2020届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省江淮十校高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先解不等式得集合A,B，再根据交集定义得结果.【详解】，，，故选.【点睛】本题考查解指数不等式、解一元二次不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据复数除法法则化简即可.【详解】由知:，，故选.【点睛】本题考查复数除法法则，考查基本求解能力，属基础题.3．如图所示，程序框图的输出结果是（）A．B．C．D．【答案】C4．已知数列满足，则的最小值为（）A．B．C．8 D．9【答案】C5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是（）A．4 B．C．D．【答案】A6．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其回归直线方程为，且，则实数的值是（）A．B．C．D．7．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【答案】C8．已知奇函数，（其中，）在有7个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用辅助角公式化简，再根据奇函数得，最后根据零点个数列不等式，解得结果.【详解】，且为奇函数，，，，令，得，由题意恰有7整数满足.则满足条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3，故，即故选.【点睛】本题考查正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知为坐标原点，，若点的坐标满足，则的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C10．当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过平行找线线角，再根据三角形求角.设正方体棱长为1，，则，连接，，由可知，∠即为异面直线与所成角，在中，，，故，又，，又在为单调减函数，，故选.【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先化简得，再根据余弦定理以及基本不等式求最小值.【详解】设中点为，则，，即，由知角为锐角，故，当且仅当，即时最小，故选.【点睛】本题考查余弦定理、基本不等式以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.12．已知函数有唯一的零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象确定满足的条件，【详解】令即：，在同一坐标系中分别作出与的图象知，为增函数，而为减函数，要是交点的横坐标落在区间内，必须：，即：，故选【点睛】本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数的取值范围.【详解】因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式对恒成立，又在为增函数，，即.即实数的取值范围是：.【点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】答案：【解析】先根据函数奇偶性得函数解析式以及单调性，再根据单调性化简不等式，最后将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，解得结果.【详解】由为奇函数，.设，，，即，故，从而，故不等式同解于，又为上的单调增函数，故，即对任意的恒成立，，即或.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.15．已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.【答案】【解析】先根据直线方程与椭圆方程解得A横坐标，再根据椭圆定义化简求值.【详解】因为离心率为，所以,设直线的方程代入椭圆方程：得：，又∵点在第一象限，故，所以【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义，考查基本分析转化求解能力，属中档题.16．在中，角，，的对边分别为，，，且，若，的面积记为，则当取得最小值时，______.【答案】【解析】先根据正弦定理化边的关系，再根据余弦定理求，最后根据基本不等式求最值，进而确定S值，解得结果.【详解】由正弦定理及得：，即：，由余弦定理可知：，，又，当且仅当时，即时，取得最小值，此时，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析转化求解能力，属中档题.三、解答题17．数列中，，，其中，，，令.（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）见证明，，（2）【解析】（1）先根据向量数量积得递推关系，再根据等差数列证结论，最后根据等差数列通项公式得结果，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1），得：，即，故数列是等差数列，且，，（2），，，①，②①-②得：，.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析转化求解能力，属中档题.18．三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面.（1）证明：是的中点；（2）设，四边形是边长为2的正方形，四边形为矩形，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）取的中点，利用线面平行判定定理与性质定理、面面平行判定定理以及性质定理得，即得结果.（2）先根据线面垂直得线线垂直，再根据直角三角形得，最后根据锥体体积公式得结果.【详解】（1）证明：取的中点，连、，因为为中点，所以.平面，平面，平面.又由已知平面，且，所以平而平而.又平面，所平面.而平面，且平面平面，所以，而为的中点，所以为的中点.（2）因为为正方形，所以，又，所以，而，所以平面.连，则.设，于是，由，知，所以.即，所以【点睛】本题考查线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行判定定理与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19．2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务，收费标准是：每天公司收取养猪场技术服务费120元，当天若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元.（1）设医药公司日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），，试写出医药公司日收取的费用关于的函数关系式；（2）若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务，10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关？附：，其中.0.0500.0100.0013.841 6.63510.828【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据条件列分段函数，（2）根据公式求得，对照数据比较大小作出判断. 【详解】（1）（2）由列联表可得：，∵，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.【点睛】本题考查分段函数解析式以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【详解】（1）设，，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，，，故，∴，，从而.（2）由（1）知：，即：，同理，解得因为，，三点共线，易知直线斜率不存在时不成立，所以方程可设为，联立，整理得，可得，所以，又，所以，，故，所以.【点睛】本题考查导数几何意义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在，使得对任意的，成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【详解】(1) ，但是：，故在为增函数，在也为增函数.（2）由（1）可知，当时，为增函数根据题意可知：对任意的恒成立.令，则当时，，令，问题转化为对任意的恒成立，由抛物线的开口向上知：即，解得故实数的取值范围是.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.【答案】（1）直线的极坐标方程：；曲线的普通方程为：（2）【详解】（1）将代人直线的方程，得：，化简得直线的极坐标方程：由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为：，经过伸缩变换得代入得：，即，故曲线的普通方程为：（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程：，将代人得，将代入得：，故.【点睛】本题考查直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程以及极坐标方程的应用，考查基本分析求解能力，属中档题.23．已知函数.（1）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；（2）设，且，时函数的最小值为3，求的最小值.【答案】（1）（2）【详解】（1）不等式同解于，即，故解集为，由题意，，.（2）故.当且仅当即取等号.故的最小值为.。
2020届安徽省江淮十校高三下学期5月第三次联考数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省江淮十校高三下学期5月第三次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21,B x x t t Z ==+∈，则AB =（ ） A ．1,0,1,2 B ．{}1,1-C ．{}21,x x t t Z =+∈D ．∅【答案】B【解析】利用交集的运算求解.【详解】因为集合B 为奇数集，所以{}1,1A B =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.2．复数z满足1222z ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则，求得1z =-，从而可得结果.【详解】因为1221z ⎛⎫- ⎪===-⎝⎭⎝⎭，对应点的坐标为(1,-，在第三象限，故选:C ．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知双曲线()222105x y a a -=>的左焦点F ，A 为右顶点，M 在双曲线上，若FM AF ⊥，且离心率为32，则AMF 的面积为（ ） A ．254 BC ．2D ．1【答案】A【解析】根据32e =，解得2a =，3c =，得到左焦点F ，右顶点A ，M 的坐标，然后由面积公式求解.【详解】 因为32e =，= 解得2a =，3c =，则左焦点()3,0F -，()2,0A ，52M y =， 所以()152523224AMF S =⨯+⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，离心率、渐近线方程，点到直线的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()212n S n an =--，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该数列的通项公式为（ ）A ．72n a n =-B ．61n a n =-C ．23n a n =+D ．6n a n =- 【答案】D 【解析】根据1,2,1n n n nS S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，及等比中项的性质计算可得； 【详解】 解：因为()212n S n an =--所以当2n ≥时，()11212n n n a S S n a -=-=---．由2a ，4a ，5a 成等比数列，则()()()2739a a a -=--，解得11a =，此时()516n a n n =--=-；当1n =时，()21111152n a S ==--=满足上式，所以6n a n =-， 故选：D ．【点睛】 本题考查等差与等比数列的定义，等差数列的前n 项和与通项公式，属于中档题． 5．在盲拼字卡游戏中，若拼字人不能感知和触摸出卡片上的汉字，则用标有汉字“一、一、心、意”的卡片能正确拼出成语“一心一意”的概率为（ ）A ．13B ．12C ．16D ．112【答案】D【解析】根据列举法列举出所有的基本事件，进而可求出结果.【详解】用汉字“一、一、心、意”可以构成12个等可能基本事件：一一心意、一一意心、一心一意、一意一心、心一一意，意一一心、一心意一、一意心一、意一心一、心一意一、心意一一、意心一一， 则正确拼出成语“一心一意”的概率为112. 故选：D ．【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型. 6．设x ，y 满足约束条件0220x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．2-C ．2D ．0【答案】A【解析】画出可行域，由2z x y =+可得2y x z =-+，当动直线经过点A 时，故目标函数的最大值.【详解】作出可行域如图所示，由2z x y =+知，2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．结合可行域可知：当动直线经过点A 时，由022y x y =⎧⎨+=⎩，解得()2,0A ．故目标函数的最大值2204z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题目. 7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．16B ．32C ．163D ．803【答案】D 【解析】先根据三视图还原几何图，再利用多面体的体积公式求出结果即可.【详解】解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.所以21482ABC S =⨯=△；180488233V =⨯-⨯⨯=. 故选：D.【点睛】 本题考查多面体体积的求法，考查三视图的知识点，考查空间想象能力，属于基础题. 8．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正弦值为310，若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】D【解析】31010，则两直角边的长分别为3，1，从而求得大正方形的面积和4个三角形的面积，然后由几何概型的面积类型求解.【详解】设直角三角形中的已知锐角为θ，则310sin θ=， 10，则两直角边的长分别为3，1．则大正方形的面积是10，4个三角形的面积是113462⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭， 所以小正方形的面积是4，所以点取自小正方形内的概率是42105P ==， 故选：D ．【点睛】 本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．设1F ，2F 是椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若在椭圆C 上存在点P 使得1212PF PF PF PF +=-，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由1212PF PF PF PF +=-，转化为在点P 使得12PF PF ⊥，进而可得结果. 【详解】由1212PF PF PF PF +=-知，即存在点P 使得12PF PF ⊥． 记短轴端点为顶点和焦点1F ，2F 所对应的角为2θ，因此902180θ︒≤<︒，即45θ90︒≤<︒．而sin 2e θ⎫=∈⎪⎪⎣⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量的加减运算和椭圆的几何性质，考查了数形结合思想和计算能力，属于基础题目.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1111 (352019)++++，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1008?i >B ．1008?i ≤C ．1010?i ≤D ．1009?i >【答案】C【解析】框图首先给累加变量S 赋值为0，给循环变量i 赋值1，再一步一步往下执行，即可得答案；【详解】框图首先给累加变量S 赋值为0，给循环变量i 赋值1．判断框中的条件满足，执行01S =+，112i =+=；判断框中的条件满足，执行1013S =++，213i =+=； 判断框中的条件满足，执行110135S =+++，314i =+=； …依次类推，令201921i =-，知1010i =，可得1010i =，判断框中的条件满足，执行1111352019++++，1011i =， 此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是1010?i ≤．故选：C ．【点睛】本题考查算法中程序框图补足条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.11．已知函数()22cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的是（ ）A ．周期为2πB ．将()f x 图象向右平移6π个单位，所得图象关于y 轴对称 C ．对称中心为(),0122k k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈Z D ．将()f x 图象向左平移12π个单位可得到33sin 222y x =+的图象 【答案】B 【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：()22cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 21cos 2332222x x ππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯+ 33cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以()33cos 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其最小正周期22T ππ==，故A 错； 把函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，得到函数33cos 2622y f x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则该函数偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 正确； 令()232x k k πππ+=+∈Z ，解得()122k x k ππ=+∈Z ，对称中心为()3,1222k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 故C 错； 把函数()f x 的图象向左平移12π个单位后，得到函数33sin 21222y f x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以选项D 错误，故选:B ．【点睛】 本题考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质的应用，属于中档题． 12．已知点P 在ABC 的边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=，且ABC 的面积为532，则sin PAB ∠=（ ）A ．3B ．3C ．57D ．357 【答案】D【解析】在APC △中，根据3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=，利用余弦定理得到AC PC AP ==，即APC △为等边三角形，再根据ABC 的面积为53，解得5BC =，从而得到3BP =，然后作AD BC ⊥交BC 于D ，在Rt △ABD 中利用勾股定理求得AB ，然后在APB △中，由余弦定理求解.【详解】在APC △中，因为3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=， 设AC x =，则4PC x=， 由余弦定理得：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2x =，则AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，从而23APB ∠=π； 因为153sin 23ABC S AC BC π=⋅⋅=△， 解得5BC =，则3BP =，如图所示：作AD BC ⊥交BC 于D ，在等边APC △中，AD =1PD =，在Rt △ABD 中AB =由余弦定理得222cos238AB AP BP PAB AB AP +-∠===⋅，所以sin PAB ∠=38. 故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,3a =-，()2,b m =，()1,1c =-，若()a b c +⊥，则m =______．【答案】6【解析】根据题意，得到()3,3a b m +=-，根据向量垂直的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为()1,3a =-，()2,b m =，()1,1c =-，所以()3,3a b m +=-，由()a b c +⊥知()330a b c m +⋅=-+-=，解得6m =， 故答案为：6.【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 14．定义在R 上的奇函数()f x ，周期为5，且满足()13f =，()26f =，则()()()201820192020f f f -+=______．【答案】3-【解析】根据()f x 为奇函数，得到()00f =，再由周期为5，()13f =，()26f =求解.【详解】因为()f x 为奇函数，则()00f =，又因为周期为5，且满足()13f =，()26f =， 所以()()()201820192020f f f -+，()()()404524045140450f f f =⨯--⨯-+⨯+，()()()()()210213f f f f f =---+=-+=-．故答案为：-3 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题. 15．若函数()32133f x x x x a =+-+的图象与直线2y =有3个不同交点，则实数a 的取值范围为______． 【答案】1173a -<<【解析】先令()321323g x x x x a =+-+-，根据题意，得到函数()g x 有3个不同零点，对函数()g x 求导，根据导数的方法判定函数单调性，确定函数极值以及大致范围，即可求出结果. 【详解】 因为函数()32133f x x x x a =+-+的图象与直线2y =有3个不同交点， 令()321323g x x x x a =+-+-，则函数()g x 有3个不同零点， 因为()()()22313g x x x x x '=+-=-+． 由()0g x '>得1x >或3x <-； 由()0g x '<得31x -<<，所以()g x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此极大值为()37g a -=+，极小值为()1311g a =-； 而x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()g x →+∞，故只需701103a a +>⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得1173a -<<.故答案为：1173a -<<. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，熟记导数的方法判定函数单调性以及最值等即可，属于常考题型.16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD ⊥平面ABC ，6AD =，23AB =，则该球的表面积为______．【答案】84π【解析】设ABC 外接圆的圆心为E ，球心为O ，则OE ⊥平面ABC ，又由AD ⊥平面ABC ，得出//OE AD ， 过点O 作OH AD ⊥于H ，得点H 是AD 的中点， 由勾股定理可求得外接球的半径，从而得出答案. 【详解】由题意，设ABC 外接圆的圆心为E ，球心为O ，则OE ⊥平面ABC ，又因为AD ⊥平面ABC ，所以//OE AD ，过点O 作OH AD ⊥于H ，因为OD OA =，所以点H 是AD 的中点， 又6AD =，所以3DH =，在ABC 中，120BAC ∠=︒，23AB AC ==，23AE OH =∴=， 故()222223321DO OH DH =+=+=，该球的表面积为2484S R ππ==．故答案为：84π.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积或体积问题，常可以先确定球心的位置，再求出球的半径的大小，也可以根据几何体的特点采用割补的方法把不规则的几何体补充规则的几何体，从而快速确定球的半径，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a ，满足12a =，且1210n n a a +-+=．（Ⅰ）求证：数列{}1na-为等比数列；（Ⅱ）设()2log1n n nb a a=+-，求数列{}n b的前n项和n S．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2222nnn nS+-=+．【解析】（Ⅰ）将1210n na a+-+=，变形为()1121n na a+-=-，再利用等比数列的定义证明.（Ⅱ）由（Ⅰ）得到()112112n nnb n n--=++-=+，然后利用分组求和法求解.【详解】（Ⅰ）由1210n na a+-+=，得()1121n na a+-=-．而1110a-=≠．故数列{}1na-是以1为首项，2为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112nna--=，即121nna-=+，则()112112n nnb n n--=++-=+，所以()()011123222nnS n-=+++++++，()()21121222122nnn n n n⨯-++-=+=+-．【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及分组求和法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．在平行四边形ABC D'中，6AD=，3AB=，60DAB∠=︒，沿BD将BC D'△折起到BCD，使得AB CD⊥．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若点P是三角形ABC区域内一动点，求DP的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33⎤⎥⎣⎦．【解析】（Ⅰ）通过余弦定理计算出BD ，由勾股定理可得AB BD ⊥，由CD AB ⊥结合线面垂直判定定理即可得结果；（Ⅱ）先得平面ABC ⊥平面BCD ，作DE BC ⊥交BC 于点E ，可得最小值，点D 到点A 的距离最大可得最大值，进而得结果. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABD △中，由余弦定理知：222136236272BD =+-⨯⨯⨯=， 从而222AD AB BD =+，因此AB BD ⊥，则CD BD ⊥． 又CD AB ⊥，而ABBD B =，所以CD ⊥平面ABD ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD ，AB 平面ABC ，从而平面ABC ⊥平面BCD ，作DE BC ⊥交BC 于点E ，则DE ⊥平面ABC ， 则DE 为点D 到平面ABC 的距离，即为最小值， 故min 3333362DP DE ===． 而点D 到点A 的距离最大，故max 6DP DA ==因此DP 的取值范围是332⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，点到面的距离问题，证得线面垂直是解题的关键，属于中档题.19．2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶，接触等途径．为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，动员居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送（配送费由政府补贴）．快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”．这两家公司“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送一件提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：（Ⅰ）求乙公司的快递员一日工资y （单位：元）与送件数n 的函数关系； （Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（1）记甲公司的“快递员”日工资为X （单位：元），求X 的平均值；（2）小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）120,08310710,83n y n n ≤≤⎧=⎨->⎩；（Ⅱ）（1）156.8元；（2）小王应当到乙公司应聘“快递员”工作，理由见解析．【解析】（Ⅰ）对n 分成083n ≤≤、83n >两种情况，结合题目所给条件求得乙公司的快递员一日工资y （单位：元）与送件数n 的函数关系.（Ⅱ）（1）根据平均数的计算方法计算出甲公司的“快递员”日工资X 的平均值. （2）根据平均数的计算方法计算出乙公司的“快递员”日工资Y 的平均值，Y X >，由此可知小王应当到乙公司应聘“快递员”工作. 【详解】（Ⅰ）由题意：当083n ≤≤时，120y =元； 当83n >时，()120831010710y n n =+-⨯=-．∴乙公司的快递员一日工资y （单位：元）与送件数n 的函数关系为：120,08310710,83n y n n ≤≤⎧=⎨->⎩．（Ⅱ）（1）X 的所有可能取值为152，154，156，158，160．()11521015420156101584016020156.8100X =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（2）设乙公司的日工资为Y ，()11201000101010302050307030163100Y =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 由于到甲公司的日工资的平均值比乙公司的日工资的平均数低， 所以小王应当到乙公司应聘“快递员”工作． 【点睛】本小题主要考查分段函数模型的应用，考查平均值的计算，属于中档题.20．已知曲线C 上的任意一点P 到定点()1,0F 的距离比它到定直线2x =-的距离少1． （Ⅰ）求曲线C 的方程．（Ⅱ）已知()1,0A -，过点F 作直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．求证：直线AM ，AN 关于x 轴对称．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）根据曲线C 上的任意一点P 到定点()1,0F 的距离比它到定直线2x =-的距离少1．即点P 到定点()1,0F 的距离和它到定直线1x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求解.（Ⅱ）设:1l x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理，论证 0AM AN k k +=即可. 【详解】（Ⅰ）因为曲线C 上的任意一点P 到定点()1,0F 的距离比它到定直线2x =-的距离少1．所以点P 到定点()1,0F 的距离和它到定直线1x =-的距离相等 所以曲线C 的轨迹为抛物线且2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =．（Ⅱ）由于直线l 不与x 轴重合，可设:1l x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理得2440y my --=， 因此124y y m +=，124y y =-． 因为121212121122AM AN y y y y k k x x my my +=+=+++++，()()()()()12121212228802222my y y y m mmy my my my ++-+===++++则AM AN k k =-，即FAM FAN ∠=∠， 故直线AM ，AN 关于x 轴对称． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系以及对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.21．已知函数()()2xf x x a e ax a =+--．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程； （Ⅱ）若2a ≥-时，证明：当0x ≥时，()0f x ≥． 【答案】（Ⅰ）0x ey +=；（Ⅱ）证明见解析．【解析】()()22xf x x x a e a '=++-（Ⅰ）由()()2xf x x a e ax a =+--，结合0a =，得到()2xf x x e =，()()22x f x x x e '=+，进而求得()11f e -=，()11k f e'=-=-，写出切线方程. （Ⅱ）由()()2xf x x a e ax a =+--二次求导，根据2a ≥-，得到函数()f x 在[)0,+∞上的单调性求解. 【详解】()()22x f x x x a e a '=++-（Ⅰ）当0a =时，()2xf x x e =，()()22xf x x x e '=+．()11f e -=，故切点为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭切线斜率()11k f e'=-=-所以切线方程为()111y x e e-=-+， 即在()()1,1f --处的切线方程为0x ey +=（Ⅱ）令函数()()()22xg x f x x x a e a '==++-，则()()242xg x x a x e '=+++当2a ≥-时，()()240g x x x '≥+≥，知()g x 在[)0,+∞上单调递增，因此()()min 00g x g ==，即()0f x '≥ 从而函数()f x 在[)0,+∞上单调递增， 所以()()00f x f ≥=故当2a ≥-时，对任意0x ≥时，恒有()0f x ≥． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与不等式证明，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为13cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和的2C 直角坐标方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 交于M ,N 两点,求1C M MN ⋅.【答案】（1）1C 的普通方程为()2219x y -+=,2C 的直角坐标方程为20x y +-=；（2）-17.【解析】(1)根据22sin cos 1αα+=消去α即可. 展开cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再根据cos ,sin x y ρθρθ==化简即可.(2)根据垂径定理求出弦长MN ,再结合平面向量的数量积运算求解即可. 【详解】（1）由13cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩得13cos 3sin x y αα-=⎧⎨=⎩,消除参数α得1C 的普通方程为()2219x y -+=；展开cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,有cos sin 22ρθρθ+=从而2C 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由（1）知()11,0C ,则1C 到直线2C的距离2d ==从而MN ==. 故11172MN C M MN MC MN MN ⋅=-⋅=-⨯=-.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的互化,同时也考查了直线与圆结合平面向量求数量积的问题.属于中档题. 23．已知函数()1f x x a x =++-，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式()4f x ≤；（2）对任意()0,3m ∈．关于x 的不等式()12f x m m<++总有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()5,3-． 【解析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.（2）由题意可知()min min 12f x m m ⎛⎫<++⎪⎝⎭，结合1224m m ++≥=与()()()11f x x a x a ≥+--=+，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式()4f x ≤即为214x x ++-≤，则()()2,214,x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或()21,214,x x x -<≤⎧⎨+--≤⎩或()1,214,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得522x -≤≤-或21x -<≤或312x <≤，故不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）对任意()0,3m ∈，关于x 的不等式()12f x m m<++总有解()min min12f x m m ⎛⎫⇔<++ ⎪⎝⎭而1224y m m =++≥=，当且仅当1=m m ，即1m =时取最小值，又()()()11f x x a x a ≥+--=+（当且仅当()()10x a x +-≤时取等号） 故只需14a +<，得53a -<<，即实数a 的取值范围为()5,3-．【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.。
安徽省江淮十校2024届高三第三次联考数学试题含答案
江淮十校2024届高三第三次联考数学（答案在最后）本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知(){}0ln 1A x y x x ==+-，{B y y ==，则A B = （）．A.[)()0,11,+∞ B.()()0,11,+∞ C.()0,∞+ D.[)0,∞+【答案】B 【解析】【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合,A B ，由交集定义可得结果.【详解】由010x x >⎧⎨-≠⎩得：01x <<或1x >，即()()0,11,A =⋃+∞；0≥，0y ∴=≥，即[)0,B ∞=+，()()0,11,A B ∴=+∞ .故选：B.2.若,i z ∈C 为虚数单位，2i 11z +-=，则i z -的最大值为（）A.2B.1- C.4D.1【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义可得复数z 对应的点的轨迹为以点()1,2-为圆心，1为半径的圆，进而求出i z -的最大值.【详解】根据题意，复数z 对应的点的轨迹为以点()1,2-为圆心，1为半径的圆，所求式子i z -的几何意义表示点()0,1到圆上点的距离的最大值，11=+.故选：D.3.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）A.20 B.25C.225D.450【答案】C 【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有1255C C 15+=种方法，所以甲和乙不同的选择方法有1515225⨯=种.故选：C4.在ABC 中，π,6C CA =边上的高等于32CA ，则sin B =（）A.2B.12C.33D.13【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解.【详解】如图，CA 边上的高为BD ，2BD =，且π6C =，所以CB =，则π3cos62CD BC CA =⋅=，则12AD CA =，AB AC ==，所以π6ABC C ∠=∠=，则π1sin sin 62B ==.故选：B5.已知直线():12l x a y a ++=-，圆22:64120C x y x y +-++=，则该动直线与圆的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得直线l 表示过定点()3,1A -，且除去1y =-的直线，点A 在圆上，可判断直线l 与圆C 相交.【详解】因为直线():12l x a y a ++=-，即()210x y a y +-++=，当10y +=时，20x y +-=，解得31x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 表示过定点()3,1A -，且除去1y =-的直线，将圆C 的方程化为标准方程为()()22321x y -++=，因为1AC =，点A 在圆上，所以直线l 与圆C 可能相交，可能相切，相切时直线l 为1y =-，不合题意，所以直线l 与圆C 相交.故选：C.6.已知0,0m n >>，且122m n +=，则2242n mm n +的最小值为（）A.2B.4C.8D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，将所求式子变形2241222121222n m m n m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用基本不等式求解.【详解】0,0m n >> ，122m n+=，()()223322222224248222m n m mn n n m n m m n m n m n +-++∴+==2212221121222m n m n m n m n mn n m m n n m n m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭212⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22m nn m=，即2n m =，即1,2m n ==时等号成立.故选：A.7.如图，直线l 在初始位置与等边ABC 的底边重合，之后l 开始在平面上按逆时针方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60︒），它扫过的三角形内阴影部分的面积S 是时间t 的函数．这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接AE ，设等边ABC 的边长为2，求得3tan(30)22ABD S α=+- ，令()3tan(30)22S x x =+- ，其中060x ≤≤ ，结合导数，即可求解.【详解】如图所示，取BC 的中点E ，连接AE ，因为ABC 为等边三角形，可得30EAB ∠= ，设等边ABC 的边长为2，且DAB α∠=，其中060α≤≤ ，可得tan(30))DE AE αα=-=-，又由ABC的面积为ABC S =，可得2ABE S =，且13)tan(30)22ADE S αα=-=- ，则ABD △的面积为33tan(30)tan(30)2222ABE ADE S S S αα=-=--=+- ，令()3tan(30)22S x x =+- ，其中060x ≤≤ ，可得()23102cos (30)S x x =⨯>-' ，所以()S x 为单调递增函数，又由余弦函数的性质得，当30x = 时，函数()S x 取得最小值，所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，结合选项，可得选项C 符合题意.故选：C.8.已知函数()f x 满足()π131f x f x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，且π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则20241π3i i f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A.1010-B.10105-. C.0 D.2024【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出π是()f x 的一个周期，利用周期性求解答案.【详解】()π131f x f x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭Q ，()()2π11111π31113f x f x f x f x ⎛⎫∴+=-=-=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-++ ⎪+⎝⎭，()()1π2π13f x f x f x ∴+=-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以π是()f x 的一个周期，又π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2π11π3213f f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，()1π22π13f f =-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π2π3π332f f f ⎛⎫⎛⎫++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()20241ππ2ππ2π674π33333i i f ff f f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑3167411010.522⎛⎫=⨯-+-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据条件判断π是()f x 的一个周期，再求出2π132f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()π2f =-，利用周期性求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上递减C.将()f x 图象向左平移π8个单位可得到3sin2y x =的图象D.若()02f x =，则01sin49x =【答案】ACD 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式可判断A ；通过()3sin ,0,πy t t =∈的单调性可判断B ；通过函数图象左右平移作用于自变量，且左加右减可判断C ；由题代入求出0π2sin 243x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再通过诱导公式和二倍角公式凑角求值可判断D.【详解】对于A ，由题意，函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以2π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，由π5π,88x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得()π20,π4x -∈，所以函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；对于C ，将()f x 的图象向左平移π8个单位可得，ππ3sin 284y x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，即3sin 2y x =，故C 正确；对于D ，若()02f x =，即0π3sin 224x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即0π2sin 243x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22000ππ21sin 4cos 412sin 2122439x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.10.设,A B 两点的坐标分别为()()3,0,3,0-直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，则下列说法中正确的是（）A.M 的轨迹方程为22194x y -=B.M 的轨迹与椭圆2212512x y +=共焦点C.230x y -=是M 的轨迹的一条渐近线D.过()0,2N 能做4条直线与M 的轨迹有且只有一个公共点【答案】BC 【解析】【分析】对A ，设点(),M x y ，3x ≠±，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B ，由点M 的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C ，点M 的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D ，点()0,2N 在y 轴上，过点N 的直线与点M 的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点()3,0±不合题意.【详解】对于A ，设点(),M x y ，3x ≠±，则3MA y k x =+，3MB y k x =-，所以4339y y x x ⨯=+-，化简得22194x y -=，所以点M 的轨迹方程为()221394x y x -=≠±.故A 错误；对于B ，由A 选项，点M 的轨迹的焦点为()与椭圆2212512x y +=共焦点，故B 正确；对于C ，点M 的轨迹对应曲线()221394x y x -=≠±的渐近线为230x y ±=，故C 正确；对于D ，点()0,2N 在y 轴上，设()()3,0,3,0P Q -，则23PN k =，23NQ k =-，所以直线PN ，NQ 与渐近线平行，但点,P Q 不在点M 的轨迹上，故过点()0,2N 只能作点M 的轨迹两条切线，如图所示，故D 错误.故选：BC.11.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长相等，且均为2，N 在ABC 内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（）A.存在点N ，使得1C N ⊥平面11A B CB.若1C N =，则动点N 的轨迹长度为3πC.E 为11A C 中点，若1//C N 平面1AB E ，则动点ND.存在点N ，使得三棱锥1C A BN -的体积为8【答案】BCD 【解析】【分析】取11,A B AB 的中点1,D D ，证得平面11A B C ⊥平面11D DCC ，得到1C H ⊥平面11A B C ，结合1111D C D D C H ∠>∠，可判定A ；由1C N =，求得1CN =，得到点N 的轨迹为圆弧，可判定B ；点E为11A C 中点，取AC 的中点F ，证得平面1//C BF 平面1AB E ，得到动点N 的轨迹为线段BF ，可判定C ；结合1max ()3N A BC V -=，可判定D.【详解】对于A 中，取11A B 的中点1D ，AB 的中点为D ，连接111,,D C DD DC ，由111A B C △为等边三角形，所以1111A B C D ^，又由正三棱柱111ABC A B C -中，可得111CC A B ⊥，因为1111C D CC C ⋂=，且111,C D CC ⊂平面11D DCC ，所以11A B ⊥平面11D DCC ，又因为11A B ⊂平面11A B C ，所以平面11A B C ⊥平面11D DCC ，因为平面111A B C Ç平面111D DCC D C =，过1C 作11C H D C ⊥于H ，根据面面垂直的性质定理，可得1C H ⊥平面11A B C ，在矩形11D DCC 中，111D C DD <，所以1145D C D ∠>11D C H >∠，如图所示，此时1C H 的延长线与线段CD 无公共点，所以不存在点N ，使得1C N ⊥平面11A B C ，所以A 错误；对于B 中，因为1C N =，在直角1C CN 中，可得1CN ==，所以点N 的轨迹为以C 为圆心，以1为半径的圆弧，又因为π3ACB ∠=，所以动点N 的轨迹长度为π3，所以B 正确；对于C 中，由点E 为11A C 中点，取AC 的中点F ，连接11,,C F BF BC ，可得1//C F AE ，1//BF B E ，因为1C F Ë平面1AB E ，且AE ⊂平面1AB E ，所以1//C F 平面1AB E ，同理可得//BF 平面1AB E ，又因为1C F AB F = ，且1,C F AB ⊂平面1C BF ，所以平面1//C BF 平面1AB E ，因为平面1C BF 平面ABC BF =，由1//C N 平面1AB E ，所以动点N 的轨迹为线段BF C 正确；对于D 中，由11C A BN N A BC V V --=，当点N 在ABC 内及其边界上运动时，可得1111max 123()33N A BC ABC A B C V V --==，因为32383=，所以存在点N ，使得三棱锥1C A BN -的体积为38，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动点轨迹与存在性性问题的求解策略1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知O 为等边ABC 的中心，若3,2OA a AB b == ，则AC =________．（用,a b 表示）【答案】92a b --【解析】【分析】等边三角形的中心即三边中线的交点，由重心的结论：12DO OA =，结合向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题可得如图：O 是ABC 的重心，3OA a =，O 是ABC 各边中线的交点，1322DO OA DO a ∴=⇒= ，9922DA DO OA a AD a ∴=+=⇒=- ，又D 为BC 的中点，2AB b =，故：()122AD AB AC AC AD AB =+⇒=- ,所以：92AC a b =-- ，故答案为：92a b --.13.某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．【答案】15.8【解析】【分析】先求出总体的平均数89x =，在利用()()()()222211222m s x x n s x x s m n+-++-=+计算得解.【详解】设全体同学数学成绩的平均分为x ，方差为2s ，记191x =，2111s =，286x =，228s =，30m =，20n =，依题意有1230912086893020mx nx x m n +⨯+⨯===++，则()()()()222211222m s x x n s x x s m n+-++-=+()()()()2230119189208868915.850+-++-==.故答案为：15.8.14.已知首项为12的正项数列满足{}n a 满足11n nn n a a ++=，若存在*N n ∈，使得不等式()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<成立，则m 的取值范围为________．【答案】11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再分n 为奇数和偶数时化简不等式后结合数列的单调性解一元二次不等式即可求出.【详解】因为()110n n nn n a a a ++=>，所以()11ln 11ln ln ln n n n n a n n a n a a n++++=⇒=，当2n ≥时，12121ln ln ln 12ln ln ln 121n n n n a a a n n a a a n n ----⋅⋅=⋅-- ，所以()1ln 2ln n a n n a =≥，又112a =，所以()12,12nn a n n ⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭时也成立，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<，当n 为奇数时，上式变为()()30n n m a m a ++-<，所以3n n m a a +<<-，因为{}n a 为递减数列，所以解得11216m -<<；当n 为偶数时，上式变为()()30n n m a m a +-+<，所以3n n a m a +<<-，解得11324m -<<；综上，m 的取值范围为11,24⎛⎫-⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132nn n a a ++=⨯．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知3n nn b a =，求使{}n b 取得最大项时n 的值．1.26≈）【答案】（1）2n n a =（2）4【解析】【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为()1122n n n n a a ++-=--，即可求出通项；（2）由已知可设11k k k k b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，代入k 解不等式组求出即可.【小问1详解】因为132nn n a a ++=⨯，所以()1122n n n n a a ++-=--，又12a =，所以120a -=，所以022nnn n a a -=⇒=.【小问2详解】由（1）有2n n a =，所以332n nn n n b a ==，设n k =时，n b 最大，因为1211,2,12b b b k ==>∴>，所以11k k kk b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即()()()())3333133331121122121122k k k k k k k k k k k k k k k -+⎧-≥⎪⎧⎧≥-≥-⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨≥+≥++⎪⎪⎩≥⎪⎩，解得 4.853.85k k ⎧≤≈⎪⎪⎨⎪≥≈⎪⎩，又Z k ∈，所以4k =，所以使{}n b 取得最大项时n 的值为4.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =.（1）已知O 为PC 中点，求证：AO ⊥平面PBD ；（2）求平面DPC 与平面PCB 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）取PB 中点E ，根据线面垂直的判定与性质，结合等腰三角形三线合一性质的应用可分别证得AO PB ⊥，AO BD ⊥，由此可得结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】取PB 中点E ，连接,,AE OE AC ，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，BC AB ⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，,BD BC ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，PA BC ⊥；AB PA A ⋂= ，AC PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，,AC PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAB ，BD ⊥平面PAC ，又,O E 为,PC PB 中点，//OE BC ∴，OE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAC ，PB OE ∴⊥，AO BD ⊥；PA AB = ，E 为PB 中点，AE PB ∴⊥；AE OE E = ，,AE OE ⊂平面AOE ，PB ∴⊥平面AOE ，又AO ⊂平面AOE ，PB AO ∴⊥，PB BD B = ，,PB BD ⊂平面PBD ，AO ∴⊥平面PBD .【小问2详解】以A 为坐标原点，,,AD AB AP正方向为,,x y z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，不妨设1==PA AB ，则()0,0,1P ，()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,1,0B ，()1,0,1DP ∴=- ，()0,1,0DC = ，()0,1,1BP =- ，()1,0,0BC =，设平面DPC 的法向量(),,n x y z =，则00DP n x z DC n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，解得：0y =，1z =，()1,0,1n ∴= ；设平面PCB 的法向量(),,m a b c =，则0BP m b c BC m a ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1b =，解得：0a =，1c =，()0,1,1m ∴=；1cos ,2m n m n m n ⋅∴===⋅，即平面DPC 与平面PCB 夹角余弦值为12，∴平面DPC 与平面PCB 的夹角为π3.17.已知椭圆22:12x C y +=，直线:2l x =与x 轴交于点P ，过点P 的直线与C 交于,A B 两点（点A 在点B的右侧）．（1）若点A 是线段PB 的中点，求点A 的坐标；（2）过B 作x 轴的垂线交椭圆于点D ，连AD ，求AOD △面积的取值范围．【答案】（1）514(,)48±；（2）(0,2.【解析】【分析】（1）设点00(,)A x y ，表示出点B ，代入椭圆方程建立方程组，求解方程组即可.（2）设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理探求直线AD 过定点，进而设出直线AD 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的函数关系求解即得.【小问1详解】依题意，(2,0)P ，设点00(,)A x y ，由点A 是线段PB 的中点，得()0022,2B x y -，由点,A B 都在椭圆C 上，得2200220012(22)412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得00548x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以点A的坐标为5(,)48±.【小问2详解】依题意，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()()112233(2),0,,,,,,y k x k A x y B x y D x y =-≠，由点A 在点B的右侧，得21x x <<<由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)8820k x k x k +-+-=，由422648(12)(41)0k k k ∆=-+->，得,022k k -<<≠，22121222882,1212k k x x x x k k-+==++，则有()1212322x x x x +-=，显然22(,)D x y -，直线AD 的方程为：212212()(()())y y x x x x y y +-=-+，当1x =时，122112121212123()420y y x y x y x x x x y k x x x x +--+--==⋅=--，因此直线AD 过定点(1,0)，设直线AD 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(2)210m y my ++-=，则2244(2)0m m '∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++，于是212212m AD y m +=-=+，点O 到直线AD的距离d =因此1||122AODS AD d =⋅==≤，当且仅当0m =时取等号，而当0m =时，直线AB 与椭圆相切，不符合题意，所以AOD △面积的取值范围为(0,)2.18.一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶，（1）小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率；（2）若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望．【答案】（1）1146（2）分布列见解析；()2511E X =【解析】【分析】（1）先求出任取2瓶的所有总数和抽取的2瓶饮料中无奖券的总数，再由古典概率求解即可；（2）求出X 的可能取值及其对应的概率，再由均值公式求出期望.【小问1详解】一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，所以无奖券的有21瓶，从中任取2瓶，有224C 276=种结果，其中抽取的2瓶饮料中无奖券，有221C 210=种，所以小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率为：221224C 210661111C 27627646-=-==；【小问2详解】设小明最终获得饮料瓶数为X ，则2,3,4,5X =，则()221224C 210352C 27646P X ====，()11121320212422C C C 63201053C C 27622506P X ==⋅==，()021112121321320212222112422242221C C C C C C C 154+C C C C C 506P X ==⋅⋅⋅=，()02111112132132121222112422242221C C C C C C C 15C C C C C 506P X ==⋅+⋅⋅=，所以X 的分布列为：X2345P3546105506155061506()351051515752523454650650650625311E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.19.对于函数()y f x =的导函数()y f x ='，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()00f tx tf x '=成立，则称()y f x =是“跃然”函数，并称t 是函数()y f x =的“跃然值”．（1）证明：当1t =时，函数()ln exx af x +=是“跃然”函数；（2）证明：()()e xg x x x =+∈R 为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，()0,+∞【解析】【分析】（1）根据题意当1t =时，设()()()12ln 2e xx ax h x f x f x -+'=-=，令()0h x =，即12ln 20x a x -+=，设()12ln 2x x a xϕ=-+，0x >，利用导数判断单调性结合零点存在性定理判断证明；（2）将问题转化为函数()()()G x g tx tg x '=-存在零点，构造函数借助导数和零点存在性定理分0t <，0=t ，0t >三种情况讨论判断证明.【小问1详解】()ln e xx a f x +=Q ，()1ln e xx ax f x --'∴=，当1t =时，设()()()12ln 2e xx ax h x f x f x -+'=-=，令()0h x =，得12ln 20x a x -+=，设()12ln 2x x a x ϕ=-+，0x >，则()2210x x xϕ'=+>，即函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，又()e2e2e 0aaa a a ϕ-=--+=-<，()2222222211e 4222222e e a aa a a a a ϕ+++⎛⎫=++-=+++- ⎪⎝⎭()222132********a a a a a ⎡⎤⎛⎫>++=++=++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又22a a +>，则22e e a a +->，所以存在()220e ,e aa x -+∈使得()00x ϕ=，即()()0f x f x '=，所以函数()ln e xx af x +=是“跃然值”为1的“跃然”函数.【小问2详解】()e x g x x =+Q ，()e 1x g x '∴=+，设()()()G x g tx tg x '=-，则()()e e 1txxG x t t x =-+-，所以()()e e 1txxG x t '=-+，当0=t 时，()1G x =，对x ∈R ，此时不存在0x 使得()()00f tx tf x '=成立，不合题意；当0t <时，因为e =tx y 与e x y =-在R 上均单调递减，所以e e 1tx x y =-+在R 上单调递减，所以()G x '在R 上单调递增，又()00G t '=<，()()()1e e 12e 0tG t t '=-+>->，所以存在()0,1m ∈使得()0G m '=，即e e 10tm m -+=，当(),x m ∈-∞时，()0G x '<，即()G x 单调递减，当(),x m ∈+∞时，()0G x '>，即()G x 单调递增，()()()()e e 11e 1tm m m G x G m t t m t tm t ∴≥=-+-=-+--，又e 1x y x =--，则e 1x y '=-，所以当(),0x ∈-∞时，0'<y ，即函数单调递减，当()0,x ∈+∞时，0'>y ，即函数单调递增，e 10x y x ∴=--≥，即得e 1x x ≥+.所以()()()11120G x t m tm t m t ≥-++--=->，此时不存在0x 使得()()00f tx tf x '=成立，不合题意；当0t >时，若0x ≤，则e e 10tx x -+>，从而()()e e 10tx x G x t '=-+>，所以()G x 在(],0-∞上单调递增，当0x >时，设()e e 1tx x M x =-+，则()()()1e e e e 1t x tx x x M x t t -'=-=-，设()()1e 1t x N x t -=-，当1t >时，()N x 在()0,∞+上单调递增，且()010N t =->，所以()()00N x N >>，从而()0M x '>，所以()M x 在()0,∞+上单调递增，所以()()010M x M >=>，所以()0G x '>，所以()G x 在R 上单调递增，又()0120G t =-<，因为e e x y x =-，当1x >时，e e 0x y '=->，所以e e x x >，则()1e e 0tG t =->，由零点存在性定理，存在()00,1x ∈使得()00G x =，即()()00f tx tf x '=成立，符合题意；当1t =时，()1G x x =-，显然存在零点01x =，使得()()00f tx tf x '=成立，符合题意；当01t <<时，易知()()1e 1t x N x t -=-在()0,∞+上单调递减，()010N t =-<，所以()0N x <，从而()0M x '<，所以()M x 在()0,∞+上单调递减，又()010M =>，x →+∞时，()M x →-∞，所以存在()0,n ∈+∞，使得()0M n =，即()0G n '=，所以当(),x n ∈-∞时，()0G x '>，即()G x 单调递增，当(),x n ∈+∞时，()0G x '<，即()G x 单调递减，又()1e e 0tG t =->，x →-∞时，()G x →-∞，由零点存在性定理，存在()0,1x ∈-∞使得()00G x =，即()()00f tx tf x '=成立，符合题意；综上，()g x 为“跃然”函数，该函数“跃然值”的取值范围为()0,∞+.【点睛】思路点睛：本题的第一问，根据“跃然”函数的定义将问题转化为证明函数()()()12ln 2e xx a x h x f x f x -+'=-=存在零点，利用导数判断单调性和零点存在性定理求解证明；第二问，设()()()G x g tx tg x '=-，则()()e e 1tx x G x t '=-+，当0=t 时，()1G x =，显然不合题意，当0t <时，利用导数和零点存在性定理可证()0G x >，不合题意，当0t >时，在分01t <<，1t =，1t >三种情况分别讨论判断证明.。
安徽省江淮十校2020届高三第三次联考(文数)
安徽省江淮十校2020届高三第三次联考数 学（文科）考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．． 3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|14}A x x =剟，{}2|23B x x x =-…，则A B ⋂=（ ） A ．{|14}x x -剟B ．{|13}x x 剟C ．{|13}x x -剟D ．{|14}x x 剟 2．已知复数z 满足262z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0x ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC ．D4．已知直线m ，n ，平面α，β，则m α∥的充分条件是（ ）A ．n α⊂，m n ∥B ．αβ⊥，m β⊥C ．n α∥，m n ∥D ．αβ∥，m β⊂ 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于（ ） A ．14B ．12C ．1D ．26．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为,,,,A B C D E 五个等级．某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况．2019年与2017年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数不变 B ．获得B 等级的人数增加了1倍 C ．获得C 等级的人数减少了 D ．获得E 等级的人数不变 7．函数()cos x xy e ex -=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在ABC V 中，5AC AD =u u u r u u u r ，E 是直线BD 上一点，且2BE BD =u u u r u u u r ，若AE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．25B ．25-C ．35D ．35-9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若247a a =，423S S =，则5a =（ ） A ．2B ．22C ．4D ．4210．已知2()2()3f x f x x x =-++，则函数()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．1y x =-- D ．1y x =- 11．若函数()3cos f x x x =+在区间[,]a b 上是增函数，且()2,()2f a f b =-=，则函数()3sin g x x x =-在区间[,]a b 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D ．可以取得最小值2- 12．在三棱锥P ABC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平PAC ⊥平面PBC ，三棱锥P ABC -3，若点,,,P A B C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-≥⎩……则2z x y =-的最小值为___________． 14．在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos()a π+=_________．15．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，213log ,02()11,12x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=-≤≤，则9(11)4f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭_____．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点A 、B （其中A 在x 轴上方），A ，B 两点在抛物线的准线上的投影分别为M ，N ，若||3MF =，||2NF =，则||||AF BF =____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22．23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求A ；（2）若ABC V 的面积为637a =，求ABC V 的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求点B 到平而AEF 的距离． 19．（12分）2019新型冠状病译（2019-nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名．冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计341650（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）在上述感染者中，用分层抽样的方法抽取5人，再在这5人中随机抽取2人，求这2人都未戴口罩的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k … 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．（12分）已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，125PF PF =，1222F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF V 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数2()()xf x e ax x R =-∈．（1）若函数()y f x =有两个极值点，试求实数a 的取值范围；（2）若02ea 剟且0x >，求证：()1f x >．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，0b >，1a b +=． （1（2）若不等式11|||1|x m x a b+-++…对任意x R ∈及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）参考答案1．B 集合{|13}B x x =-剟，∴{|13}A B x x ⋂=剟． 2．A 设(,)z a bi a b R =+∈，则2()2()362z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，362a b =⎧⎨-=-⎩，22a b =⎧⎨=⎩，即22z i =+，对应点为(2,2)，在第一象限．3．A 由题知b a =，又222a b c +=，解得c e a ==．4．D ∵n α⊂，m n ∥，有可能m α⊂，A 错误；,m αββ⊥⊥，有可能m α⊂，B 错误；,n m n α∥∥，有可能m α⊂．5．D ∵888S a ==，∴1288a a a a +++=L ，∴70S =，∵747S a =，∴40a =． ∵480,8a a ==，∴84284a a d -==-． 6．D7．B 易判断函数()cos x xy x e e-=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()cos 0x x y x e e -=->，排除D ，故选B ．8．D 222()5AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴35m n +=-．9．C10．A ∵2()2()3f x f x x x =-++，∴2()2()3f x f x x x -=+-．∴2()f x x x =-．∴(1)0f =，()12f x x '=-．∴(1)1f '=-，∴过(1,(1))f 切线方程：1y x =-+．11．C ()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()sin 2cos 2sin 662g x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x 的图象由()f x 得图象向左平移2π个单位长度所得．()f x 在区间[,]a b 上是增函数，且()2,()2f a f b =-=，令6x t π+=，可取,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，向左平移2π个单位长度，即14个周期，可得,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()g x 可取得最大值为2．12．A 取PC 中点O ，连接AO ，BO ，设球半径为R ，因为3BPC π∠=，PA AC⊥，PB BC ⊥，所以AO BO R ==，2PC R =，PB R =，3BC R =，由平面PAC ⊥平面PBC ，4APC π∠=得，AO ⊥平面PBC ，因为三棱锥P ABC -的体积为36．所以33366R =，∴1R =，∴球的表面积为4π．13．1 由约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立133x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得(2,3)A ．∴2z x y =-的最小值为2231⨯-=．14．32-3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3cos 2α=，3cos()2πα+=-．15．5 由题知，函数()f x 为偶函数且周期为2，∴91(11)(1)50544f f f f ⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 16．3 由抛物线的定义得：||||AF AM =，||||BF BN =，易证2MFN π∠=，∴222||||||16MN NF MF =+=，∴||4MN =∵11||||||2322MNF S p MN MF NF =⋅=⋅=V ，∴3p =．∴3MFO π∠=，∵||||AF AM =，∴AMF V 为等边三角形．∴直线AB 的倾斜角3πθ=．∴||1cos p AF θ=-，||1cos p BF θ=+．∴||3||AF BF =．17．解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+及正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+， ∴2sin cos sin A A A =． ∵0A π<<，∴1cos ,23A A π==．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==V ，∴24bc =． 由余弦定理2222cos 28a b c bc A =+-=，可得2252b c +=， ∴2()252,10b c bc b c +-=+=，∴ABC V 的周长为10+18．（1）证明：∵PA AB =，E 为线段PB 中点，∴AE PB ⊥． ∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PA ⊥． 又∵底面ABCD 是长方形，∴BC AB ⊥．又PA AB A ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ．∵AE ⊂平面PAB ，∴AE BC ⊥． 又PB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面PBC ．（2）由（1）知，AE ⊥平面PBC ，又EF ⊂平面PBC ，∴AE EF ⊥，∴3EF ==．由题知PA ⊥平面ABCD ，E 为PB 中点， ∴点E 到平面ABCD 的距离为122PA =， 设点B 平面AEF 的距离为h ，则B AEF E ABF V V --=，即111134123232h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h =∴点B 到平面AEF 的距离为319．解：（1）2250(306410) 4.504 3.84134164010K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯． 所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关．（2）由（1）知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，用分层抽样的方法抽取5人，则2人戴口罩记为,A B ，3人未戴口罩记为1，2，3，从中随机抽取2人，共有AB ，1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，12，13，23共10种可能，其中2人都未戴口罩的有12，13，23共3种， ∴这2人都未戴口罩的概率310P =．20．解：（1）由题知215PF PF =，12F F =2221122PF F F PF +=，解得23PF =，13PF =233a =+=∴a =，c =1b =，∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=． （2）要使1AF B V 的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B V 的内切圆的半径r 最大．因为12(F F ，设()()1122,,,A x y B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =+221,3x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩故()22310t y ++-=，故1223y y t +=-+，12213y y t =-+； 故11212121212AF B F F A F F B S S S F F y y =+=-=V V V==， 又()11111||22AF B S AF F B AB r r =++⋅=⋅=V ，故23t =+，即12r ==；=，即1t =±时等号成立，∴直线l 的方程为y x =-或y x =-+21．解：∵2()xf x e ax =-，∴()2xf x e ax '=-．∴()20xf x e ax '=-=，2x e a x =，不妨令()(0)xe g x x x=≠．2(1)()x e x g x x -'=，∴()g x 在(,0)-∞、(0,1]递减，在[1,)+∞递增，(1)g e =，且0x <时，()0g x <．∵函数()y f x =有两个极值点，∴2,2e a e a >>． （2）方法一：()2xf x e ax '=-， 令()(),()2x h x f x h x e a ''==-，（ⅰ）当102a 剟时，()0,()h x f x ''>单调递增，()(0)1f x f ''>=， ()f x 单调递增，()(0)1f x f >=，满足题意．（ⅱ）当122ea <≤时，()20x h x e a '=-=，解得ln2x a =． 当(0,ln2)x a ∈，()0h x '<，()f x '单调递减； 当(ln2,)x a ∈+∞，()0h x '>，()f x 单调递增， 此时ln 2min ()(ln 2)2ln 22(1ln 2)af x f a e a a a a ''==-=-，∵2ea „，1ln20a -…，即min ()0f x '…， ∴()f x 单调递增，()(0)1f x f >=，满足题意．综上02ea 剟且0x >时，()1f x >成立． 方法2：不妨令2()(0)xG a e ax a e =-剟， ∴2()xG a x a e =-+在0,2e a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减．2min ()22x e e G a G e x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，不妨令：2()2x e g x e x =-，∴()x g x e ex '=-．令()()xx g x e ex ϕ'==-， 则()xx e e ϕ'=-， 由()0x ϕ'>得1x >， 由()0x ϕ'<得1x <，∴()()x g x ϕ'=在(,1]-∞递减，在[1,)+∞递增． ∴min ()(1)0g x g ''==，11 ∴()0g x '…，∴()g x 在[0,)+∞递增．∴min ()(0)1g x g ==， 当02e a 剟且0x >时，()1f x >． 22．解：（1）直线:3410l x y -+=，即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:4C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2cos sin ρρθρθ=+，曲线C 的普通方程为220x y x y +--=．（2）将直线l 的参数方程代入220x y x y +--=得2705t t +=，即75t =-或0t =， ∴,A B 两点间的距离127||5AB t t =-=．23．解：（1）21111116a b a b a b +=+++++++++++=， 当且仅当12a b ==+． （2）1111()24b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭…，当且仅当a b =时取等号， ∴11a b+的最小值为4． 又|||1||1|x m x m +-+-„，∴不等式11|||1|x m x a b +-++„对任意x R ∈恒成立，只需|1|4m -„即可，解得35m -≤≤，即m 的取值范围为[3,5]-.。
安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考数学(文)试题
6．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（）
A．4B． C．2D．0
7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A． B． C． D．
8．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正弦值为 ，若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）
7．D
【解析】
【分析】
先根据三视图还原几何图，再利用多面体的体积公式求出结果即可.
【详解】
解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.
所以 ； .
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体体积的求法，考查三视图的知识点，考查空间想象能力，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据直角三角形中一个锐角的正弦值为 ，令斜边的长为 ，则两直角边的长分别为3，1，从而求得大正方形的面积和4个三角形的面积，然后由几何概型的面积类型求解.
19．2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶，接触等途径．为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，动员居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送（配送费由政府补贴）．快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪 送件提成”．这两家公司“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送一件提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：