学习数学分析体会

学习数学分析的体会

尚在高中时，就不断听到有人告诉我说：好好学习吧，等到上大学时就轻松了。然而悲剧的是，当我们进入大学时，才发现在大学里我们仍需要好好学习，甚至说即使在课堂上好好听了，有时也不一定听得懂。就拿数学分析来说，不同于高中的思维方式，它着重培养我们的逻辑思维能力，不单单是机械的使用公式，而是让我们理解并掌握这些公式成立的原因。这对于刚开始接触这门新课程的我们来讲，很难，对我来说，那些公式的证明是难上加难。说起来，接触数分已经好几个月了。今天，在数学分析学习之旅即将结束之际，在老师的要求下，回顾一下我学习数学分析的过程并且谈谈学习数学分析的感受。

数学分析（1）

大一上半学期我们学习了数学分析（1），大体内容有实数、数集与领域、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数和微分、微分中值定理及其应用以及数项级数。

在上大学之前，我只知道：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；除零以外所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集，记作C。我并不知道它们大的由来，在大学的数学学习中，我了解到，若一个集合中的任意两个元素进行了某种运算后，所得的结果人属于这个积极而，我们称该集合对这种运算是封闭的。显然，任意两个自然数m，n∈N,其和与积必定还是自然数：m+n∈N，mn∈N，即自然数集合N对于加法和乘法运算是封闭的。但是N对于减法运算并不封闭，即任意两个自然数之差不一定还是自然数。

当数系由自然数集合扩充到整数集合Z后，关于加法、减法和乘法运算都封闭了，即对于任意两个整数p，q∈Z，其和、差、积必定还是整数：p±q∈Z，pq∈Z。但是，整数集Z 关于除法运算是不封闭的，因此数系又由整数集合Z扩充为有理数集合Q={x|x=q∕p，p∈Z}。有理数集合Q关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。从这里，我认识到原来各个数系是这样扩充而来的。

在高中的数学中，我们不难发现数列和函数之间有许多相似与相通之处。在数学分析的学习过程中，我们同样可以发现，数列极限和函数极限也有着密不可分的联系。下面我们可以把两者对比一下。

数列极限定义 设{}n a 为数列, a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使

得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞

=或()n a a n →→∞.

若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列

函数极限的定义（00()x x x x →≠） 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域

()0

0;U

x δ'内有定义，A 为定数，

若对任给的0,()0εδδ'?>?<>，

使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以A 为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0

lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.

数列极限存在的条件

定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限.

定理（Ｃauchy 收敛准则） 数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>存

在正整数N ，使得当,n m N >时有||n m a a ε-<.

函数极限存在条件

定理1（单调有界定理） 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限

lim ()x x f x +→存在

定理2（Cauchy 收敛准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0

lim ()x x f x →存在?

任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何0

0,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<.

定理3（Heine 定理）（归结原则) 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0

lim ()x x f x →存在?

对任何含于0

0(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞

都存在且相等.

定理4 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0

lim ()x x f x A +

→= ?对任何

以0x 为极限的递减数列{}0

0()n x U x +?，有lim ()n n f x A →∞

=.

在学习函数极限和数列极限这两章知识上，我把两者对比联系并且加以总结，例如，求数列的极限的问题，我们可以把数列用函数的形式表示，然后求函数的极限。把两者的定义、

相关性质、定理放在一起记忆理解。这样能使我比较容易把握和理解这两章节的知识点。

学习完数列极限和函数极限，我们继续学习了函数的相关性质：函数的连续性（设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义.若).

()(lim 00

x f x f x x =→，则称f 在点0x 连续。或δε-方式：

若对任意的ε﹥0，使得当︳x-

x ︳﹤δ时有︳f(x)-f(

x )︳﹤ε,则称函数f 在点0

x 连续）。

学习连续函数的性质，局部有界性（若函数f 在点

0x 连续，则f 在某∪（

x ）上有界），

局部保号性（若函数)(x f 在0x 点连续，且0)(0

>>αx f ，则对任意αα<'<0存在0x

某邻域

)

(,)(00x U x x U ∈ 时，0)(>'>αx f ),四则运算性质﹙若函数则)

(,)(x g x f 在区间I 上有定义，且都在I x ∈0

连续，则)

(/)(,)()(,)()(x g x f x g x f x g x f ±（0)(0≠x g ）在0x 点连续。）复合函数连续性（若函数)(x f 在0x 点连续，)(u g 在0u 点

连续，)(00x f u =，则复合函数))((x f g 在0x 点连续。）学到连续函数的这些性质，我有

种似曾相识的感觉，翻了笔记本之后发现原来收敛数列也有类似性质，极限唯一性（若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一），有界性（如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.

即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤||），保号性（若则N ?，当N n >时b a a n n >=∞→lim b a n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则N ?，当N n >时n a 与a 同号.）四则运算则法（若}{n a 、}{n b 都收敛，则}

{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且

n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim ，n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim 特别地，n n n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c

为常数如再有0lim ≠∞

→n n b 则}{n

n b a 也收敛，且 n

n n

n n

n n b a b a ∞

→∞

→∞

→=

lim lim lim

），迫敛性（设有三个数列

}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ?，当N n >时有，n n n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim l b n =，则∞

→n lim l c n =）。 在学习以上这些内容后，我发现这些知识点总是巧妙地有所联系，虽然我只是在表面上看出它们相似相通，并不能理解它们是如何被联系在一起以及它们之间的奥妙，但我们可以从这些联系中发现数学的神秘，而且使我更加钦佩那些伟大的数学家们。

学习了这么多看似熟悉却又十分陌生的知识，终于可以学习一点相对简单熟悉不是那么抽象的的知识了，导数和微分，在高中的数学学习中，我们就已经学习过了导函数的概念、求导法则以及参数函数的导数，只不过高中学的是一些简单的初等函数和简单的复合函数求导。大学的求导函数就变得不是那么简单的了，而且相对高中，还学习了高阶导数。不过有了高中的那些基础，学习和理解这部分内容相对于前面的变得简单和轻松许多，因为我觉得这一部分内容是将我们以前的导数知识进一步的加深理解，当然在表示方法上也用了新的知识。不过在学习微分时，对微分的概念不大能理解并且在二阶微分和高阶微分的学习过程中也受到了一定的阻碍。而且在接下来微分中值定理及其应用的学习中，我被罗尔定理（如果函数f (x)满足 ①在[a, b]上连续； ②在(a, b)内可导； ③f (a) = f (b)； 那么在(a, b)内至少存在一点ξ(a <ξ< b)，使得：f '(ξ) = 0）、拉格朗日定理（如果函数f (x)满足 ①在[a, b]上连续； ②在(a, b)内可导； 则在(a, b)内至少存在一点ξ(a <ξ< b)，使得：f '(ξ)=

a

b a f b f --)()(）、

柯西中值定理（设函数f(x),g(x)满足 ①在[a, b]上都连续； ②在(a, b)内都可导； ③f(x)和g(x)不同时为零； (4) g(a)≠g(b)； 则存在ξ∈(a, b)，使得：

)

()()()()

(' g )(' f a g b g a f b f --=

ξξ）还有泰勒

公式以及函数的极值与最大最小值弄得是云里雾里，有种不知所云的感觉。

带着种种的不懂和迷惑，我又学习了一个全新的知识数项级数，级数的收敛性，正项级数，一般项级数。级数收敛的柯西准则、比式判别法、根式判别法、拉贝尔判别法、莱布尼兹判别法等这些是我看后记得住，随后就忘。做题只能靠套用类似的题目的方法或者直接背题目。我想学数学最大的悲哀也莫过于此了吧。

数学分析（1）就这样学完了，我完全没法想到的是我经历的阶段竟然是从懵懂到完全不懂。从高中到大学，从形象到抽象，大学的数学大多是抽象的。而且大学不同于高中的思维方式，它着重培养我们的逻辑思维能力，不单单是机械的使用公式，而是让我们理解并掌握这些公式成立的原因。这与高中的简单、形象、具体的计算证明题比起来，我不是很能够理解和应付这些抽象的知识。在做数学分析（1）的这些题目中，普通的计算还好，一旦遇上证明题，思路很狭窄，不能很灵活的运用自己所学的知识点，思考过程比较混乱，还有就是在课堂上没有听懂的地方，在课下没有主动地去解决，在证明的过程中每一步骤为什么要这样写没有弄得的很明白。总之，我认为极限很难（尤其是关于极限的证明），数项级数就更难了。而且这部分书中的内容大都以证明为主，计算部分较少。

数学分析（2）

大一下半学期我们继续学习了数学分析（2），这部分涉及了很多内容，有实数的完备性、不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分、函数列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数、多元函数的极限与连续、隐函数定理及其应用、含参量积分、曲线积分和重积分。学习实数的完备性这一章节，我的理解是要理解和掌握这一章里的一些定理（如实数的完备性的基本定理、区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理）。此部分的知识趋向于理论的学习，我想大部分的学生都不太喜欢学习这种纯理论的知识。一般的学生都会更喜欢学习不定积分，定积分这种有公式 能计算的知识的。因为毕竟我们都已经练习了十几年的计算题，计算解数学的传统方法在我们脑海中已经根生蒂固。就我而言，学习这两块的知识，让我比较有兴趣，因为它可以带给我久违的“成就感”。当我用积分基本知识，换元积分法（(1) 函数)(x f 在区

间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ?=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，

)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(β?α?，则有

[]dt t t f dx x f b

a

??

'=

β

α??)()()(．

）

和分部积分法（设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则

vdu udv uv d +=)(，可得 v d u uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有

vdu uv udv b

a

b a

b

a

?

?

-=)

(． ）解决出不定积分的相关问题时，会让我觉得我并不是完全不

会不懂，虽然这只是一点点的成就，但我想对于数学专业的又学不好数学的我来说，应该算是难得的经验了。定积分中有一个重要而且特别有用的公式，牛顿-莱布尼兹公式（若函数f(x ）在[a,b]上连续，且存在原函数F(x ），则f(x ）在[a,b]上可积，且b （上限）∫a （下限）f(x)dx=F(b)-F(a)）。我们之前有学过数列极限和函数极限，在学习了定积分之后，发现可以用定积分求极限，例如：我们可以利用定积分的值而求出对应的数列的极限值

1.求∞

→n lim n

n n n n

)

2).....(2)(1(++

解 因为n

n n n n

)

2).....(2)(1(++=)1)...(1)(1(21n

n n n n +++=)1ln(11

∑=+

n

k n

k e

n

所以 ∞

→n l i m n

n n n n

)2).....(

2)(1(++=∞

→n lim

)1ln(1

1∑

=+n

k n

k e n

=)1ln(lim 1

1∑

=+∞

→n

k n

k n

e n =e dx x ?+1

0)1ln( 而?+1

)1ln(dx x =ln4-1,故∞

→n lim

n

n n n n

)

2).....(2)(1(++=e dx

x ?+1

0)1ln(=e 4

2.求极限.

解= = .

,

.

因此 , .

另外，定积分还可以用来证明不等式，可以用来求平面图形的面积，求由体积，求平面曲线的弧长与曲率，求旋转曲面的面积等等。从这，我感受到了定积分的实用和数学分析的强大。至于数分（2）中的其它知识，我只能说有所了解。对于曲线积分和重积分，我比较喜欢做相关的计算题。数学分析学得到这里，其实大部分的内容都学得差不多了。数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。

数学分析（3）

在经过大一一年的学习之后，数学分析这门课大部分内容已经学完，还剩下曲面积分这一章没有学，数学分析三主要学习了这一章，另外还进一步学习了曲线积分和重积分，即学习和练习了许多题目。在做曲线积分和曲面积分时，我认识到的图形的重要性，这就要求我们有一定的空间想象力和几何基础，那在这一块我认为较难的是画图。如果能把图形准确地画出来，那么就简单了许多。下面是一题曲面积分的习题，这题的图像在这一章节里应该算是比较简单的。

例 计算曲面积分()xy yz zx dS ∑

++??，∑为锥面22

z x y

=

+被圆柱面222x y ay

+=（0a >）所截下的部分。

解：因为锥面、圆柱面均关于yo z 面对称，故曲面∑关于yo z 面对称，而xy xz +关于x 恰

好是奇函数，yz 关于x 是偶函数，从而

()xy yz zx dS ∑

++??

yzdS ∑

=

??

1

2yzdS ∑=??

1∑：2

2

z x y =+，1D 如图所示。

()xy yz zx dS ∑

++??

1

2yzdS ∑=??

1

2

2

22

2

2

2

2

21D x

y

y x y d x y

x y

σ=+?+

+

++??

1

2

2

22D y x y d σ=+??

1

22sin D r r rdrd θθ=????

2

2sin 3

22sin a d r d πθθθθ=??

2

4

(2sin )

22sin 4

a d π

θθθ=?

2

4

50

82sin a

d π

θθ=?4

442642825315

a

a =?

?=

数学分析三主要以计算为主，很少有证明题和理论的理解，所以我学习起来感觉没那么累。数学分析四和数学分析三所学的内容是对以前的补充、强化、深入、以及复习，而且这学期学习起来也没那么多的证明题要做，所以这学期学起来很轻松。

数学分析在中学解题中的应用

函数思想方法在中学数学解题中的应用：函数思想方法就是运用函数的有关性质，解决函数的某些问题；或以运动和变化的观点，分析和研究具体问题的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来加以研究，从而使问题获得解决；或对于一些从形式上看是非函数的问题，但经过适当的数学变换或构造，使这一类非函数的问题转化为函数的形式并运用函数的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决。在解数学题中，以函数作为主导，结合具体函数性质，可以使很多数学问题化难为易，化繁为简。

例如，以函数为桥梁，实现函数思想在不等式问题中的应用。由于函数反映变量之间的相互关系，由它的整体性，自然可反映变量间的不等式情况，因此，不等式问题可看成函数问题的另一局部，利用函数思想方法能更深入了解不等式问题的本质。

x

∑

y

z

22

2x y ay

+=x

y

22

2x y ay

+=2sin r a θ

=

例在锐角△abc中，求证：

sina+sinb+sinc>cosa+cosb+cosc。

我想我们都有过用三角式的复杂变形来证明此不等式的经历，那是不得要领的途径，如果我们抓住三角形三个角的三角函数间的关系来思考，就容易得其解。

由于a,b,c均为锐角，故b+c=π－a>π／2, b>π／2－c，由正弦函数在(－π／2, π／2)内是单调递增函数可知： sinb>sin(π／2－c)=cosc；

同理可证： sinc> cosa, sina>cosb。三式相加，即得所证。

还有，以函数为背景，实现函数思想在数列问题中的应用。

数列可以看做定义在正整数集n+或n+的子集上的一种特殊函数，通项公式即函数的解析式。因此，把研究函数的方法，以及函数的有关性质用于研究数列，会对数列的概念、通项、等差数列与等比数列的单调性、数列的最值等概念理解得更加深刻。如等差数列{a n}中：

（1）d=a n+1－a n公差d的几何意义就是坐标平面内表示等差数列各项的点所在直线的斜率；

（2）对于求和公式s n，s n=na1+n(n－1)d/2，我们可以把它整理为s n=1/2dn2+(a1－d)n/2。当公差d≠0时，这是关于n的一个一元二次函数。

再如，借助函数的意识，实现函数思想在实际问题中的运用。在实际的经济活动中，操作、经营和决策者要考虑怎样才能以最低的成本、最短的时间获取最大的效益，这类问题在数学上称为最优化问题，研究这类问题往往需要我们对问题的有关信息和数据进行分析，加工，选择某种可控制的因数作为变量，建立恰当的函数模型的有效分析成为解题不可少的环节。因此在这类问题中我们经分析设法先将具体问题列出其函数关系式，再利用函数的有关性质，使这类问题顺利地得到解决。例如：典型函数模型：y=ax+b（ab≠0）应从研究其定义域，值域，单调性，奇偶性，最值及至作出图形，全面认清此函数模型的特征，才能灵活地应用于解决实际问题。

以上是我对函数思想在中学数学解题中的应用的部分总结，它主要是根据函数的思想在中学数学中的地位，函数的性质及图象来应用到解题中来的。这些解题方法是我们在全面了解函数的基础上的产物。当然函数的应用非常广泛，例如：函数思想在解析几何中的应用；函数思想在函数值与角的转化中的应用。

总结

学习了这么久的数学分析后，我们不难发现数学分析的知识结构系统性和连续性很强。就我而言，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人想要学好数学，想要培养学习数学的兴趣，我想首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。学习数学还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。数学分析强调的是分析的能力,分析的能力没有学到,就谈不上学好了数学分析。这一点目前我还没有做到。我们应该要学会自学，在自学中培养学习能力和创造能力，要努力摆脱对于教师和对于课堂的完全依赖心理。当然也不是完全不要老师，不上课。我们在课堂上听课时，应当把主要精力集中在教师的证明思路和对于难点的分析上。在学习的各个环节培养自己的主动精神和自学能力，摆脱对教师与课堂的过分依赖。这不仅是今天学习的需要，而且是培养创造能力的需要。学习数学分析还应该把各个定义、定理联系起来，在我们的头脑中形成一个有机的网络，我们在解决问题时才能更灵活地运用所掌握的知识。在牢固地掌握了各个定义和定理后。一定要做一些习题，以加深理解。好的教科书每节后面的习题都是对本节所学知识的运用。

刚开始学习数学分析，会感觉很晕。对于老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，课后习题都没几个会做的。其实感觉晕是很正常的，而且还得要晕上几个月才可能就会好的。所以要硬着头皮跟着老师学了下来。虽然感觉还是不太懂，虽然做作业仍然感觉很费劲，但始终不要放弃，这种状态是学习数学分析的一个必经之路，因此必须克服这个困难才能学好数学分析理论知识。不过说来也很惭愧，因为我自己就没有在这方面做得很好。

当然对于大学的数学，不像学高中数学那样，上课听讲，课后做做课后习题，甚至上课不听课，也会做。大学的数学课，要求我们做笔记，因为我们几乎不可能完全听懂老师上课讲的内容，所以课堂上做笔记是必要的，就算完全听不懂，也不会在那坐着发呆等待下课。

在和数分老师相处将近三个学期，我发现我们都爱上了同学口中的“常爷爷”，因为他

的和蔼他的慈祥，我们私底下都尊称他“常爷爷”。就我的感觉，我觉得大家都被常老师的人格魅力和平易近人的态度吸引了，因为上他的课大家都很积极，很认真，很少有逃课，就算很多人听不懂，但还是会坚持上他的课，我想着就是常老师的神奇之处。当然我们同时也被老师扎实的专业知识所折服，还有他的认真，他课堂上的板书工整仔细还绝不马虎，其实我一直想问问老师，上课写那么多都的字，是不是很累？上他课之前，就听学姐学长说，这位老师很严格，出的题目难而且不给题库，会让很多学生挂科，考试之前我们都很担心，拿到试卷后，我就想说“常爷爷”其实很善良，因为他考试的内容其实都是最后的课上给我们复习的内容，从这我看得出他很爱我们，虽然我们做的不够好，但他对我们还是很宽容的。

最后，数学分析的课程即将结束了，我们也即将用数学分析的知识去学习接下来的常微分方程、偏微分方程、复变函数，以及泛函分析，希望我们可以充分灵活地利用我们所学过的基础知识去学习它们。