北师大版八年级(上)数学《三角形内角和定理》同步练习1(含答案)
7.5 三角形内角和定理（1）
一、选择题
1．在△ABC 中，∠A ＝75°，∠B －∠C ＝15°，则∠C 的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．50°
D ．10°
2．在△ABC 中，如果∠A=∠B=4∠C ，那么∠C 的度数是（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
3．下列说法错误的是（ ）
A ．一个三角形中至少有一个角不大于60°
B ．锐角三角形中任意两
个角的和小于直角
C ．一个三角形中至多有一个角是钝角
D ．一个三角形中至多有
一个角是直角
二、填空题
4．在△ABC 中，∠A ＝36°，∠C 是直角，则∠B ＝________.
5．在△ABC 中
（1）∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶1∶2，则此三角形是______ 三角形；
（2）∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5，则此三角形是______ 三角形；
（3）∠A ＝2∠B ＝3∠C ，则此三角形是______ 三角形；
（4）∠A ＝12∠B ＝13
∠C ，则此三角形是______ 三角形；
（5）∠A －∠B ＝∠C ，则此三角形是______三角形； 6．如图，在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC ＝_______.
7．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，
∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________度．
三、解答题
8．已知∠ABC ，∠ACB 的平分线交于I.
（1）根据下列条件分别求出∠BIC 的度数：
①∠ABC ＝70°，∠ACB ＝50°；
②∠ACB ＋∠ABC ＝120°；
A B C I
第6题第7题
③∠A＝90°；
④∠A＝n°.
（2）你能发现∠BIC与∠A的关系吗?
7.5 三角形内角和定理（2）
一、选择题
1．下列叙述中正确的是（）
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．三角形的外角大于内角
C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和
D．三角形每一个内角都只有一个外角
2．如果三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数比为（）
A．4∶3∶2 B．3∶2∶4
C．5∶3∶1 D．3∶1∶5
3．三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．非锐角三角形
4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）
A．55°B．70°
C．55°或70°D．以上答案都不对
二、填空题
5．如图，在四边形ABCD中，∠B=70°，∠C=50°，在顶点D的一个外角为80°，则顶点A的一个外角α=__________
第5题第6题第7题第8题
6．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________度．
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠
EBC=______．
8．一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ _°
三、解答题
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°.
7.5 三角形内角和定理（1）
1．B 2．B 3．B
4．54
5．在△ABC 中
（1）等腰直角；（2）直角；（3）钝角；（4）直角；（5）直角；
6．18°
7．25
8．（1）①∠BIC=120°；②∠BIC=120°；③∠BIC=135°；④∠BIC=90°+
21n°. （2）∠BIC=90°+
2
1∠A 7.5 三角形内角和定理（2）
1．C 2．C 3．D 4．C
5．40°
6．280
7．140°
8．65
9．证明：∵∠ADB 是△ADC 的外角
∴∠ADB ＝∠3+∠C
∵∠1+∠2+∠ADB=180°
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°。
《三角形内角和定理》同步练习 2022年北师大版八上
三角形内角和定理3一、选择题:1．如下图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠BOC=a ，那么∠A 等于〔 〕A ．90°-2αB ．90°-2αC ．180°-2αD ．180°-2α图1 图2 图3 图42．三角形三个内角之比为1：2：3，那么该三角形三个外角之比为〔 〕A ．5：4：3B ．3：2：1C ．1：2：3D ．2：3：43．三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是〔 〕A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为〔 〕A ．55°B ．70°C ．55°或70°D ．以上均有可能5．如图2，射线BA ，CA 交于点A ，连接BC ，AB=AC ，∠B=40°，那么x 的值是〔• 〕A ．40B ．60C ．80D ．100二、填空题:6．如果三角形三个外角度数之比为4：2：•3，•那么这个三角形的各外角度数分别为______．7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，那么∠1+∠2=______．9．如图4所示，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=•DC ，那么∠C=________.三、解答题:10．：如下图，P 是△ABC 内一点，求证：∠BPC>∠BAC ． A C PB11．如下图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于D ，AB>AC ，求证：∠ACD>•∠ABC ．12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°，•求这个等腰三角形的各内角的度数．参考答案一、1．C 点拨：因为BO平分△ABC的一个外角，所以可知∠3=1 2〔∠A+∠2〕，同理∠4=12〔∠1+∠A〕．又因为∠3+∠4+∠BOC=180°，即12〔∠A+∠2〕+12〔∠1+∠A〕+ =180°，同时∠1+∠2+∠A=180°，即可求得∠A的度数．2．A 点拨：因为三角形三个内角之比为1：2：3，所以可根据三角形内角和定理求得三个内角分别为30°，60°，90°，即与它们相邻的外角分别为150°，120°，90°，即可求得对应的外角比．3．C 点拨：三角形的外角与其相邻的内角互补，•由于这个外角小于与它相邻的内角，所以相邻的内角必是钝角，此三角形必为钝角三角形．4．C5．C 点拨：因为AB=AC，所以∠B=∠C，所以x°=40°+40°=80°，所以x=80°．二、6．160°，80°，120°点拨：三角形的外角和等于360°，•可设外角度数分别为4x°，2x°，3x°，故可求得各外角度数．7．直角三角形点拨：因为外角大于任何一个与它不相邻的内角，故外角只能是与和它相邻的内角相等，而两角之和为180°，故外角及其相邻的内角均为90°．8．220°点拨：此题的结构较简单，•可利用三角形的外角与内角的等量关系转化．∠1=∠5+∠4，∠2=∠3+∠5，所以∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠5=180°+40°=220•°；也可利用四边形内角和为360°来解这道题．9．23 点拨：此题是三角形角的有关计算，因为AB=AD．所以∠ADB=〔180°-88°〕×12=46°．又因为AD=CD，故∠C=12∠ADB=23°．三、10．证明：连接AP并延长交BC于E．因为∠BPE 是△BAP 的一个外角，所以∠BPE>∠BAE ．又因为∠CPE 是△CAP•的一个外角，所以∠CPE>∠CAE ．所以∠BPE+∠CPE>∠ABE+∠CAE ．即∠BPC>∠BAC ．点拨：此题也可延长BP ，交AC 于一点，•利用“三角形的外角大于与它不相邻的任一内角〞来证明．11．解：因为AB>AC ，所以延长CD 交AB 于点E ，如下图．因为AD 平分∠BAC ，所以∠EAD=∠CAD ．因为AD ⊥CD ，所以∠ADE=∠ADC=90°，所以∠AED+∠EAD=∠CAD+∠ACD=90°， 所以∠AED=∠ACD ，又因为∠AED 是△BEC•的一个外角．所以∠AED>∠ABC ，所以∠ACD>∠ABC ．12．解：因为等腰三角形各内角度数和为180°，所以该等腰三角形顶角的一个外角为80°，所以等腰三角形的顶角为100°，所以等腰三角形的底角为40°，40°．平行线的判定一、选择题1．如图，直线b a ,都与直线c 相交，给出以下条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°．其中能判断a ∥b 的条件是〔 〕A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④2．如图，直线CD AB ,被直线l 所截，假设︒≠∠=∠9031，那么〔 〕A ．32∠=∠B ．42∠=∠C ．41∠=∠D ．43∠=∠二、填空题1．如图，直线CD AB ,被第三条直线EF 所截，那么1∠和2∠是_________；如果21∠=∠，那么________∥_______，其理由是___________．2．如图，：︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠1024,783,782,781，填空：〔1〕︒=∠=∠7821 ，∴//_______AB 〔 〕．〔2〕︒=∠=∠7832 ,∴//_______AB 〔 〕．〔3〕︒=︒+︒=∠+∠1801027842 ，∴_____________//_〔 〕．3．填空括号中的空白：如图，直线AB 与EF 相交于O ，OC 平分OD AOE ,∠平分BOF ∠． 求证：〔1〕41∠=∠；〔2〕COD 为一条直线．证明：AB 与EF 相交于O 〔 〕，∴AOE ∠与BOF ∠为对顶角〔 〕．∴BOF AOE ∠=∠〔 〕．∴BOF AOE ∠=∠2121〔 〕． 又OC 平分AOE ∠〔 〕，∴AOE ∠=∠211〔 〕． 同理BOF ∠=∠214． ∴41∠=∠〔 〕．EOF 为一条直线〔 〕，∴EOF ∠为平角〔 〕．即︒=∠+∠+∠=∠180432EOF ．又41∠=∠ 〔 〕，∴︒=∠+∠+∠180321〔 〕．即COD ∠为平角．∴COD 为一条直线〔 〕．三、解答题1．如图，直线a 、b ，任意画一条直线c ，使它与a 、b 都相交，量得︒=∠︒=∠462,461，那么a 与b 平行吗？为什么？2．如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截．〔1〕量得︒=∠︒=∠802,801，就可以判定CD AB //，它的根据是什么？ 〔2〕量得︒=∠︒=∠1004,1003，也可以判定CD AB //，它的根据是什么？3．如图，BE 是AB 的延长线，量得C A CBE ∠=∠=∠．〔1〕从A CBE ∠=∠，可以判下哪两条直线平行？它的根据是什么？〔2〕从C CBE ∠=∠，可以判定哪两条直线平行，它的根据是什么？4．如图，BOD D COA C ∠=∠∠=∠,．求证：DB AC //．5．如图，︒=∠︒=∠=∠603,11821．求：4∠的度数．6．如图，D C B A ,,,四点共线，且CD AB =，又DF CE BF AE ==,． 求证：BF AE //．参考答案一、选择题1．D 2．B二、填空题1．同位角；CD AB //，同位角相等，两直线平行．2．〔1〕CD ，同位角相等，两直线平地〔2〕CD ，内错角相等两直线平行〔3〕CD AB ,，同旁内角互补，两直线平行．3．；对顶角定义；对顶角相等；等量的同分量相等；；角平分线定义；等量代换；；平角定义；已证；等量代换；平角定义三、解答题1．b a //，同位角相等，两直线平行．2．〔1〕同位角相等，两直线平行．〔2〕内错角相等，两直线平行．3．〔1〕BC AD //，同位角相等，两直线平行．〔2〕CD AB //，内错角相等，两直线平行．4．先证D C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行证明DB AC //即可．5．先由︒=∠=∠11821证b a //，再根据两直线平行，同旁内角互补求出︒=∠1204．6．CD AB = ，∴BD AC =．又DF CE BF AE ==, ，∴ACE ∆≌BDF ∆．∴FBD A ∠=∠．∴BF AE //．。
【精品】数学八年级上北师大版7.5三角形内角和定理同步练习1
三角形的内角和定理1．如图，已知点D，E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A 的度数为（）A．100° B．90° C．80° D．70°2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C3．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35。
，则∠BDC的度数为________．4．如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE上AC于点E，则∠B的度数为________.5．如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和．6．如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝66°，∠C＝54°．（1）求∠ADB和∠ADC的度数；（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．7．有一工件如图所示，按规定AB的延长线与DC的延长线相交成30°角，DA的延长线与CB的延长线相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数来检查工件是否合格？8．（1）如图（1），有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C．在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝________，∠XBC+∠XCB＝________．（2）如图（2），改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ 仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．参考答案1．C 解析先由DE BC，得60∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），再根据三ADE B角形内角和定理，可得180180604080∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选C．A ADE AED2．D 解析 A中则A B C∠+∠=∠，则2180∠=︒，为直角三角形．C∠=︒，90C对于B，由A B C∠=∠+∠，同理，90∠-∠=∠得A B CA∠=︒，为直角三角形．对于C，易得90∠=︒，为直角三角形．CD选项中3∠=︒，可知三个内角都不是90°角，故不是直角三角CA B C∠=∠=∠，则7180形．故选D．3．80° 解析本题可利用整体思想求解．在△BDC中，()BDC DBC DCB∠=︒-∠+∠．180∵1∠=∠-∠，DCB ACB∠=∠-∠，2DBC ABC∴()12∠+∠=∠+∠-∠-∠．DBC DCB ABC ACB在△ABC中，180********∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，ABC ACB A∴1452025100∠+∠=︒-︒-︒=︒，DBC DCB∴()∠=︒-∠+∠=︒．BDC DBC DCB180804．52° 解析在△ACD中，∵180C A ADC∠+∠+∠=︒，∴1801803211038∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．C A ADC∵△BCE是直角三角形（90∠=︒），BEC∴90903852B C∠=︒-∠=︒-︒=︒．5．思路建立若要分别求出这五个角可能有一定的难度，若将这五个角转换到一个三角形中，再利用三角形的内角和可求得．解：如图，连接BC ，则D E BCD CBE ∠+∠=∠+∠．而180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，所以∠A ，∠ABE ，∠ACD ，∠D ，∠E 的和是180°．6．解：（1）∵66B ∠=︒，54C ∠=︒，∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．又∵AD 平分∠BAC ，∴1302BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒．∴180180663084ADB B BAD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180180305496ADC CAD C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．（2）∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒．∴90903060ADE DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒°．7．解：如图所示，延长DA ，CB 相交于点E ，延长AB ，DC 相交于点F ． 因为按规定20E ∠=︒，30F ∠=︒，所以在△DEC 中，只需满足160D ECD ∠+∠=︒； 在△ADF 中，只需满足150DAF D ∠+∠=︒，所以通过测量，若160D BCD ∠+∠=︒， 且150DAB D ∠+∠=︒，则工件合格，否则不合格．8．解：（1）150°，90°．（2）ABX ACX∠+∠的大小不变化．()() ABX ACX ABC XBC ACB XCB ∠+∠=∠-∠+∠-∠()()=∠+∠-∠+∠ABC ACB XBC XCB()()=︒-︒-︒-︒1803018090=︒-︒15090=︒．60。
北师大版八年级(上)数学《三角形内角和定理(1)》课堂练习1(含答案)
7.5 三角形内角和定理11．根据下列条件，求ABC ∆中，C ∠的大小：（1）︒=∠︒=∠36,65B A ；（2）A C B ∠=∠=∠2；（3）︒=∠-∠︒=∠15,105C B A ；（4）C B A ∠=∠=∠．2．（1）一个直角三角形的两个锐角相等，这两个锐角各多少度？（2）一个直角三角形的两个锐角中，一个角是另一个角的2倍，这两个锐角各多少度？3．已知：如图，︒=∠︒=∠70,60,//ADE C BC DE ，求B A ∠∠、的度数．4．已知：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，︒=∠∠=∠80,ADC BAD B ，求A B C ∆各内角的度数．5．一个三角形中能不能有两个直角或两个钝角？为什么？6．如图，已知AB CD ACB ⊥︒=∠,90，垂足是D ．（1）2,1∠∠有什么关系？（2）2∠∠、B 有什么关系？为什么？B ∠∠、1不是相等？为什么？7．如图，BD AD ⊥于D ，AE 平分︒=∠︒=∠∠34,70,C B BAC ，求DAE ∠的度数．参考答案1．（1）79°（2）72°（3）30°（4）60°2．（1）45°，45°（2）60°，30°3．︒50BA∠70,==∠︒4．︒,,40BAC∠60B80C∠=︒=︒∠=5．不能有两个直角，也不能有两个钝角．如果有两个直角，那么三角形三个内角的和就大于180°了，如果有两个钝角，那么三角形三个内角的和也大于180°．6．（1）︒∠=2B，∴B∠90+∠90=1（2）︒∠+2∠1．∠=7．︒DAE=∠18。
北师大版八年级数学上册第七章 7.5.1三角形内角和定理的证明 同步练习题( 教师版)
北师大版八年级数学上册第七章 7.5.1三角形内角和定理的证明 同步练习题 一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°，则∠C 等于(B)A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°2．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝12∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE ，AD 相交于点F ，已知∠BAD ＝42°，则∠BFD＝(D)A ．45°B ．54°C ．56°D ．66° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的高，则(C)A ．∠B ＝∠C B ．∠BAD ＝∠B C ．∠C ＝∠BAD D ．∠DAC ＝∠C5.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E.若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为(C)A．44° B．40° C．39° D．38°二、填空题6．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E.若∠A＝42°，则∠D＝48°．7．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为40°．8．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE，则∠CDF＝74°.72°．FAE＝19°，则∠C＝24°．134°，∠D＝88°．12．在△ABC中，∠ACB＝50°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F.若∠ABD∶∠ACF＝3∶5，则∠BEC的度数为100°或130°三、解答题13．在△ABC中，∠A＋35°＝∠B，∠C＝∠B－25°，求△ABC的各个内角的度数．解：∵∠A＋35°＝∠B，∴∠A＝∠B－35°.∵∠C＝∠B－25°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B－35°＋∠B＋∠B－25°＝180°.∴∠B＝80°.∴∠A＝45°，∠C＝55°.14．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C.∵∠EAB＋∠FAC＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°．15．如图，已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.(1)∠DBC＋∠DCB＝90度；(2)过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．解：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，即∠ABD＋∠DBC＋∠DCB＋∠ACD＋∠BAC＝180°.而∠DBC＋∠DCB＝90°，∴∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC.∴∠ABD＋∠BAC＝90°－∠ACD＝70°.又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN.而∠BAN＋∠BAC＋∠CAM＝180°，∴∠ABD＋∠BAC＋∠CAM＝180°.∴∠CAM＝180°－(∠ABD＋∠BAC)＝110°.16．已知：如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，点N.试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：∠A＋∠D＝∠C＋∠B；(2)在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；(3)如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)解：(2)∵∠D＋∠1＋∠2＝∠B＋∠3＋∠4，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴40°＋2∠2＝36°＋2∠4. ∴∠4－∠2＝2°. ∵∠B ＋∠4＝∠P＋∠2，∴∠P ＝∠B＋∠4－∠2＝36°＋2°＝38°. (3)由(2)知，∠D ＋2∠2＝∠B＋2∠4， 2∠B ＋2∠4＝2∠P＋2∠2，∴∠D ＋2∠2＋2∠B＋2∠4＝∠B＋2∠4＋2∠P ＋2∠2. ∴∠D ＋2∠B＝∠B＋2∠P. ∴∠P ＝∠D＋∠B2.17．(1)如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，垂足为D ，∠A ＝40°，则∠DBC＝20°；(2)若把(1)中∠A＝40°改为∠A＝n °，其他条件不变，请用含n 的式子表示∠DBC，并证明你的结论；(3)如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在四边形ABCD 内部，在△CDE 中，∠DEC ＝90°，且AD ＝BC ＝DE ＝CE ，连接AE ，BE ，求∠AEB 的度数．解：(2)∠DBC＝12n °.证明：∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠C＝180°－∠A 2＝180°－n °2.∵BD ⊥AC ，∴∠DBC ＝90°－∠C＝90°－180°－n °2＝12n °.(3)过点E 作EF⊥AD 于点F ，延长FE 交BC 于点G ，则∠AFG＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠BGF ＝180°－∠AFG＝90°. ∴EG ⊥BC.在△DEC 中，∠1＋∠2＝180°－∠DEC＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠3＋∠4＝180°－(∠1＋∠2)＝90°. 在△ADE 中，AD ＝DE ，EF ⊥AD. 在△BCE 中，BC ＝CE ，EG ⊥BC. 由(2)得∠AEF＝12∠3，∠BEG ＝12∠4.∴∠AEF ＋∠BEG＝12(∠3＋∠4)＝45°.∴∠AEB ＝180°－(∠AEF＋∠BEG)＝135°.。
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7-5三角形内角和定理》同步练习题(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形内角和定理》同步练习题（附答案）1．如图，△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠P＝2∠A，则∠A＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°2．如图，∠A＝40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．140°3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝n（0°＜n＜45°），D、E分别为AB、AC上一点，将△BCD、△ADE分别沿CD、DE翻折，点A、B恰好重合于点F处，则∠ACF 的度数用n表示为（）A．90°﹣2n B．C．45°﹣n D．90°﹣n4．如图，△ABC的两条内角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝62°，则∠BFC的度数是（）A．59°B．118°C．121°D．124°5．如图所示，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的三等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，∠BCF＝2∠ACF），且△DFE的三个内角分别为∠DFE＝54°、∠FDE＝60°、∠FED＝66°，则∠BAC＝（）A．54°B．60°C．66°D．48°6．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC 的大小为（）A．110°B．120°C．130°D．150°7．一个三角形三个内角之比为1：3：5，则最小的角的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．60°8．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四个角和的度数？9．已知：BE、CD分别是△ABC的角平分线，BE、CD交于点O，若∠BOC＝115°，求∠A的度数．10．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BDA′的度数．11．如图，若P点是△ABC三个内角的角平分线的交点．（1）∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB；（2）用∠BAC来表示∠BPC；（3）猜想：∠CP A＝90°+，∠APB＝90°+．12．如图，（1）求证：∠ABC＝∠A+∠C+∠ADC；（2）若∠A＝52°，∠C＝20°，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，交于点E，求∠E 的度数．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．14．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC角平分线，AE与BF相交于点O，∠BOA＝125°，求∠DAC的度数．15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是高线，两条角平分线AE和BF交于点O．（1）求∠EOF的度数．（2）若∠ABC＝α度（α＞60°），用含α的代数式表示∠EAD的度数．16．如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝°；（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝．17．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．18．△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠B+30°，求△ABC的各内角度数．19．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC 于点F．（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．20．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．21．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP 之间的数量关系．（1）请你完成这道思考题；（2）若将题中的条件“∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，点P是FC上一点”改为“∠AED ＝∠C，∠B＝∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．23．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．24．（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．①∠BAC＝°，∠DAE＝°；②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．25．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝°．（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝°．（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD＝∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）26．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠DAE的度数．27．（1）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE 上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝：（3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝；（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y 表示∠P＝．28．在△ABC中，点D是边AC上一点，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．（1）如图，若∠ABC＜90°，点G是边AB上一点，且∠BEG＝∠C，请判断∠AEG与∠CDF的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC＞90°，点G是直线AB上一点，且∠BEG＝∠C，请直接写出∠AEG与∠CDF的数量关系．参考答案1．解：∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣（180°﹣∠P），∵∠P＝2∠A，∴∠A＝60°，故选：B．2．解：∵∠A＝40°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝140°，由折叠知，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∴∠ADF+∠AEF＝2（∠ADE+∠AED）＝280°，∴∠FDB+∠FEC＝180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF＝360°﹣280°＝80°，故选：A．3．解：由折叠可得，AD＝FD＝BD，∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝n，∠BCD＝∠B＝90°﹣n，∴∠BCF＝2∠BCD＝180°﹣2n，∴∠ACF＝180°﹣2n﹣90°＝90°﹣2n，故选：A．4．解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×118°＝59°，在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣59°＝121°．故选：C．5．解：∵∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，∠BCF＝2∠ACF，∴可以假设∠BAD＝x，∠CBE＝y，∠ACF＝z，则∠CAF＝2x，∠ABD＝2y，∠BCE＝2z，∵∠DFE＝∠ACF+∠CAF，∠FDE＝∠DAB+∠ABD，∠DEF＝∠CBE+∠BCE，∴54°＝2x+z，60°＝x+2y，66°＝y+2z，解得x＝16°，y＝22°，z＝22°，∴∠BAC＝3x＝48°，故选：D．6．解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC＝，，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣60°＝120°．故选：B．7．解：三角形的最小的角＝×180°＝20°，故选：A．8．解：∵∠A＝55°，∴△ABC中，∠B+∠C＝125°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣125°＝235°．9．解：∵∠BOC＝115°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣115°＝65°，∵BE、CD分别是△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°．10．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，∴∠B＝35°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE+∠B＝180°，∴∠BDE＝180﹣∠B＝180°﹣35°＝145°，∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，∴△A′DE≌△ADE，∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE﹣∠A′DE＝145°﹣35°＝110°．11．解：（1）∵P点是△ABC三个内角的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，故答案为：，；（2）∵∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝180°﹣90°+∠BAC＝90°+∠BAC；（3）猜想：∠CP A＝90°+∠ABC，∠APB＝90°+∠ACB；理由如下：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACB∴∠P AC＝，∠ACP＝∴∠CP A＝180°﹣（∠P AC+∠ACP）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（1800﹣∠ABC）＝180°﹣90°+∠ABC＝90°+∠ABC；同理可得：∠APB＝90°+∠ACB．故答案为：，∠ACB．12．（1）证明：连接DB，延长DB到T．∵∠ABT＝∠A+∠ADB，∠CBT＝∠C+∠CDB，∴∠ABC＝∠ABT+∠CBT＝∠A+∠ADB+∠CDB+∠C＝∠A+∠ADC+∠C．（2）解：设DE交AB于点O．∵∠ABC＝∠A+∠ADC+∠C，BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠ABC＝（∠A+∠ADC+∠C），∵∠A+∠ADO＝∠E+∠OBE，∴∠E＝∠A+∠ADO﹣∠OBE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠ADC，∴∠E＝∠A+∠ADC﹣（∠A+∠ADC+∠C）＝（∠A﹣∠C）＝16°．13．解：∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．14．解：∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠AOB＝125°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣125°＝55°，∵AE、BF是△ABC角平分线，∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，∴∠BAC+∠ABC＝55°，∴∠BAC+∠ABC＝110°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝70°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°．15．解：（1）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，∴∠BAO＝∠BAC，∠ABO＝∠ABC，∴∠BAO+∠ABO＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝×120°＝60°，∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EOF＝120°．（2）∵∠C＝60°，∠ABC＝α，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝60°﹣α．∵AD是边BC上的高线，∴∠DAB＝90°﹣α，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠DAB＝60°﹣α﹣（90°﹣α）＝α﹣30°．16．解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案为60．（2）∵∠A＝80°，∴∠BPC＝90°+×80°＝130°；（3）∵∠BPC＝90°+∠A，∴∠DPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案为：90°﹣∠A．17．解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠4＝∠ABY＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，即∠4＝45°+∠1，又∵∠4＝∠C+∠1，∴∠C＝45°．18．解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝2x°+30°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+2x+30＝180，解得：x＝30，∴∠A＝30°，则∠B＝60°，∠C＝90°．19．解：（1）∠ADE＝∠EFC，理由：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵CD⊥AB，EF⊥CD，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∴∠ADE＝∠EFC；（2）∵∠ACB＝72°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝48°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB＝180°﹣90°﹣48°＝42°．20．解：（1）如图1中，∵BE平分∠ABO，AE平分∠BAO，∴∠EBA+∠EAB＝（∠ABO+∠BAO）＝（180°﹣∠AOB）＝60°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EBA+∠EAB）＝120°．（2）∠CED的大小不变．如图2，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ相交于O，∴∠AOB＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，∴∠P AB+∠MBA＝240°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝120°，∴∠F＝60°，∴∠FDC+∠FCD＝120°，∴∠CDA+∠DCB＝240°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝120°，∴△CDE中，∠E＝180°﹣120°＝60°．（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，∵△ECD中有一个角是另一个角的2倍，∴∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD或∠DCE＝2∠CDE或∠CED＝2∠ECD，∴∠DCE＝40°或80°或90°或30°．21．解：（1）结论：∠BDP+∠EGP＝180°．理由：∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．（2）①当点P在CF上时，结论不变．∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．②当点P在线段BF上时，结论：∠BDP＝∠EGP．理由：∵BD∥EG，∴∠BDP＝∠EGP．22．解：（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE＝∠ACB＝×90°＝45°，∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA＝∠ABC＝25°，∠P AB＝∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）结论：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，P A分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，∴∠PBA＝∠ABC，∠P AB＝∠BAC，∴∠APB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．23．（1）解：∵∠C＝35°，∠B＝2∠C，∴∠B＝70°，∴∠BAC＝75°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝37.5°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝55°，∴∠DAE＝55°﹣37.5°＝17.5°；（2）证明：过点A作AD⊥BC于点D，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，∴∠FEC＝C，∴∠C＝2∠FEC．24．解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，∵AD平分∠ABC，∴∠CAD＝∠BAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．故答案为80，20．②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠FDE＝∠ADC＝70°，∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．（3）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AE平分∠BEC，∴∠AEB＝∠AEC，∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，∴∠DAE＝20°．25．解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°；故答案为：18°；（2）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°；故答案为12°；（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝α，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+α，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝30°+α，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝α；（4）当∠EOD：∠COE＝1：4时，∠EOD＝18°，∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝α+90°，∵∠GAD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠BAD＝（α+90°），∵∠F AD＝∠EOD+∠OGA，∴18°+∠OGA＝（α+90°），解得∠OGA＝α+42°；当∠EOD：∠COE＝4：1时，∠EOD＝72°，同理可得∠OGA＝α﹣12°；综上所述，∠OGA的度数为α+42°或α﹣12°．26．解：（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．27．（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠BAC＝×70°＝35°，在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°，（2）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．故答案为（x﹣y）．（3）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，∴∠DEF＝∠AEB＝90°﹣x+y，∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．故答案为（x﹣y）．（4）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），∴∠P AF＝（180°﹣x﹣y），∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°﹣（180°﹣x﹣y）﹣x]＝（3x﹣y）．故答案为（3x﹣y）．28．解：（1）∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∴∠C+∠CDF＝∠BEG+∠AEG＝90°，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝∠CDF；（2）如图2，∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∴∠C+∠CDF＝∠BEG+∠AEG＝90°，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝∠CDF；如图3，当点G在AB的延长线上时，∵∠AEC＝∠DFC＝90°，∴∠AEG＝90°+∠BEG，∠C＝90°﹣∠CDF，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝90°+90°﹣∠CDF，∴∠AEG+∠CDF＝180°，综上所述，∠AEG与∠CDF的数量关系为相等或互补．。
最新北师大版八年级数学第一学期《三角形内角和定理》单元测试题及解析-精品试题
《7.5 三角形内角和定理》一、选择题1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形3．在△ABC中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于（）A．50°B．55°C．45°D．40°4．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°5．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．360°B．250°C．180°D．140°6．关于三角形内角的叙述错误的是（）A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长7．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A．95°B．120°C．135°D．无法确定二、填空题8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则∠B=∠，∠C=∠．10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．11．如图，∠α= ．12．如图，直线a∥b，则∠A= ，若作BH⊥AC于H，则∠ABH= ．13．计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．14．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠ACD= 度．15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是．16．在△ABC，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是．三、解答题17．在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．18．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB．19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．20．如图，已知AB∥DE，点C是BE上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD．21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C．（1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX的大小是多少？（2）若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX+∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．《7.5 三角形内角和定理》参考答案与试题解析一、选择题1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．【解答】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，∴2x+7x+4x=180°，∴7x≈97°，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理及三角形形状的判断的综合运用．2．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A=90°，即可得出结论．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=∠A，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，即△ABC一定是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定方法；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．3．在△ABC中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于（）A．50°B．55°C．45°D．40°【考点】三角形内角和定理．【专题】探究型．【分析】先根据∠C=55°，求出∠A+∠B的度数，再根据∠A﹣∠B=35°求出∠B的度数即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C=55°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°①，∵∠A﹣∠B=35°②，∴①﹣②得，2∠B=90°，解得∠B=45°．故选C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．4．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．5．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．360°B．250°C．180°D．140°【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角．【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．关于三角形内角的叙述错误的是（）A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和进行解答即可．【解答】解：A、三角形三个内角的和是180°，此选项正确；B、三角形两个内角的和不一定大于60°，此选项错误；C、三角形中至少有一个角不小于60°，此选项正确；D、一个三角形中最大的角所对的边最长，此选项正确；故选B．【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．7．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A．95°B．120°C．135°D．无法确定【考点】三角形内角和定理．【专题】探究型．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即可得出结论．【解答】解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2=180°﹣80°﹣15°﹣40°=45°，∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°．故选C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．二、填空题8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于40°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据题意，可设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，根据三角形的内角和定理，列方程解答．【解答】解：设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，列方程得，x+2x+2x﹣20°=180°，解得x=40°．答：这个三角形的最小角度数为40°．故答案为：40°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和180°，解答体现了方程思想．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则∠B=∠DAC ，∠C=∠BAD ．【考点】直角三角形的性质．【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠C=90°，再由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，那么根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，然后根据同角的余角相等即可得到∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．故答案为DAC，BAD．【点评】本题考查了直角三角形的性质，余角的性质，三角形的高，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为85 度．【考点】三角形内角和定理．【专题】压轴题．【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．故答案为：85．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．11．如图，∠α= 17°．【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角．【分析】先根据三角形内角和定理得出关于α的方程，求出α的值即可．【解答】解：∵三角形内角和是180°，∴40°+32°=55°+α，解得α=17°．故答案为：17°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．12．如图，直线a∥b，则∠A= 20°，若作BH⊥AC于H，则∠ABH= 70°．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠BCH=60°，由三角形的外角性质即可得出∠A的度数；由角的互余关系求出∠ABH的度数即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠BCH=60°，∵∠BCH=∠A+∠ABC，∴∠A=60°﹣40°=20°；∵BH⊥AC，∴∠BHA=90°，∴∠ABH=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°；故答案为：20°，70°．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．13．计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为360°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形外角性质得出∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，根据三角形外角和定理得出∠8+∠7+∠9=360°，即可求出答案．【解答】解：由三角形外角性质得：∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，∴∠8+∠7+∠9=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，∵△ABC的外角和等于360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠9=360°，故答案为：360°．【点评】本题考查了三角形外角和定理，三角形外角性质的应用，注意：三角形的外角和等于360°．14．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠ACD= 68 度．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵FD⊥BC，∴∠CDF=90°，∵∠AFD=158°，∴∠ACD=∠AFD﹣∠CDF=158°﹣90°=68°．故答案为：68．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图是解题的关键，注意题目中多余条件的干扰．15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是45°或135°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义求较小的夹角，由邻补角定义即可求得较大夹角的度数．【解答】解：直角三角形的两个锐角的平分线所交成的锐角是×90°=45°，则直角三角形的两个锐角的平分线所交成的钝角是180°﹣45°=135°．故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，注意两条直线相交所成的角有两个不同度数的角．16．在△ABC，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是α=β+γ．【考点】三角形内角和定理．【专题】探究型．【分析】根据三角形的内角和是个定值180度计算．【解答】解：∵三角内角和是个定值为180度，∴∠A+∠B+∠C=180°∴∠A越来越小，∠B、∠C越来越大时，∴∠A﹣α+∠B+β+∠C+γ=180°，∴α=β+γ．故答案为：α=β+γ．【点评】主要考查了三角形的内角和为180度这个知识点．三、解答题17．在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A=180°，求出∠A=36°，即可得出∠B=∠C=72°．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=∠C=2∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，解得：∠A=36°，∴∠B=∠C=72°．【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB．【考点】方向角．【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°，∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°．【点评】本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】先在△ABC中根据三角形内角和定理计算出∠BAC=84°，再根据角平分线定义得到∠DAC=∠BAC=42°，接着根据垂直的定义得到∠AEC=90°，则在△AEC中根据三角形内角和定理可计算出∠EAC=90°﹣∠C=24°，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣66°=84°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=42°，∵AE⊥BC于E，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣66°=24°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=42°﹣24°=18°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．准确识别图形，即在哪个三角形中运用内角和定理是解题的关键．20．如图，已知AB∥DE，点C是BE上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】由平行线的性质得出同旁内角互补∠B+∠E=180°，由三角形内角和定理和已知条件得出∠ACB+∠DCE=90°，得出∠ACD=90°，即可得出结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B+∠E=180°，∵∠B+∠A+∠BCA=180°，∠E+∠D+∠DCE=180°，∴，∠A+∠BCA+∠D+∠DCE=180°，∵∠A=∠BCA，∠D=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=90°，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C．（1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX的大小是多少？（2）若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX+∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．【考点】三角形内角和定理．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=90°，即可得出结果；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A是一个定值，同理在△XBC中，∠BXC=90°，∠XBC+∠XCB=90°也是一个定值，∠ABX+∠ACX=90°﹣∠A的值不变．【解答】解：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°，∵∠YXZ=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=150°﹣90°=60°；（2）∠ABX+∠ACX的大小没有变化；理由如下：∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=180°﹣∠A﹣90°=90°﹣∠A；即∠ABX+∠ACX的大小没有变化．【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．。
2021年北师大版八年级数学上7.5三角形的内角和定理精选试题练习含答案与试题解析
2021年北师大版7.5三角形的内角和定理同步练习一．选择题（共12小题）1．（2019•卧龙区一模）如图，直线//m n ，ABC ∆的顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且90ACB ∠=︒，若130∠=︒，则2∠的度数为( )A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒2．（2020秋•南海区期末）已知直线12//l l ，将一块直角三角板ABC （其中A ∠是30︒，C∠是60)︒按如图所示方式放置，若184∠=︒，则2∠等于( )A ．56︒B ．64︒C ．66︒D ．76︒3．（2020•河南二模）如图，直线//a b ，Rt ABC ∆的直角顶点C 落在直线b 上，若50A ∠=︒，1110∠=︒，则2∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．（2020•郑州二模）将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中60A ∠=︒，45)F ∠=︒，使点E 落在AC 边上，且//ED BC ，则AEF ∠的度数为( )A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．170︒5．（2020秋•川汇区校级月考）如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，则BPC ∠的大小是( )A ．100︒B ．110︒C ．115︒D ．120︒6．（2018秋•环翠区期末）如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角ABC ∆上，使得该三角板的两条直角边DE 、DF 恰好分别经过点B 、C ，若40A ∠=︒，求(ABD ACD ∠+∠= )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒7．（2020春•天心区期末）如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则(CAF ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒ 8．（2019秋•新密市期末）已知，如图，在ABC ∆中，150C ∠=︒，点E 是边AB 上点，65DEF ∠=︒，则(ADE BFE ∠+∠= )A ．180︒B ．215︒C ．205︒D ．185︒9．（2019秋•济源期末）如图，90ACB ∠=︒，直线AB 与ACB ∠的两边分别交于点A 、B ，点D 是线段AB 上的一个动点．学习了“余角和补角”知识后，小明同学又结合小学学过的“三角形内角和”知识，进一步探究发现：当动点D 的位置刚好满足90ADC ∠=︒时，对应的图形中除直角(90)︒相等外，相等的角还有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对10．（2019春•雁塔区校级期末）如图，在ACB ∆中，90ACB ∠=︒，24A ∠=︒，D 是AB 上一点．将ABC ∆沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B '处，则ADB ∠'的度数为( )A ．42︒B ．40︒C ．30︒D ．24︒11．（2020秋•淮南期末）如图，在ABC ∆中，32B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是( )A ．32︒B ．45︒C ．60︒D ．64︒12．（2020秋•芜湖期中）如图，ABC ∆中，20A ∠=︒，沿BE 将此三角形对折，又沿BA '再一次对折，点C 落在BE 上的C '处，此时74C DB ∠'=︒，则原三角形的C ∠的度数为( )A ．27︒B ．59︒C ．69︒D ．79︒二．填空题（共14小题）13．（2020•丰台区一模）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠= ︒（点A ，B ，P 是网格线交点）．14．（2020秋•梁园区校级月考）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，BD 、CD 分别平分ABC ∠，ACE ∠，则D ∠= ︒15．（2019秋•长清区期末）如图，ABC ∆中，40A ∠=︒，72B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB⊥于D ，DF CE ⊥，则CDF ∠= 度．16．（2019•金水区校级三模）如图，将三角尺ABC 和三角尺DFF （其中90A E ∠=∠=︒，60C ∠=︒，45)F ∠=︒摆放在一起，使得点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，BC 交DF 于点M ，那么CMF ∠度数等于 ．17．（2019春•宛城区期末）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，50B ∠=︒，点M ，N 分别是BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '落在AC 上．若△MB C '为直角三角形，则MNB '∠的度数为 ．18．（2019•驻马店一模）如图，在ABC ∆中，54B ∠=︒，38C ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且//EF AB ，//DE AC ，则DEF ∠= ．19．（2019春•嘉定区期末）将直角三角形(ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB ∠'=︒，则ACD ∠度数为 ．20．（2020秋•薛城区期末）如图，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，点A 的对应点为A '，60B ∠=︒，80C ∠=︒，则12∠+∠等于 ．21．（2020秋•光明区期末）将两块分别含有30︒和45︒角的直角三角板按如图所示叠放，若12∠=∠，则3∠= ︒．22．（2020秋•大东区期末）如图，把ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 落在线段BC 上的点F 处，//BC DE ，若106A B ∠+∠=︒，则FEC ∠= 度．23．（2020秋•新宾县期末）如图，在ABC ∆中，A m ∠=︒，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，⋯，2017A BC ∠和2017A CD ∠的平分线交于点2018A ，则2018A ∠= 度．24．（2020秋•沂南县期末）如图，在直角三角形ABC 中，点P 、Q 分别是AC 、BC 边上的两个动点，MP 、NQ 分别平分APQ ∠和BQP ∠，交AB 于点M 、N ，MR 、NR 又分别平分BMP ∠和ANQ ∠，两条角平分线交于点R ，则R ∠= ︒．25．（2020秋•太湖县期末）如图，已知，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，且//BE AD ，20BAD ∠=︒，则AEB ∠= ︒．26．（2020秋•前郭县期末）如图，C 岛在A 岛的北偏东45︒方向，在B 岛的北偏西25︒方向，则ACB ∠= ︒．三．解答题（共12小题）27．（2020春•射洪市期末）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，且//BE AD ，20BAD ∠=︒，求AEB ∠的度数．28．（2019春•镇平县期末）如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆外的A '处，折痕为DE ．已知110BDA ∠'=︒，70C ∠=︒，80B ∠=︒，设CFD α∠=，CEA β∠'=，求α和β的大小．29．（2019秋•新乡期末）如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，69A ∠=︒，30CBD ∠=︒，求BEC ∠的度数．30．（2019秋•周口期中）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，DE 是DBC ∆的高线，75A ∠=︒，45C ∠=︒．求BDE ∠的度数．31．（2020秋•邹城市期中）如图，在ABC ∆中，40B ∠=︒，60C ∠=︒，AE 、AD 分别是角平分线和高．求DAE ∠的度数．32．（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：（1）一个角为60︒的直角三角形 （填“是”或“不是” ) “智慧三角形”，若是，“智慧角”是 ．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108︒，求这个“智慧三角形”各个角的度数．33．（2020秋•嘉鱼县期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120︒，40︒，20︒的三角形是“三倍角三角形”．（1）ABC ∆中，35A ∠=︒，40B ∠=︒，ABC ∆是“三倍角三角形”吗？为什么？（2）若ABC ∆是“三倍角三角形”，且60B ∠=︒，求ABC ∆中最小内角的度数．34．（2020秋•汤阴县期中）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，C B ∠>∠，AE 平分BAC ∠，AD BC ⊥于D ．猜想B ∠、C ∠、EAD ∠的数量关系，说明理由．（1）小亮阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入B∠、C∠∠的值求EAD 值，得到下面几组对应值：∠度1030302020 /B∠度7070606080C/∠度302015a30EAD/上表中a=．（2）猜想B∠、C∠的数量关系，说明理由．∠、EAD（3）小亮突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD BC⊥交CB的延长线于D，当80∠度数为︒．∠=︒时，F∠=︒、20BC35．（2020春•商水县期末）如图，AD为ABC∆的高，AE，BF为ABC∆的角平分线，若∠=︒，72∠=︒．AFBCBF32（1）BAD∠=︒；（2）求DAE∠的度数；（3）若点G为线段BC上任意一点，当GFC∠的度数．∆为直角三角形时，求BFG36．（2020春•河南期末）如图，在ABCBAD∠=︒，30∠=︒，B∆中，点D是BC边上的一点，50将ABD∆，AE与BC交于点F．∆沿AD折叠得到AED（1）求AFC∠的度数；（2）求EDF∠的度数．37．（2020春•宜阳县期末）已知BD、CE是ABC∆的两条高，直线BD、CE相交于点H．（1）如图，①在图中找出与DBA∠相等的角，并说明理由；②若100∠的度数；BAC∠=︒，求DHE（2）若ABC∠的度数是．∠=︒，直接写出DHEA∆中，5038．（2020春•东阿县期末）如图，若//⊥，AB CD，EF与AB、CD分别相交于E、F，EP EF∠的度数．EFD∠的平分线与EP相交于点P，且40∠=︒，求PBEP2021年北师大版7.5三角形的内角和定理参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2019•卧龙区一模）如图，直线//m n ，ABC ∆的顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且90ACB ∠=︒，若130∠=︒，则2∠的度数为( )A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒【解答】解：如图：//m n ，130∠=︒，3130∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，43903060ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，2180418060120∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．2．（2020秋•南海区期末）已知直线12//l l ，将一块直角三角板ABC （其中A ∠是30︒，C∠是60)︒按如图所示方式放置，若184∠=︒，则2∠等于( )A ．56︒B ．64︒C ．66︒D ．76︒【解答】解：34180A ∠+∠+∠=︒，30A ∠=︒，4184∠=∠=︒，31804180308466A ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 又直线12//l l ，2366∴∠=∠=︒．故选：C ．3．（2020•河南二模）如图，直线//a b ，Rt ABC ∆的直角顶点C 落在直线b 上，若50A ∠=︒，1110∠=︒，则2∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【解答】解：90ACB ∠=︒，50A ∠=︒，9040B A ∴∠=︒-∠=︒，直线//a b ，31110∴∠=∠=︒，24370B ∴∠=∠=∠-∠=︒，故选：D ．4．（2020•郑州二模）将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中60A ∠=︒，45)F ∠=︒，使点E 落在AC 边上，且//ED BC ，则AEF ∠的度数为( )A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．170︒【解答】解：60A ∠=︒，45F ∠=︒，1906030∴∠=︒-︒=︒，904545DEF ∠=︒-︒=︒，//ED BC ，2130∴∠=∠=︒，2453015CEF DEF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．180165AEF CEF ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．5．（2020秋•川汇区校级月考）如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，则BPC ∠的大小是( )A ．100︒B ．110︒C ．115︒D ．120︒【解答】解：40BAC ∠=︒，18040140ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，BP ∴平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠， 12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠， 即70PBC PCB ∠+∠=︒，180()18070110BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．6．（2018秋•环翠区期末）如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角ABC ∆上，使得该三角板的两条直角边DE 、DF 恰好分别经过点B 、C ，若40A ∠=︒，求(ABD ACD ∠+∠= )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：在ABC ∆中，40A ∠=︒，18040140ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，在DBC ∆中，90BDC ∠=︒，1809090DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒，1409050ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒；故选：C ．7．（2020春•天心区期末）如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则(CAF ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【解答】解：//AB CD ， 30BAC ACD ∴∠=∠=︒，45AFD CAF ACF ∠=∠+∠=︒，453015CAF ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．8．（2019秋•新密市期末）已知，如图，在ABC ∆中，150C ∠=︒，点E 是边AB 上点，65DEF ∠=︒，则(ADE BFE ∠+∠= )A ．180︒B ．215︒C ．205︒D ．185︒【解答】解：在四边形CDEF 中，360C CDE CFE DEF ∠+∠+∠+∠=︒，又150C ∠=︒，65DEF ∠=︒，36065150145CDE CFE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，360()215ADE EFB CDE CFE ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒，故选：B ．9．（2019秋•济源期末）如图，90ACB ∠=︒，直线AB 与ACB ∠的两边分别交于点A 、B ，点D 是线段AB 上的一个动点．学习了“余角和补角”知识后，小明同学又结合小学学过的“三角形内角和”知识，进一步探究发现：当动点D 的位置刚好满足90ADC ∠=︒时，对应的图形中除直角(90)︒相等外，相等的角还有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解答】解：90ADC ACB ∠=∠=︒，90ACD DCB ∴∠+∠=︒，90DCB B ∠+∠=︒，ACD B ∴∠=∠，同法可证A DCB ∠=∠，故选：B ．10．（2019春•雁塔区校级期末）如图，在ACB ∆中，90ACB ∠=︒，24A ∠=︒，D 是AB 上一点．将ABC ∆沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B '处，则ADB ∠'的度数为( )A ．42︒B ．40︒C ．30︒D ．24︒【解答】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，24A ∠=︒，902466B ∴∠=︒-︒=︒，CDB ∆'由CDB ∆折叠而成，66CB D B ∴∠'=∠=︒，CB D ∠'是△AB D '的外角，662442ADB CB D A ∴∠'=∠'-∠=︒-︒=︒．故选：A ．11．（2020秋•淮南期末）如图，在ABC ∆中，32B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是( )A．32︒B．45︒C．60︒D．64︒【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：32D B∠=∠=︒，根据外角性质得：13B∠=∠+∠，∠=∠+∠，32D∴∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+︒，D B B1222264∴∠-∠=︒．1264故选：D．12．（2020秋•芜湖期中）如图，ABC∠=︒，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再∆中，20A一次对折，点C落在BE上的C'处，此时74∠的度数为()∠'=︒，则原三角形的CC DBA．27︒B．59︒C．69︒D．79︒【解答】解如图，ABC∆沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C'处，∴∠=∠，2312∠=∠'=︒，∠=∠，74CDB C DB∴∠=∠=∠，12333ABC ∴∠=∠，在BCD ∆中，3180C CDB ∠+∠+∠=︒，318074106C ∴∠+∠=︒-︒=︒，在ABC ∆中，180A ABC C ∠+∠+∠=︒，2023(3)180C ∴︒+∠+∠+∠=︒，即2023106180︒+∠+︒=︒，327∴∠=︒，3381ABC ∴∠=∠=︒，1062779C ∠=︒-︒=︒，故选：D ．二．填空题（共14小题）13．（2020•丰台区一模）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠= 45 ︒（点A ，B ，P 是网格线交点）．【解答】解：45CPA ∠=︒，CPA PAB PBA ∠=∠+∠，45PAB PBA ∴∠+∠=︒，故答案为：45．14．（2020秋•梁园区校级月考）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，BD 、CD 分别平分ABC ∠，ACE ∠，则D ∠= 35 ︒【解答】解：由三角形外角性质，ACE A ABC ∠=∠+∠，DCE DBC D ∠=∠+∠， BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACE ∠， 12DBC ABC ∴∠=∠，12DCE ACE ∠=∠， ∴111222A ABC ABC D ∠+∠=∠+∠， 12D A ∴∠=∠， 70A ∠=︒，35D ∴∠=︒．故答案为：35．15．（2019秋•长清区期末）如图，ABC ∆中，40A ∠=︒，72B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB⊥于D ，DF CE ⊥，则CDF ∠= 74 度．【解答】解：40A ∠=︒，72B ∠=︒，68ACB ∴∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，34BCE ∴∠=︒，907218BCD ∠=-=︒，DF CE ⊥，90(3418)74CDF ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：74．16．（2019•金水区校级三模）如图，将三角尺ABC 和三角尺DFF （其中90A E ∠=∠=︒，60C ∠=︒，45)F ∠=︒摆放在一起，使得点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，BC 交DF 于点M ，那么CMF ∠度数等于 105︒ ．【解答】解：直角ABC ∆中，90906030ABC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 同理，90904545FDE F ∠=︒-∠=︒-︒=︒，1801803045105DMB ABC FDE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，105CMF DMB ∴∠=∠=︒．故答案为：105︒．17．（2019春•宛城区期末）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，50B ∠=︒，点M ，N 分别是BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '落在AC 上．若△MB C '为直角三角形，则MNB '∠的度数为 55︒或85︒ ．【解答】解：180C A B ∠=︒-∠-∠，70A ∠=︒，50B ∠=︒， 180705060C ∴∠=︒-︒-︒=︒，当90CB M ∠'=︒，906030CMB ∴∠'=︒-︒=︒，由折叠的性质可知：1752NMB BMB ∠'=∠'=︒， 180755055MNB ∴∠'=︒-︒-︒=︒，当90CMB ∠'=︒时，45NMB NMB ∠=∠'=︒，180504585MNB ∠'=︒-︒-︒=︒，故答案为55︒或85︒．18．（2019•驻马店一模）如图，在ABC ∆中，54B ∠=︒，38C ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且//EF AB ，//DE AC ，则DEF ∠= 88︒ ．【解答】解：//EF AB ，//DE AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，A DEF ∴∠=∠，180180543888A B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 88DEF ∴∠=︒，故答案为88︒．19．（2019春•嘉定区期末）将直角三角形(ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB ∠'=︒，则ACD ∠度数为 20︒ ．【解答】解：△B CD '时由BCD ∆翻折得到的， BCD B CD ∴∠=∠'，又9050140BCD B CD B CB ACB ACB ∠+∠'=∠'=∠+∠'=︒+︒=︒， 70BCD ∴∠=︒，又90ACD BCD ACB ∠+∠=∠=︒， 20ACD ∴∠=︒．故答案为：20︒20．（2020秋•薛城区期末）如图，将ABC∠=︒，∆纸片沿DE折叠，点A的对应点为A'，60B∠+∠等于80︒．∠=︒，则1280C【解答】解：根据平角的定义和折叠的性质，得∠+∠=︒-∠+∠．123602(34)又34180A∠+∠+∠=︒，∠+∠=︒-∠，180A B C∴∠+∠=∠+∠，34B C∠=︒，∠=︒，80CB60∴∠+∠=∠+∠=︒，34140B C∴∠+∠=︒．1280故答案为：80︒．21．（2020秋•光明区期末）将两块分别含有30︒和45︒角的直角三角板按如图所示叠放，若∠=∠，则312∠=67.5︒．【解答】解：如图，132490∠=∠，∠+∠=∠+∠=︒，1234∴∠=∠， 545∠=︒，134(18045)67.52∴∠=∠=︒-︒=︒，故答案为：67.5．22．（2020秋•大东区期末）如图，把ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 落在线段BC 上的点F 处，//BC DE ，若106A B ∠+∠=︒，则FEC ∠= 32 度．【解答】解：由折叠可知：22AEF AED FED ∠=∠=∠，106A B ∠+∠=︒， 18010674C ∴∠=︒-︒=︒， //BC DE ， 74AED C ∴∠=∠=︒， 2148AEF AED ∴∠=∠=︒， 18032FEC AEF ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：32．23．（2020秋•新宾县期末）如图，在ABC ∆中，A m ∠=︒，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，⋯，2017A BC ∠和2017A CD ∠的平分线交于点2018A ，则2018A ∠=20182m 度．【解答】解：1A B 平分ABC ∠，1A C 平分ACD ∠，112A BC ABC ∴∠=∠，112ACA ACD ∠=∠， 111ACD A A BC ∠=∠+∠， 即11122ACD A ABC ∠=∠+∠， 11()2A ACD ABC ∴∠=∠-∠，A ABC ACD ∠+∠=∠， A ACD ABC ∴∠=∠-∠， 112A A ∴∠=∠，2121122A A A ∠=∠=∠，⋯，以此类推可知2018201820181()22mA A ∠=∠=︒， 故答案为：20182m ．24．（2020秋•沂南县期末）如图，在直角三角形ABC 中，点P 、Q 分别是AC 、BC 边上的两个动点，MP 、NQ 分别平分APQ ∠和BQP ∠，交AB 于点M 、N ，MR 、NR 又分别平分BMP ∠和ANQ ∠，两条角平分线交于点R ，则R ∠= 67.5 ︒．【解答】解：180C A B ∠+∠+∠=︒，180C CPQ CQP ∠+∠+∠=︒，90C ∠=︒， 90A B ∴∠+∠=︒，90CPQ CQP ∠+∠=︒，360APQ BQP CPQ CQP ∴∠+∠+∠+∠=︒， 270APQ BQP ∴∠+∠=︒，MP 、NQ 分别平分APQ ∠和BQP ∠，135MPQ NQP APM BQN ∴∠+∠=∠+∠=︒， 360MPQ NQP PMN QNM ∠+∠+∠+∠=︒， 225PMN QNM ∴∠+∠=︒，MR 、NR 又分别平分BMP ∠和ANQ ∠，112.5NMR MNR ∴∠+∠=︒， 180NMR MNR R ∠+∠+∠=︒， 67.5R ∴∠=︒．故答案为67.5．25．（2020秋•太湖县期末）如图，已知，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，且//BE AD ，20BAD ∠=︒，则AEB ∠= 110 ︒．【解答】解：//BE AD ， 20ABE BAD ∴∠=∠=︒，BE 平分ABC ∠，20EBC ABE ∴∠=∠=︒， 90C ∠=︒， 70BEC ∴∠=︒， 110AEB ∴∠=︒，故答案为：110．26．（2020秋•前郭县期末）如图，C 岛在A 岛的北偏东45︒方向，在B 岛的北偏西25︒方向，则ACB ∠= 70 ︒．【解答】解：连接AB ．C岛在A岛的北偏东45︒方向，在B岛的北偏25︒方向，∴∠+∠=︒-︒+︒=︒，CAB ABC180(4525)110三角形内角和是180︒，∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．ACB CAB ABC180()18011070故答案为：70．三．解答题（共12小题）27．（2020春•射洪市期末）如图，已知在ABCBE AD，∠，且//∆中，90∠=︒，BE平分ABCC∠的度数．∠=︒，求AEB20BAD【解答】解：//BE AD，∴∠=∠=︒，20ABE BADBE平分ABC∠，∴∠=∠=︒，EBC ABE20∠=︒，C90AEB C CBE∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．902011028．（2019春•镇平县期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ABC∆外的A'处，折痕为DE．已知110∠'=，∠=︒，设CFDα∠=，CEAβBCBDA∠'=︒，70∠=︒，80求α和β的大小．【解答】解：在四边形BCFD 中，3603608070110100B C BDA α=︒-∠-∠-∠'=︒-︒-︒-︒=︒ 在ABC ∆中，180180807030A B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ 由折叠知：30A A ∠=∠'=︒1801803010050A βα∴=︒-∠-=︒-︒-︒=︒29．（2019秋•新乡期末）如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，69A ∠=︒，30CBD ∠=︒，求BEC ∠的度数．【解答】解：BD AC ⊥，30CBD ∠=︒，903060BCD ∴∠=︒-︒=︒， CE 平分ACB ∠，∴1302ACE BCD ∠=∠=︒， 69A ∠=︒，693099BEC A ACE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．30．（2019秋•周口期中）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，DE 是DBC ∆的高线，75A ∠=︒，45C ∠=︒．求BDE ∠的度数．【解答】解：75A ∠=︒，45C ∠=︒，18060ABC A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，BD 平分ABC ∠，1302DBE ABC ∴∠=∠=︒，DE BC ⊥， 90DEB ∴∠=︒，903060BDE ∴∠=︒-︒=︒．31．（2020秋•邹城市期中）如图，在ABC ∆中，40B ∠=︒，60C ∠=︒，AE 、AD 分别是角平分线和高．求DAE ∠的度数．【解答】解：在ABC ∆中， 40B ∠=︒，60C ∠=︒180180406080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒AE 是的角平分线，11804022EAC BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，AD 是ABC ∆的高，90ADC ∴∠=︒∴在ADC ∆中，180180906030DAC ADC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，403010DAE EAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．32．（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题： （1）一个角为60︒的直角三角形 是 （填“是”或“不是” ) “智慧三角形”，若是，“智慧角”是 ．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108︒，求这个“智慧三角形”各个角的度数． 【解答】解：（1）在直角三角形，一个内角为60︒，则另一个内角为30︒， 90330︒=⨯︒，∴这个直角三角形是“智慧三角形”．其中90︒称为“智慧角”．故答案为：是，90︒．（2）一个“智慧三角形”的“智慧角”为108︒，∴这个三角形的另一个内角为36︒，∴这个三角形的三个内角分别为36︒，36︒，108︒．33．（2020秋•嘉鱼县期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120︒，40︒，20︒的三角形是“三倍角三角形”．（1）ABC∠=︒，ABCB∆是“三倍角三角形”吗？为什么？∆中，35A∠=︒，40（2）若ABC∆中最小内角的度数．∠=︒，求ABC∆是“三倍角三角形”，且60B【解答】解：（1）ABC∆是“三倍角三角形”，理由如下：∠=︒，40∠=︒，BA35∴∠=︒-︒-︒=︒=︒⨯，C1803540105353∴∆是“三倍角三角形”；ABC（2）60B∠=︒，∴∠+∠=︒，A C120设最小的角为x，①当603xx=︒，︒=时，20②当3120x=︒，+=︒时，30x x答：ABC∆中最小内角为20︒或30︒．34．（2020秋•汤阴县期中）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，在ABC⊥于D．∠，AD BC∠>∠，AE平分BAC∆中，C B猜想B∠、C∠的数量关系，说明理由．∠、EAD（1）小亮阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入B∠、C∠∠的值求EAD 值，得到下面几组对应值：/B ∠度 10 30 30 20 20 /C ∠度 70 70 60 6080 /EAD ∠度302015a30上表中a = 20 ．（2）猜想B ∠、C ∠、EAD ∠的数量关系，说明理由．（3）小亮突发奇想，交换B 、C 两个字母位置，如图2，过EA 的延长线是一点F 作FD BC ⊥交CB 的延长线于D ，当80B ∠=︒、20C ∠=︒时，F ∠度数为 ︒． 【解答】解：（1）20a =， 故答案为20．（2）猜想：1()2EAD C B ∠=∠-∠．理由：AD BC ⊥，90DAC C ∴∠=︒-∠，AE 平分BAC ∠，180BAC B C ∠=︒-∠-∠，11190222EAC BAC B C ∴∠=∠=︒-∠-∠，11190(90)()222EAD EAC DAC B C C C B ∴∠=∠-∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠．（3）如图2中，过点A 作AH CD ⊥于H ．AH CD ⊥，FD CD ⊥， //AH DF ∴，11()(8020)3022F EAH B C ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为30．35．（2020春•商水县期末）如图，AD 为ABC ∆的高，AE ，BF 为ABC ∆的角平分线，若32CBF ∠=︒，72AFB ∠=︒．（1）BAD ∠= 26 ︒；（2）求DAE ∠的度数；（3）若点G 为线段BC 上任意一点，当GFC ∆为直角三角形时，求BFG ∠的度数．【解答】解：（1）BF 平分ABC ∠，264ABC CBF ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒， 906426BAD ∴∠=︒-︒=︒，故答案为26．（2）AFB FBC C ∠=∠+∠，723240C ∴∠=︒-︒=︒，180180644076BAC ABC C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， AE 平分BAC ∠，1382BAE BAC ∴∠=∠=︒， 382612DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）解：分两种情况：①当90FGC ∠=︒时，则90BGF ∠=︒，90903258BFG FBC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒；②当90GFC ∠=︒时，则904050FGC ∠=︒-︒=︒，503218BFG FGC EBF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；综上所述：BFG ∠的度数为58︒或18︒．36．（2020春•河南期末）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上的一点，50B ∠=︒，30BAD ∠=︒，将ABD ∆沿AD 折叠得到AED ∆，AE 与BC 交于点F ．（1）求AFC ∠的度数；（2）求EDF ∠的度数．【解答】解：（1）ABD ∆沿AD 折叠得到AED ∆， BAD DAF ∴∠=∠，50B ∠=︒，30BAD ∠=︒，110AFC B BAD DAF ∴∠=∠+∠+∠=︒；（2）50B ∠=︒，30BAD ∠=︒，1805030100ADB ∴∠=︒-︒-︒=︒，503080ADC ∠=︒+︒=︒，ABD ∆沿AD 折叠得到AED ∆，100ADE ADB ∴∠=∠=︒，EDF ADE ADC ∴∠=∠-∠1008020=︒-︒=︒．37．（2020春•宜阳县期末）已知BD 、CE 是ABC ∆的两条高，直线BD 、CE 相交于点H ．（1）如图，①在图中找出与DBA ∠相等的角，并说明理由； ②若100BAC ∠=︒，求DHE ∠的度数；（2）若ABC ∆中，50A ∠=︒，直接写出DHE ∠的度数是 50︒或130︒ ．【解答】解：（1）①DBA ECA ∠=∠证明：BD 、CE 是ABC ∆的两条高， 90BDA AEC ∴∠=∠=︒，90DBA BAD ECA EAC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 又BAD EAC ∠=∠，DBA ECA ∴∠=∠；②BD 、CE 是ABC ∆的两条高，90HDA HEA ∴∠=∠=︒，在四边形ADHE 中，360DAE HDA DHE HEA ∠+∠+∠+∠=︒， 又90HDA HEA ∠=∠=︒，100DAE BAC ∠=∠=︒， 360909010080DHE ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒；（2）当50A ∠=︒时，①ABC ∆是锐角三角形时，18050130DHE ∠=︒-︒=︒； ②ABC ∆是钝角三角形时，50DHE A ∠=∠=︒； 故答案为：50︒或130︒．38．（2020春•东阿县期末）如图，若//AB CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F ，EP EF ⊥，EFD ∠的平分线与EP 相交于点P ，且40BEP ∠=︒，求P ∠的度数．【解答】解：EP EF ⊥，90PEM ∴∠=︒，90PEF ∠=︒．40BEP ∠=︒，904050BEM PEM BEP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒． //AB CD ，50BEM EFD ∴∠=∠=︒． FP 平分EFD ∠， 1252EFP EFD ∴∠=∠=︒，902565P ∴∠=︒-︒=︒．。
北师大版八年级上册数学 7.5三角形内角和定理 同步测试(含解析)
7.5三角形内角和定理同步测试一．选择题1．下列条件中，能确定三角形是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠B＝∠CC．∠A＝∠B＝30°D．2．如图，△ABC的两条内角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝62°，则∠BFC的度数是（）A．59°B．118°C．121°D．124°3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC 的度数为（）A．80°B．82°C．84°D．86°5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D ＝30°，则∠A等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝24°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，其角平分线相交于D，则∠BDC＝（）A．141°B．142°C．143°D．145°7．已知直线a∥b，Rt△DCB按如图所示的方式放置，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠B＝20°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．70°C．60°D．45°8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（）A．40°B．60°C．80°D．140°9．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是两内角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数之和为（）A．115°B．120°C．125°D．130°10．如图，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠F＝（∠BAC﹣∠C）；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝2∠ABE+∠C；④∠DBE＝∠F．其中正确的个数是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④二．填空题11．在△ABC中，若∠A﹣∠C＝∠B，则这个三角形最大内角的度数是．12．如图所示的折线图形中，α+β＝．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝30°，则∠DAE的度数为．14．已知，AD是△ABC的角平分线，MN⊥AD于点D，分别交AB、射线AC于点M、N，∠MDB＝10°，则∠ACB﹣∠ABC＝°．15．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．（1）若∠A＝52°，则∠1+∠2＝°；（2）如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，∠1，∠2与∠A的关系是．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B＝70°，∠BAC＝46°．求∠CAD的度数．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P，∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．18．小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，说明理由．（1）小亮阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试带入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度302015a30上表中a＝．（2）猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，说明理由．（3）小亮突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD ⊥BC交CB的延长线于D，当∠B＝80°、∠C＝20°时，∠F度数为°．参考答案一．选择题1．解：A、由∠A＝∠B＝∠C，可知△ABC是等边三角形，本选项不符合题意．B、由∠A+∠B＝∠C，推出∠C＝90°，本选项符合题意．C、由∠A＝∠B＝30°，推出∠C＝120°，△ABC是钝角三角形，本选项不符合题意．D、由∠A＝∠B＝∠C，推出∠C＝（）°＞90°，本选项不符合题意．故选：B．2．解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×118°＝59°，在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣59°＝121°．故选：C．3．解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选：D．4．解：设∠1＝∠2＝x，∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，∴∠DAC＝180°﹣4x，∵∠BAC＝108°，∴x+180°﹣4x＝108°，∴x＝24°，∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．故选：C．5．解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示.∵∠DCE＝∠DBC+∠D，CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE＝∠DBC+∠D．∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBC．又∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠DCF+∠D+∠CFD＝180°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABF+∠A＝∠DCF+∠D，即∠ABF+∠A＝∠DBC+∠D+∠D，∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．故选：B．6．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×24°＝12°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣25°﹣12°＝143°．故选：C．7．解：如图，延长BD交直线b于点M．∵∠DCB＝90°，∠B＝20°，∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°，∵a∥b，∴∠1＝∠BMC，∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝70°，故选：B．8．解：连接AA′．∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠A＝40°∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，∠BCA＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，故选：C．9．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAE+∠BOA＝5°+120°＝125°．故选：C．10．解：∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∴∠DBE＝∠F，故④正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠FGD＝∠CBE+∠C＝∠ABE+∠C，故③错误，∵∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∵∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故①正确；故选：A．二．填空题11．解：∵∠A﹣∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，即这个三角形最大内角的度数是90°，故答案为：90°．12．解：如图，连接BC．在△EBC中，∠1+∠2＝180°﹣∠E＝140°，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，∴70°+α+∠1+∠2+β+65°＝360°，∴α+β＝360°﹣70°﹣65°﹣140°＝85°，故答案为85°．13．解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝×100°＝50°，∵∠C＝30°，∴∠AED＝∠C+∠EAC＝30°+50°＝80°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°，故答案为：10°．14．解：∵AD是△ABC的角平分线，MN⊥AD于点D，∴AM＝AN．∴∠AMN＝∠AND．∵∠MDB＝∠CDN＝10°，∵∠ACB＝∠AND+∠CDN，∠ABC＝∠AMN﹣∠MDB，∴∠ACB﹣∠ABC＝∠AND+∠CDN﹣∠AMN+∠MDB＝∠CDN+∠MDB＝20°．故答案为：20．15．解：（1）∵∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝128°﹣90°＝38°，即∠1+∠2＝38°．故答案为：38；（2）∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠MPN＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°，即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．即∠2﹣∠1＝90°﹣∠A；故答案为：∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．三．解答题16．解：∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝46°﹣20°＝26°．17．解：∵∠BDC＝58°，∠C＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠ABC＝2∠ABD＝64°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝26°，∵P A平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAB＝13°．18．解：（1）a＝20，故答案为20．（2）猜想：∠EAD＝（∠C﹣∠B）．理由：∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）．（3）如图2中，过点A作AH⊥CD于H．∵AH⊥CD，FD⊥CD，∴AH∥DF，∴∠F＝∠EAH＝（∠B﹣∠C）＝（80°﹣20°）＝30°．故答案为30．。
北师大版八年级(上)数学《三角形内角和定理》同步练习1(含答案)
7.5 三角形内角和定理（1）一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝75°，∠B －∠C ＝15°，则∠C 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．10°2．在△ABC 中，如果∠A=∠B=4∠C ，那么∠C 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3．下列说法错误的是（ ）A ．一个三角形中至少有一个角不大于60°B ．锐角三角形中任意两个角的和小于直角C ．一个三角形中至多有一个角是钝角D ．一个三角形中至多有一个角是直角二、填空题4．在△ABC 中，∠A ＝36°，∠C 是直角，则∠B ＝________.5．在△ABC 中（1）∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶1∶2，则此三角形是______ 三角形；（2）∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5，则此三角形是______ 三角形；（3）∠A ＝2∠B ＝3∠C ，则此三角形是______ 三角形；（4）∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则此三角形是______ 三角形；（5）∠A －∠B ＝∠C ，则此三角形是______三角形； 6．如图，在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC ＝_______.7．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________度．三、解答题8．已知∠ABC ，∠ACB 的平分线交于I.（1）根据下列条件分别求出∠BIC 的度数：①∠ABC ＝70°，∠ACB ＝50°；②∠ACB ＋∠ABC ＝120°；A B C I第6题第7题③∠A＝90°；④∠A＝n°.（2）你能发现∠BIC与∠A的关系吗?7.5 三角形内角和定理（2）一、选择题1．下列叙述中正确的是（）A．三角形的外角等于两个内角的和B．三角形的外角大于内角C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D．三角形每一个内角都只有一个外角2．如果三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数比为（）A．4∶3∶2 B．3∶2∶4C．5∶3∶1 D．3∶1∶53．三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非锐角三角形4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A．55°B．70°C．55°或70°D．以上答案都不对二、填空题5．如图，在四边形ABCD中，∠B=70°，∠C=50°，在顶点D的一个外角为80°，则顶点A的一个外角α=__________第5题第6题第7题第8题6．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________度．7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______．8．一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ _°三、解答题9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°.7.5 三角形内角和定理（1）1．B 2．B 3．B4．545．在△ABC 中（1）等腰直角；（2）直角；（3）钝角；（4）直角；（5）直角；6．18°7．258．（1）①∠BIC=120°；②∠BIC=120°；③∠BIC=135°；④∠BIC=90°+21n°. （2）∠BIC=90°+21∠A 7.5 三角形内角和定理（2）1．C 2．C 3．D 4．C5．40°6．2807．140°8．659．证明：∵∠ADB 是△ADC 的外角∴∠ADB ＝∠3+∠C∵∠1+∠2+∠ADB=180°∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°。
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7-5三角形的内角和》同步达标训练(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和》同步达标训练（附答案）1．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定有一个内角为45°D．一定有一个内角为60°2．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（）A．10°B．12°C．15°D．18°3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC 于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，在三角形纸片ABC中，∠B＝32°，点D在BC上，沿AD将该纸片折叠，使点C落在AB边上的点E处，若∠EAC＝76°，则∠AED＝（）A．64°B．72°C．76°D．78°5．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠26．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°7．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数是°．8．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是．9．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．10．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）图1中的∠ABC的度数为．（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB 的三等分线，则∠BO2C＝°．13．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．（1）DE与AC平行吗？请说明理由；（2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°，求∠BAD和∠AEC的度数．15．图1所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．观察“规形图”．（1）如图1，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：如图2，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．16．在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）如图，点D在线段BC上．①若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE＝；②若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝．（用含α、β的代数式表示）（2）如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC＝α，∠C＝β，写出∠DAE与α、β满足的数量关系式，并说明理由．17．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：∠ABC＝∠EDF；（2）若∠ABC＝45°，∠DFE＝50°，求∠BAC的度数．18．在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，将∠α的顶点P放在边BC上，使得∠α的两边分别与边AB和AC交于点E、F（点E不与点B重合，点F不与点C重合）．设∠BEP＝∠β，∠CFP＝∠θ．（1）若∠α＝30°，试回答下列问题：①如图1，当点F与点A重合，∠β＝70°时，∠θ＝°；②如图2，当点E，F均不与点A重合，求∠β+∠θ的度数；（2）试探究∠α与∠β、∠θ三者之间满足怎样的等量关系？并写出你的理由．19．已知△ABC．（1）如图①，若D是△ABC内任一点，求证：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D是△ABC外一点，位置如图②，则∠D，∠A，∠ABD，∠ACD之间有怎样的关系？（3）若D是△ABC外一点，位置如图③，猜想∠D，∠A，∠ABD，∠ACD之间的关系，并证明你的结论．20．已知：AB∥CD，∠AEB＝∠BFC．（1）图1，求证：∠AEB＝∠ABE+∠DCF；（2）图2，当三角形CEF旋转到图2位置时，请直接写出∠AEB、∠ABE、∠DCF的数量关系；（3）图3，连接BC，∠BCF＝2∠ABE，点P在射线AB上，且∠BCD＝2∠BCP，射线CP交EF于点M，当∠F＝50°，∠FCD＝30°时，补全图后，求∠EMC的度数．21．已知AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．请你利用所学知识完成下列问题：（1）如图①，若∠D＝40°，∠B＝30°，求∠E的大小；（2）如图②，求证：∠E＝（∠B﹣∠D）；（3）如图③，请直接写出∠E与∠D、∠B之间等量关系．22．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．（1）如图1，点D在△ABC内：①小明同学不断改变∠A的度数，探究的结果如下：若∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝60°；若∠A＝50°，则∠ABD+∠ACD＝40°；②若∠A＝70°，则∠ABD+∠ACD＝°．③请判断∠ABD、∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，使点D在△ABC外，且在AC边的右侧，请直接写出∠ABD、∠ACD与∠A之间的数量关系．参考答案1．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°又∵∠B+∠C＝3∠A，∴4∠A＝∠180°，∴∠A＝45°，∴△ABC一定有一个内角是45°，故选：C．2．解：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠CAB＝×76°＝38°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣64°＝26°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝38°﹣26°＝12°，故选：B．3．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAB＝90°，故①正确，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∵∠CAD＝2∠CAE，∴∠CAD＝2∠AEF，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，无法判定EA＝EC，故②错误．故选：B．4．解：根据折叠可知：∠EAD＝∠CAD＝EAC＝38°，∵∠B＝32°，∴∠ADC＝∠EAD+∠B＝70°，∴∠ADE＝∠ADC＝70°，∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝180°﹣38°﹣70°＝72°．故选：B．5．解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′＝∠A，又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．6．解：连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，故选：A．7．解：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+30°＝80°，故答案为80．8．解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝∠CGE，∴∠CGE＝2∠DFB，∴∠DFB＝∠CGE，故正确．故答案为：①②③9．解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；10．解：（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∴∠ABF＝∠EAC﹣∠F＝45°﹣30°＝15°，∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC﹣∠ABF＝90°﹣15°＝75°；（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°．故答案为：75°，75°．11．解：如图．∵∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°．故答案为：75．12．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线，∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝80°，∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣80°＝100°．故答案是：100．13．解：（1）DE∥AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠EAD＝∠EDA，∴∠CAD＝∠EDA，∴DE∥AC；（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠C＝180°﹣105°﹣35°＝40°，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠C＝40°，∵EF⊥BD，∴∠EFD＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣40°＝50°．14．解：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝90°﹣∠B＝40°，∵AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝40°；在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝40°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝25°，在△DAE中，∵∠ADE＝90°，∠DAE＝25°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝65°，∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣65°＝115°．15．解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由如下：连接AD并延长到E点∵∠BDE＝∠BAE+∠B∠EDC＝∠EAC+∠C∴∠BDE+∠EDC＝∠BAE+∠EAC+∠B+∠C∵∠BDC＝∠BDE+∠EDC∠BAC＝∠BAE+∠EAC∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）由（1）可知，∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝80°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠CDB＝∠ADB，∠CEB＝∠AEB，∴∠CDB+∠CEB＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，又∵∠DBE＝∠DCE+∠CDB+∠CEB，∴∠DCE＝∠DBE﹣（∠CDB+∠CEB）＝130°﹣40°＝90°．16．解：（1）①∵∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴，∴∠AED＝∠C+∠EAC＝70°，∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝20°．②∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝90°﹣α﹣β，∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣（∠C+∠EAC）＝＝．故答案为：①20°，②；（2）∠DAE＝．理由：∵∠DAB+∠D＝∠ABC，∴∠DAB＝∠ABC﹣∠D＝α﹣90°，∵AE平分∠BAC，∴＝＝＝，∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，∴＝．17．（1）证明：∵∠EDF是△ABD的一个外角，∴∠EDF＝∠1+∠ABD，∵∠1＝∠2，∴∠EDF＝∠2+∠ABD＝∠ABC，即∠ABC＝∠EDF；（2）解：∵∠DEF是△ACE的一个外角，∴∠DEF＝∠3+∠CAE，∵∠1＝∠3，∴∠DEF＝∠1+∠CAE＝∠BAC，由（1）得∠EDF＝∠ABC＝45°，∵∠DFE＝50°，∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠DFE＝85°，即∠BAC＝85°．18．解：（1）①∵∠BEP＝70°，∠α＝30°，∴∠EAP＝70°﹣30°＝40°，∵∠BAC＝60°，∴θ＝∠BAC﹣∠EAP＝60°﹣40°＝20°；故答案为：20；②如图2，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，△BEP中，∠B+∠BEP+∠BPE＝180°①，△PFC中，∠C+∠CFP+∠CPF＝180°②，∵∠α＝30°，∴∠CPF+∠BPE＝150°，①+②得：∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+BEP+∠CFP＝360°，∵∠BEP＝β，∠CFP＝θ，∴β+θ＝360°﹣150°﹣120°＝90°；（2）β+θ＝60°+∠α，理由是：△BEP中，∠B+∠BEP+∠BPE＝180°①，△PFC中，∠C+∠CFP+∠CPF＝180°②，①+②得：∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+BEP+∠CFP＝360°，120°+180°﹣∠α+β+θ＝360°∴β+θ＝60°+∠α．19．解：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC＝∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠A+∠1．∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．即∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+∠DCB，即∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝180°+180°＝360°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED＝∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠D+∠2．∴∠A+∠1＝∠D+∠2即∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD．20．（1）作MF平行CD，∵AB∥CD，∴FG∥AB，∴∠MBF＝∠BFG，∠FCD＝∠GFC，∴∠BFC＝∠GFC+∠BFG＝∠FCD+∠MBF＝∠FCD+∠ABE，∴∠AEB＝∠BFC，∴∠AEB＝∠FCD+∠ABE；（2）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CGE，∵∠F+∠DCF＝∠CGE，∴∠F+∠DCF＝∠ABE，∵∠F＝∠AEB，∴∠AEB+∠DCF＝∠ABE；（3）由（1）可知，∠PBF+∠FCD＝∠BFC，∴∠PBF＝50°﹣30°＝20°，∴∠ABE＝20°，∵∠BCF＝2∠ABE，∴∠BCF＝40°，∵∠AEB＝∠BFC＝50°，∴∠ECF＝80°，∴∠ECB＝40°，∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD，∴∠BCD＝40°+30°＝70°，∴∠BCD＝2∠BCP，∴，①当P在AB之间时，如图2，∵∠ECM＝∠ECB﹣∠PCB＝5°∴∠EMC＝180°﹣50°﹣5°＝125°②当P在AB延长线上时，如图3，∵∠PCF＝∠PCD﹣∠FCD＝5°，∴∠EMC＝∠F+∠PCF＝50°+5°＝55°，综上所述∠EMC＝125°或55°．21．解：（1）∵AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，∴∠DCE＝∠BCE＝∠DCB，∠BAE＝∠DAE＝∠BAD．∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAB，∠B+∠BAE＝∠E+∠ECB，∴∠D+∠DCE+∠B+∠BAE＝∠E+∠DAE+∠E+∠ECB．即∠D+∠B＝2∠E．∴∠E＝（∠D+∠B）＝35°．（2）证明：延长EC交AD于点F．∵∠DCE＝∠EFD+∠D，∠EFD＝∠DAE+∠E，∴∠DCE＝∠D+∠DAE+∠E．即∠DCB＝∠DAB+∠D+∠E①．∵∠ECB+∠E＝∠B+∠BAE，即∠DCB+∠E＝∠DAB+∠B②．把①代入②，得∠DAB+∠D+∠E+∠E＝∠DAB+∠B，∴2∠E＝∠B﹣∠D．即∠E＝（∠B﹣∠D）．（3）∠E与∠D、∠B之间等量关系：∠E＝（∠D﹣∠B）．延长EC交AB于点F．∵∠BCE＝∠EFB+∠B，∠EFB＝∠BAE+∠E，∴∠BCE＝∠B+∠BAE+∠E．即∠DCB＝∠DAB+∠B+∠E①．∵∠ECD+∠E＝∠D+∠DAE，即∠DCB+∠E＝∠DAB+∠D②．把①代入②，得∠DAB+∠B+∠E+∠E＝∠DAB+∠D，∴2∠E＝∠D﹣∠B．即∠E＝（∠D﹣∠B）．22．解：（1）②在△ABC中，∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，在△DBC中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝110°﹣90°＝20°；故答案为：20．③∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°＝90°﹣∠A．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．（2）∠ABD﹣∠ACD＝90°﹣∠A，△ABH中，∠A+∠ABD+∠AHB＝180°，△CDH中，∠ACD+∠DHC+∠D＝180°，∵∠AHB＝∠DHC，∠D＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°+∠ACD，即∠ABD﹣∠ACD＝90°﹣∠A．。