椭圆和双曲线综合

椭圆和双曲线综合练习卷

其中）的离心率分别为，则（） A ． B ． C ． D ．与1大小不确定

【答案】

2. 的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂

线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（

） A

C D

【答案】C 设上，直线

，由，得，因为在双曲线上，所以，化简得

C ． 3. 已知，若圆与双曲线是（）

D 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当时，圆与双曲线

A ． 4. 为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（）

0>>n m 12e ,e 121e ,e >121e ,e <121e ,e =12e ,e B F F C H P 3FP FH =H FH 3FP FH =P 22

413c a =0,>b a 2

b y x =+a b ≥222b y x =+P P P

A．

B C D．

【答案】A 由题意，知

，，渐近线方程为

，解得，所以点到其

A．

5. 设

点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率

的取值为（

）

【答案】B

因为，

即，

B．

的离心率为（）

C．2

【答案】A

7. 的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（）

【答案】C 直线方程为，即，由题意

，∵，

C．

a=2

a=P 2

F、

∠90

F222

a a c

A A

B B

F F

A A

1122

F B F B

B F0

bx cy bc

+-=

310

e e

-+=1

右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（）

【答案】D 易知，所以

周长为 9. 若点F 1、F 2分别为椭圆C :的左、右焦点,点P 为椭圆C 上的动点,则∵PF 1F 2的重心

的轨迹方程为（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

10. l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有（）

A ．4

条

B ．3

条 C ．2条 D ．无数条【答案】B ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，

，∴，∴直线AB 的长度是4，综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选B ．

11. 在区间和内分别取一个数，记为和，则方程）

A B C D 12,F F 2F C ,P Q P 1PF Q ?2(2,0)F PQ x ⊥1ΔPF Q 2y =±[]1,5[]2,6a b

【答案】B

它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程

故选B.

12.

右焦点分别为，，双曲线的离心率为，若双曲线上一点，则的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 得，由双曲线定义得，因为

，可解得，由知，根

， B. 13. 已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）

1F 2F e P 221F P F F ?323-2-1,2a c ==212PF PF -=12

2PF PF =124,2PF PF ==124F F =221122cos F P F F PF PF PF F ?=∠(1,0)M ,A B 0MA MB ?=MA BA ?

B ．

C D 【答案】C 设，则，由题意有，所以

所以，当时，有最大值，当时，有最小值 C.

14. 的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是

（

）

A B

【答案】B 15. 已知

分别是双曲线

的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于

两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（） A ． B ．

C ．

D ．

答案：C

16. 的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则）

A ．10

B ．13

C ．16

D ．19 【答案】B

最小值为.

[1,9]3

1122(,),(,)A x y B x y 11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--1212(1)(1)0MA MB x x y y ?=--+=21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ?=--+-=---+-2x =-MA BA ?9MA BA ?12,A A P C 2PA []2,1--1PA P ()221:44C x y ++=()222:41C x y -+=,M N 15

17. 过点作直线与双曲线交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（） A ．存在一条,且方程为 B ．存在无数条 C ．存在两条,方程为 D ．不存在

答案：D

18. 已知双曲线()00122

22>>=-b a b

y a x ，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线

的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)

19. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，正三角形的一边与双曲

线左支交于点，且，则双曲线的离心率为．

【解析】设

，则

，所以

20. 的左、右焦点分别为，是圆

与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为

______________．

(1,1)P 2

y x -=210x y --=()210x y ±+=C 22a b

1F 2F 12AF F 1AF B 114AF BF =C 311||4||=4m

AF BF =2222

222||||||2||||cos6013BF AF AB AF AB m =+-=()()12,0,,0F c F c -,A B ()

224x c y c ++=C x 12//F A F B C

【解析】由双曲线定义得

，因为

，所以

，再利用余弦定理得

21. 的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.

22. 上有一点,它关于原点的对称点为，点为双

曲线的右焦点，且满足,设,

则该双曲线离心率的取值范围为

．

【解析】设是左焦点，

则，，因为，，又，则

．

又

∵，2222,22AF a c BF c a

=+=-12//F A F B

2112cos cos F F A F F B

∠=-∠12F 、F P Q (23)-，1||||PQ PF +72||||21+=PF PF 1||||PQ PF +2||||21++=PF PQ 2,,F P Q 1||||PQ PF +7252||2=+=+QF A B F AF BF ⊥ABF α∠=e 1F 2x y a -=AF BF ⊥2222(2)4x y c c +==22

()(2)x y a -=222()xy c a =-2ABF OAF

S S ??=222sin 2c a c α-=

23. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：

∵设A 、B 为两个定点，k 为正常数，，则动点P 的轨迹为椭圆；

∵

∵方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

∵和定点

其中真命题的序号为 _______ 【答案】∵∵

【解析】∵中需要对的取值范围加以限定；∵；

∵

中方程的两个根分别是∵；故答案为∵∵. 24. 的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点

为，若，则该椭圆离心率的取值范围为

25. 过点

A ．

B 两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．【答案】

【解析】设

，由∵-∵

因为点是弦的

中点，∵，=，又因为直线过点（1,1），所以直线的方程为

，即.

26. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，

||||PA PB k +=02522

=+-x x )0,5(A k (34,0)2165

x A B F AB M 022

≥+?BF MF MA (1,1)M M AB AB 013-94=+y x ),(),,(2221y x B x x A M AB 2,22121=+=+y y x x k M AB

013-94=+y x

B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. （1）求椭圆

C 的焦距；

（2）如果AF 2→＝2F 2B →

，求椭圆C 的方程．解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0)

∵k l ＝tan60°＝ 3 ∵l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∵|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c

2＝3c ＝23

∵c ＝2 ∵椭圆C 的焦距为4

(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)

?????

y ＝3(x －2)

x 2a 2＋y 2b 2＝1

得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得?????

y 1＋y 2＝43b 2

3a ＋b

2 ∵

y 1

，y 2

＝－3b 2

(a 2

－4)

3a 2

＋b

∵

∵AF →＝2F 2

B →

∵－y 1

＝2y 2

，代入∵∵得?????

－y 2＝－43b 2

3a 2＋b 2

∵

－2y 2

＝－3b 2

(a 2－4)

3a 2

＋b

∵

∵2∵得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2

(3a 2＋b 2)(a －4) ∵ 又a 2＝b 2＋4 ∵ 由∵∵解得

a 2＝9

b 2＝5

∵椭圆C 的方程为x 29＋y 2

＝1

27. 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,

虚轴长为. （1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点,

并求出定点的坐标.

【答案】（12

试题解析：（1

C x 2C :l y kx m =+C ,A B ,A B AB C

D l

,解得,所以双曲线的标准方程为.

（2）设,联立,得,有,,以为直径的圆过双曲线

的左顶点,,即

,,解得或.当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验

符合已知条件,所以直线过定点,定点坐标为. 28. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋1

2对称．

（1）求实数m 的取值范围；

（2）求∵AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．

解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1

x ＋b .由

???

x 22

＋y 2

＝1，y ＝－1

m x ＋b ，

消去y ，得????12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2

－1＝0.因为直线y ＝－

1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4

m 2>0，∵ 设M 为AB 的中点，则M ???

?2mb m 2＋2，m 2

m 2＋2，

a b c +=2,1a b ==2

214

x y -=()()1122,,,A x y B x y 22

y kx m x y =+???-=??()()222

148410k x mkx m ---+=()()()2222122

2122641614108014410

14m k k m mk

x x k m x x k ?

??=+-+>??+=

?-+?=>-?

()()()22

121212122

414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-AB C ()2,0D -1AD BD k k ∴=-()()2

2212121212222

12414161,240,4022141414m y y m k mk

y y x x x x x x k k k

-+-=-∴++++=∴+++=++---22316200m mk k ∴-+=2m k =103

m =

2m k =l ()2y k x =+()2,0-103k m =

l 103y k x ??=+ ???10,03??

- ???

l 10,03??

???

代入直线方程y ＝mx ＋12 解得b ＝－m 2＋22m 2.∵ 由∵∵得m <－63或m >6

3. (2)令t ＝1m ∵????－62，0∵?

???0，6

2，则|AB |＝t 2＋1·

－2t 4＋2t 2＋

2t 2＋12

，且O 到直线AB 的距离d ＝

t 2＋

t 2＋1

设∵AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝1

－2????t 2－122＋2≤22

，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故∵AOB 面积的最大值为2

29. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为(,0)F c -,，点M 在椭圆上且位于第一

象限，直线FM 被圆4

b x y

截得的线段的长为c ，334=FM

（1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程；

（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.

【答案】(I) ； (II) 22132x y += ；(III)

22,,??-∞ ?. 【解析】(I) 由已知有221

c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，

设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有

22c b ????+= ? ?

????

，解得k = (II)由(I)得椭圆方程为22

22132x y c c

+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，

整理得

3250x cx c +-=，解得5

3x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为c ?? ???

，

由FM ==

，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=

(III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1

t x =

+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)13

2y t x x y =+???+=??，消去y ，整理得222

23(1)6x t x ++=，又由已知，得2

6223(1)x t x -=>+，解得

x -

<<-或10x -<<，设直线OP 的斜率为m ，得y m x =

，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223

m x =-. ∵当3,12x ??

∈-

- ???

时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是222

3m x =-，得223,33m ??∈ ? ∵当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是2223m x =-

-，得23,3m ??∈-∞- ??

综上，直线OP 的斜率的取值范围是23223,,333??

-∞-

? ?? 30. 已知椭圆:E 22

221x y a b

+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线

的距离为

c ．（1）求椭圆E 的离心率；

（2）如图，AB 是圆:M ()()2

212

x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．

【答案】（I ）3

；（II ）221123x y +=．

【解析】

试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原

点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，

联立()22221

44y k x x y b

?=++??+=??，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2

b 的值，进而可得椭圆E 的方程．

试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc

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则原点O 到直线的距离

bc d a

，由1

c ，得2222a b a c ，解得离心率

3c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为2

2244x y b . (1)

依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10.

易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y

k x ，代入(1)得

2222

(14)8(21)4(21)40k x k k x k b

设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22

8(21)

4(21)4,.1414k k k b x x x x k k

由1

4x x ，得

8(21)4,14k k k 解得12

. 从而212

82x x b .

于是12|AB |||x x =-=

= 由|AB |

10，得22)10，解得2

3b .

故椭圆E 的方程为

2112

x y .