第六章 磁耦合电路分析

第六章 磁耦合电路分析6-1 学习要求（1）了解耦合电感元件的定义、互感M 的物理意义和耦合电感的电路符号；了解同名端的意义，并会判定同名端；能正确写出耦合电感的伏安关系方程，包括时域微分方程和相量方程； （2）会画耦合电感的去耦等效电路，并会用“去耦法”求解简单电路的等效电感； （3）会用“直接法”和去耦等效电路法，分析计算含耦合电感的正弦稳态电路；（4）了解理想变压器的定义及电路符号；了解变比的定义；能正确写出理想变压器的伏安关系方程，包括时域微分方程和相量方程；（5）了解阻抗变换的意义，并会进行阻抗变换计算； （6）会用“直接法”、阻抗变换法和等效电源定理法分析含理想变压器的简单电路。

6-2 主要内容1、互感与互感元件（1）自磁通与互磁通、自磁链与互磁链和自感与互感设线圈1的电流为1i 、匝数为1N ，线圈2的电流为2i 、匝数为2N ，如图6-44（a ）所示。

则电流为1i 产生的全部穿过线圈1 的磁通，称为线圈1的自磁通，用11Φ表示；由电流为2i 产生的全部穿过线圈2 的磁通，称为线圈2的自磁通，用22Φ。

11Φ中与线圈2相链的磁通21Φ，称为线圈1对线圈2的互磁通；22Φ与线圈1相链的磁通12Φ，称为线圈2对线圈1的互磁通。

11Φ中的一部分1σΦ只与线圈1相链，1σΦ称线圈1的漏磁通，故有11211σΦ=Φ+Φ。

22Φ中的一部分2σΦ只与线圈2相链， 2σΦ称线圈2的漏磁通，故有22122σΦ=Φ+Φ。

()a ()b图6-44 互感元件及其电路符号 （a ）互感元件 （b ）电路符号线圈1的自磁链11ψ和线圈2的自磁链22ψ分别为11111N ψ=Φ， 22222N ψ=Φ线圈1对线圈2的互磁链21ψ和线圈2对线圈1 的互磁链12ψ分别为21221N ψ=Φ， 12112N ψ=Φ线圈1自感和线圈2的自感分别为11111111L N i i ψΦ==， 22222222L N i i ψΦ== 线圈1对线圈2的互电感21M 和线圈2对线圈1的互电感12M 为212121211M N i i ψΦ==， 121212122M N i i ψΦ== （2）耦合电感元件与耦合系数彼此靠近的两个或多个线圈，若认为它们本身的电阻均为零，则这样的两个或多个线圈即构成了一个互感元件，也称耦合电感元件。

可见互感元件是磁耦合线圈的电路模型，互感元件的电路符号如图6-64（b ）所示。

耦合系数k 定义为211211221Mk L ψψ==，01k ≤≤ 耦合系数是两个线圈间磁耦合程度的度量，若0.5k <，称松散耦合，若0.5k >，称紧耦合。

（3）同名端当两个线圈中的电流产生的磁感线方向相同时，则通入电流的两端称为同名端，常用“”号表示。

同名端规则是：若电流进入一个线圈的同名端，则在每二个线圈的同名端处，其互感电压的参考极性是正的。

或者，若电流离开一个线圈的同名端，则在每二个线圈的同名端处，其互感电压的参考极性是负的。

（4）互感电压若1u 和1i 是线圈1中的电压和电流，2u 和2i 是线圈2中的电压和电流。

当线圈1电流1i 变化时，要在线圈2的两端产生互感电压21u ，同理，当线圈2电流2i 变化时，要在线圈1的两端产生互感电压12u ，其表达分别为121di u Mdt =， 212di u M dt= 则耦合线圈中的感应电压由自感电压和互感电压两部分组成，即1211di di u L M dt dt =+ 和 2122di di u L M dt dt=+ 互感电压的极性在电路中的表达式要遵守同名端规则。

（5）耦合电感的能量存储在两个耦合线圈中的能量中221122121122w L i L i Mi i =+±（6）耦合电感的去耦等效电路2、变压器（1）变压器元件变压器是一个四端点元件，包含有两个或两个以上的磁耦合线圈。

变压器可用来改变电路中的电压、电流和阻抗。

线性变压器其线圈是缠绕在磁线性材料的芯子上的。

空心变压器其其线圈是缠绕非铁磁性材料的芯子上的，（有的就以空气为心）上并具有互感的线圈组成的，因为种变压器的电磁特性是线性的，故也称线性变压器理想变压器是一个无损（120R R ==）变压器，其耦合系数1k =，电感、互感量为无穷大（1L 、2L 、M →∞）。

自耦变压器是只有一个绕组的变压器，该绕组对初级电路和次级电路是公共的。

（2）空心变压器和理想变压器的等效电路+-1U 1I 12I -1U 1I 2I +-111j MU Z ω-1U 1I 2I -1U 1I 2I +-11U n1I 2I 1I 1I 1nI（3）理想变压器的伏安关系 时域伏安关系为112212211u N n u N i N i N n===-=- 或12121u nu i i n==-相量伏安关系为112212211U N n U N I N I N n===-=- 或12121U nU I I n==-当1u 与2u （或1U 与2U ）参考极性的“+”极端都在同名端时，等号右端取“+”号，否则取“-”号；当1i 与2i （或1I 与2I ）的参考方向都是流入同名端时，等号右端取“-”，否则取“+”号。

3、含耦合电感和理想变压器电路分析含耦合电感电路的分析方法有直接法、去耦等效电路法、电路定理法。

直接法就是直接应用网孔法或回路法直接列写含耦合电感的电路方程，然后联立求解。

去耦等效分析法是在满足去耦合条件下，先将电路进行去耦等效变换作出其去耦等效电路，然后对其等效电路按网孔分析法或回路分析法列写方程并求解。

电路定理法用戴维南定理常常先求戴维南等效电路，然后求解。

6-3 习题解答6-1 试确定题图6-1所示耦合线圈的同名端。

2u 1+-Φ+3解：根据同名端定义和题图所示电流方向，可得1和3，1和6，3和6为同名端。

6-2 求题图6-2所示电路的等效电感ab L 。

题图6-1()a'()a '()b'()c解：题图6-2（a ）所示电路的去耦等效电路如题图6-2（a ’）所示，这时由串联、并联化简方法可求得等效电感为6(4)1426(4)ab L mH ⨯-=+=+-题图6-2（b ）所示电路的去耦等效电路如题图6-2（b ’）所示，则有9(3)270.559(3)ab L H ⨯-=+++=+-题图6-2（c ）所示电路的去耦等效电路如题图6-2（c ’）所示，则有3(24)1363(24)ab L H ⨯+=++=++可见，当耦合电路去耦时，若两线圈是同名端连在一起，则公共支路上为M +，在自感中要减M ；若是异名端连接在一起，则公共支路上为M -，在在自感中要加M 。

6-3 在题图6-3（a ）所示电路中，已知110R =Ω，15L H =，22L H =，1M H =，1i 如题图6-3（b ）所示，求1()u t 和2()u t 。

题图6-2()a解：根据电流源的波形得出其表达式为110 01s2010 12s0 2t ti t tt≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≤⎩由于2R所在端钮开路，故2R和2L中电流为零，从而2R上电压为零以及2L上自感电压为零，但是在2L上有电流源电流产生的互感电压，它是2R所在端钮的开路电压。

根据电流源的参考方向与同名端位置，可知有1210V 01s()10V 12s0 2tdiu t M tdtt≤≤⎧⎪==-≤≤⎨⎪≤⎩由于2L中电流为零，故1L上互感电压为零，其上只有自感电压，因此电流源两端电压为1111100 50V 01s()100 150V 12s0 2t tdiu t R i L t tdtt+≤≤⎧⎪=+=-+≤≤⎨⎪≤⎩6-4 在题图6-4（a）所示的电路中，121L L H==，0.5M H=，电流源()Si t的波形如题图6-4（b）所示。

试求1()u t和2()u t。

()as ss()d 解：由于线圈2开路，所以线圈1中只有自感电压，线圈2中仅有互感电压，即112,S Sdi diu L u Mdt dt==-题图6-3题图6-4由题图6-4（b ）可知，当0t <时，0S i =，所以，120,0u u ==。

当01t s ≤<时，S i tA =，所以112111,0.510.5SSdi di u L V u M V dtdt==⨯==-=-⨯=- 当1t s ≥时，1S i A =，所以 120,0u u ==；综上述可得121010.50100,100,1V t s V t s u u t t st t s≤<-≤<⎧⎧==⎨⎨<≥<≥⎩⎩其波形如题图6-4（c ）。

6-5 写出题图6-5所示电路电压、电流关系式。

()a()c()b()d解：对于题图6-5（a ）有1211di di u L M dt dt =+ , 1222di di u M L dt dt=+ 对于题图6-5（b ）有1211di di u L M dt dt =- , 1222di di u M L dt dt =-+ 对于题图6-5（c ）有1211di di u L M dt dt =+ , 1222di di u M L dt dt =-- 对于题图6-5（d ）有1211di di u L M dt dt =-- , 1222di di u M L dt dt=-- 6-6 题图6-6所示电路中，已知4()2tS i t e A -=，13L H =，26L H =，2M H =。

试求()ac u t ，()ab ut 和()bc u t 。

bc题图6-5题图6-6解：由于ab 处开路，所以电感2L 所在支路无电流，故有4144()()24()()16()()()8t S ac t S ab t bc ab ac di t u t L e V dt di t u t M e Vdtu t u t u t e V ---==-==-=-+=- 说明，因此题不是正统稳态电路，故不能用相量法求解。

6-7 在题图6-7（a ）所示电路中，已知12S U V =，126R R ==Ω，5M ω=Ω，1210L L ωω==Ω，212.5L ω=Ω。

求L Z 最佳匝配时获得的功率P 。

1I -SU ()a +-()b SU解：方法一：一步求解法。

在端口'11-置电流源I 替代L Z ，设端口'11-的电压为'11U ，列写网孔方程及'11U 的表达式为'2112222111()()()()S R R j L I R j M I U U R j L I R j M I ωωωω++-+==-+++解得'111(37.5)2S U U j I =-+戴维南等效电路参数为0160,(37.5)2oc S eq U U V Z j ==∠=+Ω最佳匹配时*(37.5)L eq Z Z j ==-Ω，求得功率为2263443oc eq U P W R ===⨯方法二：去耦法求解。