九年级数学上册第二十一章21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法教案

21.2.2 公式法
※教学目标※ 【知识与技能】
1.理解并掌握求根公式的推导过程．
2.能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导． ※教学过程※ 一、复习导入
1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x =，()2
27x -=：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）
2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法，把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）
（学生活动）用配方法解方程：2237x x +=．
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为()2
x n p +=的形式，如果0p ³，就可以直接开平方求出方程的解，如果
0p <，则一元二次方程无解．
二、探索新知
能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程()200ax bx c a ++=?的两根？移项，得2ax bx c +=-．
二次项系数化为1，得2b c
x x a a
+=-．
配方，得2
2
2
22b
b c b
x x a a a a
骣骣琪琪++=-+琪
琪
桫
桫，即2
22
424b
b a
c x a
a 骣-琪+=
琪桫．
此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？
师生共同完善认知：
（1）当b 2
-4ac ＞0时，两边可直接开平方，得2b x a
+=?，∴1x =，
2x ；
（2）当b 2-4ac =0时，有2
02b x a 骣琪+=琪桫.∴122b x x a
==-
（注意：防止出现2b
x a =-的错误认知；
（3）当b 2-4ac<0时，由2
02b x a
骣琪+<琪桫可知，此方程无解.
归纳总结
一般地，式子24b ac -叫做一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=24b ac -.
当Δ>0时，方程()2
00ax bx c a ++=?有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程()2
00ax bx c a ++=?有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程()2
00ax bx c a ++=?无实数根.
当Δ≥0时，方程()2
00ax bx c a ++=?的实数根可以写为x 这
个式子叫做一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式. 三、掌握新知
例1 不解方程判断下列各方程的根的情况：（1）2210x x --=；（2）21
02
x -+=；
（3）24320x x -+=.
分析：找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用2
4b ac -与0的大小关系可
得出结论.注意：在确定你给方程中a ，b ，c 的值时，一定得先把方程化为一般形式后才能确定，否则会出现失误.
解：（1）∵2a =，1b =-，1c =-，∴()()2
24142190b ac D=-=--创-=>，∴原方程
有两个不相等的实数根；
（2）∵1a =，b =-，1
2
c =
，∴(2
21
441
02
b a
c D=-=-创=，∴原方程有
两个相等的实数根；
（3）∵4a =，3b =-，2c =，∴()2
243442230b ac D=-=--创=-<，∴原方程无实数根.
例2 用公式法解下列方程：（1）2470x x --=；（2）2210x -+=；（3）2531x x x -=+；（4）2178x x +=.
分析：将方程化为一般形式后，找出a ，b ，c 的值并计算2
4b ac -后，可利用公式求出
方程的解.
解：（1）1a =，4b =-，7c =-.()()2
244417440b ac D=-=--创-=>.方程有两个不
相等的实数根()4221
x --?==?´即12x =22x =-.
（2）2a =，b =-1c =.(2
244210b ac D=-=--创=.方程有两个相等的
实数根122b x x a ==-=- （3）方程化为25410x x --=.5a =，4b =-，1c =-. ()()2
24445
1360b ac D=-=--创-=>.
方程有两个不相等的实数根()4462510x --??=
==
´，即11x =，21
5
x =-. （4）方程化为28170x x -+=.1a =，8b =-，17c =. ()2
24811740b ac D=-=--?-<.方程无实数根.
教师接着引导学生阅读教材第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情
况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？
雕像下部高度x （m ）满足方程2240x x +-=.用公式法解这个方程，得
1x =-?
11x =-，21x =--
如果结果保留小
数点后两位，那么1 1.24x »，2 3.24x ?.但是只有1 1.24x »符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计约为1.24m.
四、巩固练习
1.关于x 的一元二次方程220x x+m=-有两个实数根，则m 的取值范围是 .
2.20++=的根是 .
3.关于x 的一元二次方程2210kx x =--有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）
A.1k >-
B.1k >-且0k ¹
C. 1k <
D.1k <且0k ¹
4.关于x 的一元二次方程()221230m x x m m -+++-=有一个根为0，试求m 的值．
5.解下列方程：（1）260x x +-=；（2）21
04
x --
=；（3）23620x x --=；（4）2460x x -=；（5）248411x x x ++=+；（6）()2458x x x -=-. 6.求第21.1节中问题1的答案.
答案：1.1m £ 2. 12x x == 3.B
4.把0x =代入方程，得2230m m +-=，解得11m =，23m =-.又∵10m -≠，即1m ≠，故m 的值为-3.
5.（1）12x =，23x =- （2）1x =
2x =（3）1x =，2x =
（4）10x =，23
2
x = （5）1x =2x =（6）1x =2x =6.铁皮各角应切去25cm 2
大的正方形. 五、归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？ ※布置作业※
从教材习题21.2中选取． ※教学反思※
1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并如何利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.。

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21.2.2解一元二次方程公式法【人教九上数学精彩课堂教案】

21.2解一元二次方程21.2.2公式法实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣置疑探究在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(1)x2+4x+2=0;(2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0;(4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每个方程的其中一个系数,得到四个新的方程:(1)3x2+4x+2=0;(2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0;(4)3x2+x+7=0.思考1:新方程与原方程的解答过程相比,有什么变化?由学生的观察讨论得到:用配方法解不同的一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程(程序化的操作),不同之处是方程的根的情况及其方程的根.思考2:既然过程是相同的,为什么根会不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?[教学提示] 1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望;3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系,从而引导学生去探究.在学生利用配方法解一元二次方程时,为了节约时间,可以让学生分组解答,比如:将学生按列随机分成若干个组分别解答,再分别展示答案,充分让学生感受到解答过程的共性.复习探究(1)在上一节课中,我们学习了用配方法解一元二次方程,那么请回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤是什么?①移项:方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项.(注意移项要变号)②化1:把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数,注意不要漏项)③配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(注意分数的平方要加括号)④变形:方程左边分解因式,右边合并同类项,使方程转化为(x+m)2=n的形式.(当n≥0时,方程有实根;当n<0时,方程无实根)⑤开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.(注意别漏了正负号,带根号的根式应化成最简二次根式)⑥求解:解一元二次方程.⑦定解:写出原方程的解.(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+ba x=-ca.配方,得x2+ba x+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.因为a≠0,所以4a2>0.当b2-4ac>0时,得x+b2a =±√b2-4ac2a,所以x=-b2a±√b2-4ac2a,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a.当b2-4ac=0时,得x1=x2=-b2a.当b2-4ac<0时,方程无实数根.[教学提示] 以提问和练习的方式让学生回顾旧知,一方面是为了培养学生的语言表达能力,另一方面是为了加深学生对配方法的理解,为推导公式法做准备.全班同学在练习本上运算,请两名小组代表去黑板上练习,老师巡回指导,适时点拨,并注意对学习有困难的学生进行辅导,对表现比较突出的学生及时进行鼓励.教材母题——第11页例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.【模型建立】用公式法解一元二次方程,首先将方程化成一般形式,确定各项的系数(注意符号),当b2-4ac≥0时,将各系数代入求根公式求解.注意只有在b2-4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解.【变式变形】1.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时,b2-4ac的值为(C)A.52B.32C.20D.-122.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是 (D)A .x 1,2=12±√122-3×42B .x 1,2=-12±√122-3×42C .x 1,2=-12±√-(-12)2-4×3×42×3D .x 1,2=-(-12)±√(-12)2-4×3×42×33.一元二次方程x 2+2√2x-6=0的根是 (C)A .x 1=x 2=√2B .x 1=0,x 2=-2√2C .x 1=√2,x 2=-3√2D .x 1=-√2,x 2=3√24.已知a 是一元二次方程x 2-3x-5=0的较小的根,则下面对a 的估计正确的是 (A)A .-2<a<-1B .2<a<3C .-3<a<-4D .4<a<5 5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是 (D)A .无实数根B .有一个正根,一个负根C .有两个正根,且都小于3D .有两个正根,且有一根大于36.方程x 2-2x-2=0的解是 x 1=1+√3,x 2=1-√3 .7.小明用公式法解方程2x 2+7x=4的过程如下: ∵a=2,b=7,c=4,∴b 2-4ac=72-4×2×4=17. ∴x=7±√174. ∴x 1=7+√174,x 2=7-√174.你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请给出正确的解答过程. 解:小明的解答过程不正确. 正确的解答过程如下: 移项,得2x 2+7x-4=0,∵a=2,b=7,c=-4,∴b 2-4ac=72-4×2×(-4)=81. ∴x=-7±√812×2=-7±94.∴x 1=-4,x 2=12.教材母题——第17页习题21.2第13题无论p 取何值,方程(x-3)(x-2)-p 2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由. 【模型建立】“一元二次方程的根的个数”与“Δ=b2-4ac与0的大小关系”有关,所以牢记如下结论是解决此问题的关键.①当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a;②当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a;③当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.【变式变形】1.不解方程,判断关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.[答案:有两个实数根]2.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是 (D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不等于1的实数3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是p2-4q=0.4.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a>-1且a≠0.5.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.[答案:(1)略(2)1或2]【评价角度1】利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况方法指引:b2-4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况:若b2-4ac>0,则方程有两个不等的实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若b2-4ac<0,则方程无实数根.例1一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是(D)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根例2关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定例3已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0.试说明:无论m取何实数,此方程总有实数根.解:∵在关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0中,Δ=4(2-m)2-4(3-6m)=4(m+1)2≥0,∴无论m取何实数,此方程总有实数根.【评价角度2】利用公式法解一元二次方程方法指引:用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化,规范性要求较高,在代入公式求值前必须通过b2-4ac的值来判断方程解的情况,只有方程有解才能代入公式求解.在求b2-4ac的值时要先将方程转化为一般形式,再确定a,b,c的值.例解方程:x2+4x-1=0.[答案:x1=-2+√5,x2=-2-√5]【评价角度3】根据方程根的情况求解字母系数的值或取值范围方法指引:利用方程根的情况与b2-4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式,从而确定字母系数的值或取值范围.在实际操作过程中,要关注二次项的系数不能等于0这一条件的应用.例1若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B)A.m>94B.m<94C.m=94D.m<-94例2若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1例3若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且k≠1.【评价角度4】一元二次方程的根的情况的实际应用方法指引:在解决实际问题时,有时可以通过列出一元二次方程,利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.例小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.解:小峰的说法是对的.理由:假设这两个正方形的面积之和可以等于48 cm2.设此时其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长是(10-x)cm.由题意可得x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.课题21.2.2公式法授课人教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.4.经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.5.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=-b±√b2-4ac2a,并理解公式成立的条件b2-4ac≥0.6.通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.教学重点一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点一元二次方程求根公式的推导.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题:问题1:配方法解一元二次方程的步骤有哪些?总结用配方法解一元二次方程的一般步学生回答,教师点评,并做好指导工作.(1)移项.(2)二次项系数化为1.(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).(4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式.(5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,那么一元二次方程无解.(6)定解.问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解?当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可.骤,为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数解,同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗?下面让我们一起探究今天的新知吧!通过情景,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习.活动二: 探究与应用问题1:利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生自主解方程,确定一名学生进行板演.教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去.解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2.变形,得x+b2a2=b2-4ac4a2.当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x+b2a=±√b2-4ac2a.1.学生回顾配方法的解题思路,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式.所以方程的解为 x 1=-b+√b 2-4ac2a,x 2=-b -√b 2-4ac2a.【应用举例】例1 用公式法解下列方程:题目的设置存在梯度,给予学生层次递进(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导.变式练习:用公式法解下列方程:(1)x2-3x-1=0;(2)2x2-3x+1=0;(3)x2+2√2x-6=0.教师做好总结:用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值.②求出b2-4ac的值.③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数解.④写出方程的解.用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简.例2不解方程,判别下列一元二次方程根的情况.(1)x2+x-6=0;(2)2x2-x+5=0.的学习过程.活动二: 探究与应用变式练习:不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.教师做好总结:利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.【拓展提升】例3已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,当a为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根?学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程有两个不相等的实数根?教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解.握.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是(B)A.方程总有两个实数根B.当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时,方程无实数根2.方程x2-3x=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根,那么实数a的值为-1或2.4.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k<1.5.解下列方程:(1)2x2-3x-5=0;(2)23x2+13x=2.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.活动三: 课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点.②[讲授效果反思]重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用.③[师生互动反思]从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。

数学人教版九年级上册《21.2.2 公式法》教学设计.2.2 公式法》教学设计

21.2.2 公式法版本：人民教育出版社执教：甘肃省陇南市武都区两水中学唐小平教学目标知识与技能1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程.2. 会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.过程与方法1. 经历探索求根公式的过程，激发学生的探究欲望和探究热情，培养学生的推理能力.2. 培养学生的运算能力，并让学生养成良好的运算习惯.情感态度与价值观1. 通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力.2. 培养学生积极探索、勇于创新的精神.3. 让学生学会和他人合作，分享合作学习的乐趣、体会发现知识后的成就感，建立学好数学的自信心.重点难点重点求根公式的推导和公式法的运用.难点一元二次方程求根公式的推导.教学方法启发式、探究式、讲练结合式.教具学具教具：彩笔、多媒体教学平台.学具：笔、学生学案.教材分析本节课选自2013年教育部审定通过的义务教育教科书《数学》编著开发中心中学数学课程教材研究材研究所人民教育出版社课程教的九年级上册“第二十一章一元二次方程”第二节“21.2 解一元二次方程”第二课时“21.2.2 公式法”的内容.一元二次方程的解法在初中数学教学中占有重要的位置，也是每年中考的热点考题之一，研究它很有现实意义和探索价值，讨论它是增进学生对数学知识理解并应用的很好素材.学情分析本节课的内容继 “21.2.1 配方法”后，又在“21.2.3 因式分解法”之前，根据维果斯基的“最近发展区理论”，学生已经掌握了用配方法解具体的数字系数的一元二次方程，对于一般形式的一元二次方程，02=++c bx ax 学生可以根据用配方法解具体数字系数的一元二次方程的经验可能化成22244)2(aac b a b x -=+的形式（即学生可能的发展水平），至于要用到分类讨论的数学思想，这要通过教师引导、启发学生才能获得这方面的能力.所以本节课估计学生在学习过程中感到困难之处是：讨论当，042>-ac b ，042=-ac b042<-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根的情况.教学环节一、创设情境导入新课1.用配方法解方程.08922=+-x x2.能否也可以用配方法解一般形式的一元二次方程02=++c bx ax 呢？（设计意图：通过复习引入，让学生先回忆配方法的解题思路，并通过练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫.）二、探究新知进行新课根据用配方法解具体数字系数的一元二次方程的经验解一般形式的一元二次方程 .02=++c bx ax二次项系数化为1，得.02=++ac x a b x 移项，得.2ac x a b x -=+ 配方，得,)2()2(222a b a c a b x a b x +-=++即 .44)2(222aac b a b x -=+ ① 因为，0≠a 所以.042>a 式子ac b 42-的值有以下三种情况：(1)当042>-ac b 时，,04422>-a ac b 由①得 .2422aac b a b x -±=+ 方程有两个不相等的实数根.24,242221aac b b x a ac b b x ---=-+-=(2) 当042=-ac b 时，,04422=-a ac b 由①可知方程有两个相等的实数根 .221ab x x -== (3)当042<-ac b 时，,04422<-a ac b 由①可知，0)2(2<+a b x 而x 取任何实数都不能使，0)2(2<+ab x 因此方程无实数根. 一般地,对于一元二次方程02=++c bx ax ，当042≥-ac b 时，它的实数根是aac b b x 242-±-= 这个式子叫做一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解一元二次方程时需要注意两点:①必须是一般形式的一元二次方程；02=++c bx ax ② .042≥-ac b（设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣.培养学生爱动脑思考的好习惯.）三、运用新知巩固新课例1 用公式法解方程.12452=-x x （2016·中考）例2 用公式法解方程.8110442x x x -=++例 3 用公式法解方程.01252=+-x x（设计意图：加深对一元二次方程02=++c bx ax 求根公式的理解.）思考：以上三个例题中方程的根有什么规律？一元二次方程02=++c bx ax 的根有三种情况：当042>-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根.一般地，式子ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母”“∆表示它，即.42ac b -=∆四、回顾内容小结新课师：通过这节课的学习，同学们都有哪些收获？生1：……生2：………………………………………………………………………………………………………………师：……用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，并写出 c b a ，，的值；②求出ac b 42-的值（特别注意:当042<-ac b 时无实数解）；③代入求根公式；a ac b b x 242-±-= ④写出方程的解.21x x ，（设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系.）五、布置作业结束新课1. 预习教材第12----14页；2. 课外作业教材第17页习题21.2第4，5题.3. m 取什么值时，方程04)12(22=-+++m x m x 有两个实数根.4. 关于x 的一元二次方程，02=++c bx ax 当c b a ，，满足什么条件时，方程的两个实数根互为相反数？（设计意图：教师分层要求，学生课下完成，巩固所学知识.）六、教后反思本节课的教学采取了以学生为主体、教师为主导的方式，让学生尽可能地参与到教学的全过程中.通过学生的观察、发现、学生与学生的讨论交流、教师与学生的密切合作，有意识地培养了学生的一些能力（如口头表达能力、运算能力、归纳总结能力等）；通过多媒体辅助教学，教学内容与中考题挂钩，启发、引导学生勤于思考问题，激发了学生的探究欲望、探究热情和求知欲望，另外，教师给学生逐步设疑，组织学生积极回答、学习，然后肯定其成绩，这样，学生既有成就感，也能加深其印象，更能增强他们学习数学的信心，学习效果比教师硬塞给学生现成的结论要好得多.七、板书设计。

人教版数学九年级上册21.2.2公式法(第二课时)教学设计

a.通过数形结合的方法，将一元二次方程与二次函数图像相结合，让学生直观地理解方程解的几何意义。
b.设置典型例题，引导学生从不同角度分析问题，培养他们灵活运用求根公式的能力。
c.创设生活情境，让学生在实际问题中运用求根公式，提高他们解决实际问题的能力。
5.在课堂练习环节，设计分层练习，让不同水平的学生都能得到有效的巩固和提升。同时，鼓励学生相互讨论、交流，提高课堂互动性。
3.采用分组讨论的形式，让学生在小组合作中交流想法，培养团队合作能力及解决问题的策略。
4.设计实际应用题，让学生体验数学知识在实际生活中的应用，提高学以致用的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的热情，特别是对于代数问题的探索和研究。
2.增强学生解决问题的自信心，特别是面对复杂问题时，能够保持冷静，运用所学知识分析问题、解决问题。
4.解决实际问题时，能够将问题转化为数学模型，进而使用公式法求解一元二次方程。
（二）过程与方法
在教学过程中，引导学生通过以下方法来达成学习目标：
1.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
2.运用问题驱动法，设置不同难度层次的问题，让学生在实践中掌握公式法的步骤和要点。
五、作业布置
为了巩固学生对公式法求解一元二次方程的理解和应用，以及提高他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生巩固求根公式的记忆和基本运用。
2.提高应用题：设计一些需要运用判别式的提高题，让学生在实际问题中学会判断方程有几个解以及解的性质，提高他们分析和解决问题的能力。
5.小组合作题：分组布置一道综合性的大题，要求学生在小组内合作完成，通过讨论、分析、共同求解，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

九年级上册数学21.2.2公式法教案

公式法【知识与技术】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历研究求根公式的过程，增强推理技术，进一步睁开逻辑思想能力.【感情态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成优秀的运算习惯，培育谨慎仔细的科学态度. 【教课要点】用公式法解一元二次方程.【教课难点】推导一元二次方程求根公式的过程 .一、情境导入，初步认识我们知道，对于随意给定的一个一元二次方程，只需方程有解，都能够利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都能够写成2【教课说明】让学生回想用配方法解一元二次方程的一般过程，进而试试着求ax2+bx+c=0〔a≠0〕的方程的解，导入新课，教课时，应赐予足够的思虑时间，让学生自主研究.二、思虑研究，获得新知经过问题情境思虑后，师生共同商讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b x=-c.配a a方，得x2+bx+(b2=-c+(b2，即(xb2b24ac. a2a)a2a)2a)4a2至此，教师应作适合停留，提出以下问题，指引学生剖析、研究：〔1〕两边能直接开平方吗？为何？〔2〕你以为下一步该怎么办？谈谈你的见解.【教课说明】设置停留并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教课时，应让学生踊跃主动思虑，各抒己见，在互相沟通中促使理解.师生共同完美认知：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的鉴别式，往常用表示，即=b2-4ac.进而有：①当=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成bb24ac，这个式子叫做一元二次方程2x=ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式.2a三、典例精析，掌握新知例1不解方程，鉴别以下各方程的根的状况.(1)x2+x+1=0;(2)x2-3x+2=0;(3)3x2-2x=2.剖析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确立方程中a、b、c的值时，必定要先把方程化为一般式后才能确立，否那么会出现失误.解：〔1〕∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；〔3〕原方程可化为3x2-2x-2=0,∴a=3,b=-2,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-43×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解以下方程：(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-22x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x剖析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.【教课说明】以上两例均可让学生自主达成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的疑惑实时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面指引学生关注其解答能否正确，同时还应注意其解答格式能否标准，查漏补缺，深入理解.教师接着指引学生阅读第 12页相关前言中问题的解答，向学生发问：〔1〕什么状况下根的取值为正数？〔 2〕列方程解决实质问题在取值时应注意什么？四、运用新知，深入理解1.对于x 的方程x 2-2x+m=0有两个实数根，那么m 的取值范围是.2.假如对于x 的一元二次方程k 2x 2-〔2k+1〕x+1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是〔〕＞-14＞-1且k ≠04＜-14≥-1且k ≠043.方程 2x 2+4 3x+62=0的根是〔〕12= 3= 2，x1=6, x 2= 2 1=2 2, x 2= 21=x 2=-64.对于x 的一元二次方程〔m-1〕x 2+x+m 2+2m-3=0有一个根为0，试求m 的值.〔注：5~6题为教材第 12页练习〕 5.解以下方程：〔1〕x 2〔〕2〔〕2+x-6=0;2x-3x-14=0;33x-6x-2=0;〔4〕4x2〔〕2〔〕x(2x-4)=5-8x.-6x=0;5x+4x+8=4x+11; 6 6.求第节中问题1的答案.【教课说明】经过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中获得牢固和提升. 【答案】≤14.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动，讲堂小结经过这节课的学习，你有哪些收获和领会?谈谈看.【教课说明】在学生回想与反省本节课的学习过程中，进一步完美认知，师生共同概括总结.1.部署作业：从教材“习题〞中选用.2.达成创优作业中本课时练习的“课时作业〞局部.1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，所以在教课方案各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一要点内容睁开，问题设计，讲堂学习有益于学生增强运算能力，掌握根本技术，也有益于教师发现教课中存在的问题.2.在教课方案中，指引学生自主研究一元二次方程的求根公式，在师生议论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.3.整个讲堂都以学生着手训练为主，让学生踊跃介入研究活动，体验到成功的愉悦.4.公式法是在配方法的根基上推出的一种解一元二次方程的根本方法，它使解一元二次方程更为简易，在公式的运用中，波及到根的鉴别式，使公式法解一元二次方程获得持续和深入.。

《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。

五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。

问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。

(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。

21.2.2公式法《用求根公式解一元二次方程》教案

-能够熟练运用求根公式解决具体的一元二次方程问题；
-通过实际例题，使学生体会求根公式在解决一元二次方程中的应用价值。
举例解释：求根公式是一元二次方程解决的核心工具，教学中应重点关注公式本身的记忆、理解和应用。例如，对于公式中的判别式Δ=b²-4ac，应强调其与根的关系，即Δ>0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时无实数根。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了求根公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式本身及其推导过程这两个重点。对于难点部分，如判别式的计算和根的情况判断，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的问题，如土地分割、物体抛物线运动等。
2.实验操作：为了加深对求根公式的理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制一元二次方程的图像，观察不同判别式下根的情况。
3.能够运用求根公式解决实际问题；
4.通过求根公式的推导，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.理解并掌握一元二次方程求根公式，提高学生的数学运算能力；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用素养；
3.通过对求根公式的推导和应用，培养学生的逻辑思维、抽象思维和推理能力；

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021

2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版的全部内容。

21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。

能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a．配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。

公式法解一元二次方程教案

课堂训练
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2－3x＝0
（2）3x2－2x＋1＝0
（3）4x2＋x＋1＝0
2.2.用公式法解下列方程:
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
（1）x2＋x－12＝0 ；
（2）x2－2x－3 ＝0；
（3）x2＋4x＋8＝2x＋11；（4）x(x－4)＝2－8x；
(3)没有实数根？
5.已知 x2＋2x＝m－1 没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实
数根.
四、小结归纳
本节课应掌握： 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
教师提出问题，学生思考.
活动 1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？
○1 ；6x-7x+1=0 ○2 ax2 bx c 0a 0
活动 2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到 6x-7x=-1， ax2 bx c
2.二次项系数化为 1 得到 x2 7 x 1 , x2 b x c
12 144
2a
4a2
5.直接开平方得到 x- 7 =± 5 ，注意：（x+ b ）= b2 4ac 是否可以直接开
12 12
2a
4a2
平方？
活动 3.对（x+ b ）= b2 4ac 观察，分析，在 a 0 时对 b2 4ac 的值与 0
2a
4a2
4a2
让学生尝试对 b2 4ac 的值进行

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。

但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。

三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。

2.能够熟练运用公式法求解二次方程。

3.理解公式法背后的数学原理。

四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。

2.难点：理解公式法背后的数学原理。

五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。

进而引入本节课的主题——公式法。

2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。

让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。

老师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。