群理论是一个十分重要的数学和物理学理论，它揭示了时空对称性的深刻内涵，为我们对自然的理解提供了重要的思考角度。
无论是在理论物理学、数学领域和其他的科学领域中，它都有着极为广泛的应用和深远影响。
庞加莱以及庞加莱猜想
庞加莱以及庞加莱猜想
亨利·庞加莱（Henri Poincaré）是19世纪末20世纪初一位
伟大的数学家和物理学家，出生于法国尼斯。
他作出了许多重要的
贡献，包括在几何学、分析学和物理学领域的发展。
其中最著名的
成就之一就是庞加莱猜想。
庞加莱猜想是关于三维空间拓扑学的一个重要猜想。
简单来说，猜想的内容是：任意一条闭合的、不可切割的曲线是否都能被缩成
一个点？这里的“闭合的”意思是指这条曲线的两端能够相连而形
成一个环；“不可切割的”意思是指这条曲线不能被剪开成两条或
多条曲线。
对于二维空间，这个问题是可以被证明的。
但是对于三维空间，庞加莱猜想一直没有被证明，直到世纪末和新世纪初才由格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）给出。
佩雷尔曼的证明是非常
复杂的，需要运用很多高深的数学知识，包括拓扑学、流形论、微
积分和概率论等。
佩雷尔曼的证明使得他赢得了2006年度的菲尔兹奖，被认为是21世纪以来最伟大的数学成就之一。
庞加莱猜想的重要性在于它涉及到了物理学的许多问题。
例如，宇宙学中的暗物质和暗能量问题，就需要借助于这个猜想中的拓扑
学来解决。
此外，还有许多其他的物理学问题也需要用到这个猜想，如量子场论和弦理论等等。
总之，庞加莱以及庞加莱猜想是数学和物理学领域中非常重要
的一部分，它不仅仅是一道数学问题，更是一个激发人们思考和探
索的源泉。
伟大的数学家和物理学家们的成就，让我们认识到了科学的无限可能性和未来的无限可能性。
庞加莱
庞加莱（Poincaré）朱尔·亨利·庞加莱（Jules Henri Poincaré，又译作彭加勒，1854年4月29日—1912年7月17日，通常称为亨利·庞加莱，法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家。
庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后一个人。
他对数学，数学物理，和天体力学做出了很多创造性的基础性的贡献。
他提出了庞加莱猜想，数学中最著名的问题之一。
在他对三体问题的研究中，庞加莱成了第一个发现混沌确定系统的人并为现代的混沌理论打下了基础。
庞加莱比爱因斯坦的工作更早一步，并起草了一个狭义相对论的简略版。
庞加莱群以他命名。
1、生平庞加莱生于1854年4月29日在法国南锡的CitéDucale附近的一个有影响力的家庭(Belliver, 1956年)。
其父里昂·庞加莱(1828-1892)是南锡大学的医学教授(Sagaret, 1911)。
他的妹妹Aline嫁给了精神哲学家Emile Boutroux。
庞加莱家庭的另一个著名成员是他的堂兄雷蒙&8226;普恩加莱，他在1913年至1920年出任法国总统，与他一样是法兰西学院院士。
1.1教育童年时期，他曾有一段时间受支气管炎折磨，于是接受了他有天赋的母亲Eugénie Launois (1830-1897)的特别教导。
他擅长书面作文。
1862年，庞加莱进入南锡学校(现在改名为庞加莱学校，就像南锡大学一样)。
他在南锡学校呆了11年，每门功课都是优秀生。
他的数学老师将他描述为"数学怪兽"，他在法国学校的顶级学生中举行的竞赛开放式竞赛中赢得了几次一等奖。
(他最差的功课是音乐和体育，那些功课上他被称为"最多中等"(O'Connor等人, 2002年)。
但是，视力不佳和经常心不在焉可以解释这些困难(Carl, 1968年)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
儒勒·昂利·庞加莱儒勒·昂利·庞加莱（法语：Jules Henri Poincaré，又译作彭加勒、昂利·彭加勒[1]，1854年4月29日—1912年7月17日，通常称为昂利·庞加莱，法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家。
庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后一个人。
他对数学，数学物理，和天体力学做出了很多创造性的基础性的贡献。
他提出的庞加莱猜想是数学中最著名的问题之一。
在他对三体问题的研究中，庞加莱成了第一个发现混沌确定系统的人并为现代的混沌理论打下了基础。
庞加莱比爱因斯坦的工作更早一步，并起草了一个狭义相对论的简略版。
庞加莱群以他命名。
生平庞加莱生于1854年4月29日在法国南锡的Cité Ducale附近的一个有影响力的家庭（Belliver，1956年）。
其父里昂·庞加莱（1828-1892）是南锡大学的医学教授（Sagaret，1911）。
他的妹妹Aline嫁给了精神哲学家埃米尔·布特鲁。
庞加莱家庭的另一个著名成员是他的堂兄雷蒙·普安卡雷，他在1913年至1920年出任法国总统，与他一样是法兰西学院院士。
教育童年时期，他曾有一段时间受支气管炎折磨，于是接受了他有天赋的母亲Eugénie Launois （1830-1897）的特别教导。
他擅长书面作文。
1862年，庞加莱进入南锡中学。
他在南锡中学待了11年，每门功课都是优秀生。
他的数学老师将他描述为"数学怪兽"，他在法国学校的顶级中学生中举行的竞赛开放式竞赛中赢得了几次一等奖。
（他最差的功课是音乐和体育，那些功课上他被称为“最多中等”（O'Connor等人，2002年）。
但是，视力不佳和经常心不在焉可以解释这些困难（Carl，1968年）。
1871年他从学校毕业拿到理科学位。
1873年，庞加莱以第一名考入巴黎综合理工学院。
他在那里学习数学，师从夏尔·埃尔米特，成绩依然优秀，并于1874年发表了第一篇论文（Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface）。
他毕业于1875年或1876年。
然后继续求学于国立巴黎高等矿业学校，在学习矿业工程课程的同时继续学习数学并于1879年取得普通工程师学位。
他读的是矿业公务员（Corps des Mines，类似中国的科举制度，法国综合理工学院和巴黎高师这两个学校的学生，根据成绩排名，可以选读国家公务员，其中矿业公务员为其中最高等级，只有尖子中的尖子才有机会进去。
矿业公务员就读地点在巴黎矿业学校），作为法国东北的沃苏勒地区的一名审查员。
1879年8月马尼莱瑞塞矿难发生时他在场，当时18名矿工死亡。
他以富有他的特点的全面和人道的方式对事故进行了正式调查。
与此同时，庞加莱正在埃尔米特的指导下准备他的数学理科博士学位。
他的博士论文属于微分方程领域。
庞加莱设计了一种研究这些函数属性的新方法。
他不仅面对决定这些方程的积分的问题，也是第一个研究它们的普遍几何属性的人。
他意识到它们可以用于太阳系内自由运动的多体的行为的建模。
庞加莱于1879年从巴黎大学毕业。
年轻的昂利·庞加莱事业早期不久，他得到了卡昂下诺曼底大学数学初级讲师的职位的邀请。
但是他从未为了数学完全放弃他的矿业职业。
他在1881至1885年间作为工程师在公共事业部工作，负责北方铁路的发展。
他最终于1893年成为矿业军团首席工程师，并在1910年成为总监。
从1881年开始并终其职业生涯，他在巴黎大学任教（索邦大学）。
他最初被任命为maître de conférences d'analyse（数学分析课的教授）（Sageret，1911年）。
最后，他是物理和实验力学，数学物理和概率论，以及天体力学和天文学的主席。
同年，庞加莱和Poulain d'Andecy小姐成婚。
他们共有4个孩子：Jeanne（生于1887年），Y vonne （生于1889年），Henriette（生于1891年），以及Léon（生于1893年）。
三体问题在1887年，瑞典国王奥斯卡二世赞助了一项现金奖励的竞赛以祝贺60岁寿诞，目的在征求太阳系的稳定性问题的解答，这是三体问题的一个变种。
庞加莱简化了问题，提出了“限制性三体问题”，即三体中其中两体的质量是如此之大，以至于第三体的质量完全不能对其造成任何扰动。
面对这个问题，庞加莱运用了他发明的相图理论，并且最终发现了混沌理论。
虽然庞加莱没有成功给出一个完整的解答，他的工作令人印象深刻，以至于他还是在1888年赢得了奖金。
庞加莱发现这个系统的演变经常是浑沌的，意思是说如果初始状态有一个小的扰动，例如一个体的初始位置有一个小的变动，则后来的状态可能会有极大的不同。
如果该小变动不能被我们的测量仪器所探测，则我们不能预测最终状态为何。
裁判之一，著名的卡尔·魏尔施特拉斯说：“这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。
”韦尔斯特拉斯并不知道他自己的预测有多准确。
在庞加莱的论文中，他描述了例如同宿点（homoclinic points）之类的新思想。
这个备忘录会在Acta Mathematica中出版，编辑找到一个错误。
该错误实际上导致了庞加莱一些进一步的发现，它们现在被视为混沌理论的开端。
该备忘录出版于1890年晚些时候。
还是在1887年，在32岁这个年轻的年龄，庞加莱被选为法国科学院院士。
他在1906年成为其院长，并于1909年入选法兰西学术院。
相对论方面的工作玛丽·居里和庞加莱在1911年索尔维会议上讨论。
1893年他参加了法国经度局，参与了把全世界的时间同步的活动。
在1897年，他支持了一个没有成功的把弧度测量十进制化进而把时间和经度十进制化的建议。
这项工作导致他考虑高速移动的钟如何互相同步的问题。
在1898年，在“时间的测量”中，他阐述了相对论原理，根据这个原理，没有机械或电磁试验可以区分匀速运动的状态和静止的状态。
和荷兰理论家洛伦兹的合作中，他把时间的物理推向极限来解释快速运动的电子的行为。
但正是阿尔伯特·爱因斯坦才准备好了重建整个物理大厦，是他推出了成功的新相对性模型。
昂利·庞加莱和阿尔伯特·爱因斯坦在他们在相对论上的工作有一段有趣的关系──实际上可以说是缺乏关系（Pais，1982年）。
他们的交互开始于1905年，当时庞加莱发表了他的第一篇关于相对论的论文。
该论文的课题是“部分运动学的，部分动力学的”，并包括洛伦兹关于洛伦兹变换（实际上是庞加莱给它这个名字的）的证明的更正。
大约一个月后，爱因斯坦发表了他在相对论上的第一篇论文。
两人都继续发表相对论上的工作，但是没有任何一个引用对方的工作。
爱因斯坦不仅不引用庞加莱的工作，他也宣称从未读过！（不知道他是否最终读过庞加莱的论文。
）爱因斯坦最后引用了庞加莱并且承认了他在相对论上的工作，这是在1921年称为“Geometrie und Erahrung”演讲稿中。
在爱因斯坦其后的生涯中，他评论庞加莱为相对论的先驱之一。
在爱因斯坦死前，爱因斯坦说：洛伦兹已经认出了以他命名的变换对于麦克斯韦方程组的分析是基本的，而庞加莱进一步深化了这个远见……事业后期庞加莱给出了数学上最著名猜想之一，七大数学世纪难题之一的庞加莱猜想（任何一个封闭的，并能柔软延展的三维空间里面所有的封闭曲线如果都可以收缩成一点，则该空间一定能被吹涨成一个三维圆球），于2006年6月被证实。
在1899年，然后更为成功的在1904年，他介入了德雷富斯事件的审判。
他攻击了针对德雷弗斯的证据的伪造的科学上的声称，德雷弗斯是法国军队的犹太裔官员，被反犹太人联盟指控叛国。
在1912年庞加莱接受了前列腺问题的手术治疗，然后因栓塞于1912年7月17日去世。
特色庞加莱的工作习惯被比作从一朵花飞到另一朵花的蜜蜂。
庞加莱对他自己的意识工作的方式感兴趣；他研究了他的习惯并在1908年在巴黎一般心理学学院关于他的观察给了一个报告。
他把他的思考方式和他如何作了几个发现联系起来。
数学家达布（Darboux）宣称他是un intuitif（直觉的），论证说这可以从他经常用视觉表示来工作显示出来。
他不关心严格性，且不喜欢逻辑。
他相信逻辑不是发明之道，而是一个结构化想法的方法，而且逻辑限制思想。
Toulouse所归纳的特点他的精神组织不仅对他自己很有趣，对于Toulouse也是，他是巴黎高等学校心理学实验室的心理学家。
Toulouse写了一本称为昂利·庞加莱的书（1910年）。
在其中，他讨论了庞加莱的通常时间表：∙他在每天同样时间工作，分成短的时期。
他每天从事数学研究四小时，在上午10点到中午之间，然后再在下午5点到7点之间。
他在晚上晚些时候读期刊里的文章。
∙他有出众的记忆力，并能记起他所读过的文本中任意一项的页和行。
他也能够记起耳朵听到的准确词句。
他一生保有这些能力。
∙他的通常工作习惯是在头脑里完全解决一个问题，然后把完成的问题交付纸上。
∙他左右手都灵活，近视。
∙他能够将他所听到的东西图像化的能力被证明为很重要，特别是当他参加讲座的时候，因为他的视力差到无法看清他的演讲者在黑板上所写的东西。
但是这些能力被他的一些缺点所平衡了一些：∙他体格上笨拙，艺术上无能。
∙他总是急匆匆的，不喜欢返回来作改变或更正。
∙他从不在一个问题上花太多时间，因为他相信下意识会在他在另一个问题上工作的时候继续在前一个问题上工作。
另外，Toulouse说多数数学家从已经建立的原则工作，而庞加莱是每次从基本原理重新开始的那种（O'Connor等人，2002年）他的思考方式可以很好的总结如下：Habitué à négliger les détails et à ne regarder que les cimes，il passait de l'une à l'autre avec une promptitude surprenante et les faits qu'il découvrait se groupant d'eux-mêmes autour de leur centre étaient instantanément et automatiquement classés dans sa mémoire.翻译为：他习惯于忽略细节，只看重点。