专题(8)指数与指数函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七节指数与指数函数
[知识能否忆起]
一、根式 1．根式的概念
根式的概念
符号表示
备注 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，
负数的n 次方根是一个负数
n a
零的n 次方根是零
当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这
两个数互为相反数
±n
a (a >0)
负数没有偶次方根
2．两个重要公式
(1)n a n
＝⎩⎨⎧
a ， n 为奇数，
|a |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；
(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使n
a 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的相关概念
(1)正分数指数幂：a m n ＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；
(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1
n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质
函数
y ＝a x (a >0，且a ≠1)
图象
0 a >1 图象特征 在x 轴上方，过定点(0,1) 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 减函数 增函数 函数值变化 规律 当x >0时，y >1 当x <0时，y >1；当x >0时，0 当x <0时，0 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)化简[(－2)6]1 2－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：选B 原式＝(26)1 2 －1＝7. 2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1 的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4) D ．(4,0) 解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5. 4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：2 5．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0 1.分数指数幂与根式的关系： 分数指数幂与根式能够相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂的运算，从而简化计算过程． 2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，所以解题时通常对底数a 按0 和a >1实行分类讨论． 指数式的化简与求值 典题导入 [例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5 ； (2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋37 48. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 1 3 a 16 b 56 ＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . (2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748 ＝100. 由题悟法 指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则实行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一． 以题试法 1．计算： (1)(0.027)－1 3－⎝⎛⎭ ⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab － 1)30.1－2(a 3b －3 ) 12 . 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋5 3－1＝－45. (2)原式＝412·43 2100·a 32·a －32·b 32·b －3 2 ＝425a 0·b 0＝4 25. 指数函数的图象及应用 典题导入 [例2] (2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) [自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C. 法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ； 当0 由题悟法 1．与指数函数相关的函数的图象的研究，往往利用相对应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相对应的指数型函数图象数形结合求解． 以题试法 2．(1)(2012·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称